Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

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{{F|numeri|arg2=teorie dell'informatica|luglio 2012}}

Gli '''Assiomiassiomi di Peano''' sono un gruppo di [[Assioma (matematica)|assiomi]] ideati dal matematico [[Giuseppe Peano]] al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei i [[numeri naturali]]. Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

<div style="float:center; width:95%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

#0 èEsiste un numero naturale, 0

#il successore di unOgni numero naturale èha un numero naturale successore

#numeriNumeri diversi hanno successori diversi

#0 non è il successore di alcun numero naturale

#ogniOgni insiemesottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di tuttiogni iproprio suoi elementielemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)

</div>

Si prende 0 o 1 a seconda del modello dei numeri naturali voluto. Oltre a questi assiomi, Peano sottintende anche gli [[assiomi logici]] che gli permettono di operare con la [[logica]] simbolica.

== Significato matematico degli assiomi ==

In termini più precisi possiamo dire che la struttura data dalla terna <math>(\mathbb N, 0, S)</math> composta dall'[[insieme]] dei [[numeri naturali]] <math>\mathbb N\!</math>, lo [[zero]] e la [[funzione (matematica)|funzione]] "successore" <math>S: \N \to \N</math> può essere caratterizzata ''a meno di isomorfismi'' (in seguito sarà più chiaro in che senso) dai seguenti ''assiomi di Peano'':

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purplered;">

:(P1) Esiste un numero <math>0 \in \mathbb N</math>

:(P2) Esiste una [[funzione (matematica)|funzione]] <math>S: \N \to \N</math> (chiamata "successore")

:(P2) <math>x \in \mathbb N \Rightarrow S(x) \in \mathbb N</math>

:(P3) <math>x\neq y</math> implica <math>S(x)\neq S(y)</math>

:(P4) <math>S(x)\neq 0</math> per ogni <math>x \in \mathbb N</math>

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Analizziamo la funzione di ciascun assioma:

* (P1) ci dice che l'insieme <math>\mathbb N\!</math> non è [[insieme vuoto|vuoto]] specificandone un elemento (<math>0</math>);

* (P2) afferma l'esistenza di una funzione <math>S</math> (la ''funzione successore'') di cui l'insieme <math>\mathbb N</math> è [[dominio]] e [[codominio(matematica)|dominio]].

* (P3) dice che <math>S</math> è una [[funzione iniettiva]]; questo ci permette di escludere modelli in cui partendo da <math>0</math> e andando avanti ripetutamente da un elemento al successore si possa ritornare su un elemento già visitato e rimanere confinati in un ciclo;

* (P4) dice che <math>0</math> non è nell'[[immagine (matematica)|immagine]] di <math>S</math>, questo ci permette di escludere modelli in cui iterando la funzione successore si possa compiecompiere un loop che ritorni al punto di partenza; questo assioma con il precedente esclude qualsiasi modello dotato di un numero finito di elementi.

* (P5), l'ultimo assioma di Peano, è anche noto con il nome di [[Principio di induzione]] ed è uno strumento molto usato nelle [[dimostrazione|dimostrazioni]]:. quello che ci dice è che lL'insieme <math>\mathbb N</math> dei numeri naturali è il più piccolo insieme che contenga lo <math>0</math> e che contenga il successore di ogni suo elemento (cioè che sia ''chiuso'' rispetto alla funzione ''successore''). Questo assioma ci permette di escludere modelli in cui siano presenti degli elementi "intrusi" al di fuori della sequenza infinita dei successori dello zero.

== Unicità del modello a meno di isomorfismi ==

Abbiamo visto che ciascunCiascun assioma consente di ridurre progressivamente il campo dei [[modello (logica)|modelli]] possibili tagliando fuori, via via, modelli che sono strutturalmente diversi dall'insieme dei numeri naturali (come l'insieme vuoto o insiemi con numero finito di elementi o strutture cicliche). Ora ci potremmo chiedere: siamo sicuri che iI cinque assiomi sianosono sufficienti ad escludere tutti i modelli "non buoni" e, quindi, caratterizzare univocamente la struttura dei numeri naturali o, magari, occorrono altri assiomi?

Abbiamo visto che ciascun assioma consente di ridurre progressivamente il campo dei [[modello (logica)|modelli]] possibili tagliando fuori via via modelli che sono strutturalmente diversi dall'insieme dei numeri naturali (come l'insieme vuoto o insiemi con numero finito di elementi o strutture cicliche). Ora ci potremmo chiedere: siamo sicuri che i cinque assiomi siano sufficienti ad escludere tutti i modelli "non buoni" e quindi caratterizzare univocamente la struttura dei numeri naturali o magari occorrono altri assiomi?

Chiamiamo ''sistema di Peano'' qualunque terna <math>(X,x_0,s)</math> che soddisfa gli assiomi:

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::allora <math>U=X</math>

Un sistema di Peano è dunque un [[modello (logica)|modello]] valido degli assiomi di Peano. Il modello più naturale per gli assiomi è la struttura <math>(\mathbb N, 0, S)</math>, tuttavia questa '''non''' è l'unica a verificare gli assiomi. Un esempio di sistema di Peano diverso da <math>(\mathbb N , 0, S)</math> si ha prendendo come <math>X</math> l'insieme dei numeri pari positivi <math>\{2,4,6,...\}</math>, <math>x_0:=2</math> e <math>s(x):=x+2</math>.

Un ''[[isomorfismo]]'' tra due ''sistemi di Peano'' <math>(A,a_0,s)</math> e <math>(B,b_0,t)</math> è una [[biiezione]] <math>f:A \to B</math> tale che:

* manda ciascuno dei due "zeri" nell'altro, cioè <math>f(a_0)=b_0</math> e

* manda elementi "successivi" in elementi "successivi", cioè <math>f(s(a))=t(f(a))</math>.<br>

Con queste definizioni siamoè inpossibile gradodeterminare di dare una risposta alla domanda iniziale: la risposta è positiva,che gli assiomi sono sufficienti a dare una caratterizzazione univoca, cioè non esistono modelli non isomorfi alla struttura dei numeri naturali. E'È ciò che afferma il

'''Teorema di Categoricità:''': Tutti i sistemi di Peano sono isomorfi al sistema <math>(\mathbb N, 0, S)</math>.

''Dimostrazione'': un isomorfismo tra un qualunque sistema di Peano <math>(A,a_0,s)</math> e il sistema <math>(\mathbb N,0,S)</math> si ha considerando la biiezione <math>f:\mathbb N \to A</math> definita da:<br>

:<math>0 \mapsto a_0</math><br>

:<math>1 \mapsto s(a_0)</math><br>

:<math>2 \mapsto s(s(a_0))</math><br>

:...<br>

:<math>n \mapsto s(s(...s(s(a_0))...))</math> con <math>n</math> composizioni di <math>s</math>.<math>\square</math><br>

:<math>\begin{align}

== Gli assiomi di Peano sono "ridondanti"? ==

:<math>0 &\mapsto a_0</math><br>\\

Un'altra domanda che ci possiamo porre è se gli assiomi di Peano possano essere "ridondanti", se cioè qualcuno di essi sia dimostrabile a partire dagli altri. La risposta è no: non c'è alcuna ridondanza. Lo si può dimostrare esibendo delle terne <math>(X, x_0, S)</math> dove uno degli assiomi di Peano non venga soddisfatto e <math>X</math> non sia isomorfo all'insieme dei numeri naturali:

:<math>1 &\mapsto s(a_0)</math><br>\\

* Eliminando (P1), possiamo prendere per <math>X</math> l'insieme vuoto; se non ci sono elementi nell'insieme, gli altri assiomi sono banalmente veri.

:<math>2 &\mapsto s(s(a_0))</math><br>\\

* Eliminando (P2), abbiamo un modello dove <math>0</math> e <math>S</math> restano le stesse, ma <math>X=\{0,1,2,3,4,5\}</math> è dato dai numeri minori di <math>6</math>, e quindi il codominio di <math>S</math> è dato da <math>X \cup \{6\}</math>. È da notare che in questo caso (P5) è verificato, perché non esiste nessun sottoinsieme di <math>X</math> che contenga lo <math>0</math> e che sia chiuso rispetto ad <math>S</math>.

\vdots\\

* Eliminando (P3), un modello è quello dove <math>X</math> è composto da <math>\{0,1\}</math>, e S è la funzione che manda <math>n</math> in <math>\max(n,1)</math>.

n &\mapsto s(s(...s(s(a_0))...))

* Eliminando (P4), le [[classe di resto|classi di resto]] modulo <math>m</math>, con la funzione successore data da <math>n \mapsto n+1</math> (mod <math>m</math>), danno un esempio pratico.

\end{align}</math>

* Eliminando (P5), possiamo ad esempio prendere i razionali positivi <math>\mathbb Q\!^+</math>, mantenendo <math>0</math> e lasciando come funzione successore l'usuale <math>n \mapsto n+1</math>.

:<math>n \mapsto s(s(...s(s(a_0))...))</math> con <math>n</math> composizioni di <math>s</math>.<math>\square</math><br>

== Indipendenza degli assiomi ==

== Ruolo nella logica matematica ==

Un'altra domanda che ci possiamo porre è se gliGli assiomi di Peano possanosono essere "ridondanti"''indipendenti'', seovvero cioè qualcunonessuno di essi siapuò dimostrabileessere dimostrato a partire dagli altri. LaCi rispostasi èpuò no:convincere nonfacilmente c'è alcuna ridondanza. Lo si puòdi dimostrarequesto esibendocercando delle terne <math>(X, x_0, S)</math> doveper unocui degliun assiomiparticolare di Peanoassioma non venga soddisfatto, tutti gli altri siano soddisfatti e <math>X</math> non sia isomorfo all'insieme dei numeri naturali:

* Eliminando (P1), possiamo prendere per <math>X</math> l'[[insieme vuoto]]; se non ci sono elementi nell'insieme, gli altri assiomi sono banalmente veri.

* Eliminando (P2), abbiamo un [[modello (logica matematica)|modello]] dove <math>0</math> e <math>S</math> restano le stesse, ma <math>X=\{0,1,2,3,4,5\}</math> è dato dai numeri minori di <math>6</math>, e quindi il codominio di <math>S</math> è dato da <math>X \cup \{6\}</math>. È da notare che in questo caso (P5) è verificato, perché non esiste nessun sottoinsieme di <math>X</math> che contenga lo <math>0</math> e che sia chiuso rispetto ad <math>S</math>.

* Eliminando (P3), un modello è quello dove <math>X</math> è composto da <math>\{0,1\}</math>, e S è la funzione che mandaassocia ad <math>n</math> inil massimo tra <math>\max(n,</math> e <math>1)</math>.

* Eliminando (P4), leun modello è fornito dalle [[classearitmetica di restomodulare|classi di resto]] modulo <math>m</math>,''n'']] con la funzione successore data da <math>n \mapsto n+1</math> (mod <math>m</math>), danno un esempio pratico.

* Eliminando (P5), possiamo ad esempio prendere i [[numero razionale|razionali]] positivi <math>\mathbb Q\!^+</math>, mantenendo <math>0</math> e lasciando come funzione successore l'usuale <math>n \mapsto n+1</math>.

== Ruolo nella logica matematica ==

Gli assiomi di Peano appartengono alla [[logica dei predicati del secondo ordine]] poiché il quinto assioma (il principio di induzione) richiede un uso di [[quantificatore|quantificatori]] sui [[sottoinsieme|sottoinsiemi]] dei numeri naturali.

La versione degli assiomi di Peano nella [[teoria del primo ordine|logica del primo ordine]] è chiamata [[aritmetica di Peano]] ed ha un ruolo molto importante nella [[teoria della calcolabilità]] e nella [[logica matematica]] poichèpoiché soddisfa le condizioni di validità dei [[teoremi di incompletezza di Gödel]].

==Bibliografia==

*{{Cita libro|autore=Giuseppe Peano|wkautore=Giuseppe Peano|titolo=Arithmetices principia, nova methodo exposita|città=Torino|anno=1889|url=https://www.archive.org/details/arithmeticespri00peangoog}}

== Voci correlate ==

* [[Principio di induzione]]

* [[es:AxiomasAritmetica dedi Peano]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

[[Categoria:{{Teoria degli insiemi]] [[Categoria:Teoria dei numeri]]}}

{{Portale|matematica}}

[[categoria:Assiomi]]

[[Categoria:Logica matematica]]

[[Categoria:Teoria degli insiemi]]

[[cs:Peanovy axiomy]]

[[Categoria:Teoria dei numeri]]

[[en:Peano axioms]]

[[categoriaCategoria:Assiomi]]

[[es:Axiomas de Peano]]

[[Categoria:Logica matematicanell'informatica]]

[[fr:Axiomes de Peano]]

[[ja:ペアノの公理]]

[[ko:페아노의 공리]]

[[ru:Аксиомы Пеано]]

[[tr:Peano Aksiyomları]]

[[zh:皮亚诺公理]]