Controllo sliding mode: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m →Terzo teorema: dinamica sulla superficie di ''sliding'': Determinante |
|||
(16 versioni intermedie di 13 utenti non mostrate) | |||
Riga 1:
Con il termine '''controllo sliding mode''' (o '''sliding mode''' o '''sliding mode control''') si fa riferimento
== Idea di base ==
Il controllo ''sliding mode'' nasce per essere robusto e versatile, per questo motivo viene spesso indicato come "controllo universale". L'idea alla base di questo tipo di controllore è semplice: si controlla il sistema in modo che raggiunga una superficie, detta di ''sliding'', che rappresenta il riferimento del sistema di controllo. Per ottenere ciò il sistema viene forzato con un segnale di controllo discontinuo, segnale che spinge le traiettorie del sistema in direzione della superficie di ''sliding:'' le traiettorie del sistema oscillano intorno alla superficie stessa (''chattering'') e l'ampiezza delle oscillazioni è tanto più piccola quanto maggiore è la frequenza del segnale di controllo. La sintesi di un sistema di controllo che applica direttamente un'azione di tipo discontinuo apre nuovi orizzonti per il controllo di attuatori di tipo on-off che tipicamente sono controllati in [[modulazione di larghezza di impulso|PWM]].
== Schema di controllo ==
La progettazione dello schema di controllo può essere sintetizzata in due passi:
# Si sceglie una [[superficie]]
# Si sceglie una legge di controllo in funzione della superficie di ''sliding''; questa presenta sempre un termine discontinuo e può presentare anche termini continui.
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"
|-
Riga 20 ⟶ 18:
\dot{x}(t)=f(x,t)+B(x,t)u(t),\quad x\in R^n, B\in R^{n\times m}
</math>
| align="right" | <math>(A1)
|}
Per garantire l'esistenza e l'unicità della soluzione è necessario supporre che le funzioni f(.,.) and B(.,.) siano [[continue]] e [[differenziabili]].
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"
|-
Riga 32 ⟶ 30:
\sigma(x)=[\sigma_1(x),\ldots,\sigma_m(x)]^T=0,\quad \sigma(x) \in R^{m}
</math>
| align="right" | <math>(A2)
|}
== Fondamenti teorici ==
I teoremi
=== Primo teorema: stabilità ===
Si consideri la [[funzione di
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"
|-
Riga 49 ⟶ 46:
V(\sigma(x))=\frac{1}{2}\sigma^T(x)\sigma(x)
</math>
| align="right" | <math>(A3)
|}
Per il sistema descritto dalle (A1)
:<math> \frac{dV(\sigma)}{dt}=\sigma^T\dot{\sigma}\;<0 </math>
in un [[intorno]] di
La stabilità è riferita alla superficie di ''sliding'', che rappresenta anche il riferimento per il sistema, dunque questo teorema permette di valutare se il sistema può raggiungere e permanere sulla superficie.
Riga 59 ⟶ 56:
=== Secondo teorema: regione di attrattività ===
Per il sistema descritto dalle (A1)
:<math> \sigma\;=\;\{x:\sigma^T(x)\dot{\sigma}(x)\;<0\;\forall t\}</math>
=== Terzo teorema: dinamica sulla superficie di ''sliding'' ===
Se la matrice :<math> \frac{\partial\sigma}{\partial{x}}B </math>
Si può dimostrare che la dinamica sulla superficie di ''sliding'' è indipendente dal [[campo vettoriale]] del sistema e
== Progettazione della legge di controllo ==
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"
|-
Riga 77 ⟶ 75:
\sigma(x)\;=\;s_1x_1+s_2x_2+\ldots+s_{n-1}x_{n-1}+x_n
</math>
| align="right" | <math>(A4)
|}
Derivando la funzione di
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" width="100%"
|-
Riga 88 ⟶ 86:
&=& \sigma(x)^T\frac{\partial{\sigma(x)}}{\partial{x}}(f(x,t)x+B(x,t)u) \end{matrix}
</math>
| align="right" | <math>(A5)
|}
A questo punto, per il secondo teorema, è necessario scegliere un ingresso di controllo che garantisca la condizione di stabilità.
:<math>u(x,t)=\left\{\begin{matrix} u^+(x), & \mbox{for}\;\sigma\;>0 \\ u^-(x),& \mbox{for}\;\sigma\;<0\end{matrix}\right.</math>
ovvero
:<math>u(x,t)= u(x)sign(\sigma)</math>
Si nota come questa legge di controllo presenti una discontinuità di prima specie nel punto 0 data dalla funzione segno. Questa discontinuità comporta un problema teorico e uno pratico. Il problema teorico è dato dalla soluzione dell'equazione differenziale perché condizione sufficiente, ma non necessaria per la soluzione dell'equazione differenziale è data dalla continuità della funzione. Il problema pratico è dato dal fatto che le ripetute discontinuità nello sforzo di controllo generano il cosiddetto "chattering" ovvero un comportamento a zig-zag dell'uscita del controllore che si ripercuote sullo stato del sistema. Per ovviare a questi problemi si utilizza la funzione tangente iperbolica al posto della funzione segno.
==Note==
<references/>
== Bibliografia ==
*{{
|
|
|
|
|
|
}}
*{{
|
|
|
|
|
|
}}
*{{
|
|
|
|
|
|
}}
{{Portale|Controlli automatici}}
[[Categoria:
|