Giunzione Josephson: differenze tra le versioni
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la linea orizzontale è il primo elettrodo, mentre la linea verticale è il secondo elettrodo;
il quadrato che li separa è un isolante che ha al centro, dove si incrociano i due elettrodi,
La '''giunzione Josephson''' è composta da [[due]] strisce di [[superconduttività|superconduttori]] separate da un [[
L'effetto Josephson è stato teorizzato e poi verificato sperimentalmente all'inizio degli [[Anni 1960|anni sessanta]] e lega alla frequenza di una [[radiazione]] [[elettromagnetismo|elettromagnetica]] la caduta di [[Differenza di potenziale|potenziale]] che ha luogo nella giunzione tra due metalli in particolari condizioni di lavoro.
La giunzione Josephson prende il nome da [[Brian D. Josephson]] che nel [[1962]] predisse l'effetto
<ref name=Joe>
==Introduzione==
La giunzione Josephson si basa sull'effetto tunnel
Il valore della resistenza dipende esponenzialmente dallo spessore della barriera
Al di sotto della [[temperatura critica]] Tc
il niobio diventa [[superconduttore]]
<math>\psi=\sqrt {\rho} e^{i \varphi} </math>
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dove <math>\rho\ </math> è la densità delle coppie di Cooper e <math>\varphi\ </math>
è la fase del parametro d'ordine.
A bassa temperatura (T<Tc) la conduzione attraverso la barriera tunnel non segue più la [[legge di Ohm]], perché le [[cariche elettriche]] responsabili del passaggio di corrente attraverso la giunzione non sono più gli elettroni "liberi" di un metallo, ma le coppie di Cooper e le [[quasiparticella|quasiparticelle]], [[elettrone|elettroni]] o [[lacuna (fisica)|lacune]], originate dallo stato eccitato delle coppie di Cooper.
==Le equazioni di Josephson==
Applicando una corrente di polarizzazione <math>I_b\ </math> tra i due elettrodi della giunzione le [[coppie di Cooper]] possono passare attraverso la barriera per effetto tunnel non sviluppando una differenza di potenziale tra gli elettrodi, ma semplicemente una differenza di fase <math>\delta
<math>I_b=I_c\sin \delta
Tale equazione stabilisce che la corrente può scorrere attraverso la giunzione senza tensione ai capi fino
<math>I_c=\frac {\pi \Delta}{2eR_n}\tanh \frac {\Delta}{2kT}\ </math>
Dove <math>\Delta\ </math> è la
L'espressione è valida se le dimensioni delle giunzioni sono piccole rispetto alla cosiddetta
lunghezza Josephson, vedi nel seguito. Se le dimensioni della giunzione sono maggiori di tale lunghezza, normalmente dell'ordine della decina μm, bisogna tenere conto della variazione spaziale della
fase, quindi l'equazione diventa più complessa.
[[
La figura mostra la caratteristica corrente tensione di una tipica giunzione
La seconda equazione di Josephson descrive la dinamica della differenza di fase quando una differenza di potenziale finita '''V''' è applicata alla giunzione Josephson:
▲<math>\frac {d\delta \varphi}{dt}=\frac {2e}{\hbar }V=\frac {2\pi }{\Phi_o} V\ </math>
La grandezza <math>\Phi_o=\frac {h }{2e}\ </math> viene chiamato [[quanto di flusso magnetico]]
ed è una grandezza che dipende solo da costanti naturali.
Questa equazione implica che applicando una differenza di potenziale costante la fase cresce linearmente nel tempo.
La resistenza normale di una giunzione Josephson è inversamente proporzionale all'area dei due superconduttori affacciati
:<math>\lambda_J=\sqrt{\frac {\Phi_o}{4\pi \mu_o J_c\lambda}}</math>▼
Quando le dimensioni diventano maggiori di tale lunghezza, la fase diventa una funzione dipendente dallo spazio nella regione della giunzione e la fenomenologia diventa più complicata. Le giunzioni Josephson, essendo
== Induttanza Josephson ==
▲<math>\lambda_J=\sqrt{\frac {\Phi_o}{4\pi \mu_o J_c\lambda}}</math>
La giunzione Josephson si comporta come una [[induttanza]] per piccoli segnali variabili nel tempo<ref>{{Cita pubblicazione|cognome= M. Devoret|
autore2=A. Wallraf|autore3= J. Martinis|titolo=Superconducting Qubits: A Short Review|data=2004|arxiv=cond-mat/0411174}}</ref>.
Infatti se riscriviamo le due equazioni di Josephson come:
:<math>
\begin{align}
\frac{\partial I}{\partial \delta} &= I_c\cos\delta\\
\frac{\partial \delta}{\partial t} &= \frac{2\pi}{\Phi_0}V
\end{align}
</math>
Da queste equazioni applicando la [[regola della catena]] posso calcolare la derivata temporale della corrente:
:<math>
\frac{\partial I}{\partial t} = \frac{\partial I}{\partial \delta}\frac{\partial \delta}{\partial t}=I_c\cos\delta\cdot\frac{2\pi}{\Phi_0}V
</math>
Che può essere riscritta come la funzione tensione-corrente di una induttanza:
▲Dove <math>\lambda\ </math> è la lunghezza di penetrazione nel [[superconduttore]], la formula è scritta trascurando lo spessore della barriera stessa. Se le dimensioni della giunzione sono piccole rispetto a <math>\lambda_J\ </math>, quanto detto per quanto riguarda le equazioni di Josephson ed il legame tra corrente critica ed <math>R_n\ </math> vale con buona approssimazione.
:<math>
▲Quando le dimensioni diventano maggiori di tale lunghezza la fase diventa una funzione dipendente dallo spazio nella regione della giunzione e la fenomenologia diventa più complicata. Le giunzioni Josephson essendo fatte da due [[elettrodi]] affacciati a distanza molto ravvicinata hanno naturalmente un a capacità elettrica, proporzionale all'area affacciata e poco dipendente dallo spessore della barriera: le giunzioni più comuni hanno capacità tipiche di <math>50\ fF/\mu m^2</math>.
V = \frac{\Phi_0}{2\pi I_c\cos\delta} \frac{\partial I}{\partial t}=L(\delta)\frac{\partial I}{\partial t}
</math>
Quindi una giunzione Josephson polarizzata ad una corrente inferiore a quella critica si comporta come una induttanza che dipende dalla differenza di fase:
:<math>
L(\delta) = \frac{\Phi_0}{2\pi I_c\cos\delta} = \frac{L_J}{\cos\delta}
</math>
Avendo definito <math> L_J=L(0)=\frac{\Phi_0}{2\pi I_c} </math> un parametro caratteristico della giunzione Josephson, detta induttanza Josephson.
Quindi una giunzione Josephson si comporta a tutti gli effetti circuitali come una induttanza, in quanto è la costante di proporzionalità tra derivata della corrente e differenza di potenziale. Ma in più è una induttanza che varia con corrente di polarizzazione, infatti se la corrente di polarizzazione viene aumentata, aumenta <math>\delta </math> e quindi il suo [[coseno]] al denominatore diminuisce e quindi l'induttanza della giunzione Josephson cresce.
== Modello RSJ==▼
La caratteristica corrente tensione della figura è chiaramente isteretica, con due stati di [[tensione elettrica|tensione]] uno a <math>V=0\ </math> e <math>V\ne 0\ </math> rispettivamente per una corrente di [[polarizzazione]] più bassa che la corrente critica <math>I_c\ </math>. La resistenza dinamica▼
Una giunzione Josephson ha un comportamento simile ad una induttanza non lineare di cui si può calcolare l'energia immagazzinata quando viene polarizzata con una corrente<ref>Michael Tinkham, Introduction to superconductivity, McGraw-Hill, 1996 ISBN 0-07-114782-9</ref>. Infatti la supercorrente che scorre nella giunzione è dipendente dalla differenza di fase:
(la pendenza) dipende fortemente dal punto di lavoro, raggiungendo valori alti per tensioni inferiori a <math>V_g\ </math>. Il comportamento non lineare dipende dal tunneling di [[quasiparticella|quasiparticelle]], infatti oltre alle coppie di Cooper per tensioni superiori a <math>V_g\ </math> la corrente dipende anche da tale tipo di [[Portatore di carica|portatori di carica]]. Per eliminare tale comportamento si può porre in parallelo alla giunzione una opportuna resistenza di [[Shunt_%28elettrotecnica%29|shunt]].▼
:<math>I = I_c \sin\delta</math>
La fase superconduttrice evolve in maniera analoga alla [[legge di Faraday]]:
:<math>V=\operatorname{d}\!\Phi/\operatorname{d}\!t</math>
Facendo l'ipotesi che al tempo <math>t_1</math>, la differenza di fase è <math>\delta_1</math>, mentre ad un tempo successivo
[[Immagine:Scheme_of_shunted_Josephson_junction.png|left|thumb|200px| Schema di una giunzione▼
<math>t_2</math> la differenza di fase diventa <math>\delta_2</math>. L'aumento di energia nella giunzione è pari al lavoro fatto sulla giunzione:
con resistenza di shunt, le due linee incrociate sono il simbolo della giunzione Josephson]]▼
:<math>
In questo caso, se si ha una resistenza di [[Shunt_%28elettrotecnica%29|shunt]] esterna, è possibile descrivere il comportamento della giunzione mediante un semplice modello ad elementi discreti come▼
\Delta E = \int_1^2 I V\operatorname{d}\!{t}
mostrato nella figura, immaginando di porre a massa l'elettrodo inferiore, l'equazione del nodo, per polarizzazione in corrente diventa:▼
= \int_{1}^{2} I\operatorname{d}\!\Phi
= \int_{\delta_1}^{\delta_2} I_c\sin \delta \operatorname{d}\!\left(\Phi_0\frac{\delta}{2\pi}\right)
= \frac{\Phi_0 I_c}{2\pi} (\cos\delta_1-\cos\delta_2)
</math>
Da cui si ha che il cambiamento di energia dipende dalla differenza tra lo stato finale ed iniziale e non dipende dal cammino seguito, perciò l'energia immagazzinata in una giunzione Josephson è una [[funzione di stato]], che può essere definita come:
:<math>E(\delta)=\frac{\Phi_0 I_c}{2\pi}(1-\cos\delta)=E_J(1-\cos\delta)
</math>
Scegliendo di porre a zero l'energia con la giunzione non polarizzata.
Dove si è definito con <math>E_J = |E(0)|=\frac{\Phi_0 I_c}{2\pi}</math> l'energia Josephson. Quindi una giunzione Josephson
immagazzina energia simile a quella magnetica immagazzinata da una induttanza classica, ma non vi è nessun [[campo magnetico]] associato.
▲La caratteristica corrente tensione della figura è chiaramente isteretica, con due stati di [[tensione elettrica|tensione]] uno a <math>V=0\ </math> e <math>V\ne 0\ </math> rispettivamente per una corrente di [[Polarizzazione elettrica|polarizzazione]] più bassa che la corrente critica <math>I_c\ </math>. La resistenza dinamica
▲(la pendenza) dipende fortemente dal punto di lavoro, raggiungendo valori alti per tensioni inferiori a <math>V_g\ </math>. Il comportamento non lineare dipende dal tunneling di [[quasiparticella|quasiparticelle]]
▲[[
Dove <math>I_b\ </math> è la corrente di polarizzazione e <math>V\ </math> la tensione ai capi della giunzione. Tale equazione una volta che si esprima la tensione in funzione della seconda equazione Josephson:▼
▲In questo caso, se si ha una resistenza di [[
▲mostrato nella figura, immaginando di porre a massa l'elettrodo inferiore, l'equazione del nodo
<math>I_b=I_c\
▲
<math>\frac {\hbar C}{2e} \frac {d^2 \delta }{dt^2}+\frac {\hbar }{2eR} \frac {d\delta }{dt}+I_c\sin \delta =I_b\ </math>
Il parametro adimensionale:
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<math>\beta_c=\frac {2\pi R^2 I_c C}{\Phi_o}\ </math>
pone una demarcazione tra comportamento isteretico
inferiore.
Riga 88 ⟶ 129:
*[[Quantizzazione del flusso]]
*[[SQUID]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto}}
==Collegamenti esterni==
*{{cita pubblicazione
|url=
|rivista=Nature Physics
|numero=1
|
|doi=10.1038/nphys154
|titolo=Fate of the Josephson effect in thin-film superconductors
|autore= Michael Hermele1, Gil Refael, Matthew P. A. Fisher, Paul M. Goldbart}}
{{Controllo di autorità}}
{{portale|Fisica}}
[[Categoria:Superconduttività]]▼
▲[[Categoria:Superconduttività]]
▲[[fr:Effet Josephson]]
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