Criterio di Sylvester: differenze tra le versioni
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Stabilisce che una [[matrice hermitiana]] è definita positiva [[se e solo se]] tutti i [[Minore (algebra lineare)|minori principali]] di guida sono positivi.
== Il criterio ==
Sia <math> A </math> una matrice simmetrica [[numeri reali|reale]] di dimensione <math>
Il criterio di Sylvester asserisce che la matrice <math> A </math> è [[Matrice definita positiva|definita positiva]] se e solo se <math> d_i > 0 </math> per ogni <math> i </math>.<ref>''"Matematica Numerica"'', Quarteroni, Sacco, Saleri, edizioni Springer, seconda edizione, §1.12</ref>
Esiste un analogo criterio per testare le matrici definite negative
== Dimostrazione==
La dimostrazione nel seguito è valida per [[matrice hermitiana|matrici hermitiane]] non singolari con coefficienti in <math>\mathbb{R}</math>, ovvero [[matrice simmetrica|matrici simmetriche]] non singolari.
Una matrice simmetrica <math>A</math> è [[Matrice definita positiva|definita positiva]] se tutti i suoi [[Autovettore e autovalore|autovalori]] <math>\lambda</math> sono maggiori di zero (<math>\lambda > 0</math>), mentre è detta ''definita non-negativa'' se <math>\lambda \ge 0</math>.
* Teorema 1: Una matrice simmetrica <math>A</math> possiede autovalori non negativi se e solo se può essere fattorizzata come <math>A = B^TB</math>, e tutti gli autovalori sono positivi se e solo se <math>B</math> è non singolare.
:Per dimostrare l'implicazione diretta, si nota che se <math>A \in \mathbb{R}^{n \times n}</math> è simmetrica allora per il [[teorema spettrale]] è [[Diagonalizzabilità|diagonalizzabile]]: esiste una [[matrice ortogonale]] <math>P</math> tale che <math>A=PDP^T</math>, dove <math>D = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots , \lambda_n)</math> è una [[matrice diagonale]] reale con sulla diagonale gli autovalori di <math>A</math> (che [[Similitudine fra matrici|sono gli stessi]] di <math>D</math>), e le colonne di <math>P</math> sono gli autovettori di <math>A</math>. Se <math>\lambda_i \ge 0</math> per ogni ''i'' allora <math>D^{1/2}</math> esiste, e si ha:
:<math>A=PDP^T=PD^{1/2}D^{1/2}P^T = B^T B</math>
:per <math>B=D^{1/2}P^T</math>, dove <math>\lambda_i \ge 0</math> per ogni ''i'' se <math>B</math> è non singolare.
:Per ottenere l'implicazione inversa, si nota che se <math>A</math> può essere fattorizzata come <math>A=B^T B</math> allora tutti gli autovalori di <math>A</math> sono non negativi perché per ogni coppia <math>(\lambda,x)</math> si ha:
:<math>\lambda = {\frac{x^TAx}{x^Tx}}={\frac{x^TB^TBx}{x^Tx}}={\frac{||Bx||^2}{||x||^2}} \ge 0</math>
* Teorema 2 ([[decomposizione di Cholesky]]): La matrice simmetrica <math>A</math> possiede [[Pivot (matematica)|pivot]] positivi se e solo se può essere fattorizzata come <math>A = R^T R</math>, dove <math>R</math> è una [[Matrice triangolare|matrice triangolare superiore]] con gli elementi della diagonale positivi. Si tratta della decomposizione di Cholesky di <math>A</math>, e <math>R</math> è il fattore di Cholesky di <math>A</math>.
:Per dimostrare l'implicazione diretta, se <math>A</math> possiede pivot positivi (quindi è possibile una [[decomposizione LU]]) allora è possibile una fattorizzazione del tipo <math>A=LDU=LDL^T</math> in cui <math>D=\mathrm{diag}(u_{11}, u_{22}, \dots , u_{nn})</math> è la matrice diagonale contenente i pivot <math>u_{ii}>0</math>:
: <math>A =LU'= \begin{bmatrix}
1 & 0 & . & 0\\
l_{12} & 1 & . & 0 \\
. & . & . & . \\
l_{1n} & l_{2n} & . & 1 \end{bmatrix}</math> x <math>\begin{bmatrix}
u_{11} & u_{12} & . & u_{1n}\\
0 & u_{22} & . & u_{2n} \\
. & . & . & . \\
0 & 0 & . & u_{nn} \end{bmatrix} =LDU= \begin{bmatrix}
1 & 0 & . & 0\\
l_{12} & 1 & . & 0 \\
. & . & . & . \\
l_{1n} & l_{2n} & . & 1 \end{bmatrix}</math> x <math>\begin{bmatrix}
u_{11} & 0 & . & 0\\
0 & u_{22} & . & 0 \\
. & . & . & . \\
0 & 0 & . & u_{nn} \end{bmatrix}</math> x <math>\begin{bmatrix}
1 & u_{12}/u_{11} & . & u_{1n}/u_{11}\\
0 & 1 & . & u_{2n}/u_{22} \\
. & . & . & . \\
0 & 0 & . & 1 \end{bmatrix}</math>
:Per l'unicità della decomposizione <math>LDU</math> così effettuata, la simmetria di <math>A</math> produce il fatto che <math>U=L^T</math>, di conseguenza <math>A=LDU=LDL^T</math>. Ponendo <math>R=D^{1/2}</math>, dove <math>D^{1/2}=\mathrm{diag}(\scriptstyle\sqrt{u_{11}},\scriptstyle\sqrt{u_{22}},\dots,\scriptstyle\sqrt{u_{11}})</math>, la simmetria di <math>A</math> conduce alla fattorizzazione desiderata in quanto:
:<math>A=LD^{1/2}D^{1/2}L^T=R^T R</math>
:e <math>R</math> è una matrice triangolare superiore con gli elementi della diagonale positivi.
:Per ottenere l'implicazione inversa, se <math>A=RR^T</math> con <math>R</math> una matrice triangolare inferiore, allora la fattorizzazione è:
: <math>R =LD= \begin{bmatrix}
1 & 0 & . & 0\\
r_{12}/r_{11} & 1 & . & 0 \\
. & . & . & . \\
r_{1n}/r_{11} & r_{2n}/r_{22} & . & 1 \end{bmatrix}</math> x <math>\begin{bmatrix}
r_{11} & 0 & . & 0\\
0 & r_{22} & . & 0 \\
. & . & . & . \\
0 & 0 & . & r_{nn} \end{bmatrix}</math>
:dove <math>L</math> è triangolare inferiore con una diagonale di tutti 1 e <math>D</math> è una matrice diagonale la cui diagonale è composta dagli elementi <math>r_{ii} </math>. Di conseguenza, <math>A=LD^2 L^T</math> è la fattorizzazione <math>LDU</math> di <math>A</math>, e così i pivot devono essere positivi perché sono la diagonale di <math>D^2</math>.
* Teorema 3: Sia <math>A_k</math> la principale sottomatrice di guida di dimensione <math>k \times k</math> di <math>A_{n \times n}</math>. Se <math>A</math> posside una fattorizzazione LU allora <math>\det (A_k)=u_{11} \cdot u_{22} \cdot \dots u_{kk}</math> e il ''k''-esimo pivot è <math>u_{kk} = \det (A_1)=a_{11}</math> per <math>k=1</math>, mentre è <math>u_{kk} = \det (A_k) / \det (A_{k-1})=a_{11}</math> per <math>k=2,3, \dots, n</math>.
Combinando i teoremi 1, 2 e 3 si conclude che:
* Se la matrice simmetrica <math>A</math> può essere fattorizzata come <math>A=R^TR</math>, dove <math>R</math> è triangolare superiore la cui diagonale è composta da elementi positivi, allora tutti i pivot di <math>A</math> sono positivi per il teorema 2, e quindi tutti i [[Minore (algebra lineare)|minori principali]] di guida di <math>A</math> sono positivi per il teorema 3.
* Se la matrice simmetrica non singolare <math>A</math> può essere fattorizzata come <math>A=B^TB</math> allora la [[decomposizione QR]] <math>B=QR</math> (legata al [[Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt|procedimento di Gram-Schmidt]]) di <math>B</math> produce <math>A=B^TB=R^TQ^TQR=R^TR</math>, dove <math>Q</math> è una [[matrice ortogonale]] e <math>R</math> è triangolare superiore. Si nota che questo enunciato richiede la non singolarità di <math>A</math>.
Dai risultati ottenuti, in particolare dalle due precedenti osservazioni e dal teorema 1, segue che se una matrice reale simmetrica <math>A</math> è definita positiva allora possiede una fattorizzazione della forma <math>A=B^TB</math>, dove <math>B</math> è non singolare. L'espressione <math>A=B^TB</math> implica che <math>A</math> può essere fattorizzata come <math>A=R^TR</math>, dove <math>R</math> è una matrice triangolare superiore la cui diagonale è composta da elementi maggiori di zero. In altre parole, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se tutti i suoi minori principali di guida sono positivi. La validità della condizione necessaria e sufficiente è automatica in quanto è stata mostrata per ognuno dei teoremi enunciati.
== Esempio ==
La matrice:
:<math>\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} </math>
è definita positiva, in quanto i determinanti:
:<math>\det (2) = 2 \qquad \det \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} = 6 \qquad \det \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} =1 </math>
sono tutti positivi.
== Note ==
<references/>
==Bibliografia==
* {{en}} Ayres, F. Jr. ''Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices''. New York: Schaum, p. 134, 1962.
* {{en}} Golub, G. H. and Van Loan, C. F. "Positive Definite Systems." §4.2 in ''Matrix Computations, 3rd ed.'' Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, pp. 140–141, 1996.
== Voci correlate ==
* [[Decomposizione di Cholesky]]
* [[Determinante (algebra)|Determinante]]
* [[Matrice definita positiva]]
* [[Matrice hermitiana]]
* [[Matrice simmetrica]]
* [[Minore (algebra lineare)]]
* [[Segnatura (algebra lineare)]]
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Matrici]]
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