Acustica non lineare: differenze tra le versioni

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L<nowiki>'</nowiki>'''acustica non lineare''' è una branca dell'[[acustica]] che studia i fenomeni dovuti ad un termine quadratico (non [[equazione differenziale lineare|lineari]]) nell'equazione che descrive le [[onda sonora|onde sonore]].

{{W|fisica|febbraio 2009}}

==Introduzione==

Quando un'[[onda acustica]] si propaga attraverso un mezzo genera una perturbazione di natura oscillatoria che si traduce in una variazione locale della [[pressione]] nel mezzo. '''La velocità di propagazione''' della perturbazione, [[velocità del suono]], è funzione della '''pressione'''. In particolare, la velocità del suono aumenta con l'aumentare della pressione. Le onde di compressione (compression), picchi positivi, si propagano quindi a velocità maggiore delle onde di rarefazione (rarefaction), valli, e questo effetto produce una distorsione della perturbazione, che cresce con la profondità di penetrazione. Questa modifica coincide spettralmente con il manifestarsi di componenti '''armoniche'''.

La necessità di un modello non lineare deriva dal fatto che la [[velocità del suono|velocità di propagazione]] di un'onda sonora è funzione della [[pressione]]. In particolare, la velocità del suono aumenta con l'aumentare della pressione, quindi le onde di compressione si propagano a velocità maggiore delle onde di rarefazione, e questo effetto produce una distorsione della perturbazione che cresce con la profondità di penetrazione. Lo spettro dell'onda viene modificato con il manifestarsi di componenti [[armonica (fisica)|armoniche successive]].

Per fare un esempio intuitivo, supponiamo di generare un'[[onda piana]] sinusoidale: durante la sua propagazione i picchi viaggeranno ad una velocità più elevata delle valli, producendo una distorsione del segnale che, da '''sinusoidale''', tenderà ad un segnale di tipo '''dente di sega''', generando quindi componenti armoniche originariamente non presenti. Questo fenomeno pertanto necessita di un modello fortemente non lineare per la propria descrizione, dal momento che, attraverso un modello lineare della propagazione, non potremmo spiegare la nascita di componenti frequenziali originariamente non presenti.

Per fare un esempio intuitivo, supponiamo di generare un'[[onda piana]] sinusoidale: durante la sua propagazione i picchi viaggeranno a una velocità più elevata delle valli, producendo una distorsione del segnale che, da sinusoidale, tenderà ad un segnale di tipo [[dente di sega]], generando quindi componenti armoniche originariamente non presenti. Questo fenomeno pertanto necessita di un modello fortemente non lineare per la propria descrizione, dal momento che non è possibile spiegare la nascita di componenti in frequenza originariamente non presenti con un modello lineare. Matematicamente la non linearità è esplicita nella presenza di un termine quadratico nell'equazione d'onda.

==Equazioni fondamentali ==

Le equazioni che definiscono le relazioni tra la pressione, la velocità delle particelle e le grandezze che esprimono il comportamento di un dato mezzo quando immerso in un campo acustico sono forme particolari rispettivamente del [[bilancio della quantità di moto]] e del [[bilancio di entalpia]]:

:<math>\nabla p +\rho \frac{D \vec u}{Dt} = \rho g </math>

In questo paragrafo sono introdotte le equazioni che definiscono le relazioni tra la pressione, la velocità delle particelle e le grandezze che esprimono il comportamento di un dato mezzo quando immerso in un campo acustico.

# :<math>\nabla \partial_{k}cdot Pu + \rhobeta D_\frac{tDp} v_{kDt}= f_{k}q </math>,

# <math> \partial_{k} v_{k} +\kappa D_{t} P= q </math>,

dove

Dove :

*''p'' è la pressione,

<math> P </math> : rappresenta la pressione espressa in [[Pascal]] <math> Pa </math>,

*''u'' è la [[velocità di deriva]],

*''ρ'' è la [[densità]],

*''β'' è il [[modulo di compressibilità]] espresso in 1/Pa,

*''g'' è il [[campo medio]] espresso in [[metro al secondo quadrato]],

*<math> q </math> è la frequenza di [[sorgente sonora]] in [[Hertz]],

*<math> \nabla </math> rappresenta l'operatore [[nabla]]

*<math> \frac{D}{Dt} </math> rappresenta l'operatore [[derivata materiale]] temporale.

<math> p </math> e <math> \vec u </math> sono quindi le variabili di bilancio del ''campo acustico'', ρ e β definiscono i parametri di trasporto sonoro ed infine <math> \vec a </math> e <math> q </math> definiscono le sorgenti sonore.

<math> v_{k} </math> : rappresenta il vettore velocita' delle particelle espresso in <math> m/s</math>,

==Equazione d'onda, caso lineare ==

<math> \rho </math> : rappresenta la [[densità]] espressa in <math> Kg/m^{3} </math>,

Partendo dalle equazioni fondamentali ed assumendo piccole oscillazioni del valore di pressione attorno al valore di riposo si può derivare l'equazione d'onda per il modello lineare nell'ipotesi di mezzo omogeneo privo di perdite:

<math> \partial^{2}_{k} p -\frac{1}{c^{2}_{0}} \partial^2_{t} p= S </math>

<math> \kappa </math> : rappresenta la [[compressibilità]] espressa in <math> Pa^{-1} </math>,

dove:

<math> f_{k} </math> : rappresenta la densita' di [[forza]] espressa in <math> N/m^{3} </math>,

*<math> q\partial_{t} </math> : rappresenta la densital'operatore diderivata 'density injection rate' espressa in <math> s^{-1} </math>temporale,

*<math> c^{2}_{0} = 1/\rho_{0} k_{0} </math> è la velocità del suono per piccoli segnali,

*<math> S = \partial_{k} f_{k} -\rho_{0} \partial_{t} q </math> descrive la sorgente.

In questo modello la velocità del suono viene considerata costante e così anche la compressibilità e la densità del mezzo all'interno del quale la perturbazione si propaga. In questo modello, si può calcolare un campo all'interno di un mezzo omogeneo senza perdite con un'operazione di [[convoluzione]] della sorgente con la [[funzione di Green]], che è la soluzione dell'equazione d'onda nel momento in cui la sorgente fosse "puntiforme", cioè modellata con una [[delta di Dirac]] spaziale e temporale:

<math> \partial_{k} </math> : rappresenta l'operatore [[gradiente]] nel caso vettoriale oppure una semplice [[derivata]] spaziale nel caso unidimensionale

<math> S= \delta(x) \delta(t) </math>.

<math> D_{t} </math> : rappresenta l'operatore [[derivata sostanziale]].

==Equazione d'onda, caso non lineare ==

<math> P </math> e <math> v_{k} </math> sono quindi le grandezze che definiscono il '''campo acustico''', <math> \rho </math> e <math> k </math> definiscono le caratteristiche del mezzo all'interno del quale il campo e' presente ed infine <math> f_{k} </math> e <math> q </math> definiscono le sorgenti.

partendo dalle equazioni fondamentali si può derivare l'equazione d'onda per il modello non lineare nell'ipotesi di mezzo omogeneo privo di perdite. Questa equazione è anche nota come "[[equazione di Westervelt]]":

<math> \partial^{2}_{k} p - \frac {1}{c^{2}_{0}} \partial^2_{t} p = S - \rho_{0} k^{2}_{0} \beta \partial^{2}_{t} p^{2} </math>.

==Equazione d'onda, caso lineare ==

dove <math> \beta </math> è il "coefficiente di non linearità" dipende dal mezzo e dalla temperatura. Nella tabella seguente sono elencati i valori di questo coefficiente relativi a vari materiali per una temperatura di {{M|20|-|30|ul=°C}}.

Partendo dalle equazioni fondamentali ed assumendo l'ipotesi di piccole oscillazioni del valore di pressione attorno al valore di riposo si puo' derivare l'equazione d'onda che descrive la propagazione per il modello lineare nell'ipotesi di mezzo omogeneo privo di perdite.

{| class="wikitable"

# <math> \partial^{2}_{k} P -\frac{1}{c^{2}_{0}} \partial^2_{t} P= S </math>.

|-

! Materiale

! <math>\beta</math>

|-

| Acqua distillata

| 3.5-3.6

|-

| Acetone

| 5.6-/

|-

| Acqua marina (salinità 3.5 %)

| 3.625-/

|-

| Fegato umano

| /-4.8

|-

| Grasso umano

| 5.605-5.955

|-

| Milza umana

| /-4.9

|}

Sottraendo l'equazione d'onda lineare dall'equazione d'onda non lineare si ottiene

Dove :

<math> \rho_{0} \beta^{2}_{0} \beta \partial^{2}_{t} p^{2} </math>

<math> \partial_{t} </math> : rappresenta l'operatore derivata temporale,

che si può definire "termine non lineare".

<math> c^{2}_{0} = \frac{1}{\rho_{0} \kappa_{0}} </math> : rappresenta la velocita' del suono per piccoli segnali,

L'equazione per la velocità di propagazione può essere [[linearizzazione|linearizzata]] come segue secondo il [[metodo perturbativo]]:

<math> S = \partial_{k} f_{k} -\rho_{0} \partial_{t} q </math> : rappresenta la sorgente.

<math> \delta c = \frac{c_{0}}{\sqrt{1-\frac{1}{\rho_{0} c^{2}_{0}}\frac{B}{A}\ \delta p}} </math>,

In questo modello la velocita' del suono viene considerata '''costante''' e cosi' anche la compressibilita' e la densita' del mezzo all'interno del quale la perturbazione si propaga. Utilizzando questo modello, per calcolare un campo all'interno di un mezzo omogeneo senza perdite bastera' convolvere la sorgete con la [[funzione di Green]] dal momento che questa e' soluzione dell'equazione d'onda nel momento in cui la sorgente fosse modellata come :

dove:

<math> S= \delta(x) \delta(t) </math>,

*<math> \delta p =p-p_{0} </math> è la variazione di pressione rispetto alla pressione di riposo ([[pressione sonora]]),

*<math> B/A = 2(\beta -1) </math> è il termine che tiene di conto della non linearità.

Osservando la formula si può facilmente notare come per variazioni della pressione di riposo molto piccole la velocità di propagazione può considerarsi costante e di conseguenza il modello lineare sarà più che sufficiente. per dare un esempio degli [[Ordine di grandezza|ordini di grandezza]] in gioco la pressione atmosferica al [[livello del mare]] intorno vale 0,1 MPa. presupponendo di osservare la propagazione di un'onda acustica in acqua possiamo ragionevolmente assumere <math> c_{0} = 1500 m/s </math>, <math> \rho_{0} = 1000 kg/m^{3} </math> e <math> \beta = 3.5 </math>. Assumendo questi valori per produrre una variazione della velocità di propagazione dell'1% dovremmo essere in grado di generare una variazione di pressione di circa 9 MPa. È comunque importante notare come la formula sia valida per variazioni di pressione tali da mantenere il termine sotto radice positivo.

Dove:

==Analisi in frequenza==

<math> \delta(x) </math> : rappresenta una delta di dirac spaziale,

[[File:GMP.jpg|thumb|Impulso gaussiano modulato in frequenza in funzione del tempo]] [[File:GMPfreq.jpg|thumb|Impulso gaussiano modulato in frequenza in funzione della frequenza]]

Osservare la dipendenza della velocità di propagazione rispetto al valore della pressione rappresenta una causa del fenomeno, verificabile sperimentalmente, della generazione di armoniche superiori. può essere interessante svolgere anche un'analisi in frequenza dell'equazione di Westerveld.

<math> \delta(t) </math> : rappresenta una [[delta di dirac]] temporale.

Effettuando la [[trasformata di Fourier]] otteniamo infatti

==Equazione d'onda, caso non lineare ==

<math> \partial^{2}_{k} \hat{p}(\omega) + \frac {1}{c^{2}_{0}} \omega^{2} \hat{p}(\omega) = \hat{S}(\omega) + \rho_{0} k^{2}_{0} \beta \omega^2 \hat{p}(\omega)*_{w} \hat{p}(\omega) </math>.

Partendo dalle equazioni fondamentali si puo' derivare l'equazione d'onda che descrive la propagazione per il modello non lineare nell'ipotesi di mezzo omogeneo privo di perdite. Questa e' anche nota come equazione di Westervelt.

dove

# <math> \partial^{2}_{k} P - \frac {1}{c^{2}_{0}} \partial^2_{t} P = S - \rho_{0} \kappa^{2}_{0} \beta \partial^{2}_{t} P^{2} </math>.

*<math> \hat{F}(\omega)=\mathcal{F}[ F ] </math> rappresenta la trasformata di Fourier di <math>F</math>,

Dove :

*<math> \betaomega=2\pi f </math> :e rappresenta<math> il coefficientef di nonlinearita'</math> e varia a secondarappresenta della mezzo.frequenza,

*<math> *_{w} </math> rappresenta l'operatore [[convoluzione]] rispetto alla variabile <math>w</math>.

L'equazione della velocita' di propagazione puo' essere espressa come segue :

Il termine non lineare è quindi proporzionale, tramite una costante che dipende dal mezzo, al prodotto tra <math> \hat{p}(\omega)*_{w}\hat{p}(\omega) </math> e <math>\omega^{2}</math>.

# <math> c = \frac{c_{0}}{\sqrt{1-\frac{1}{\rho_{0} c^{2}_{0}}\frac{B}{A}\ P^{'}}} </math>.

Nelle due figure a lato è rappresentato, nel [[dominio del tempo]] e nel [[dominio della frequenza]], una funzione [[gaussiana]] modulata in frequenza. Questa funzione è di interesse pratico, perché è usata come impulso standard utilizzato per la generazione di immagini [[ecografia|ecografiche]]. Assumendo quindi che tale funzione rappresenti la variazione di pressione è facile intuire come, applicando un integrale di convoluzione, emerge dall'analisi in frequenza la generazione di componenti armoniche.

Dove :

<math> P^{'}=P-P_{0} </math> : raprpesenta la variazione di rpessione rispetto la pressione di riposo,

<math> \frac{B}{A} = 2(\beta -1) </math> : tiene di conto del termine di nonlinearita'.

Osservando la formula si puo' facilmente notare come per variazioni della pressione di riposo molto piccole la velocita' di propagazione puo' considerarsi costante e di conseguenza il modello lineare sara' piu' che sufficiente. Per dare un esempio degli ordini di grandezza in gioco la pressione atmosferica puo' essere considerata al livello del mare intorno 0,1 MPa. Presupponendo di osservare la propagazione di un'onda acustica in acqua possiamo ragionevolmente assumere <math> c_{0} = 1500 m/s </math>, <math> \rho_{0} = 1000 Kg/m^{3} </math> e <math> \beta = 3.5 </math>. Assumendo questi valori per produrre una variazione della velocita' di propagazione dell' 1% dovremmo essere in grado di generare una variazione di pressione di circa 9 MPa. E' comunque importante notare come la formula sia valida per variazioni di pressione tali da mantenere il termine sotto radice positivo.

== Applicazioni ==

[[File:Heart with THI.jpg|thumb|Ecografia di un cuore realizzata con tecniche che sfruttano l'acustica non lineari]][[File:Heart without THI.jpg|thumb|Ecografia di un cuore realizzato con tecniche non convenzionali]]

Negli anni ottanta fu osservato, per le frequenze e le pressioni utilizzate nella generazione di immagini in ambito ecografico, un effetto non lineare cumulativo durante la propagazione di un [[ultrasuono]] attraverso un tessuto. Originariamente considerato un effetto secondario fu invece rivalutato negli anni novanta quando si intuì come poter sfruttare tale distorsione per migliorare la qualità delle immagini ecografiche. L'attuale impiego della teoria non lineare, nota come ''Tissue Harmonic Imaging'', permette di migliorare la risoluzione dell'immagine e di mitigare fenomeni indesiderati come l'echo di clutter e l'effetto di lobi secondari. Un esempio è mostrato nelle figure seguenti. Anche l'applicazione all'audio engineering (studio degli amplificatori e microfoni valvolari) ha recentemente assunto un'importanza molto rilevante nell'ambito dell'acustica non lineare.

== Bibliografia ==

Negli anni 80 fu ossevato, per le frequenze e le pressioni tipicamente utilizzate nella generazione di immagini in ambito ecografico, un effetto non lineare cumulativo durante la propagazione di un ultrasuono attraverso un tessuto. Originariamente considerato un effetto secondario fu invece rivalutato negli anni 90 quando si intui come poter sfruttare tale distorsione per migliorare la qualita' delle immagini ecografiche. L'attuale impiego della teoria acustica non lineare, noto come Tissue Harmonic Imaging, permette di migliorare la risoluzione dell'immagine e di mitigare fenomeni indesiderati come l'echo di clutter e l'effetto di lobi secondari.

[[File:Heart_with_THI.jpg‎ |250px |right]][[File:Heart_without_THI.jpg‎ |250px|right]]

== Riferimenti ==

*{{cita libro|cognome=Hamilton|nome=Mark F.|titolo=Nonlinear Acoustics: Theory and Applications|coautori=David T. Blackstock}}

*{{cita libro|cognome=T. Beyer|nome=Robert F.|titolo=Nonlinear Acoustics}}

*{{cita libro|cognome=Fokkema|nome=J.T.|titolo=Seismic Applications of Acoustic Reciprocity|anno=1993|url=https://archive.org/details/seismicapplicati0000fokk|coautori=Pp.M. van den Berg}}

==Voci correlate==

*[[Acustica]]

*[[Ottica non lineare]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{portale|fisica}}

[[categoriaCategoria:Acustica]]

[[Categoria:Fisica]]