Quadrivettore: differenze tra le versioni

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NelloIn [[Spaziorelatività di Minkowskiristretta]], unil '''quadrivettore''', (o '''tetravettore'')', èrappresentato da una quadrupla di valori <math>\mathbf [{A}^{0},{A}^{1},{A}^{2},{A}^{3}]</math> cheè nelleun trasformazionivettore di coordinate tra due [[riferimento inerziale|riferimenti inerziali]] rispetta ledello [[trasformazionispaziotempo di LorentzMinkowski]]. Il componente di indice 0 si dice di natura temporale, quelli rimanenti di natura spaziale.<br>

La metrica dello spazio di Minkowski definisce il modulo quadratico di un quadrivettore come il numero <math>\mathbf {{A}^{0}}^{2}-{{A}^{1}}^{2}-{{A}^{2}}^{2}-{{A}^{3}}^{2}</math>; il modulo di un quadrivettore è per definizione [[Invariante di Lorentz|invariante per trasformazioni di Lorentz]], ovverosia è uno scalare.<br>

Nelle trasformazioni di coordinate tra due [[sistemi di riferimento inerziali]] il quadrivettore rispetta le [[trasformazioni di Lorentz]] e le sue componenti si trasformano rispetto alla base standard dello spaziotempo di Minkowski come la differenza tra le rispettive coordinate spaziali e temporali. L'insieme delle rotazioni, traslazioni e cambi di coordinate tra due sistemi di riferimento inerziali alle quali sono soggetti i quadrivettori è il [[gruppo di Poincaré]].

Il [[raggio vettore]] che congiunge l'origine di un sistema di riferimento ad un evento qualsiasi dello spazio-tempo è l'esempio più elementare di quadrivettore; le sue componenti sono le coordinate nello spazio-tempo dell'evento in questione, cioè <math>\mathbf [ct,x,y,z]</math>.

In genere i quadrivettori sono indicati in modo più economico e conveniente utilizzando la loro generica coordinata <math>\mathbf {A}^{i}</math> (possono essere usati indici latini o greci; esistono due convenzioni opposte secondo cui l'indice latino assume i valori 0,1,2,3 e quello greco solo i valori "spaziali" 1,2,3, oppure viceversa).<br>

==Definizione==

Gli indici in alto indicano che il quadrivettore è espresso nella sua forma controvariante; un quadrivettore controvariante è definito come una quaterna di valori che trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, come le coordinate di un evento, cioè secondo le trasformazioni di Lorentz. Contraendo l'indice con uno degli indici del [[tensore metrico]] <math>\mathbf g</math> si ottiene l'espressione covariante del quadrivettore:<br>

<math>\mathbf {A}_{i}=\sum_{j=0}^{3}{g}_{ij}{A}^{j}={g}_{ij}{A}^{j}</math><br>

Un quadrivettore è una quadrupla di valori:

(nello scrivere l'ultimo termine si è usata la convenzione di Einstein che prevede la somma sugli indici ripetuti; in questa somma j assume i valori da 0 a 3). Un quadrivettore controvariante non trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz bensì come la derivata di uno scalare: se <math>\mathbf s</math> è un invariante per trasformazioni di Lorentz, <math>\mathbf {A}_{i}</math> ha le stesse leggi di trasformazione di <math>\mathbf \frac{ds}{d{x}^{i}}</math>; la particolare forma del tensore metrico in [[relatività ristretta]] fornisce una facile regola per esprimere le componenti controvarianti di un quadrivettore in funzione di quelle covarianti, ovvero <math>\mathbf [{A}^{0},-{A}^{1},-{A}^{2},-{A}^{3}]</math>: nel passare dalla forma controvariante di un vettore alla sua forma covariante basta cambiare di segno le componenti spaziali.<br>

Il prodotto scalare fra quadrivettori (controvarianti) tramite la [[metrica di Minkowski]] può così essere scritto in forma semplificata come prodotto scalare euclideo fra un vettore covariante e uno controvariante:<br>

:<math> \mathbf{X} <A,B>:= \sum_{ileft(X^0,j=0} X^{3}{A}1, X^{i}{g}_{ij}{B}2, X^{j}={A}^{i}{g}_{ij}{B}^{j}={A}^{i}{B}_{i}3 \right) = \sum_{i=0}^{3}{A}^{i}{B}_{i}left(ct, x, y, z \right) </math>.

che nella base standard dello spazio-tempo Minkowski rappresenta un ''evento''. I quattro valori sono le coordinate nello spazio e nel tempo dell'evento, in particolare <math>\mu </math>&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3, sono le componenti spaziali, e ''c'' è la [[velocità della luce]].

Il fatto che <math> X^0 = ct</math> garantisce inoltre che le componenti abbiano la stessa [[unità di misura]].<ref>Jean-Bernard Zuber & Claude Itzykson, ''Quantum Field Theory'', pg 5 , ISBN 0-07-032071-3</ref><ref>[[Charles W. Misner]], [[Kip Thorne|Kip S. Thorne]] & [[John Archibald Wheeler|John A. Wheeler]],''Gravitation'', pg 51, ISBN 0-7167-0344-0</ref><ref>[[George Sterman]], ''An Introduction to Quantum Field Theory'', pg 4 , ISBN 0-521-31132-2</ref>

Il quadrivettore spostamento:

:<math> \Delta \mathbf{X}:= \left(c\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z \right) </math>

è la distanza tra due punti dello spaziotempo.

Il raggio vettore che congiunge l'origine di un [[sistema di riferimento]] ad un evento qualsiasi dello spazio-tempo è l'esempio più elementare di quadrivettore; le sue componenti sono le coordinate nello [[spazio-tempo]] dell'evento in questione, cioè <math>(ct,x,y,z)</math>.

In genere i quadrivettori sono indicati in modo più economico e conveniente utilizzando la loro generica coordinata <math>{A}^{i}</math> <ref>Possono essere usati indici latini o greci; esistono due convenzioni opposte secondo cui l'indice greco assume i valori 0,1,2,3 e quello latino solo i valori "spaziali" 1,2,3, oppure viceversa.</ref>.

==Covarianza e controvarianza di un quadrivettore==

{{vedi anche|Covarianza e controvarianza}}

Gli indici in alto indicano che il quadrivettore è espresso nella sua forma controvariante: un quadrivettore controvariante è definito come una quaterna di valori che trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, come le coordinate di un evento, cioè secondo le [[trasformazioni di Lorentz]]. Contraendo l'indice con uno degli indici del [[tensore metrico]] <math>g_{\mu \nu}</math> si ottiene l'espressione covariante del quadrivettore:

:<math>{A}_{\mu}=\sum_{\nu=0}^{3}{g}_{\mu \nu}{A}^{\nu}={g}_{\mu \nu}{A}^{\nu}</math>

dove nell'ultimo termine si è usata la [[notazione di Einstein|convenzione di Einstein]] che prevede la somma implicita sugli indici ripetuti; in questa somma <math>\nu</math> assume i valori da 0 a 3. L'operazione appena eseguita si chiama [[Innalzamento e abbassamento degli indici|innalzamento o abbassamento degli indici]] ed è in realtà dovuta alle relazioni tra lo [[spazio tangente]] e il suo [[spazio duale]], lo [[spazio cotangente]].

Volendo esprimere l'uguaglianza in termini matriciali, possiamo considerare <math>A_\mu</math> e <math>A^\mu</math> le componenti di due vettori colonna e <math>g_{\mu \nu}</math> le componenti di una matrice 4 <math>\times</math> 4 che rappresenta un'applicazione lineare:

:<math>\begin{pmatrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}

g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03} \\

g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13} \\

g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23} \\

g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33} \\

\end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix}</math>

La particolare forma (diagonale) del tensore metrico in [[relatività ristretta]] fornisce una facile regola per esprimere le componenti controvarianti di un quadrivettore in funzione di quelle covarianti, ovvero:

:<math>A_{\mu}=g_{\mu \nu} A^{\nu}= g_{\mu \mu} A^{\mu} </math> con <math> g_{\mu \mu} = \begin{cases}

1 &\text{se } \mu=0 \\

-1 &\text{se } \mu=1,2,3

\end{cases}</math>

oppure, in forma matriciale:

:<math>\begin{pmatrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & -1 \\

\end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix} =

\begin{pmatrix} A^0 \\ -A^1 \\ -A^2 \\ -A^3 \end{pmatrix}

</math>

Nel passare dalla forma controvariante di un vettore alla sua forma covariante basta quindi cambiare di segno le componenti spaziali. Un quadrivettore covariante non trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz, bensì come la derivate di una funzione scalare: se <math>f(x^\mu)</math> è una funzione scalare, <math>{A}_{\mu}</math> ha le stesse leggi di trasformazione di <math> \frac{\partial f}{\partial{x}^{\mu}}</math>.

==Prodotto scalare==

{{vedi anche|Prodotto scalare}}

Il [[prodotto scalare]] fra quadrivettori può essere scritto tramite il tensore metrico in forma semplificata come prodotto scalare euclideo fra un vettore covariante e uno controvariante:

:<math> \langle \mathbf U , \mathbf V \rangle =\sum_{\mu=0}^3 \sum_{\nu=0}^{3}{g}_{\mu \nu} {U}^{\mu} {V}^{\nu}={U}^{\mu}{g}_{\mu \nu}{V}^{\nu}={U}^{\mu}{V}_{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}{U}^{\mu}{V}_{\mu}</math>.

In modo equivalente, usando la [[notazione di Einstein]]:

:<math>

\mathbf{U \cdot V}

= g_{\mu \nu} U^{\mu} V^{\nu}

= \begin{pmatrix}U^0 & U^1 & U^2 & U^3 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix}V^0 \\ V^1 \\ V^2 \\ V^3 \end{pmatrix}

= U^0 V^0 - U^1 V^1 - U^2 V^2 - U^3 V^3

</math>

Il prodotto scalare così definito è invariante sotto cambio di coordinate, e può essere scritto come:

:<math>\mathbf{U \cdot V} = U^*(\mathbf{V}) = U{_\nu}V^{\nu} </math>

==Norma==

{{vedi anche|Norma (matematica)}}

Nello [[spazio di Minkowski]] la norma quadratica di un quadrivettore è definita come:<ref>Qui si usa per la metrica la convenzione dei segni (-,+,+,+).</ref>

:<math>\left|\mathbf A \right|^2 =-{{A}^{0}}^{2}+{{A}^{1}}^{2}+{{A}^{2}}^{2}+{{A}^{3}}^{2}</math>

Il modulo di un quadrivettore è per definizione [[Invariante di Lorentz|invariante per trasformazioni di Lorentz]], cioè è uno scalare.

==Genere del quadrivettore==

Dato un quadrivettore <math>x^{\mu} = (ct, x^1, x^2, x^3)\;</math>, il suo modulo lorentziano è definito da:

Diversamente dal caso euclideo, si possono distinguere tre tipi diversi di vettori:

* di '''genere spazio''' se <math>\mathbf |A|^2>0</math>;

* di '''genere tempo''' se :<math>\mathbf |Ax|^2<0=g_{\mu \nu}x^{\mu}x^{\nu}</math>;

* '''nulli''' o '''isotropi''' o di '''genere luce''', se <math>\mathbf|A|^2=0</math>;

con la [[convenzione di Einstein]] sulla somma degli indici ripetuti, e dove la matrice <math>g_{\mu\nu}</math> è definita da:

:<math> g_{\mu \nu} = \begin{cases}

1 &\mbox{se } \mu = \nu = 0; \\

-1 &\mbox{se } \mu = \nu = 1, 2, 3; \\

0 &\mbox{altrimenti.}

\end{cases}

</math>

Diversamente dal caso euclideo, pertanto, si possono distinguere tre tipi diversi di vettori:

* Un quadrivettore è detto ''quadrivettore space-like'' o di ''tipo spazio'' se <math>\mathbf |x|^2<0</math>.

* Un quadrivettore è detto ''quadrivettore time-like'' o di ''tipo tempo'' se <math>\mathbf |x|^2>0</math>.

* Un quadrivettore è detto ''nullo'', ''isotropo'' o di ''genere luce'' se <math>\mathbf|x|^2=0</math>.

Il genere è invariante rispetto alle [[trasformazioni di Lorentz]].

==Note==

<references/>

==Bibliografia==

* {{cita libro |autore=[[Richard Feynman]]|titolo=[[La fisica di Feynman]]|città=Bologna|editore=Zanichelli|anno=2001|ISBN=978-88-08-16782-8}}:

** Vol I, par. 15-7: Quadrivettori

** Vol I, par. 17-4: Ancora sui quadrivettori

** Vol I, par. 17-5: Algebra dei quadrivettori

** Vol I, par. 17-5: Algebra dei quadrivettori

** Vol I, par. 34-7: Il quadrivettore ω, k

** Vol II, cap. 25: L'elettrodinamica nella notazione relativistica

** Vol II, cap. 26: Trasformazione di Lorentz dei campi

* {{Cita libro |titolo=Classical Electrodynamics |url=https://archive.org/details/classicalelectro0000jack_e8g9 |autore=John D Jackson |edizione=3rd Edition |editore=Wiley |anno=1999 |isbn=0-471-30932-X |cid= Jackson |lingua=en }}

== Voci correlate ==

* [[Altrove assoluto]]

*[[Spazio-tempo di Minkowski]]

* [[Quadriaccelerazione]]

*[[Altrove assoluto]]

* [[QuadrivelocitàQuadricorrente]]

* [[Quadrigradiente]]

{{relatività}}

* [[Quadrimpulso]]

[[Categoria:Teorie relativistiche]]

* [[Quadripotenziale]]

* [[Quadrivelocità]]

* [[Spazio-tempo di Minkowski]]

* [[Trasformazione di Lorentz]]

== Altri progetti ==

{{Interprogetto|wikt=quadrivettore}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|relatività}}

[[Categoria:Quadrivettori| ]]

[[ca:Quadrivector]]

[[cs:Čtyřvektor]]

[[de:Vierervektor]]

[[en:Four-vector]]

[[es:Cuadrivector]]

[[fa:چهاربردار]]

[[fi:Nelivektori]]

[[fr:Quadrivecteur]]

[[he:4-וקטור]]

[[ja:4元ベクトル]]

[[pl:Czterowektor]]

[[pt:Quadrivetor]]

[[ru:4-вектор]]

[[sl:Vektor četverec]]

[[th:เวกเตอร์สี่มิติ]]

[[uk:4-вектор]]

[[vi:Véctơ-4]]

[[zh:四維矢量]]