Teorema binomiale: differenze tra le versioni
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[[File:Pascal's triangle 5.svg|thumb|Il [[triangolo di Tartaglia]] è una disposizione geometrica dei coefficienti binomiali]]
:<math>
(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^{k}
</math>,
in cui il fattore <math>{n \choose k}</math> rappresenta il [[coefficiente binomiale]] ed è sostituibile con
<math> \frac{n!}{k!(n-k)!} </math>. Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto [[triangolo di Tartaglia]].<ref>{{cita web|formato=PDF|url=http://www.lsgobetti.it/Corsi_di_recupero/Calcolo_combinatorio/I_COEFFICIENTI_BINOMIALI.pdf|titolo=I coefficienti binomiali e il binomio di Newton|accesso=22 novembre 2014|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20130903081956/http://www.lsgobetti.it/Corsi_di_recupero/Calcolo_combinatorio/I_COEFFICIENTI_BINOMIALI.pdf|dataarchivio=3 settembre 2013|urlmorto=sì}}</ref>
Lo sviluppo vale per ogni coppia di [[numero reale|numeri reali]] o [[numero complesso|complessi]], ma più in generale vale in ogni [[anello commutativo]].
Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi relativi a <math>n=2</math>, <math>n=3</math> ed <math>n=4</math>:
:<math>(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2</math>
:<math>(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3</math>
:<math>(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4.</math>
Nel caso in cui <math>n</math> sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una [[serie infinita]]. Questa formula generalizzata, nel caso di <math>n</math> reale positivo, fu realizzata da [[Isaac Newton]] (da cui il nome).
== Esposizione ==
{{quote|Il binomio di Newton è bello come la [[Venere di Milo]], peccato che pochi se ne accorgano.|[[Fernando Pessoa]]}}
È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di <math>(a+b)</math> in una sommatoria nella forma
:<math>
\begin{align}
(a+b)^n & = {n \choose 0}a^n b^0 + {n \choose 1}a^{n-1}b^1 + {n \choose 2}a^{n-2}b^2 + {n \choose 3}a^{n-3}b^3 + \cdots \\
& {} \qquad \cdots + {n \choose n-1}a^1 b^{n-1} + {n \choose n}a^0 b^n,
\end{align}
</math>
dove <math> \tbinom nk </math> rappresentano i [[coefficienti binomiali]]. Utilizzando la notazione di [[sommatoria]], la stessa formula può essere scritta:
:<math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}a^{n-k}b^k.
</math>
Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo <math>1</math> ad <math>a</math> e <math>a</math> a <math>b</math>, considerando quindi una sola [[variabile (matematica)|variabile]]. In questa forma, si ha:
:<math>
o, in maniera equivalente,
:<math>
== Prima dimostrazione (induttiva) ==
Il teorema binomiale può essere dimostrato per [[induzione matematica|induzione]]. Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero
:<math>(a+b)^1 = \sum_{k=0}^1 {1 \choose k} a^{(1-k)} b^{k} = a+b</math>
e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente <math>n</math> qualsiasi. Infatti presa per corretta l'espressione
:<math>(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{(n-k)} b^k,</math>
si ha
:<math>(a+b)^{n+1}</math><math>=(a+b)(a+b)^n</math>
:<math>=
e moltiplicando la sommatoria per <math>(a+b)</math> si ha
:<math>=\sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+\sum_{k=0}^n\,{n \choose k}a^{n-k}
b^{k+1},</math>
da cui
:<math>\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^{k}</math>
:<math>= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=1}^{n}\,{n \choose k} a^{n+1-k}b^k</math>
:<math>= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n+1-(k+1)}b^{k+1}</math>
:<math>= {n \choose 0} a^{n+1} + \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k+1} a^{n-k}b^{k+1}.</math>
Inoltre
:<math>\ \sum_{k=0}^n\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}</math>
:<math>= \sum_{k=0}^{n-1}\,{n \choose k} a^{n-k}b^{k+1}+ {n \choose n} b^{n+1}.</math>
Utilizzando nel primo passaggio la [[coefficiente binomiale#Proprietà|proprietà del coefficiente binomiale]]
:<math>{n+1 \choose k+1} = {n \choose k+1} + {n \choose k} </math>
si ha che
:<math>(a+b)^{n+1} </math>
:<math>={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=0}^{n-1}\,\left({n \choose k} + {n \choose k+1}\right)a^{n-k}b^{k+1}+{n \choose n} b^{n+1} </math>
:<math>={n \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n \choose n}
b^{n+1}.</math>
Poiché infine
:<math>{n \choose 0} = {n+1 \choose 0} = 1</math>
e
:<math>\ {n \choose n} = {n+1 \choose n+1} = 1,</math>
si ha che
:<math>
b^{n+1} = {n+1 \choose 0} a^{n+1}+\sum_{k=1}^{n}\,{n+1 \choose k} a^{n+1-k}b^{k}+ {n+1 \choose n+1}
b^{n+1}</math>
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e si ottiene l'espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio
:<math>
che conferma la tesi.
== Seconda dimostrazione (combinatoria) ==
Se scriviamo <math>(a+b)^n</math> come il prodotto
<math>(a+b)(a+b)(a+b)\,
con
Poiché per la [[Distributività|proprietà distributiva]] il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di <math>k
== Caso di esponente generale ==
La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per <math>n</math> [[numero naturale]]. È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per <math>(1 +x)^\alpha,\ \alpha\in \R</math>, nonché approssimarla in un [[intorno]] destro dello 0 con una [[serie di Taylor]].
Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia
<math>(1 +x)^\alpha= 1 + \alpha x + o(x), </math> dove il resto <math>o(x)</math> indica un [[infinitesimo]] di ordine superiore al primo.
Lo sviluppo completo è
:<math>(1 +x)^\alpha= 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha -1)}{2}x^2 + \frac{\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6}x^3 + \dots + {\alpha \choose k}x^k + o(x^k)</math>,
dove <math>{\alpha \choose k}</math> è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da
:<math>{\alpha \choose k} = \frac{\alpha (\alpha -1) \dots (\alpha - k + 1)}{k!}</math>.
=== Dimostrazione ===
Lo sviluppo attorno all'origine della funzione <math>(1+x)^\alpha</math> è
:<math>(1 + x)^\alpha = (1 + x)^\alpha_{x=0} + \frac{\left( (1 + x)^\alpha \right)^\prime_{x=0}}{1!} x + \frac{\left( (1 + x)^\alpha \right)^{\prime\prime}_{x=0}}{2!} x^2 + \dots + \frac{\left( (1 + x)^\alpha \right)^{(k)}_{x=0}}{k!} x^k + \dots </math>
e, poiché
:<math>\left((1 + x)^\alpha \right)^\prime_{x=0} = \alpha (1 + x)^{\alpha-1}_{x=0} = \alpha</math>
:::<math>\vdots \quad \quad \quad \quad \quad \quad \vdots</math>
:<math>\left((1 + x)^\alpha \right)^{(i)}_{x=0} = \alpha (\alpha -1) \dots (\alpha - i +1)(1 + x)^{\alpha-i}_{x=0} = \alpha (\alpha -1) \dots (\alpha - i +1) </math>
si ottiene
:<math>(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha (\alpha -1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{\alpha (\alpha -1) \dots (\alpha -k+1)}{k!} x^k + \dots </math>
che è la formula di cui sopra. Troncando la serie al <math>k</math>-esimo termine, l'errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine <math>o(x^k)</math>.
== Note==
<references/>
== Voci correlate ==
* [[Trinomio di Newton]]
* [[Teorema multinomiale]]
* [[Coefficiente binomiale]]
* [[Formule di Waring]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sul}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{Algebra}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Combinatoria]]
[[Categoria:Polinomi]]
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