Lagrangiana: differenze tra le versioni

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{{notaNota disambigua|la Lagrangianafunzione inusata [[nell'ottimizzazione (matematica)|ottimizzazione]]con nonestremi linearevincolati|[[Metodo dei moltiplicatori di Lagrange]]}}

{{voce complessa|Analisi funzionale|Azione (fisica)}}

In [[meccanica razionale]], in particolare nella [[meccanica lagrangiana]], la '''lagrangiana''' di un sistema fisico è una [[Funzione (matematica)|funzione]] che ne caratterizza la dinamica, essendo per i [[Sistema dinamico|sistemi meccanici]] la differenza tra l'[[energia cinetica]] e l'[[energia potenziale]]. In accordo con il [[principio di minima azione]], un sistema fisico in moto tra due punti segue un cammino che, tra tutti i percorsi possibili, è quello che minimizza l'[[Azione (fisica)|azione]], ovvero l'integrale della lagrangiana rispetto al tempo. A partire da ciò vengono scritte le [[equazioni del moto]] di [[Equazioni di Eulero-Lagrange|Eulero-Lagrange]].

La '''lagrangiana''' <math> \mathcal{L}[\phi_i] </math> di un [[sistema dinamico]] è un [[funzionale]] delle variabili dinamiche <math>\ \phi_i(s)</math> che descrive concisamente le [[equazioni del moto]] del sistema, che si ottengono attraverso il [[Azione (fisica)|principio di minima azione]], scritto come

Nel descrivere sistemi fisici, l'invarianza della lagrangiana rispetto a trasformazioni continue delle coordinate determina la presenza di [[Legge di conservazione|quantità conservate]] durante il moto, ovvero di [[Costante del moto|costanti del moto]], in accordo con il [[teorema di Noether]].

:<math> \frac{\delta \mathcal{S}}{\delta \phi_i} = 0 </math>

== Definizione ==

dove

Una lagrangiana <math>L(\dot\mathbf q,\mathbf q, t) </math> di un sistema fisico con <math>n</math> [[Grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]] è definita come una generica funzione scalare <math>L: \mathbb{R}^{2n+1}\longrightarrow \mathbb{R}</math> delle coordinate generalizzate <math>\textbf{q}</math>, delle velocità <math>\dot\textbf{{q}}</math> e del tempo tale che una funzione del tempo <math>\textbf{q}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^n</math> è una traiettoria per il sistema se e solo se

:<math>\displaystyle\frac{\partial L}{\partial q_j}(\textbf{q}(t),\dot\textbf{q}(t),t)-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{q_j}}{(\textbf{q}(t),\dot\textbf{q}(t),t)}=0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\forall j\in \{1,\cdots ,n\}</math>

:<math> \mathcal{S}[\phi_i] = \int{\mathcal{L}[\phi_i(s)]{}\,d^ns} </math>,

Tali equazioni sono dette '''equazioni di Eulero-Lagrange''', che forniscono le equazioni del moto di un sistema.

definisce l'[[azione (fisica)|azione]] del sistema, con <math>s_\alpha \!</math> che denota l'insieme dei suoi parametri dinamici.

=== Lagrangiana come T - U ===

Le equazioni del moto ottenute per mezzo della [[derivata funzionale]] sono identiche alle usuali [[equazioni di Eulero-Lagrange]]: un sistema dinamico le cui [[equazione|equazioni]] del moto siano ottenibili applicando il principio di minima azione su una determinata lagrangiana è definito ''sistema dinamico Lagrangiano''. Esempi di tali sistemi dinamici vanno dalle [[leggi del moto]] al [[Modello standard]], a problemi puramente [[matematica|matematici]] come le [[Geodetica|equazioni geodediche]] e il [[problema di Plateau]].

Poiché questa definizione di lagrangiana è poco maneggevole, in quanto l'interesse fisico è quello di scrivere le equazioni del moto, viene in aiuto il seguente risultato: in un sistema fisico composto da <math>n</math> particelle sottoposte a un potenziale <math>\textbf{U}(t, \textbf{q})</math>, detta <math> T (\mathbf q,\dot \mathbf q)</math> l'energia cinetica totale del sistema, una lagrangiana per il sistema è fornita da

:<math> L (t,\mathbf q,\dot\mathbf q) = T (\dot\mathbf q,\mathbf q) - U (\mathbf q, t)</math>

==Un esempio dalla meccanica classica==

dove <math>\mathbf q \in \R^n</math> denota le [[coordinate generalizzate]], <math>\dot\mathbf q</math> le rispettive velocità e <math>t \in \R</math> è il tempo.

Il concetto di Lagrangiana fu introdotto in origine in una riformulazione della meccanica classica nota come [[meccanica lagrangiana]]: in questo contesto la lagrangiana è normalmente data dalla differenza fra l'[[energia cinetica]] e l'[[energia potenziale]] di un sistema meccanico.

Nei [[Legge di conservazione dell'energia|sistemi conservativi]], dove cioè l'energia potenziale <math>U</math> non dipende dal tempo e l'energia si conserva, la lagrangiana risulta a sua volta indipendente dalla variabile temporale. Infatti, considerando un punto materiale di massa <math>m</math>, ha l'espressione:

Supponiamo di avere uno [[Spazio (fisica)|spazio]] tridimensionale e la lagrangiana

:<math> L (\begin{matrix}dot\mathbf q,\mathbf q) = T (\dot\mathbf q) - U (\mathbf q) = \frac{1}{2}m(\end{matrix}dot\mathbf mq\cdot\dot{\vec{x}}^2mathbf q) -V U (\vec{x}mathbf q)</math>

La lagrangiana di un sistema può non essere unica. Infatti, due lagrangiane che descrivono lo stesso sistema possono differire per la [[derivata totale]] rispetto al tempo di una qualche funzione <math>f(\mathbf q,t)</math>, tuttavia la corrispondente equazione del moto sarà la stessa.<ref name="Goldstein">{{Cita libro|titolo=Classical Mechanics|url=https://archive.org/details/classicalmechani00gold_008|autore=Herbert Goldstein|autore2=Charles Poole|autore3=John Safko|ed=3|editore=Addison-Wesley|anno=2002|isbn=978-0-201-65702-9|p=[https://archive.org/details/classicalmechani00gold_008/page/n30 21]}}</ref><ref>{{Cita libro|autore=Lev D. Landau e Evgenij M. Lifšic|titolo=Meccanica|anno=1991|editore=Editori Riuniti|città=Roma|isbn=88-359-3473-7}}</ref>

Allora l'equazione di Eulero-Lagrange è

Talvolta, la lagrangiana viene espressa come dipendente anche dalle derivate delle coordinate successive alla prima. In generale è definita come una funzione <math> \mathcal L : TM \times \R \to \R</math> sul [[fibrato tangente]] <math>TM</math> di una [[varietà differenziabile]], chiamata la ''varietà delle configurazioni'', in un suo punto.

:<math>m\ddot{\vec{x}}+\nabla V=0</math>

=== Lagrangiana ed equazioni di Eulero-Lagrange ===

dove la [[derivata]] rispetto al [[tempo]] è scritta convenzionalmente come un punto sopra la quantità che viene derivata.

{{vedi anche|Equazioni di Eulero-Lagrange}}

Per il [[principio di minima azione]], le soluzioni delle equazioni di Eulero-Lagrange, ovvero le [[traiettoria|traiettorie]] [[geodetica|geodetiche]] del sistema, sono tali da rendere stazionario (a [[calcolo delle variazioni|variazione]] nulla) l'integrale d'[[azione (fisica)|azione]] calcolato rispetto alle possibili traiettorie tra due punti fissati.

Per il [[teorema di Noether]], inoltre, se una certa quantità è invariante rispetto alla trasformazione di un campo, allora la corrispondente lagrangiana è simmetrica sotto tale trasformazione. Ad esempio, se la lagrangiana non dipende esplicitamente da una certa coordinata <math>q_i</math>, detta in tal caso ''[[coordinata ciclica]],'' attraverso le equazioni di Eulero-Lagrange si ha:

Sfruttando il risultato sopra, possiamo mostrare facilmente che l'approccio di Lagrange è equivalente a quello newtoniano, scrivendo la forza in termini di potenziale:

:<math>\vecfrac{F}=-\mathrm d}{\nablamathrm Vdt}\left(x\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right)=0</math>

Quindi

quindi l'equazione risultante è

:<math>p_i=\vecfrac{F}=m\ddotpartial L}{\vecpartial\dot{xq}_i}</math>

non varia nel tempo. Così il [[momento coniugato]] è una [[costante del moto]] o [[legge di conservazione|quantità conservata]].

esattamente la stessa equazione in un approccio newtoniano per un oggetto di [[massa (fisica)|massa]] costante; una deduzione molto simile a questa ci dà l'espressione

In particolare, se la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo l'[[Hamiltoniana (funzione)|Hamiltoniana]] <math>\mathcal H</math> è una costante del moto. Nello specifico tale quantità conservata ha la forma:

:<math>\vec{F}=d\vec{p}/dt</math>

:<math>H = \sum_i {\dot q_i} \frac{\partial L}{\partial {\dot q_i}}- L = \sum_i {\dot q_i} p_i - L</math>

che è la Seconda Legge di Newton nella sua forma generale.

ovvero l'Hamiltoniana è la [[trasformata di Legendre]] della lagrangiana. Se la lagrangiana è data dalla differenza di [[energia cinetica]] e [[energia potenziale|potenziale]], <math>H</math> risulta pari alla loro somma, ovvero all'energia totale del sistema. Se inoltre la relazione <math>p_i= \partial L / \partial\dot{q}_i</math> è invertibile, le equazioni di Eulero-Lagrange sono equivalenti alle [[equazioni di Hamilton]] del sistema.

Supponiamo, ora, di avere uno spazio tridimensionale espresso in [[coordinate sferiche]] ''r'', ''θ'', ''φ''; la forma della lagrangiana allora sarà

=== Densità lagrangiana ===

:<math>\frac{m}{2}(\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)-V(r)</math>

In diversi ambiti della fisica, tra i quali l'[[elettrodinamica]] e la [[teoria quantistica dei campi]], si definisce la ''densità lagrangiana'' <math>\mathcal{L}</math> in modo tale che:

:<math>L= \int_{\mathbf x \in D} \mathcal{L} (\mathbf q,\dot\mathbf q,\mathbf q',t,\mathbf x)\, \mathrm d\mathbf x </math>

La corrispondente equazione di Eulero-Lagrange è:

dove <math>\mathbf q' = (\partial q_i /\partial x_j) </math>, <math>\mathbf\dot q =(\partial q_1 /\partial t, \dots ,\partial q_n /\partial t)</math> e <math>D \subset \R^k</math>.

:<math>m\ddot{r}-mr(\dot{\theta}^2+\sin^2\theta\dot{\varphi}^2)+V'=0</math>

:<math>\frac{d}{dt}(mr^2\dot{\theta}) -mr^2\sin\theta\cos\theta\dot{\varphi}^2=0</math>

:<math>\frac{d}{dt}(mr^2\sin^2\theta\dot{\varphi})=0</math>

Ad esempio, in [[relatività speciale]] la densità lagrangiana è utilizzata per il fatto di essere uno [[scalare di Lorentz]] locale, e l'azione viene definita attraverso l'integrale:

Qui l'insieme di parametri dinamici ''s_i'' sono ridotti al solo tempo ''t'', mentre le variabili dinamiche ''φ''(''s'') sono le traiettorie <math>\vec x(t)</math> delle particelle scritte in coordinate polari.

:<math>\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} L \ \mathrm dt=\int_{t_1}^{t_2}\int_{\mathbf{x}\in D}\mathcal{L}\,\mathrm d\mathbf{x}\,\mathrm d t=\int\mathcal{L}\,\mathrm{d}^4x</math>

== Lagrangiana e densità di Lagrangiana in teoria dei campi ==

L'utilizzo della densità lagrangiana permette di scrivere le equazioni del moto in modo manifestamente [[Covarianza di Lorentz|covariante]].

In [[teoria dei campi]], viene fatta una distinzione tra la Lagrangiana <math>L</math> il cui integrale nel tempo è l'azione

==Esempio==

:<math>\mathcal{S} = \int{L \, \mathrm{d}t}</math>

Si supponga di avere in uno [[Spazio (fisica)|spazio]] tridimensionale la lagrangiana:

:<math>L=\frac{1}{2} m\dot{\mathbf {x}}^2 - U(\mathbf x)</math>

e la ''densità di Lagrangiana'' <math>\mathcal{L}</math>, il cui integrale su tutto lo [[spazio tempo]] è l'azione

:<math>\mathcal{S} [\varphi_i] = \int{\mathcal{L} [\varphi_i (x)]\, \mathrm{d}^4x}</math>

dove la [[derivata]] rispetto al [[tempo]] è scritta convenzionalmente come un punto sopra la funzione che viene derivata. Si può mostrare facilmente che l'approccio di Lagrange è equivalente a quello newtoniano. Scrivendo la [[forza conservativa]] in termini di energia potenziale:

La Lagrangiana è quindi l'integrale spaziale della densità di Lagrangiana. Tuttavia <math>\mathcal{L}</math> è spesso chiamata semplicemente Lagrangiana, specialmente nell'uso moderno; è molto utile in teorie [[relatività speciale|relativistiche]] poiché è un campo [[scalare di Lorentz|scalare]] locale.

:<math>\mathbf F=-\nabla U</math>

== Formalismo matematico ==

l'equazione risultante è infatti:

Supponiamo di avere una [[varietà differenziabile|varietà]] ''n''-dimensionale M e una varietà "bersaglio" T. Sia <math>\mathcal{C}</math> lo spazio delle configurazioni delle [[funzione regolare|funzioni regolari]] da M a T.

:<math>\mathbf{F}=m\ddot{\mathbf{x}}</math>

Prima di continuare diamo alcuni esempi:

* Nella [[meccanica classica]], M è la varietà monodimensionale <math>\mathbb{R}</math>, che rappresenta il tempo, e lo spazio bersaglio è il fibrato tangente dello spazio delle posizioni generalizzate.

* Nella teoria dei campi, M è la varietà [[spaziotempo]] e lo spazio bersaglio è l'insieme di valori che il campo può assumere in un qualunque punto dato; per esempio, se ci sono m [[Campo scalare|campi scalari]] a valori reali, φ₁,...,φ''_m'', allora la varietà bersaglio è <math>\mathbb{R}^m</math>. Se il campo è un campo vettore reale, allora la varietà bersaglio è [[isomorfismo|isomorfa]] a <math>\mathbb{R}^n</math>. Ci sarebbe un modo molto più elegante usando il legamento tangente su M, ma ci atterremo a questa versione.

Supponendo quindi di voler rappresentare il moto di un punto materiale nello spazio tridimensionale usando [[coordinate sferiche]] <math>(r, \theta, \phi)</math>, la forma della lagrangiana è:

Ora, supponiamo esista un [[Analisi funzionale|funzionale]], <math>S:\mathcal{C}\rightarrow \mathbb{R}</math>, detto [[Azione (fisica)|azione]]. Si noti che questo sarebbe una [[funzione (matematica)|mappatura]] su <math>\mathbb{R}</math>, non su <math>\mathbb{C}</math>, per motivi fisici.

:<math>L=\frac{m}{2}\left (\dot{r}^2+r^2\dot{\theta}^2 +r^2\sin^2(\theta)\dot{\phi}^2 \right) - U(r,\theta,\phi)</math>

Affinché l'azione sia locale, è necessario imporre ulteriori restrizioni sull'azione. Se <math>\phi\in\mathcal{C}</math>, noi assumiamo che S(φ) sia l'[[integrale]] su M di una funzione di φ, la sua [[derivata]], e che la posizione sia chiamata '''lagrangiana''', <math>\mathcal{L}(\phi,\partial\phi,\partial\partial\phi, ...,x)</math>. In altre parole,

Il vantaggio più immediato della formulazione lagrangiana rispetto a quella newtoniana consiste nel fatto che nel caso di sistemi vincolati è possibile ottenere le equazioni del moto senza dover tener conto delle reazioni vincolari, che sono per lo più indeterminate. A questo fine è sufficiente sostituire nella lagrangiana per il sistema non vincolato una opportuna parametrizzazione del vincolo. Ad esempio, per passare dalla descrizione di un punto materiale non soggetto a vincoli a quella di un punto materiale vincolato a restare a distanza fissa <math>r</math> da un centro assegnato, ovvero un pendolo sferico, è sufficiente porre <math>r = \text{costante} </math> nella lagrangiana in coordinate sferiche e ricavarne le equazioni di Eulero-Lagrange per le sole funzioni incognite <math>\theta(t)</math> e <math>\phi(t)</math>. In questo modo si ottengono immediatamente le equazioni del moto, senza dover calcolare prima la proiezione delle forze attive sul piano tangente alla sfera di raggio <math>r</math>, come sarebbe necessario fare per poter scrivere le equazioni di Newton.

:<math>\forall\phi\in\mathcal{C}\, S[\phi]\equiv\int_M d^nx \mathcal{L}(\phi(x),\partial\phi(x),\partial\partial\phi(x), ...,x)</math>.

==Note==

La maggior parte delle volte noi assumeremo anche che la lagrangiana dipenda soltanto dal valore del campo e dalla sua derivata prima, ma non dalle altre: tuttavia questo non è vero in generale, ma solo una questione di convenienza. Manterremo questa assunzione per tutto il resto di questo articolo.

<references/>

==Bibliografia==

Date le [[condizioni al contorno]], sostanzialmente specificando il valore di φ al [[bordo (matematica)|bordo]] di M, se questo è [[compatto]] o fornendo alcuni limiti su φ quando ''x'' tende all'[[infinito]] (questo ci aiuterà nell'[[integrazione per parti]]), possiamo denotare il [[sottoinsieme]] di <math>\mathcal{C}</math> che consiste di funzioni φ tali che tutte le derivate funzionali di S su φ sono [[zero|nulle]] e φ soddisfa le condizioni al contorno date.

* {{Cita libro|wkautore=Lev Davidovič Landau|autore=Lev D. Landau|autore2=[[Evgenij Mikhailovič Lifšic|Evgenij M. Lifšic]]|titolo=[[Corso di Fisica Teorica|Fisica teorica]]|editore=Editori Riuniti|città=Roma|data=1994|ed=3|dataoriginale=1976|volume=1|isbn=88-359-3473-7}}

* {{Cita libro

La soluzione è fornita dalle [[equazioni di Eulero-Lagrange]] (grazie alle condizioni al contorno)

|autore = Antonio Fasano

|autore2= Stefano Marmi

:<math>\partial_\mu

|titolo = Meccanica analitica

\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\right) -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}=0</math>.

|editore = [[Bollati Boringhieri]]

|città = Torino

Osserviamo che il membro sinistro è la derivata funzionale (cambiata di segno) dell'azione rispetto a φ.

|data = 2002

|isbn = 88-339-5681-4

}}

* {{Cita libro|autore=Valter Moretti|titolo=Meccanica Analitica|url=https://www.springer.com/it/book/9788847039971|editore=Springer|ISBN=978-88-470-3998-8|DOI=10.1007/978-88-470-3998-8}}

* Dare A. Wells, Lagrangian Dynamics, McGraw-Hill, (1967) ISBN 007-069258-0. Una "trattazione" esaustiva di 350 pagine dell'argomento.

* {{fr}} Joseph-Louis Lagrange [http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath&idno=ABR1395 Mécanique analytique] (1788) parte 2, sezione 4, Mallet-Bachelier, Parigi (1853-1855).

* {{fr}} Joseph-Louis Lagrange {{collegamento interrotto|1=[http://gallica.bnf.fr/notice?N=FRBNF30719104 Oeuvres de Lagrange] |data=gennaio 2018 |bot=InternetArchiveBot }} v. 11-12 Gauthier-Villars, Parigi (1867-1892).

* {{en}} A. G. Webster [https://www.archive.org/details/dynamicsofpartic00websuoft The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies. Being lectures on mathematical physics] (1912) B. G. Teubner, Leipzig.

* {{en}} E. T. Whittaker [https://www.archive.org/details/treatisanalytdyn00whitrich A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies], (1917) Cambridge University Press.

* {{en}} A. Ziwet e P. Field [https://www.archive.org/details/introductiontoan00ziweuoft Introduction to analytical mechanics ] (1921) p.&nbsp;263 MacMillan, New York.

== Voci correlate ==

* [[Azione (fisica)]]

* [[Calcolo delle variazioni]]

* [[Equazione del moto]]

* [[Equazioni di Eulero-Lagrange]]

* [[Meccanica hamiltoniana]]

* [[Meccanica lagrangiana]]

* [[Metodo dei moltiplicatori di Lagrange]]

* [[Principio di Maupertuis]]

* [[Principio variazionale di Hamilton]]

* [[Sistema dinamico]]

* [[Teorema di Noether]]

* [[EquazioniTeoria di Hamilton|Hamiltoniana-Jacobi]]

* [[Derivata funzionale]]

* [[Integrale funzionale]]

* [[Azione (fisica)|principio d'azione]]

* [[Lagrangiana di Proca]]

== Collegamenti esterni ==

{{portale|Fisica|matematica}}

* {{Collegamenti esterni}}* {{Cita web|lingua=en|autore=Christoph Schiller|anno=2005|url=http://www.motionmountain.net/C-2-CLSB.pdf|titolo=Global descriptions of motion: the simplicity of complexity|accesso=11 gennaio 2018|dataarchivio=17 dicembre 2008|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20081217082551/http://www.motionmountain.net/C-2-CLSB.pdf|urlmorto=sì}}

* {{Cita web|autore=David Tong|url=http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/dynamics.html|titolo=Classical Dynamics (Cambridge lecture notes)|lingua=en}}

* {{cita web|http://www.people.fas.harvard.edu/~djmorin/chap6.pdf|David Morin - The Lagrangian Method|lingua=en}}

{{Controllo di autorità}}

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[[Categoria:Meccanica razionale]]

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