Funzione identità: differenze tra le versioni

Versione delle 15:52, 18 mar 2006

Versione attuale delle 18:56, 28 giu 2025

(46 versioni intermedie di 37 utenti non mostrate)

Riga 1:

{{stubF|analisi matematica|agosto 2014}}

In [[matematica]] si chiama '''funzione identità''' su un [[insieme]] <math>X</math> la [[funzione (matematica)|funzione]] che associa ad ogni elemento l'elemento stesso.

SiLa chiama '''funzione identità''' su un<math>X</math> si indica insiemecon <math>\mathrm{id}_X</math>. Essa ha dunque <math>X</math> unacome [[funzionedominio (matematica)|funzionedominio]] chae associa[[codominio]] ed è tale per cui adper ogni elemento<math>x l'elemento\in stesso.X</math> si ha <math>\mathrm{id}_X(x) = x</math>.

== Proprietà ==

La funzione identità, che spesso si indica con <math>\mbox{Id}_X</math> ha dunque <math>X</math> come [[dominio]] e [[codominio]] ed è tale per cui per ogni <math>x \in X</math> si ha <math>\mbox{Id}_X(x)=x</math>.

La funzione identità è la più semplice tra le funzioni definibili su un insieme, ed è inoltre compatibile con praticamente tutte le [[struttura (matematica)|strutture matematiche]] possedute dall'insieme; viene infatti utilizzata come prototipo per definire gli [[automorfismo|automorfismi]], ovvero le funzioni interne ad un insieme, che ne conservano le strutture. All'interno del [[automorfismo#Gruppo di automorfismi|gruppo degli automorfismi]] di una data struttura, l'identità costituisce inoltre l'[[elemento neutro]] rispetto alla [[composizione di funzioni|composizione]] di morfismi.

Dato A come insieme, l'IDENTITA' su A è tale che Id(A)=1(A)

A seconda delle strutture su cui è applicata, la funzione identità riveste quindi diverse caratteristiche:

A→A per ogni x appartente a A si ha Id(A)=x e f(x)=x

* su un insieme è una [[corrispondenza biunivoca|biiezione]];

* su qualunque [[struttura algebrica]] è un [[isomorfismo]];

* su uno [[spazio vettoriale]] è una [[funzione lineare]];

* su uno [[spazio metrico]] è una [[isometria]];

* su uno [[spazio topologico]] è un [[omeomorfismo]];

* su una [[varietà differenziabile]] è un [[diffeomorfismo]].

== Rappresentazioni ==

La funzione identità può venire rappresentata in modi diversi a seconda delle caratteristiche degli insiemi su cui è definita; ad esempio:

* sull'insieme <math>\mathbb{R}</math> dei [[numero reale|numeri reali]] è possibile rappresentare la funzione <math>\mathrm{id}_\mathbb{R}</math> con il suo [[grafico di una funzione|grafico]] sul [[piano cartesiano]] che corrisponde alla [[bisettrice]] del primo e terzo [[quadrante (geometria analitica)|quadrante]];

* su uno spazio vettoriale di dimensione <math>n</math> la funzione identità è una [[trasformazione lineare]] rappresentata dalla [[matrice identità]] di ordine <math>n</math>.

== Voci correlate ==

* [[Identità (matematica)]]

* [[Matrice identità]]

* [[Risoluzione all'identità]]

* [[Teoria delle categorie]]

* [[Inclusione canonica]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Funzioni speciali}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Matematica di base]]

[[Categoria:Funzioni matematiche|Identità]]