Sistema non lineare: differenze tra le versioni

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{{F|matematica|luglio 2017}}

In [[matematica]] un '''sistema non lineare''' (talvolta '''nonlineare''') è un [[sistema di equazioni]] in cui almeno una di esse è non [[equazione lineare|lineare]], cioè non esprimibile come [[combinazione lineare]] delle incognite presenti e di una costante. Ad esempio potrebbe contenere equazioni algebriche con almeno un termine di grado diverso da uno, o più in generale dei termini non [[Polinomio|polinomiali]]. In pratica, ogni sistema di equazioni che non sia [[sistema lineare|lineare]] è detto non lineare.

==Esempi di sistemi non lineari==

=== Sistema polinomiale ===

Un sistema è ''polinomiale'' se ogni equazione è un polinomio. In questo caso il '''grado''' del sistema è il prodotto dei gradi dei polinomi, ed il sistema è non lineare precisamente quando ha grado maggiore di uno. Ad esempio, il sistema seguente ha due equazioni e due incognite, e non è lineare perché ha grado due:

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\right.

</math>

Le soluzioni di un sistema polinomiale dipendono fortemente dal [[campo (matematica)|campo]] in cui vengono considerate. Generalmente determinare le soluzioni è impossibile. Teoremi profondi di [[geometria algebrica]] (generalizzazioni del [[teorema di Bézout]]) garantiscono il fatto seguente:

:''Il numero di soluzioni ([[numero reale|reali]] o [[numero complesso|complesse]]) di un sistema, se finito, non è superiore al grado del sistema.''

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===Sistema di un'equazione in una variabile===

Questo sistema molto semplice è in realtarealtà una sola equazione in una variabile.

:<math>f(x) = 0</math>

Il sistema è lineare se e solo se la funzione ''f'' è lineare, ovvero della forma ''f''(''x'') = a''x'' + ''b'' con ''a'' e ''b'' nel dominio opportuno. In tutti gli altri casi il sistema non è lineare, come negli esempi seguenti:

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o in notazione vettoriale compatta come:

:<math>F(x_1,\ldots,x_n) = 0</math>

dove stavolta <math>0</math> è il [[vettore nullo]] dello [[spazio vettoriale]] '''K'''^''m'' (dove '''K''' è il campo in cui sono studiate le soluzioni, ad esempio '''R''' o '''C''') e ''F'' è una funzione da '''K'''^''n'' in '''K'''^''m''.

Un sistema non lineare è, ad esempio:

:<math>\left\{\begin{matrix}e^x + y=0 \\

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==Linearizzazione di sistemi non lineari==

La quasi totalità dei sistemi fisici è non lineare,: questo rende la ricerca di [[soluzione analitica|soluzioni analitiche]] molto difficile e a volte impossibile. È solitamente possibile trasformare un problema non lineare in un problema localmente lineare, cioè trovare un sistema lineare che approssima, entro un certo raggio, il sistema non lineare originale.

[[Immagine:Linearizzazione locale.png|200px|thumb|linearizzazione della funzione e^x]]

A questo scopo si utilizzano vari tipi di [[espansione in serie]], in particola l'espansione in [[serie di Taylor]] (e l'analogo multidimensionale) e l'espansione in [[serie di Fourier]]. Nella figura a destra si vede l'espansione al primo ordine in serie di Taylor della funzione esponenziale.

[[Immagine:Linearizzazione locale.png|200px|thumb|linearizzazione della funzione e^x]]

A questo scopo si utilizzano vari tipi di [[espansione in [[serie (matematica)|serie]], in particolaparticolare l'espansione in [[serie di Taylor]] (e l'analogo multidimensionale) e l'espansione in [[serie di Fourier]]. Nella figura a destra si vede l'espansione al primo ordine in serie di Taylor della [[funzione esponenziale]].

== Voci correlate ==

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*[[Sistema di equazioni differenziali]]

== Altri progetti ==

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[[categoria: equazioni]]

[[Categoria:Equazioni]]

[[bn:অরৈখিকতা]]

[[de:Nichtlineares System]]

[[en:Nonlinear system]]

[[es:No linealidad]]

[[fa:رفتارهای غیر خطی]]

[[fi:Epälineaarinen]]

[[fr:Non-linéarité]]

[[gl:Nonlinearidade]]

[[he:מערכת לא לינארית]]

[[hi:अरेखीय तंत्र]]

[[id:Sistem nonlinier]]

[[ja:非線形システム論]]

[[ko:비선형]]

[[nl:Niet-lineair systeem]]

[[no:Ulineær]]

[[pt:Sistemas dinâmicos não-lineares]]

[[ru:Нелинейная система]]

[[sv:Icke-linjär]]

[[zh:非線性]]