Calotta: differenze tra le versioni
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{{Nota disambigua|descrizione=la voce riguardante l'associazione degli ufficiali subalterni di un reggimento nelle forze armate italiane|titolo=Calotta (associazione militare)}}
{{Nota disambigua|il copricapo usato nella [[pallanuoto]]|Cuffia da pallanuoto}}
Si dice '''calotta sferica''' ciascuna delle parti in cui una [[sfera]] è suddivisa da un piano secante. Se il piano secante passa per un [[diametro]] della sfera le due parti si dicono [[emisferi]]. La sua altezza è data dalla parte del diametro compresa tra la base e la superficie sferica. Il vertice è il punto in cui tale diametro incontra la superficie sferica. ▼
[[File:Spherical Cap.svg|thumb|right|Due calotte sferiche generate da un piano secante una sfera. Sono evidenziate le dimensioni caratteristiche della calotta minore]]
▲
Il [[cerchio]] delimitato dalla sfera e dal piano secante è detto ''base'' della calotta. Il [[raggio (geometria)|raggio]] passante per il centro della base è un [[asse di simmetria]] per la calotta, e incontra la calotta stessa in un punto detto ''vertice''; la parte di raggio compresa tra la base e il vertice è detta ''altezza'' della calotta.
==Voci correlate==▼
*[[Sfera]]▼
== Formule ==
*[[Geometria sferica]]▼
=== Superficie ===
L'area della [[superficie (matematica)|superficie]] della calotta sferica si ottiene dal prodotto della lunghezza della circonferenza massima della sfera a cui appartiene per la sua altezza:
:<math>S = 2 \pi r h,</math>
dove <math>r</math> e <math>h</math> sono il raggio della sfera e l'altezza della calotta sferica. Se <math>\Omega</math> è l'[[angolo solido]] sotteso dalla calotta, la superficie si può esprimere anche come:
:<math>S = \Omega r^2.</math>
Se si introduce l'apertura <math>\alpha</math> del cono sotteso dalla calotta sferica (confrontare [[angolo solido]]) si ottengono le notevoli relazioni:
:<math>h = r \left(1-\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right),</math>
:<math>\Omega = 2 \pi \left(1-\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right).</math>
=== Volume ===
Il volume della calotta sferica è dato da
:<math>V = \pi h^2 \left( r - \frac{h}{3} \right),</math>
oppure da
:<math>V = \frac{\pi h}{6} (3a^2 + h^2).</math>
La relazione tra l'altezza <math>h</math>, il raggio di base della calotta <math>a</math> e il raggio della sfera <math>r</math> è data da:
:<math>h = r \pm \sqrt{r^2 - a^2},</math>
:<math>r = \frac {a^2 + h^2}{2h},</math>
dove il segno positivo e negativo della formula corrispondono alle altezze delle due calotte generate da un singolo piano secante.
==== Dimostrazione ====
Fissando un sistema di coordinate cartesiane con origine nel centro della sfera e asse <math>z</math> passante per l'altezza <math>h</math> della calotta, il volume è dato dall'integrale triplo dell'unità sul dominio <math>E=\{ (x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \ | \ r-h\le z\le \sqrt{r^2-x^2-y^2}, 0\le x^2+y^2\le a^2\}</math>:
:<math>V = \iiint _E 1 \ dx \ dy \ dz=
\iint_D \left( \int_{z=(r-h)}^{\sqrt{r^2-x^2-y^2}} 1 \ dz \right)dx \ dy=
\iint_D \left( \sqrt{r^2-x^2-y^2}-r+h \right)dx \ dy</math>
dove <math>D=\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2| 0\le x^2+y^2\le a^2 \}.</math>
Passando alle coordinate polari, si ha:
:<math>T=\{ (\rho,\theta)\in \mathbb{R}^2| 0\le \rho^2\le a^2, 0\le\theta\le 2\pi \}</math>
:<math>V =\iint_T \left( \sqrt{r^2-\rho^2}-\rho+h \right)\rho \ d\rho \ d\theta=
2 \pi \int_{\rho=0}^a \left( \sqrt{r^2-\rho^2}-\rho+h \right) \rho \ d\rho</math>
Ricordando che <math>a=2 \sqrt{2rh-h^2}</math>, si ha la tesi:
:<math>V =\pi h^2 \left(r-\frac{h}{3}\right).</math>
▲== Voci correlate ==
* [[Arco di circonferenza]]
▲* [[Geometria sferica]]
* [[Segmento circolare]]
▲* [[Sfera]]
* [[Sferometro]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto|wikt=calotta}}
== Collegamenti esterni ==
* {{cita web|http://www.math.it/formulario/parti_sfera.htm|Formulario della sfera}}
{{portale|matematica}}
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