Integrale: differenze tra le versioni

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[[File:Integral example.svg|miniatura|Integrale di <math>f(x)</math>.<br />

In [[analisi matematica]] l<nowiki>'</nowiki>'''integrale''' di una [[Funzione (matematica)|funzione]] è un operatore matematico che associa alla funzione l'[[area]] sottesa dalla funzione rispetto all'ascissa nel caso di una funzione a una variabile. Nel caso di funzioni a più variabili l'integrale calcola l'area bidimensionale della curva, il [[volume]], ecc a seconda del numero di variabili della funzione da integrare.

Area sottesa dal grafico dalla funzione <math>f(x)</math> nel dominio <math>\left[a,b\right] </math>.<br />

Si assume che l'area abbia valore negativo quando <math>f(x)</math> è negativa.]]

In [[analisi matematica]], l{{'}}'''integrale''' è un [[Trasformazione lineare|operatore lineare]] che, nel caso di una [[Funzione (matematica)|funzione]] di una sola variabile a valori reali non negativi, associa alla funzione l'[[area]] sottesa dal suo grafico entro un dato intervallo <math>[a,b]</math> nel dominio. Se la funzione assume anche valori negativi, allora l'integrale può essere interpretato geometricamente come l'area ''orientata'' sottesa dal grafico della funzione.

{{analisi_matematica}}

Sia <math>f</math> una funzione continua di una variabile a valori reali e sia <math>a</math> un elemento nel dominio di <math>f,</math> allora dal [[teorema fondamentale del calcolo integrale]] segue che l'integrale da <math>a</math> a <math>x</math> di <math>f</math> è una [[primitiva (matematica)|primitiva]] di <math>f</math>.

== Cenni storici ==

== Storia ==

L'idea di base del concetto di integrale si trova già in [[Archimede]] di [[Siracusa]], vissuto tra il [[287]] eil [[212]] a.C, e precisamente nel metodo da lui usato per il calcolo dell'[[area]] del [[cerchio]] o del segmento di [[Parabola (geometria)|parabola]] detto [[metodo di esaustione]].

L'idea di base del concetto di integrale era nota ad [[Archimede]] di [[Siracusa]], vissuto tra il [[287 a.C.|287]] e il [[212 a.C.]], ed era contenuta nel metodo da lui usato per il calcolo dell'[[area]] del [[cerchio]] o dell'area sottesa al segmento di un ramo di [[Parabola (geometria)|parabola]], detto [[metodo di esaustione]], già proposta da [[Eudosso di Cnido]].

Nel [[XVII secolo]], varialcuni matematici trovarono altri metodi ingegnosi per calcolare l'area sottesa al grafico di semplici funzioni:, <math>x^\alphatra di essi figurano, ad esempio, [[Luca Valerio]], [[Bonaventura Cavalieri]], (\alphache >scoprì -il 1[[metodo degli indivisibili]] negli [[anni 1640]])\;</math>, ([[Pierre de Fermat]] ([[1636]]), <math>1\over[[Evangelista x</math>Torricelli]] ([[1658]]) e [[Nicolaus Mercator]], ([[1668]]). In quegli stessi anni [[Pietro Mengoli]] ([[1659]]) diede una prima definizione di integrale.

TuttoNel ciòdiciassettesimo primae chediciottesimo secolo [[Isaac Newton]], [[Gottfried Leibniz]], Giovanni [[Johann Bernoulli]] scoprisserodimostrarono indipendentemente il [[teorema fondamentale del calcolo integrale]], che ricondusse tale problema alla ricerca di unadella [[primitiva o antiderivata(matematica)|primitiva]] di una funzione.

[[File:Что такое интеграл Анимация.gif|thumb|Qual è l'integrale (animazione)]]

La definizione di integrale per le funzioni continue in tutto un intervallo, introdotta da [[Pietro Mengoli]] ed espressa con maggiore rigore [[Cauchy]], venne posta su base diversa da [[Riemann]] in modo da evitare il concetto di limite e da comprendere più estese classi di funzioni. Ma nel [[1875]] [[Gaston Darboux]] mostrò con un suo celebre teorema che la definizione di Riemann può essere enunciata in maniera del tutto simile a quella di Cauchy, purchè si intenda il concetto di limite in modo un po' più generale. Per questo motivo si parla di integrale di Cauchy-Riemann. Tale maggior generalità servì di spunto a [[Mauro Picone]] nel [[1923]] per la definizione del limite d'una variabile detta ordinata.

La definizione di integrale per le funzioni continue in un intervallo venne inizialmente formulata da [[Cauchy|Augustin-Louis Cauchy]], che a partire dal lavoro di Mengoli, descrisse l'integrale utilizzando la definizione di limite. In seguito [[Bernhard Riemann]] propose la sua definizione, in modo da comprendere classi più estese di funzioni. Nel [[1875]], [[Gaston Darboux]] riformulò la definizione già individuata da Cauchy in modo da evitare l'uso di limiti e dimostrando che era del tutto equivalente alla definizione data da Riemann. Per questo motivo spesso si parla di integrale di Riemann-Darboux. Allo scopo di comprendere una classe molto più estesa di funzioni, [[Henri Lebesgue]] produsse una definizione di integrale più complessa, attraverso l'introduzione della [[Misura (matematica)|teoria della misura]]. In seguito [[Thomas Joannes Stieltjes|Thomas Stieltjes]] fu in grado di generalizzare l'integrale di Riemann introducendo il concetto di ''funzione integratrice'' e, con un procedimento del tutto analogo, [[Johann Radon]] generalizzò l'integrale di Lebesgue. Una definizione d'integrale alternativa a quella di Lebesgue-Radon venne fornita da [[Percy John Daniell|Percy J. Daniell]], che la ricavò a partire dall'integrale di Riemann-Stieltjes.

== Introduzione euristica ==

Il problema originario del calcolo integrale è quello di calcolare le aree sottese a porzioni di curve definite in un [[compatto]]. L'idea di base consiste nel suddividere in intervalli infinitesimi l'[[asse delle ascisse]], prendere un punto campione in ciascun intervallo e moltiplicarlo per l'[[immagine]] di tale punto in modo che tale prodotto restituisca l'[[area]] di un rettangolino; a questo punto, per avere un'approssimazione - anche se grossolana - dell'area sottesa ad una porzione di curva basta sommare le aree dei rettangolini costruiti.

== Notazione ==

In termini più formali suddividiamo il compatto <math>\ [a,b]</math> in n intervalli di tipo <math>\ (x_{s-1},x_{s})</math> con <math>\ s=1,2,...,n</math> e <math>\ x_{0}=a; x_{n}=b</math>. Prendiamo ora in ciascun intervallo un punto <math>\ t_s</math> tale che l'immagine di tale punto sull'[[asse delle ordinate]] è <math>\ f(t_{s})</math>; l'area data dalla somma dei rettangolini sottesi alla curva <math>\ f(x)</math> definita nel compatto <math>\ [a,b]</math> è data dalla somma (detta di Cauchy-Riemann)

[[File:Integral Uprightness.svg|thumb|Il simbolo di integrale nella letteratura (da sinistra) inglese, tedesca e russa]]Il simbolo <math>\int</math> che rappresenta l'integrale nella notazione matematica fu introdotto da Leibniz alla fine del XVII secolo. Il simbolo si basa sul carattere {{Unicode|ſ}} ([[esse lunga]]), lettera che Leibniz utilizzava come iniziale della parola ''summa'' (''ſumma''), in [[lingua latina|latino]] ''somma'', poiché questi considerava l'integrale come una somma infinita di addendi infinitesimali.

La variabile di integrazione, cioè la variabile della funzione integranda, è una variabile muta, cioè <math>\int f(x)dx</math> ha lo stesso significato di <math>\int f(t)dt</math> e di <math>\int f(j)dj</math>. La forma differenziale <math>dx</math> è il [[Differenziale (matematica)|differenziale]] della variabile di integrazione.

<center><math> \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})(x_{s}-x_{s-1}) := \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \delta x_s </math></center>

Esistono leggere differenze nella notazione dell'integrale nelle letterature di lingue diverse: il simbolo [[Inghilterra|inglese]] è inclinato verso destra, quello [[Germania|tedesco]] è dritto mentre la variante [[russia|russa]] è inclinata verso sinistra.

al diminuire dell'ampiezza degli intervalli <math>\ \delta x_s</math> l'approssimazione tende verso il valore vero dell'area sottesa alla curva <math>\ f(x)</math> definita nel compatto <math>\ [a,b]</math>.

== Introduzione euristica ==

L'intera analisi poggia sul fatto che sia il modo di suddividere gli intervalli, sia la scelta dei punti interni a tali intervalli devono ''risultare irrilevanti'', altrimenti si avrebbe che l'area sottesa alla curva in un dato intervallo risulta diversa a seconda delle scelte effettuate in merito alla suddivisione degli intervalli e ai punti interni agli intervalli che sono stati scelti. Tale condizione sussiste in quanto la curva è [[Continuità uniforme|uniformemente continua]] all'interno del singolo intervallino in cui è stato suddiviso il compatto.

Si consideri una funzione <math>x \mapsto f(x)</math> reale di variabile reale limitata e definita su un intervallo <math>[a,b]</math> sull'asse delle ascisse. Quando si procede a calcolare l'integrale di <math>f</math> su <math>[a,b]</math>, allora <math>f</math> è detta ''funzione integranda'' e l'intervallo <math>[a,b]</math> è detto ''intervallo di integrazione'' e gli estremi <math>a</math> e <math>b</math> sono detti ''estremi di integrazione''. La figura che ha per bordi il [[grafico di una funzione|grafico]] di <math>f</math>, l'asse delle ascisse e i segmenti verticali condotti dagli estremi dell'intervallo di integrazione agli estremi del grafico della funzione è detta ''trapezoide''. Il valore dell'integrale della funzione calcolato sull'intervallo di integrazione è uguale all'area (con segno) del trapezoide, cioè il [[numero reale]] che esprime tale area orientata viene chiamato integrale (definito) della funzione esteso all'intervallo di integrazione. Con il termine "integrale" o "[[Operatore (matematica)|operatore]] integrale" si indica anche l'operazione stessa che associa il valore dell'area orientata alla funzione.

Sono stati ideati diversi modi per definire in modo rigoroso l'integrale; a seconda della procedura adottata cambia anche l'insieme delle funzioni che è possibile misurare con un integrale. Un metodo è quello di "approssimare" il grafico della funzione con una linea costituita da uno o più segmenti, in modo che la figura si può scomporre in uno o più trapezi di cui è facile calcolare l'area: la [[somma algebrica]] delle aree di tutti i trapezi è allora l'integrale cercato. Un tale approccio è utilizzato per definire l'[[integrale di Riemann]], in cui il calcolo dell'area viene eseguito suddividendo la figura in sottili strisce verticali ottenendo così dei rettangoli. Nello specifico, dividendo un intervallo di integrazione <math>[a,b]</math> in <math>n</math> intervalli del tipo <math>[x_{k-1},x_{k}]</math>, per <math> k=1,2,\dots,n</math>, e con <math>x_{0}=a</math> e <math>x_{n}=b</math>, per ciascun intervallo si può considerare un punto <math>t_k</math> la cui immagine è <math> f(t_{k})</math>. Si costruisce allora il rettangolo che ha per base l'intervallo <math>[x_{k-1},x_{k}]</math> e per altezza <math> f(t_{k})</math>. La figura costituita da tutti i rettangoli così costruiti è detta ''plurirettangolo'' e l'area del plurirettangolo è detta ''somma integrale di Cauchy'' o ''somma integrale di Riemann-Darboux'':

Infatti, se vale la continuità uniforme, presi due punti <math>\ t_s</math> e <math>\ t'_s</math> interni all'intervallo <math>\ (x_{s-1},x_{s})</math>, ove <math>\ x_{s}-x_{s-1}=\delta x</math> e pertanto il numero di tali intervallini (dato che suddividiamo [a,b] in intervalli di ampiezza <math>\ \delta x</math>) sarà pari ad <br>

<math>n = {{(b - a)} \over {\delta x}}</math> <br>

le altezza dei relativi rettangoli <math>\ f(t_{s})</math> ed <math>\ f(t'_{s})</math> differiranno della quantità <math>\ \delta f(t_{s})</math>. Da ciò discende che, se poniamo <math>\ \delta f(t)</math> come la più grande delle quantità <math>\ |\delta f(t_{s})|</math> la differenza di valutazione dell'area del generico rettangolino conseguente alla scelta del punto <math>\ t_s</math> o del punto <math>\ t'_s</math> è al massimo di <math>\ \delta f(t) \delta x</math>. <br>

La differenza di valutazione della somma di s rettangolini (in cui ricordiamo che <math>n = {{(b - a)} \over {\delta x}}</math>) è al massimo pari a :<br>

<center> <math>\ {{(b - a)} \over {\delta x}} \delta f(t) \delta x= (b-a) \delta f(t) </math> </center><br>

Come è facile notare tale discrepanza di valutazione diminuisce al tendere a zero dell'ampiezza del generico intervalli in cui è suddiviso <math>\ [a,b]</math> essendo per ipotesi la funzione uniformemente continua.

:<math>\sum_{k=1}^{n} f(t_{k}) \,\Delta x_k := \sum_{k=1}^{n} f(t_{k})(x_{k}-x_{k-1}).</math>

== Integrale di Riemann ==

{{vedi anche|integrale di Riemann}}

[[Image:Riemann.gif|250px|right|thumb|Rappresentazione grafica dell'integrale di >Riemann]]

Se si suddivide tramite una [[partizione]] un compatto <math>\ [a,b]</math> in n sottointervalli <math>\ [x_{s},x_{s-1}]</math> d'uguale ampiezza <math>\delta x = {{(b - a)} \over {n}}</math>, e si sceglie in ogni intervallo un punto arbitrario <math>\ t_s</math> è possibile confezionare la somma <math>\ \sigma_{n}= \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \delta x_{s}= {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) </math> detta ''somma integrale di [[Georg Friedrich Bernhard Riemann|Riemann]]''.

Se al diminuire dell'ampiezza degli intervalli <math>\Delta x_k</math> i valori così ottenuti si concentrano in un [[intorno]] sempre più piccolo di un numero <math>S</math>, la funzione <math>f</math> è integrabile sull'intervallo <math>[a,b]</math> e <math>S</math> è il valore del suo integrale.

Esiste un'altro metodo di procedura per la costruzione dell'integrale. Una volta effettuata la partizione il punto <math>\ t_s</math> non è arbitrario. Vengono definiti due punti:

Se la [[Funzione (matematica)|funzione]] integrabile <math>f(x)</math> è positiva allora l'integrale assume il significato di [[area]] della regione:

* <math>m_k = inf f(x): x \in [x_{k-1},x_k] \equiv inf_{[x_{k-1},x_k]} f(x) </math>

* :<math>M_k\mathcal{R} = sup\{(x,y)\in\R^2,\,0 \le y \le f(x):, x \in [x_{k-1}a,x_kb] \equiv sup_{[x_{k-1},x_k]} f(x) .</math>

Se la [[Funzione (matematica)|funzione]] <math>f</math> cambia segno su <math>[a,b]</math> allora l'integrale rappresenta una [[Addizione|somma]] di [[Area|aree]] con segno diverso.

Questi due punti corrispondono all'ordinata minore nell'intervallo (m_k) e all'ordinata maggiore dell'internvallo (M_K).

==Definizione==

Si definisce '''somma integrale inferiore''' (relativa alla partizione P):

La prima definizione rigorosa a essere stata formulata di integrale di una [[Funzione (matematica)|funzione]] su un intervallo è l'[[integrale di Riemann]], formulato da [[Bernhard Riemann]], anche se per definirlo si preferisce utilizzare la [[Integrale di Darboux|formulazione data da Gaston Darboux]].

L'[[integrale di Lebesgue]] consente di integrare una più vasta classe di funzioni rispetto all'integrale di Riemann. Per mostrare la relazione tra i due integrali è necessario utilizzare la classe delle [[funzione continua|funzioni continue]] a [[funzione a supporto compatto|supporto compatto]], per le quali l'integrale di Riemann esiste sempre. Siano <math>f</math> e <math>g</math> due funzioni continue a supporto compatto su <math>\mathbb{R}^1</math>. Si può definire la loro [[Distanza (matematica)|distanza]] nel seguente modo:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 68|rudin}}.</ref>

<math>s(P) = \sum_{k=1}^n m_k (x_k-x_{k-1})</math>

:<math>\operatorname {d}(f,g)= \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)-g(t)| \ \mathrm dt.</math>

Ammettendo che f assuma valori positivi nell'intervallo, la s(P) è la somma dei rettangoli inscritti alla regione del piano.

Munito della funzione distanza, lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto è uno [[spazio metrico]]. Il [[spazio completo|completamento]] di tale spazio metrico è l'insieme delle funzioni integrabili secondo Lebesgue.<ref>Si pone in tale contesto che due funzioni uguali [[quasi ovunque]] siano coincidenti.</ref><ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 69|rudin}}.</ref>

Si definisce '''somma integrale superiore''' (relativa alla partizione P):

In letteratura esistono diversi altri operatori di integrazione, tuttavia essi godono di minore diffusione rispetto a quelli di Riemann e Lebesgue.

<math>S(P) = \sum_{k=1}^n M_k (x_k-x_{k-1})</math>

===Integrale di Riemann-Darboux===

Analogamente su quanto detto prima, S(P) è la somma delle aree dei triangoli circoscritti alla regione R.

{{vedi anche|Integrale di Riemann|Integrale di Darboux}}

Sia <math>PC[a,b]</math> l'insieme delle funzioni limitate e [[Funzione continua|continue]] a tratti sull'intervallo <math>[a,b]</math>, e tali da essere continue da destra:

:<math>\lim_{x\to y^+} f(x) = f(y).</math>

'''Lemma''': Sia <math>m_k \leq f(x) \leq M_k \ \forall x \in [a,b]</math> allora per ogni coppia di partizioni P,Q di [a,b] si ha:

La [[Norma (matematica)|norma]] di tali funzioni può essere definita come:

<math>m(b-a) \leq s(P) \leq S(Q) \leq M (b-a)</math>.

:<math>\| f \|_\infty = \sup_{x \in [a,b]} |f(x)|.</math>

Siano

Consideriamo <math>n+1</math> punti <math>a=x_0 < x_1< \dots <x_{n-1}<x_n=b</math>. L'insieme <math>P=\{a, x_1, \dots ,x_{n-1},b\}</math> viene detto partizione di <math>[a,b]</math>. Costruiamo gli <math>n</math> intervalli <math>I_k =[x_{k-1},x_k)</math>. Sia <math>\chi_{I_k}(x)</math> la [[funzione indicatrice]] del <math>k</math>-esimo intervallo della partizione. Consideriamo inoltre <math>n</math> numeri reali <math>c_1, \dots, c_n</math>. Chiamiamo [[funzione costante]] a tratti, o funzione a scala, una funzione <math>\varphi</math> che vale <math>c_k</math> in <math>I_k</math> per ogni <math>k \in \{1,\dots,n\} </math>. Esplicitamente:

<math>\delta = s(p) \ \forall P </math> partizione di [a,b]

:<math>\Sigma = Svarphi(px)= c_k, \quad \forall Px\in </math>I_k, partizione\ di\ [a\forall k \in \{1,b]\dots,n\}.</math>

Osserviamo che la funzione <math>\varphi</math> è definita solo nell'intervallo <math>[a,b)</math>, ma possiamo definire <math>\varphi(b)=c_n</math>. Osserviamo inoltre che le funzioni a scala così definite sono continue da destra e continue a tratti in <math>[a,b]</math>.

Dal lemma precedente possiamo dedurre che gli insiemi <math> \delta, \ \Sigma</math> sono separati cioè:

Ogni funzione a scala si può scrivere in forma compatta:

<math>\forall s \in \delta, \ \forall S \in \Sigma</math> si ha che <math>s \leq S</math>.

:<math>\varphi (x)= \sum_{k=1}^n c_k\chi_{I_k}(x).</math>

L'assioma di completezza di R afferma allora che esiste almeno un numero reale <math>\xi \in \R</math> tale che:

Si può dimostrare che somma e prodotto di funzioni a scala è ancora una funzione a scala. In particolare l'insieme <math>S[a,b]</math> delle funzioni a scala definite nell'intervallo <math>[a,b]</math> costituisce uno [[spazio vettoriale]] normato, con norma data da:

<math>s \leq \xi \leq S \ \forall s \in \delta \ \forall S \in \Sigma</math>

:<math>\| \sum_{i=1}^n c_i \chi_i(x) \|_\infty = \sup_{x \in [a,b]} |\sum_{i=1}^n c_i \chi_i(x)| = \max_{i=1,\dots,n}|c_i| \qquad c_i \in \R.</math>

Se vi è un unico elemento di separazione <math>\xi</math> tra <math>\delta, \ \Sigma</math> allora si dice che f(x) è integrabile in [a,b] secondo Riemann e l'elemento <math>\xi</math> si indica con:

L'insieme <math>S[a,b]</math> è [[insieme denso|denso]] in <math>PC[a,b]</math>. Si definisce la [[trasformazione lineare]] limitata <math>I:S[a,b] \to \R</math> nel seguente modo:<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 10|reed}}.</ref>

<math>\int_{a}^{b} f(x) dx </math>

:<math>I \left[ \sum_{k=1}^n c_k \chi_{I_k}(x) \right] = \sum_{k=1}^n c_k (x_k - x_{k-1}).</math>

e si chiama integrale definito di f in [a,b]. I numeri a,b sono detti estremi di integrazione ed f è detta funzione integranda (a primo estremo, b secondo estremo). La variabile di integrazione è una variabile muta cioè <math>\int f(x)dx</math> ha lo stesso significato <math>\int f(t)dt</math>, <math>\int f(j)dj</math>. Il dx è detto differenziale della variabile di integrazione.

Si dimostra che un [[Operatore lineare continuo|operatore lineare limitato]] che mappa uno [[spazio vettoriale normato]] in uno spazio normato [[spazio completo|completo]] può essere sempre esteso in modo unico a un operatore lineare limitato che mappa il completamento dello spazio di partenza nel medesimo spazio di arrivo. Poiché i numeri reali costituiscono un insieme completo, l'operatore <math>I</math> può quindi essere esteso a un operatore <math>\hat I</math> che mappa il completamento <math>\hat S[a,b]</math> di <math>S[a,b]</math> in <math>\R</math>.

=== Definizione ===

Si definisce integrale di Riemann-Darboux l'operatore <math>\hat I\colon \hat S[a,b] \to \R </math>, e si indica con:<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 11|reed}}.</ref>

'''Definizione (Integrale secondo Riemann)''' - L'''integrale'' di ''f'' nell'intervallo chiuso è limitato <math>\ [a,b]</math> è il limite per n che tende ad infinito della somma integrale <math>\ \sigma_{n}={{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) </math>, se tale limite esiste finito e non dipende dalla scelta dei punti <math>\ t_s</math>:

<center><math>\ \int^{b}_{a} f(x)\, dx= \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n}= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})</math></center>

:<math>\hat I(f):= \int_a^b f(x) \ \mathrm dx.</math>

L'esistenza di un unico elemento separatore tra <math>\delta \ \Sigma</math> nella definizione precedente è equivalente a richiedere che:

===Integrale di Lebesgue===

<math>s(f) = S(f)</math>

{{Vedi anche|Integrale di Lebesgue}}

Sia <math>\mu</math> una [[Misura (matematica)|misura]] su una [[sigma-algebra]] <math>X</math> di sottoinsiemi di un insieme <math>E</math>. Ad esempio, <math>E</math> può essere un [[spazio euclideo|''n''-spazio euclideo]] <math>\R^n</math> o un qualche suo sottoinsieme [[misura di Lebesgue|Lebesgue-misurabile]], <math>X</math> la sigma-algebra di tutti i sottoinsiemi Lebesgue-misurabili di <math>E</math> e <math>\mu</math> la misura di Lebesgue.

Nella teoria di Lebesgue gli integrali sono limitati a una classe di funzioni, chiamate [[funzione misurabile|funzioni misurabili]]. Una funzione <math>f</math> è misurabile se la [[controimmagine]] di ogni insieme aperto <math>I</math> del codominio è in <math>X</math>, ossia se <math>f^{-1}(I)</math> è un insieme misurabile di <math>X</math> per ogni aperto <math>I</math>.<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 8|rudin}}.</ref> L'insieme delle funzioni misurabili è chiuso rispetto alle operazioni algebriche, e in particolare la classe è chiusa rispetto a vari tipi di limiti puntuali di successioni.

in questo caso:

Una funzione semplice <math>s</math> è una [[combinazione lineare]] finita di [[funzione indicatrice|funzioni indicatrici]] di [[insieme misurabile|insiemi misurabili]].<ref name=def>{{Cita|W. Rudin|Pag. 15|rudin}}.</ref> Siano i [[numero reale|numeri reali]] o [[numero complesso|complessi]] <math>a_1, \ldots, a_n </math> i valori assunti dalla funzione semplice <math>s</math> e sia:

<math>s(f) = S(f) = \int_{a}^{b}f(x)dx</math>

:<math>A_i = \{x : s(x) = a_i \}.</math>

La funzione limitata f(x) è integrabile in [a,b] se e solo se

Allora:<ref name=def/>

<math>\forall \epsilon \,>\, 0 \exists P \in [a,b] \to S(P) - s(p) < \epsilon</math>

:<math>s(x)=\sum_{i=1}^n a_i \chi_{A_i}(x),</math>

Se la funzione integrabile f(x) è positiva allora l'integrale assume il significato di area della regione:

dove <math>\chi_{A_k}(x)</math> è la [[funzione indicatrice]] relativa all'insieme <math>A_i</math> per ogni <math>i.</math>

<math>r = {(x,y),0 \leq y \leq f(x), x \in [a,b]}</math>.

L'integrale di Lebesgue di una funzione semplice è definito nel seguente modo:

Se la funzione f cambia segno su [a,b] allora l'integrale rappresenta una somma di aree con segno diverso.

:<math>\int_F s \, \mathrm d \mu = \sum_{i=1}^n a_i \mu (A_i \cap F), \quad F \in X.</math>

== Condizione d'integrabilità==

La seguente è condizione sufficiente ai fini dell'integrabilità di una funzione

Sia <math>f</math> una funzione misurabile non negativa su <math>E</math> a valori sulla [[retta reale estesa]]. L'integrale di Lebesgue di <math>f</math> sull'insieme <math>F</math> rispetto alla misura <math>\mu</math> è definito nel seguente modo:<ref name=int>{{Cita|W. Rudin|Pag. 19|rudin}}.</ref>

Se la funzione <math>\ f:[a,b] \to \R </math> è continua (e quindi continua uniformemente), allora è integrabile.

:<math>\int_F f\, \mathrm d\mu := \sup \int_F s \, \mathrm d \mu,</math>

Per provare ciò si suddivide l'intervallo <math>\ [a,b]</math> in n sottointervalli <math>\ [x_{i-1},x_{i}]</math> di uguale ampiezza <math>\delta x = {{(b - a)} \over {n}}</math>, si sceglie in ogni intervallo un punto <math>\ t_{i}</math> interno a <math>\ [x_{i-1},x_{i}]</math> e si confeziona la somma integrale

<center><math>\ \sigma_{n}= \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \delta x_{s}= {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) </math></center>.

Ponendodove <math>\l'estremo M_i</math>superiore edè valutato considerando tutte le funzioni semplici <math>\ m_is</math> iltali massimo ed il minimo diche <math>0 \le s \le f</math>. inIl ognivalore dell'integrale è un numero nell'intervallo <math>\ [x_{i-1}0,x_{i}\infty]</math> si costruiscono quindi le somme .

L'insieme delle funzioni tali che:

<center><math>\ S_{n}= \sum_{i=1}^{n} M_{i}(x_{i}-x_{i-1})</math></center>

<center><math>\ s_{n}= \sum_{i=1}^{n} m_{i}(x_{i}-x_{i-1})</math></center>

:<math>\int_E |f| \, \mathrm d\mu < \infty</math>

Ovviamente si ha che all'aumentare di n <math>\ S_{n}</math> diminuisce, mentre <math>\ s_{n}</math> cresce. Essendo allora le due [[successione (matematica)|successioni]] [[Funzione monotona|monotone]], esse ammettono un limite, il quale è finito.

Essendo ora <math>\ m_{i} \le f(t_{i}) \le M_{i}</math>, si avrà che <math>\ s_{n} \le \sigma_{n} \le S_{n}</math>

Perè ildetto teoremainsieme di [[Limite (matematica)#Limite didelle funzioni daintegrabili <math>\realssu \,\!</math> a <math>\reals \,\!E</math>|esistenza delsecondo limiteLebesgue dirispetto successionialla monotone]] risultamisura <math>\ s_{n} \to smu</math>, edo <math>\anche S_{n}insieme \todelle S</math>funzioni sommabili, ed è denotato con <math>L^1(\ s \le Smu)</math>.

All'affinarsi della partizione di <math>\ [a,b]</math> risulta <math>\ s = S</math>.

Infatti è possibile fissare un <math>\ \epsilon</math> piccolo a piacere ed un numero di suddivisioni della partizione sufficientemente grande da far risultare

<center><math>\ S_{n}-s_{n}= \sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})< \epsilon </math></center>

Infatti, per la continuità uniforme di f, la differenza <math>\ M_{i}-m_{i} </math> minore di <math>\ {{ \epsilon} \over {(b-a)}} </math>, se la distanza dei rispettivi punti di massimo e di minimo è minore di un <math>\ \lambda </math> opportunamente scelto, il quale può essere determinato in dipendenza da <math>\ \epsilon</math>.

Ovvero per un numero di n suddivisioni abbastanza elevato si ha

<center><math>\ S_{n}-s_{n}= \sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})< {{ \epsilon} \over {(b-a)}} \sum_{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1}) = \epsilon </math></center>.

Essendo la precedente espressione valida anche definitivamente, per il teorema del confronto delle successioni si avrà:

<center><math>\ \lim_{n \to + \infty} (S_{n}-s_{n}) \le \epsilon </math></center>

ovvero

<center><math>\ S-s \le \epsilon </math></center>

da cui, data l'arbitrarietà del fattore <math>\ \epsilon</math> risulta che con il passaggio al limite la differenza tra le somme integrali massimante e minimante tende a zero, da cui:

<center><math>\ S=s=I </math></center>

Finalmente essendo <math>\ s_{n} \le \sigma_{n} \le S_{n}</math>, per il teorema del confronto risulta <math>\ \sigma_{n} \to I </math> da cui si deduce che se la funzione integranda è continua su un compatto <math>\ [a,b]</math>, l'operazione di integrazione non dipende dalla scelta dei punti interni agli intervalli <math>\ [x_{i-1},x_{i}]</math>, ovvero la funzione è integrabile.

Anche l'integrale di Lebesgue è un [[funzionale lineare]], e considerando una funzione definita su un intervallo <math>I</math> il [[Teorema di rappresentazione di Riesz|teorema di Riesz]] permette di affermare che per ogni funzionale lineare <math>\lambda</math> su <math>\Complex</math> è associata una [[misura di Borel]] finita <math>\mu</math> su <math>I</math> tale che:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 34|rudin}}.</ref>

Non tutte le funzioni limitate sono integrabili.

:<math>\lambda f = \int_I f\, \mathrm d\mu.</math>

La continuità è una condizione sufficiente ma non necessaria per l'integrabilità.

In questo modo il valore del funzionale dipende con continuità dalla lunghezza dell'intervallo di integrazione.

== Proprietà degli integrali ==

=== Integrale in più variabili ===

=== Linearità===

{{vedi anche|Integrale multiplo}}

Sia <math>x = (x_1, \dots ,x_k) </math> un vettore nel campo reale. Un insieme del tipo:

:<math>I^k = \{x:\quad a_i \le x_i \le b_i \quad 1 \le i \le k \}</math>

Siano ''f'' e ''g'' due funzioni continue definite in un intervallo ''[a, b]'' e siano <math>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</math>. Allora:

<math>\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \alpha \int_a^b f(x) dx + \beta \int_a^b g(x) dx</math>

è detto ''<math>k</math>-cella''. Sia <math>f_k</math> definita su <math>I^k</math> una funzione continua a valori reali, e si definisca:

:<math>f_{k-1}(x_1, \dots ,x_{k-1}) = \int_{a_k}^{b_k} f_{k}(x_1, \dots ,x_k)d x_k.</math>

'''''Prova''''':

Dalla definizione si ha che

<center><math>\ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} [\alpha f(t_{s}) + \beta g(t_{s})]</math></center>

Tale funzione è definita su <math>I^{k-1}</math> ed è a sua volta continua a causa della continuità di <math>f_k</math>. Iterando il procedimento si ottiene una classe di funzioni <math>f_j</math> continue su <math>I^j</math> che sono il risultato dell'integrale di <math>f_{j+1}</math> rispetto alla variabile <math>x_{j+1}</math> sull'intervallo <math>[a_{j+1},b_{j+1}]</math>. Dopo <math>k</math> volte si ottiene il numero:

da cui

<center><math>\ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} [\alpha \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) + \beta \sum_{s=1}^{n} g(t_{s})]</math></center>

:<math>f_0 = \int_{a_1}^{b_1} f_1(x_1)d x_1.</math>

dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha

Si tratta dell'integrale di <math>f_k(x)</math> su <math>I^k</math> rispetto a <math>x</math>, e non dipende dall'ordine con il quale vengono eseguite le <math>k</math> integrazioni.

<center><math>\ \int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \alpha \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) + \beta \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} g(t_{s})</math></center>

In particolare, sia <math>g(x) = f_1(x_1) \dots f_k(x_k)</math>. Allora si ha:

da cui discende la proprietà di linearità

:<math>\int_{I^k} g(x)dx = \prod_{i=1}^{k} \int_{a_i}^{b_i} f_i(x_i)dx_i.</math>

=== Additività ===

Inoltre, sia <math>f</math> una [[funzione a supporto compatto]] e si ponga che <math>I^k</math> contenga il supporto di <math>f</math>. Allora è possibile scrivere:

Sia ''f'' continua e definita in un intervallo ''[a, b]'' e sia <math>c \in [a, b]</math>. Allora:

<math>\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx</math>

:<math>\int_{I^k} f = \int_{\R^k} f.</math>

Nell'ambito della teoria dell'integrale di Lebesgue è possibile estendere questa definizione a insiemi di funzioni più ampi.

'''''Prova''''': Dalla definizione si ha che

Una proprietà di notevole importanza dell'integrale di una funzione in più variabili è la seguente. Siano:

<center><math>\ \int^{b}_{a} f(x)\, dx= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s})</math></center>

da cui se si ha* <math>T\colon cE\subset \inR^k \to \R^k [a,b]</math> esistonouna un[[funzione iniettiva]] di valoreclasse <math>\ hC^1</math> eddefinita su un valoreaperto <math>\ kE</math> e tale che la cuisua somma[[matrice èjacobiana]] <math>\ nJ_T(x)</math> talisia chediversa perda un0 affinamentoovunque sufficientein della partizione risulti<math>E</math>.

* <math>f</math> una [[funzione a supporto compatto]] continua definita su <math>\R^k </math> e tale che <math>T(E)</math> contenga il [[Supporto (matematica)|supporto]] di <math>f</math>.

Allora si ha:

<center><math>\ {{b-c} \over {h}} = {{c-a} \over {k}} = \delta x</math></center>

:<math>\int_{\R^k} f(y)dy = \int_{\R^k} f(T(x))|J_T(x)|dx.</math>

L'integrando <math>f(T(x))|J_T(x)|</math> ha un supporto compatto grazie all'invertibilità di <math>T</math>, dovuta all'ipotesi <math>J_T(x) \ne 0 </math> per ogni <math>x \in E</math> che garantisce la continuità di <math>T^{-1}</math> in <math>T(E)</math> per il [[teorema della funzione inversa]].

<center><math>\ \int^{b}_{a} f(x)\, dx= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} ([ \sum_{s=1}^{n-k} f(t_{s})] + [ \sum_{s=h+1}^{n} f(t_{s})] ) </math></center>

=== Integrale curvilineo ===

da cui distribuendo la misura dell'intervallo

{{Vedi anche|Integrale di linea|Integrale di superficie}}

Dato un [[campo scalare]] <math> f\colon \R^n \to \R</math>, si definisce l'integrale di linea ([[integrale di linea di prima specie|di prima specie]]) su una curva <math>C</math>, parametrizzata da <math>\mathbf{r}(t)</math>, con <math>t \in [a, b]</math>, come:<ref>{{Cita web

|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Curvilinear_integral

|titolo=Encyclopedia of Mathematics - Curvilinear integral

|autore=L.D. Kudryavtsev

|anno=2012

}}</ref>

:<math>\int_C f\ \operatorname d\!s = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| \,\mathrm{d}t,</math>

dove il termine <math>\mathrm{d}s</math> indica che l'integrale è effettuato su un'[[ascissa curvilinea]]. Se il dominio della funzione <math>f</math> è <math>\mathbb{R}</math>, l'integrale curvilineo si riduce al comune [[integrale di Riemann]] valutato nell'intervallo <math>[r(a),r(b)]</math>. Alla famiglia degli integrali di linea appartengono anche gli [[integrali ellittici]] di prima e di seconda specie, questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della [[Indice di concentrazione#Curva di Lorenz|curva di Lorenz]].

<center><math>\ \int^{b}_{a} f(x)\, dx= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n-k} f(t_{s}) + \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=h+1}^{n} f(t_{s})</math></center>

Similmente, per un [[campo vettoriale]] <math>\mathbf{F} : \R^n \to \R^n</math>, l'integrale di linea ([[integrale di linea di seconda specie|di seconda specie]]) lungo una curva <math>C</math>, parametrizzata da <math>\mathbf{r}(t)</math> con <math>t \in [a, b]</math>, è definito da:<ref name=mathworld>{{Cita web

In cui <math>\ n-k=h</math> e, considerando l'intervallo <math>\ [c,b]</math>, l'indice <math>\ s=h+1,...,n</math> può essere riscritto come <math>\ s=1,...,k</math> in quanto <math>\ t_{h+1}</math> è il valore superiore del primo intervallo della partizione di <math>\ [c,b]</math>. Risulta allora ( ricordando che <math>\ {{b-c} \over {h}} = {{c-a} \over {k}} = \delta x</math>)

|url=http://mathworld.wolfram.com/LineIntegral.html

|titolo=MathWorld - Line Integral

|autore=Eric Weisstein

|anno=2012

}}</ref>

:<math>\int_C \mathbf{F} = \int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t.</math>

==Continuità e integrabilità==

<center><math>\ \int^{b}_{a} f(x)\, dx= \lim_{h \to + \infty} {{c-a} \over {h}} \sum_{s=1}^{h} f(t_{s}) + \lim_{k \to + \infty} {{b-c} \over {k}} \sum_{s=1}^{k} f(t_{s})</math></center>

{{Vedi anche|Funzione integrabile}}

Una [[condizione sufficiente]] ai fini dell'integrabilità è che una funzione definita su un intervallo chiuso e limitato sia continua: una [[funzione continua]] definita su un [[Spazio compatto|compatto]], e quindi [[continuità uniforme|continua uniformemente]] per il [[teorema di Heine-Cantor]], è integrabile.

{{Approfondimento|titolo=Dimostrazione|larghezza=100%|contenuto=

Si suddivida l'intervallo <math>[a,b]</math> in <math>n</math> sottointervalli <math>[x_{i-1},x_{i}]</math> di uguale ampiezza:

:<math>\delta x = {{(b - a)} \over {n}}.</math>

Si scelga in ogni intervallo un punto <math>t_{i}</math> interno a <math>[x_{i-1},x_{i}]</math> e si definisce la somma integrale:

da cui discende la proprietà di additività

:<math>\sigma_{n}= \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \,\delta x_{s}= {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}).</math>

Ponendo <math>M_i</math> e <math>m_i</math> il massimo e il minimo di <math>f</math> in ogni intervallo <math>[x_{i-1},x_{i}]</math> si costruiscono quindi le somme:

=== Monotonia (o th. del confronto) ===

:<math>S_{n}= \sum_{i=1}^{n} M_{i}(x_{i}-x_{i-1}), \qquad s_{n}= \sum_{i=1}^{n} m_{i}(x_{i}-x_{i-1}).</math>

Siano ''f'' e ''g'' due funzioni continue definite in un intervallo ''[a, b]'' e tali che <math>f(x) \le g(x)</math> in ''[a, b]''. Allora <math>\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx</math>

All'aumentare di <math>n</math>, si ha che <math>S_{n}</math> diminuisce e <math>s_{n}</math> cresce. Essendo allora le due [[successione (matematica)|successioni]] [[Funzione monotona|monotone]], esse ammettono un limite, il quale è finito. Sia ora:

:<math>\ m_{i} \le f(t_{i}) \le M_{i}.</math>

'''''Prova''''':

Infatti se si ha che <math>f(x) \le g(x)</math> nel compatto <math>\ [a,b]</math>, effettuando una partizione di tale compatto la (ovviamente la disuguaglianza permane) e moltiplicando da ambo i lati per il fattore <math>\ {{b-a} \over {n}}</math> si ottiene

<center><math>\ {{b-a} \over {n}} f(t_{s}) \le {{b-a} \over {n}} g(t_{s})</math></center> per ogni <math>\ t_{s}</math>.

A questo punto se la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto vale la seguente

Si ha che:

<center><math>\ \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} f(t_{s}) \le \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} g(t_{s})</math></center>

:<math>\ s_{n} \le \sigma_{n} \le S_{n}.</math>

Come conseguenza del corollario del [[Limite (matematica)|teorema della permanenza del segno dei limiti]], applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata

Per il [[teorema di esistenza del limite di successioni monotone]] risulta <math>s_{n} \to s</math> e <math>S_{n} \to S</math>, con <math>s \le S</math>. All'affinarsi della partizione di <math>[a,b]</math> risulta <math>s = S</math>, infatti è possibile fissare un <math>\varepsilon</math> piccolo a piacere e un numero di suddivisioni della partizione sufficientemente grande da far risultare:

<center><math>\ \lim_{n \to + \infty} \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} f(t_{s}) \le \lim_{n \to + \infty} \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} g(t_{s})</math></center>

:<math>S_{n}-s_{n}= \sum_{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})< \varepsilon,</math>

poiché per la continuità uniforme di <math>f</math> si ha:

Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali

:<math>M_{i}-m_{i} < {{ \varepsilon} \over {(b-a)}}.</math>

=== Valore assoluto ===

Cioè, per un numero di <math>n</math> suddivisioni abbastanza elevato:

(lo si potrebbe considerare come un "[[corollario]]" del th. del Confronto)<br />

Sia ''f'' e ''g'' integrabile in un intervallo ''[a, b]'', allora si ha:

:<math>\left |S_{n}-s_{n}= \int_asum_{i=1}^b f{n}(xM_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})< dx{{ \right |varepsilon} \leover \int_a^{(b-a)}} \left | fsum_{i=1}^{n}(xx_{i}-x_{i-1}) = \right | dxvarepsilon.</math>

Per il teorema del confronto delle successioni si ha:

:<math>\ \lim_{n \to + \infty} (S_{n}-s_{n}) \le \varepsilon,</math>

'''''Prova''''':

Essendo valida la relazione <math>- | f(t_{s}) | \le f(t_{s}) \le | f(t_{s}) |</math> per ogni s, è possibile sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:

ossia:

<math>- \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) | \le \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \le \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) |</math>.

:<math>S-s \le \varepsilon,</math>

Moltiplicando ogni membro per il fattore <math>\ {{b-a} \over {n}}</math> ed applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali

da cui, data l'arbitrarietà del fattore <math>\varepsilon</math>, risulta che con il passaggio al limite la differenza tra le somme integrali massimante e minimante tende a zero. Da questo segue che:

<math>- \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) | \le \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \le \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) |</math>.

:<math>S=s=I.</math>

In definitiva, essendo:

<center><math>- \int_a^b |f(x)| dx \le \int_a^b f(x) dx \le \int_a^b |f(x)| dx </math></center>

:<math>s_{n} \le \sigma_{n} \le S_{n},</math>

ove quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come

per il teorema del confronto risulta <math>\sigma_{n} \to I </math>, da cui si deduce che se la funzione integranda è continua su un compatto <math>[a,b]</math> allora l'operazione di integrazione non dipende dalla scelta dei punti interni agli intervalli <math>[x_{i-1},x_{i}]</math>, ovvero la funzione è integrabile.

<center><math>\left | \int_a^b f(x) dx \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | dx</math></center>

}}

=== Assoluta integrabilità ===

Una funzione <math>f</math> si dice assolutamente integrabile su un [[intervallo aperto]] del tipo <math>[a,+\infty)</math> se su tale intervallo è integrabile <math>\left|f\right|</math>. Non tutte le funzioni integrabili sono assolutamente integrabili: un esempio di funzione di questo tipo è <math>\sin x / x</math>. Viceversa, il teorema sull'esistenza degli integrali impropri all'infinito garantisce che una funzione <math>f</math> assolutamente integrabile sia integrabile su un intervallo del tipo <math>[a,+\infty)</math>.

{{Approfondimento|titolo=Dimostrazione|larghezza=100%|contenuto=

la quale è proprio la proprietà del valore assoluto degli integrali.

Infatti, una [[condizione necessaria e sufficiente]] affinché <math> \int_{a}^{+\infty}\!f(x) \,\mathrm{d}x </math> esista finito è che per ogni <math>\varepsilon>0 </math> esista <math> \gamma >0</math> tale che per ogni <math>x_1,x_2 <\gamma </math> si abbia:

:<math>\left| \int_{x_1}^{x_2}f(x) \,\mathrm{d}x\right | <\varepsilon.</math>

Sostituendo in quest'ultima espressione <math>f(x)</math> con <math>|f(x)|</math> la condizione di esistenza diventa:

=== '''Teorema della media''' ===

:<math>\left| \int_{x_1}^{x_2} \left | f(x) \,\mathrm{d}x \right | \right |<\varepsilon,</math>

{{Matematica voce|Teorema|Teorema della media integrale|

Se <math>f:[a,b]\to \mathbb R\!</math> è [[funzione continua|continua]] allora esiste <math>c \in [a,b]\!</math> tale che <math>{{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} f(x)\,dx=f(c)\!</math>.

}}

da cui si ha:

{{Vedi anche|Teorema della media integrale}}

:<math>\left | \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | \,\mathrm{d}x</math>

{{Vedi anche|Teorema della media pesata}}

e quindi si può scrivere:

== Esempio di calcolo di un integrale ==

Supponiamo di fissare un sistema di riferimento cartesiano attraverso le [[Retta|rette]] [[Ortogonale|ortogonali]] ed orientate delle ascisse e delle ordinate. Supponiamo ora che su tale sistema di assi sia definita una retta la cui equazione esplicita è <math>\ f(x)=mx</math>. Si vuole calcolare l'integrale di tale retta definita sul compatto <math>\ [a,b]</math> situato sull'asse delle ascisse.

:<math>\int_{x_1}^{x_2} \left | f(x)\,\mathrm{d}x\right |<\varepsilon.</math>

Supponiamo per semplicità che i punti a e b si trovino sul semiasse positivo delle ascisse e siano entrambi positivi.

Si ricava così che <math>f(x)</math> è integrabile.

Allora l'area sottesa alla retta considerata nel compatto <math>\ [a,b]</math> è pari all'area di un trapezio che "poggiato" in orizzontale sull'asse delle ascisse è caratterizzato da un'altezza pari a <math>\ b-a</math>, base maggiore <math>\ mb</math> e base minore <math>\ ma</math>. L'area di tale figura è data, come noto dalla geometria elementare, dalla formula <math>\ {{1} \over {2}}(mb+ma)(b-a)</math>, ovvero

}}

<center><math>\ m{{b^2-a^2} \over {2}}</math></center>

===Teorema di Vitali-Lebesgue===

Nell'ottica di effettuare il calcolo dell'integrale di questa retta definita nel compatto <math>\ [a,b]</math> effettuiamo una partizione di tale intervallo, dividendolo in n parti uguali

Il teorema di Vitali-Lebesgue è un teorema che consente di individuare le funzioni definite su uno spazio <math> \R^n </math> che siano [[integrale di Riemann|integrabili secondo Riemann]]. Fu dimostrato nel 1907 dal matematico italiano [[Giuseppe Vitali (matematico)|Giuseppe Vitali]] contemporaneamente e indipendentemente con il matematico francese [[Henri Lebesgue]].

Data una funzione su <math>\R^n </math> che sia [[funzione limitata|limitata]] e nulla al di fuori di un [[insieme limitato|sottoinsieme limitato]] di <math>\R^n</math>, essa è integrabile secondo Riemann se e solo se è trascurabile l'insieme dei suoi [[funzione continua|punti di discontinuità]]. Se si verifica questo, la funzione è anche [[Integrale di Lebesgue|integrabile secondo Lebesgue]] e i due integrali coincidono. Nel caso in cui <math>n=1</math> l'enunciato assume la seguente forma: una funzione <math>f</math> limitata in un intervallo <math>[a, b]</math> è ivi integrabile secondo Riemann se e solo se l'insieme dei suoi punti di discontinuità è di [[misura (matematica)|misura]] nulla rispetto alla [[misura di Lebesgue]].<ref>{{Cita web |url=http://sole.dimi.uniud.it/~gianluca.gorni/Dispense/VitaliLebesgue.pdf |titolo=Gianluca Gorni - Il teorema di Vitali-Lebesgue |accesso=9 agosto 2014 |urlarchivio=https://web.archive.org/web/20140810003543/http://sole.dimi.uniud.it/~gianluca.gorni/Dispense/VitaliLebesgue.pdf |dataarchivio=10 agosto 2014 |urlmorto=sì }}</ref>

<center><math>\ x_{0}=a; \, \, \, x_{1}=a+{{b-a} \over {n}}; \, \, \, x_{2}= a+2{{b-a} \over {n}};...; \, \, \, x_{n}= a+n{{b-a} \over {n}}=b </math></center>

== Calcolo differenziale e calcolo integrale ==

Nel generico intervallo <math>\ [x_{i-1},x_{i}]</math> scegliamo come punto arbitrario il punto più esterno <math>\ x_{i}</math> (ma andrebbe bene qualsiasi punto dell'intervallo), considerando la funzione <math>\ y=mx</math> nel generico punto <math>\ x_{i}</math> interno all'intervallo <math>\ [x_{i-1},x_{i}]</math>.

{{vedi anche|Derivata}}

Il [[teorema fondamentale del calcolo integrale]], grazie agli studi e alle intuizioni di [[Leibniz]], [[Isaac Newton|Newton]], [[Evangelista Torricelli|Torricelli]] e [[Isaac Barrow|Barrow]], stabilisce la relazione esistente tra [[calcolo differenziale]] e calcolo integrale. Esso è generalizzato dal fondamentale [[teorema di Stokes]].

=== Funzioni primitive ===

Si avrà quindi <math>\ f(x_{i})=m[a+i{{b-a} \over {n}}]</math>, e la somma integrale di Riemann diventa <center><math>\ \sigma_{n} = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i}){{b-a} \over {n}} =m[a+i{{b-a} \over {n}}]{{b-a} \over {n}}=ma(b-a)+m({{b-a} \over {n}})^2 \sum_{i=1}^{n}i</math></center>

{{vedi anche|Primitiva (matematica)}}

Il [[problema inverso]] a quello della derivazione consiste nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle primitive di una funzione. Nel caso in cui <math>F</math> sia una primitiva di <math>f</math> (cioè se <math>F'(x) = f(x)</math>) allora, poiché la derivata di una funzione costante è nulla, anche una qualunque funzione del tipo:

:<math>G(x)=F(x)+c,</math>

nella quale la progressione aritmetica <math>\ \sum_{i=1}^{n}i= {{n(n+1)} \over {2}}</math> restituisce un'espressione delle somme di Riemann pari a

<center><math>\ \sigma_{n} = ma(b-a)+m(b-a)^2 {{n+1} \over {2n}}</math></center>

che differisca da <math>F(x)</math> per una costante arbitraria <math>c</math>, risulta essere primitiva di <math>f(x)</math>. Infatti:

Per passare dalle somme integrali di Riemann all'integrale vero e proprio è ora necessario, in conformità con la definizione di integrale, il passaggio al limite di suddette somme. Ovvero:

:<math>G'(x)=F'(x)+0 =f(x).</math>

<center><math>\ \int^{b}_{a} mx \, dx = \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n} = ma(b-a)+m(b-a)^2 \lim_{n \to + \infty} {{n+1} \over {2n}}</math></center>

CalcolandoQuindi, ilse limiteuna perfunzione <math>\ n \to \infty f(x)</math>, datoammette cheprimitiva <math>\F(x)</math> {{n+1}allora \overesiste {2n}}un'intera \toclasse \di {{1}primitive \overdel {2}}</math>, s'ottienetipo:

:<math>G(x)=F(x)+c.</math>

<center><math>\ \int^{b}_{a} mx \, dx = \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n} = ma(b-a)+{{m(b-a)^2} \over {2}} </math></center>

dalla quale, eseguendo la somma si ricava

<center><math>\ \int^{b}_{a} mx \, dx = m{{b^2-a^2} \over {2}} </math></center>

la quale è esattamente l'area del trapezio costruito dalla retta <math>\ y=mx</math> sul piano insieme all'asse delle ascisse.

Viceversa, tutte le primitive di <math>f(x)</math> sono della forma <math>F(x)+c</math>.

== Calcolo differenziale e calcolo integrale ==

In questa sezione vengono riportati i due teoremi fondamentali del calcolo integrale i quali, grazie agli studi ed alle intuizioni di [[Leibniz]], [[Newton]], [[Torricelli]] e [[Barrow]], stabiliscono l'intima connessione esistente tra [[calcolo differenziale]] e calcolo integrale.

=== Integrale indefinito ===

Vale il seguente

L'insieme delle [[Primitiva (matematica)|primitive]] di una funzione <math>f(x)</math> si chiama ''integrale indefinito'' di tale funzione. Il simbolo:

:<math>\int \!f(x) \,\mathrm{d}x,</math>

=== Teorema fondamentale del calcolo integrale ===

denota l'integrale indefinito della funzione <math>f(x)</math> rispetto a <math>x</math> e rappresenta un insieme di funzioni. La funzione <math>f(x)</math> è detta anche in questo caso ''funzione integranda''. In un certo senso (non formale), si può vedere l'integrale indefinito come "l'operazione inversa della derivata". Tuttavia, da un punto di vista formale, la derivazione non è iniettiva e quindi non è invertibile e l'operatore integrale restituisce l’insieme delle primitive che è vuoto oppure contiene infiniti elementi.

Ogni [[funzione continua]] in un intervallo ammette primitiva, ma non è detto che sia derivabile in ogni suo punto. Se <math>f</math> è una funzione definita in un intervallo nel quale ammette una primitiva <math>F</math>, allora l'integrale indefinito di <math>f</math> è:

{{vedi anche|teorema fondamentale del calcolo integrale}}

:<math>\int \!f(x) \,\mathrm{d}x= F(x)+c,</math>

''Una funzione <math>\ F</math> , continua e derivabile in un intervallo <math>\ [a,b]</math> è detta '''primitiva''' di f in <math>\ [a,b]</math> se:

dove <math>c</math> è una generica costante reale.

=== Funzione integrale ===

<center><math>\ F'(x)=f(x) \ \forall x \in [a,b]</math> </center>

Sia <math>f\colon I\to \mathbb R</math> una funzione definita su un intervallo <math>I = [a,b]</math>. Se la funzione è [[Funzione integrabile|integrabile]] su ogni intervallo chiuso e limitato <math>J</math> contenuto in <math>I</math>, al variare dell'intervallo <math>J</math> varia il valore dell'integrale. Si ponga <math>J = [x_0,x]</math>, dove <math>x_0</math> è fissato e l'altro estremo <math>x</math> è variabile: l'integrale di <math>f</math> su <math>J</math> diventa allora una funzione di <math>x</math>. Tale funzione si dice ''funzione integrale di <math>f</math>'' o ''integrale di [[Evangelista Torricelli|Torricelli]]'', e si indica con:

:<math>F(x) = \int_{x_0}^{x} \!f(t) \,\mathrm{d}t.</math>

Questo teorema viene definito teorema di [[Torricelli]].

La variabile di integrazione <math>t</math> è detta ''variabile muta'', e varia tra <math>x_0</math> e <math>x</math>.

Questo teorema è il "pilastro portante" dell'analisi integrale in quanto funge da collante tra calcolo differenziale e calcolo integrale, sancendo che un integrale può essere visto sotto forma di funzione e la forma algebrica di tale funzione è tale che la sua derivata coincide con la funzione integrata, a meno di una [[costante]].

Infatti esistono infinite funzioni la cui derivata coincide con <math>\ f(x)</math>, e tali funzioni di partenza si differenziano l'una dall'altra per un termine costante.

A causa di ciò una particolare forma della funzione la cui derivata è <math>\ f(x)</math> è detta ''primitiva'' di <math>\ f(x)</math>

=== Teorema fondamentale del calcolo integrale ===

=== Infinite Primitive ===

{{vedi anche|Teorema fondamentale del calcolo integrale}}

La prima parte del teorema è detta ''primo teorema fondamentale del calcolo'', afferma che la funzione integrale (come sopra definita)

:<math>F(x)=\int_a^x f(t)dt, \qquad a \le x \le b,</math>

Se ''F'(X) = f(x)'', allora ''D(F(X) + c) = f(x)'' dove ''c'' è una qualunque costante in <math>\mathbb{R}</math>. Quindi se una funzione ''f(x)'' ammette primitiva ''F(x)'', esiste un'intera classe di primitive del tipo ''G(x)=F(x)+c'', viceversa tutte le primitive di ''f(x)'' sono della forma ''F(x)+c''.

è una [[Primitiva (matematica)|primitiva]] della funzione di partenza. Cioè

==== Dimostrazione ====

:<math>F^\prime(x)=f(x),</math>

Sia H(x) = F(x) - G(x) e F(x), G(x) sono due primitive di f(x). Per definizione di primitiva effettuiamo il passaggio alla derivata prima:

La seconda parte del teorema è detta ''secondo teorema fondamentale del calcolo'', e consente di calcolare l'integrale definito di una funzione attraverso una delle sue primitive.

<math>H'(x) = F'(x) - G'(x) </math>

:<math>\int_a^b H'f(x) dx= fF(xb) - fF(xa) ,</math>

e tale relazione è detta ''formula fondamentale del calcolo integrale''.

<math>H'(x) = 0 \forall x \in [a,b]</math>

=== Lemma di derivazione degli integrali ===

Dato che H(x) si mantiene costante su tutto l'intervallo a,b vuol dire che H(x) è uguale a c. Da qui otteniamo la tesi.

Sia <math>I\subset\mathbb{R}</math> un intervallo, <math>f\colon \underset{(x,t)}{I}\underset{\mapsto}{\longrightarrow}\underset{f(x,t)}{\mathbb{R}}</math> funzione di classe <math>\mathcal{C}^1</math> in <math>x</math> e <math>\alpha,\beta\colon I\longrightarrow\mathbb{R}</math> curve di classe <math>\mathcal{C}^1</math>. Sia <math>\Phi\colon\underset{x}{I}\underset{\mapsto}{\longrightarrow}\underset{\Phi(x)}{\mathbb{R}}</math> la funzione integrale di classe <math>\mathcal{C}^1</math> definita come:

:<math>\Phi(x) = \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}\!\!\! f(x,t)dt \implies \Phi^\prime(x) = f(x,\beta(x))\cdot\beta^\prime(x) - f(x,\alpha(x))\cdot\alpha^\prime(x) + \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} \frac{\partial}{\partial x}f(x,t)dt.</math>

== Proprietà degli integrali ==

==== Condizione sufficiente per l'esistenza di una primitiva ====

Di seguito si riportano le proprietà principali dell'operatore integrale.

Se f(x) è continua in [a,b] allora f(x) ammette una (e dunque infinite) primitive (primo teorema fondamentale del calcolo integrale).

===Linearità===

==== Integrale Indefinito ====

Siano <math>f</math> e <math>g</math> due funzioni continue definite in un intervallo <math>[a, b]</math> e siano <math>\alpha, \beta \in \mathbb{R}</math>. Allora:

Sia f una funzione continua in un intervallo [a,b]: l'insieme di tutte le primitive di f in [a,b] si chiama integrale indefinito di f e si indica

:<math>\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \,\mathrm{d}x = \alpha \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x + \beta \int_a^b \!g(x) \,\mathrm{d}x.</math>

<math>\int f(x)\,dx</math>

{{Approfondimento|titolo=Dimostrazione|larghezza=100%|contenuto=

Infatti, dalla definizione si ha che:

:<math>\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \,\mathrm{d}x = \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} \,[\alpha f(t_{s}) + \beta g(t_{s})],</math>

mentre la forma funzionale generica (in cui la costante è indefinita) di tale funzione è detta ''[[integrale indefinito]]'' di <math>\ f(x)</math> e si indica con

da cui:

<center><math>\ \int f(x) \, dx= F(x)+c</math></center>

:<math>\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \,\mathrm{d}x = \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} [\alpha \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) + \beta \sum_{s=1}^{n} g(t_{s})].</math>

dove <math>\ c</math> rappresenta la costante indefinita. Valgono le stesse proprietà dell'integrale definito come linearità ed additività.

Dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:

Come conseguenza diretta del primo teorema fondamentale del calcolo integrale si ha il seguente

:<math>\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \,\mathrm{d}x = \alpha \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) + \beta \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} g(t_{s})</math>

=== '''Formula fondamentale del calcolo integrale del primo teorema''' ===

Se <math>\ f</math> è continua in <math>\ [a,b]</math>, ed <math>\ F</math> è una primitiva di <math>\ f</math> in <math>\ [a,b]</math> allora

da cui discende la proprietà di linearità.

<center><math>\ \int_{a}^{b} f(t) \, dt = F(b)-F(a)</math></center>

}}

=== Additività ===

Sia <math>f</math> continua e definita in un intervallo <math>[a, c]</math> e sia <math>b \in [a, c]</math>. Allora:

:<math>\int_a^c \!f(x) \,\mathrm{d}x = \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x + \int_b^c \!f(x) \,\mathrm{d}x.</math>

'''Dimostrazione.''' Come già notato in precedenza si ha

{{Approfondimento|titolo=Dimostrazione|larghezza=100%|contenuto=

<center><math>\ F(b)-F(a) = \int_{a}^{a} f(t)dt - \int_{a}^{b} f(t)dt = \int_{a}^{a} f(t)dt + \int_{a}^{b} f(t)dt - \int_{a}^{a} f(t)dt</math></center>

Infatti, dalla definizione si ha che:

:<math>\int^{b}_{a} \!f(x)\,\mathrm{d}x= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}),</math>

da cui si ottiene

da cui se si ha <math>c \in [a,b]</math> esistono un valore <math>h</math> e un valore <math>k</math> la cui somma è <math>n</math> tali che per un affinamento sufficiente della partizione risulti:

<center><math>\ \int_{a}^{b} f(t)dt = F(b)-F(a) </math></center>

ossia la tesi.

:<math>{\frac{b-c}{h}} = {\frac{c-a}{k}} = \delta x</math>

:<math>\int^{b}_{a} \!f(x) \,\mathrm{d}x= \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \left( \sum_{s=1}^{n-k} f(t_{s}) + \sum_{s=h+1}^{n} f(t_{s}) \right).</math>

La precedente è una vera e propria formula di calcolo per gli [[integrali definiti]].

Distribuendo la misura dell'intervallo:

== Metodi di integrazione ==

{{Vedi anche|Metodo di integrazione}}

:<math>\int^{b}_{a} \!f(x) \,\mathrm{d}x= \lim_{n \to + \infty} {\frac{b-a}{n}} \sum_{s=1}^{n-k} f(t_{s}) + \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=h+1}^{n} f(t_{s})</math>

== Esempio di calcolo di un integrale (2) ==

In base alle informazioni fornite dal primo teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo effettuare il calcolo di un integrale cercando una funzione la cui derivata coincide con la funzione da derivare. A questo scopo possono essere d'aiuto le [[Tavola degli integrali più comuni|tavole d'integrazione]].

in cui <math>n-k=h</math>. Considerando l'intervallo <math>[c,b]</math>, l'indice <math>s=h+1,\ldots,n</math> può essere riscritto come <math>s=1,\ldots,k</math> in quanto <math>t_{h+1}</math> è il valore superiore del primo intervallo della partizione di <math>[c,b]</math>. Ricordando che:

Così per effettuare il calcolo dell'integrale della funzione vista in precedenza <math>\ f(x)=mx</math> attraverso la ricerca di una primitiva si ricorre alla formula

<center>:<math>\{{b-c} \intover mx^{\alphah}} dx= {{mx^{ \alpha + 1}c-a} \over { \alpha + 1k}} += c\delta x,</math></center>

risulta allora:

la cui derivata coincide proprio con <math>\ mx^{\alpha}</math>.

:<math>\int^{b}_{a} \!f(x) \,\mathrm{d}x= \lim_{h \to + \infty} {{c-a} \over {h}} \sum_{s=1}^{h} f(t_{s}) + \lim_{k \to + \infty} {{b-c} \over {k}} \sum_{s=1}^{k} f\left(t(s)\right)</math>

Prendendo in considerazione la (già esaminata precedentemente) funzione <math>\ f(x)=mx</math> ed integrandola si ottiene

da cui discende la proprietà di additività.

<center><math>\ \int mx dx= {{mx^{2}} \over {2}} + c </math></center>.

}}

=== Monotonia (o teorema del confronto) ===

Siano <math>f</math> e <math>g</math> due funzioni continue definite in un intervallo <math>[a, b]</math> e tali che <math>f(x) \le g(x)</math> in <math>[a, b]</math>. Allora:

:<math>\int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x \le \int_a^b \!g(x) \,\mathrm{d}x.</math>

Mentre per quanto concerne l'integrale definito nel compatto <math>\ [a,b]</math> si ha, in forza del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

{{Approfondimento|titolo=Dimostrazione|larghezza=100%|contenuto=

<center><math>\ \int_{a}^{b} mx dx= [{{mb^{2}} \over {2}} + c] - [{{ma^{2}} \over {2}} + c] = m {{b^2-a^2} \over {2}} </math></center>

Infatti, se si verifica che <math>f(x) \le g(x)</math> nel compatto <math>\ [a,b]</math>, effettuando una partizione di tale intervallo la disuguaglianza permane e moltiplicando da ambo i lati per il fattore <math> b-a / n</math> si ottiene:

:<math>{{b-a} \over {n}} f(t_{s}) \le {{b-a} \over {n}} g(t_{s}),</math>

esattamente (ovviamente) lo stesso risultato ottenuto in precedenza.

per ogni <math>t_{s}</math>. A questo punto se la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto vale la seguente:

== Funzione Integrale ==

:<math>\sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} f(t_{s}) \le \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} g(t_{s}).</math>

Sia f una funzione continua in un intervallo I. Consideriamo l'integrale di f su un intervallo J contenuto in I. Ovviamente al variare dell'intervallo J varia il valore di tale integrale. Se J è l'intervallo che ha un estremo x₀ fissato una volta per tutte e l'altro estremo x variabile, l'integrale di f su tale intervallo [x₀,x] diventa una funzione di x. Tale funzione si dice funzione integrale di f (chiamata anche integrale di [[Torricelli]]), e si indica con:

Come conseguenza del corollario del [[Limite (matematica)|teorema della permanenza del segno dei limiti]], applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l'integrale) la disuguaglianza resta immutata:

<math>F(x) = \int_{x_0}^{x} f(t) \, dt </math>

:<math>\lim_{n \to + \infty} \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} f(t_{s}) \le \lim_{n \to + \infty} \sum_{s=1}^{n} {{b-a} \over {n}} g(t_{s}).</math>

Si noti che la variabile di integrazione t (variabile muta) ha un nome diverso dalla variabile x, estremo mobile dell'intervallo di integrazione: infatti t varia tra x₀ e x.

Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.

}}

=== Valore assoluto ===

=== Secondo Teorema fondamentale del calcolo integrale ===

Tale teorema si potrebbe considerare come un [[corollario]] del teorema del confronto. Se <math>f</math> è integrabile in un intervallo <math>[a, b]</math> si ha:

Sia f continua nell'intervallo [a,b]. La funzione integrale di f è:

:<math>F(x)\left =| \int_{a}int_a^{x}b \!f(tx)dt \,\mathrm{d}x :\right | \le [a,\int_a^b] \toleft | f(x) \Rright | \,\mathrm{d}x.</math>

{{Approfondimento|titolo=Dimostrazione|larghezza=100%|contenuto=

è derivabile e la derivata vale:

Infatti, essendo valida la relazione <math>- | f(t_{s}) | \le f(t_{s}) \le | f(t_{s}) |</math> per ogni s, è possibile sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:

:<math>F'(x) -\sum_{s=1}^{n} | f(xt_{s}) | \le \forallsum_{s=1}^{n} xf(t_{s}) \inle [a,b]\sum_{s=1}^{n} |f(t_{s})|.</math>

Moltiplicando ogni membro per il fattore <math>b-a / n</math> e applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali:

Cioè la funzione integrale di una funzione continua f(x) è una primitiva di f(x).

:<math>-\lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) | \le \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} f(t_{s}) \le \lim_{n \to + \infty} {{b-a} \over {n}} \sum_{s=1}^{n} | f(t_{s}) |</math>

=== Formula fondamentale del calcolo integrale del secondo teorema ===

:<math>-\int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x \le \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x \le \int_a^b |f(x)| \,\mathrm{d}x,</math>

Sia f una funzione continua su [a,b]. Sia G una primitiva di f. Allora:

ove quest'ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come:

<math>\int_{a}^{b} f(x)dx = G(b) - G(a)</math>

:<math>\left | \int_a^b \!f(x) \,\mathrm{d}x \right | \le \int_a^b \left | f(x) \right | \,\mathrm{d}x</math>

Poichè due qualsiasi primitive di f differiscono per una costante additiva la differenza G(b) - G(a) non dipende da quale primitiva si sceglie.

la quale è la proprietà del valore assoluto degli integrali.

La formula precedente riconduce il calcolo dell'integrale definito a quello dell'integrale indefinito. In questo modo possiamo riformulare i [[metodo di integrazione|metodi di integrazione]].

}}

=== Teorema della media ===

{{Vedi anche|Teorema della media integrale|Teorema della media pesata}}

Se <math>f:[a,b]\to \mathbb R</math> è [[funzione continua|continua]] allora esiste <math>c \in (a,b)</math> tale che:

:<math>{{1} \over {b-a}} \int_{a}^{b} \!f(x) \,\mathrm{d}x=f(c).</math>

== Integrali impropri ==

== Integrale improprio ==

{{Vedi anche|Integrale improprio}}

Un integrale improprio è un limite della forma:

:<math>\lim_{b\to\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x \qquad \lim_{a\to -\infty} \int_a^bf(x)\, \mathrm{d}x</math>

== Integrale di Steiltjes ==

oppure:

== Integrale di Lebesgue ==

{{Vedi anche|integrale di Lebesgue}}

Esistono diversi modi per definire l'integrale di una funzione. Tra i più importanti, oltre all'integrale di [[Georg Friedrich Bernhard Riemann|Riemann]], sopra riportato, è degna di nota la modalità di definizione nota come integrale di [[Henri Lebesgue|Lebesgue]].

:<math>\lim_{c\to b^-} \int_a^cf(x)\, \mathrm{d}x \quad

La definizione dell'integrale di Lebesgue, al contrario dell'integrale di Riemann, si basa sulla definizione di area (definita in altro modo), o più in generale di misura di una superficie o di un insieme. La definizione di Lebesgue si applica direttamente a funzioni definite in un dominio multidimensionale, mentre la definizione di Riemann vale soltanto per funzioni definite in sottoinsiemi di <math>\mathbb{R}\ </math>e soltanto successivamente si estende, in maniera un po' artificiale, a funzioni definite in <math>\mathbb{R}^2\ </math>, <math>\mathbb{R}^3\ </math>, a curve e superfici.

\lim_{c\to a^+} \int_c^bf(x)\, \mathrm{d}x </math>

Un integrale è improprio anche nel caso in cui la funzione integranda non è definita in uno o più [[Parte interna|punti interni]] del dominio di integrazione.

Si dimostra che il risultato ottenuto dall'integrale proprio di Riemann, quando esiste, coincide con l'integrale di Lebesgue. Al contrario esistono casi in cui esiste l'integrale di Lebesgue ma non esiste l'integrale di Riemann.

== Metodi di integrazione ==

{{Vedi anche|Metodi di integrazione}}

L'integrazione di una funzione reale è un calcolo matematico di non semplice risoluzione generale. Il caso più semplice si ha quando si riconosce la funzione integranda essere la [[derivata]] di una funzione nota <math>\Phi</math>. In casi più complessi esistono numerosi metodi per trovare la funzione primitiva. In particolare, tra le tecniche più diffuse per la ricerca della primitiva dell'integranda sono queste due:

*se l'integranda è il prodotto di due funzioni, l'[[integrazione per parti]] riduce l'integrale alla somma di una funzione e un altro integrale che può ricondursi al caso più semplice descritto sopra in cui l'integranda è la derivata di una funzione nota;

*se l'integranda è trasformazione di una derivata nota attraverso una qualche funzione derivabile, l'[[integrazione per sostituzione]] riporta il calcolo all'integrale di quella derivata nota, modificato per un fattore di differenziabilità che dipende dalla trasformazione in gioco.

== Stima di somme tramite integrale ==

Un metodo moltoche semplice e più generaleconsente di altri metodi, per ottenere la [[stima asintotica]] di una somma è l'approssimzioneapprossimazione di una serie tramite il suo integrale. Sia <math>f: \R \to \R^+</math> una funzione monotona non decrescente. Allora per ogni <math>a \in \N</math> e ogni intero <math>n \ge a</math> si ha:

:<math>f(a) + \int_{a}^{n} \!f(x) \,\mathrm{d}x \leq \sum_{k =a}^n \!f(k) \leq \int_{a}^{n} f(x) \,\mathrm{d}x + f(n).</math>

Sia <math>f: \R \to \R^+</math> una funzione monotona non decrescente. Allora per ogni <math> a \in \N </math> e ogni intero <math> n \geq a </math> abbiamo

Infatti, se <math>n = a</math> la proprietà è banale, mentre se <math>n \,>\, a </math> si osserva che la funzione è integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato di <math>\R^+</math>, e che per ogni <math>k \in \N</math> vale la relazione:

<math>f(a) + \int_{a}^{n} f(x) dx \leq \sum_{k =a}^n f(k) \leq \int_{a}^{n} f(x) dx + f(n)</math>

:<math>f(k)\leq \int_{k}^{k+1} f(x) \,\mathrm{d}x \le f(k+1).</math>

===Dimostrazione===

Se n = a la proprietà è banale. Supponiamo allora <math>n \,>\, a </math>. Osserviamo che la funzione è integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato di <math>\R^+</math> e inoltre per ogni <math>k \in \N</math> si ha che

Sommando per <math>k = a, a+1, \ldots,n-1</math> si ottiene dalla prima disuguaglianza:

<math>f(k)\leq \int_{k}^{k+1} f(x) dx \leq f(k+1)</math>

:<math>\sum_{k=a}^{n-1} f(k) \leq \sum_{k=a}^{n-1} \int_{k}^{k+1} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{n} f(x)\,\mathrm{d}x,</math>

Sommando per k = a, a+1, ... n-1 otteniamo dalla prima disuguaglianza

mentre dalla seconda segue che:

<math>\sum_{k=a}^{n-1} f(k) \leq \sum_{k=a}^{n-1} \int_{k}^{k+1} f(x)dx = \int_{a}^{n} f(x)dx</math>

:<math>\int_{a}^{n}f(x)\,\mathrm{d}x = \sum_{k=a}^{n-1}\int_{k}^{k+1} f(x)\,\mathrm{d}x \leq \sum_{k=a}^{n-1}f(k+1).</math>

mentre dalla seconda

Aggiungendo ora <math>f(a)</math> e <math>f(n)</math> alle due somme precedenti si verifica la relazione.

<math>\int_{a}^{n}f(x)dx = \sum_{k=a}^{n-1}\int_{k}^{k+1} f(x)dx \leq \sum_{k=a}^{n-1}f(k+1)</math>

==Altri operatori di integrazione==

Aggiungendo ora f(a) e f(n) alle due somme precedenti si ottiene l'enunciato

Accanto agli integrali di Riemann e Lebesgue sono stati introdotti diversi altri operatori integrali. L'[[integrale di Riemann-Stieltjes]] è una generalizzazione dell'integrale di Riemann, ed è a sua volta generalizzato dall'[[integrale di Lebesgue-Stieltjes]], che è anche un'estensione dell'integrale di Lebesgue.

=== Integrali di Denjoy, Perron, Henstock e altri ===

== Tavole di integrali ==

{{Vedi anche|Integrale di Denjoy|Integrale di Perron|Integrale di Henstock-Kurzweil}}

*[[Tavola degli integrali più comuni|Integrali più comuni]]

Sono state sviluppate altre definizioni di integrale, alcune delle quali sono dovute a [[Arnaud Denjoy|Denjoy]], [[Oskar Perron|Perron]], [[Ralph Henstock|Henstock]] e altri. I tre nominati condividono la validità del [[teorema fondamentale del calcolo integrale]] in una forma più generale rispetto alla trattazione di Riemann e Lebesgue.

*[[Tavola degli integrali definiti|Integrali definiti]]

Il primo in ordine cronologico a essere introdotto è stato l'[[integrale di Denjoy]], definito per mezzo di una classe di funzioni che generalizza le [[assoluta continuità|funzioni assolutamente continue]]. Successivamente, solo due anni dopo, Perron ha dato la [[integrale di Perron|sua definizione]] con un metodo che ricorda le funzioni maggioranti e minoranti di Darboux. In ultimo, [[Ralph Henstock]] e (indipendentemente) [[Jaroslaw Kurzweil]] forniscono una terza definizione equivalente, detta anche [[integrale di Henstock-Kurzweil|integrale di gauge]]: essa sfrutta una leggera generalizzazione della definizione di Riemann, la cui semplicità rispetto alle altre due è probabilmente il motivo per cui questo integrale è più noto con il nome del matematico inglese che con quelli di Denjoy e Perron.

''Integrali indefiniti''

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni razionali|di funzioni razionali]]

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni irrazionali|di funzioni irrazionali]]

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche|di funzioni trigonometriche]]

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni iperboliche|di funzioni iperboliche]]

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni esponenziali|di funzioni esponenziali]]

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni logaritmiche|di funzioni logaritmiche]]

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni d'arco|di funzioni d'arco]]

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni d'area|di funzioni d'area]]

=== Altre tipologieIntegrale di integraliItō ===

{{Vedi anche|Lemma di Itō}}

*[[Integrale multiplo]]

L'integrale di [[Kiyoshi Itō|Itō]] fa parte dell'analisi di Itō per i [[Processo stocastico|processi stocastici]]. In letteratura è introdotto utilizzando varie notazioni, una delle quali è la seguente:

**[[Integrale multiplo#Integrale doppio|Integrale doppio]]

**[[Integrale multiplo#Integrale triplo|Integrale triplo]]

*[[Integrale di linea]]

*[[Integrale di superficie]]

:<math>\int_{0}^{T}X_{s} \,\mathrm{d}W_{s},</math>

== Calcolo di integrali attraverso software ==

=== Scilab ===

dove <math>W_{s}</math> è il [[processo di Wiener]]. L'integrale non è definito come un integrale ordinario, in quanto il processo di Wiener ha [[Misura complessa|variazione totale]] infinita. In particolare, gli strumenti canonici di integrazione di funzioni continue non sono sufficienti. L'utilizzo principale di tale strumento matematico è nel calcolo differenziale di equazioni in cui sono coinvolti [[Equazione differenziale stocastica|integrali stocastici]], che inseriti in equazioni volte a modellizzare un particolare fenomeno (come il moto aleatorio delle particelle o il prezzo delle azioni nei mercati finanziari) rappresentano il contributo aleatorio sommabile (rumore) dell'evoluzione del fenomeno stesso.

Con scilab ci sono vari comandi per integrare:

* integrate

* intg

* inttrap

* intsplin

* intc

* intl

a seconda del tipo di integrazione o di integrale. Per esempio '''integrate''' esegue un'integrazione per quadratura, invece '''intc''' e '''intl''' fanno l'integrale di Cauchy, '''intg''' serve per gli integrali definiti, comunque per una descrizione dettagliata di tutti i comando l'help di scilab è ampiamente dettagliato. Il metodo classico per calcolare gli integrale è con '''integrate'''.

'''Integrate''' usa la seguente sintassi

[x]=integrate(expr,v,x0,x1 [,ea [,er]])

dove:

* ''expr'' è l'espressione da integrare

* ''v'' è la variabile

* ''x0'' e ''x1'' sono gli estremi di integrazione

* ''ea'' ed ''er'' è l'errore assoluto degli estremi

* ''er'' è l'errore relativo degli estremi

== Esempi di calcolo di un integrale ==

Per calcolare l'integrale da 0 a infinito di sin(x) useremo il comando:

* In base alle informazioni fornite dal primo teorema fondamentale del calcolo integrale si può effettuare il calcolo di un integrale cercando una funzione la cui derivata coincide con la funzione da integrare. A questo scopo possono essere d'aiuto le [[Tavola degli integrali più comuni|tavole d'integrazione]]. Così per effettuare il calcolo dell'integrale della funzione vista in precedenza <math> f(x)=mx</math> attraverso la ricerca di una primitiva si ricorre alla formula:

integrate('sin(x)','x',0,%pi)

:<math> \int mx^{\alpha} \,\mathrm{d}x= {{mx^{ \alpha + 1}} \over { \alpha + 1}} + c,</math>

:la cui derivata coincide proprio con <math>\ mx^{\alpha}</math>. Prendendo in considerazione la (già esaminata precedentemente) funzione <math>\ f(x)=mx</math> e integrandola si ottiene:

:<math> \int mx \,\mathrm{d}x= {{mx^{2}} \over {2}} + c.</math>

:Mentre per quanto concerne l'integrale definito nel compatto <math>\ [a,b]</math> si ha, in forza del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

:<math> \int_{a}^{b} mx \,\mathrm{d}x= \left[{{mb^{2}} \over {2}} + c\right] - \left[{{ma^{2}} \over {2}} + c\right] = m {{b^2-a^2} \over {2}} </math>

:esattamente lo stesso risultato ottenuto in precedenza.

* Si supponga di fissare un [[sistema di riferimento cartesiano]] attraverso le [[Retta|rette]] [[Perpendicolarità|ortogonali]] e orientate delle ascisse e delle ordinate. Si supponga ora che su tale sistema di assi sia definita una retta la cui equazione esplicita è <math>f(x)=mx</math>. Si vuole calcolare l'integrale di tale retta definita sul compatto <math>[a,b]</math> situato sull'asse delle ascisse. Si supponga per semplicità che i punti <math>a</math> e <math>b</math> si trovino sul semiasse positivo delle ascisse e siano entrambi positivi. Allora l'area sottesa alla retta considerata nel compatto <math>[a,b]</math> è uguale all'area di un trapezio che "poggiato" in orizzontale sull'asse delle ascisse è caratterizzato da un'altezza uguale a <math>b-a</math>, base maggiore <math> mb</math> e base minore <math>\ ma</math>. L'area di tale figura è data, come noto dalla geometria elementare, dalla formula <math> {{1} \over {2}}(mb+ma)(b-a)</math>, ovvero <math> m{{b^2-a^2} \over {2}}</math>.

:Nell'ottica del calcolo dell'integrale di questa retta definita nel compatto <math>\ [a,b]</math> si effettua una partizione di tale intervallo, dividendolo in <math>n</math> parti uguali:

:<math>\ x_{0}=a; \quad x_{1}=a+{{b-a} \over {n}}; \quad x_{2}= a+2{{b-a} \over {n}};\quad \dots \,; \quad x_{n}= a+n{{b-a} \over {n}}=b.</math>

:Nel generico intervallo <math> [x_{i-1},x_{i}]</math> si sceglie come punto arbitrario il punto più esterno <math> x_{i}</math> (ma andrebbe bene qualsiasi punto dell'intervallo), considerando la funzione <math>\ y=mx</math> nel generico punto <math> x_{i}</math> interno all'intervallo <math> [x_{i-1},x_{i}]</math>. Si avrà quindi <math> f(x_{i})=m\left[a+i{{b-a} \over {n}}\right]</math>, e la somma integrale di Riemann diventa:

:<math>\ \sigma_{n} = \sum_{i=1}^{n} f(x_{i}){{b-a} \over {n}} = \sum_{i=1}^{n}m\left[a+i{{b-a} \over {n}}\right]{{b-a} \over {n}}=ma(b-a)+m\left({{b-a} \over {n}}\right)^2 \sum_{i=1}^{n}i</math>

:nella quale la progressione aritmetica <math> \sum_{i=1}^{n}i= {{n(n+1)} \over {2}}</math> restituisce un'espressione delle somme di Riemann uguale a:

:<math> \sigma_{n} = ma(b-a)+m(b-a)^2 {{n+1} \over {2n}}.</math>

:Per passare dalle somme integrali di Riemann all'integrale vero e proprio è ora necessario, in conformità con la definizione di integrale, il passaggio al limite di suddette somme. Ovvero:

:<math> \int^{b}_{a} mx \,\mathrm{d}x = \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n} = ma(b-a)+m(b-a)^2 \lim_{n \to + \infty} {{n+1} \over {2n}}.</math>

:Calcolando il limite per <math>\ n \to \infty </math>, dato che <math>\ {{n+1} \over {2n}} \to \ {{1} \over {2}}</math>, si ottiene:

:<math> \int^{b}_{a} mx \,\mathrm{d}x = \lim_{n \to + \infty} \sigma_{n} = ma(b-a)+{{m(b-a)^2} \over {2}},</math>

:dalla quale, eseguendo la somma si ricava:

:<math> \int^{b}_{a} mx \,\mathrm{d}x = m{{b^2-a^2} \over {2}} </math>

:la quale è esattamente l'area del trapezio costruito dalla retta <math>\ y=mx</math> sul piano insieme all'asse delle ascisse.

==Note==

<references/>

== Bibliografia ==

*{{Cita libro|autore=Paolo Marcellini|wkautore=Paolo Marcellini|autore2=Carlo Sbordone|wkautore2=Carlo Sbordone|titolo=Analisi matematica Uno|url=https://www.worldcat.org/oclc/848639831|accesso=2019-02-20|anno=1998|editore=Liguori|città=Napoli|OCLC=848639831|ISBN=9788820728199}}

*{{Cita libro|autore=Paolo Marcellini|wkautore=Paolo Marcellini|autore2=Carlo Sbordone|wkautore2=Carlo Sbordone|autore3=Nicola Fusco|wkautore3=Nicola Fusco (matematico)|titolo=Analisi matematica Due|url=https://www.worldcat.org/oclc/848628114|accesso=2019-02-20|anno=2020|editore=Zanichelli|OCLC=848628114|ISBN=9788808520203}}

* {{cita libro | cognome= Soardi | nome= Paolo Maurizio | titolo= Analisi Matematica| editore= CittàStudi| anno= 2007|isbn= 978-88-251-7319-2|cid =soardi}}

* {{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Real and Complex Analysis | editore= McGraw-Hill | città= Mladinska Knjiga| anno= 1970| isbn= 0-07-054234-1|cid =rudin| lingua= en}}

* {{cita libro | cognome= Reed | nome= Michael |coautori= Barry Simon | titolo= Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis| editore= Academic press inc.<!--|ed = riveduta-->| città= San Diego, California| anno= 1980|ed=2|isbn= 0-12-585050-6|cid =reed | lingua= en }}

==Voci correlate==

{{Div col}}

*[[Derivata]]

*[[Funzione integrabile]]

*[[Integrabilità uniforme]]

*[[Integrale di Riemann]]

*[[Integrale di Lebesgue]]

*[[Integrale sui cammini]]

*[[Integrale multiplo]]

*[[Integrale di linea]]

*[[Integrale di linea di prima specie]]

*[[Integrale di linea di seconda specie]]

*[[Integrale di superficie]]

*[[Integrale di volume]]

*[[Integrale funzionale]]

*[[Integrale improprio]]

*[[Integrazione di contorno|Integrale complesso]]

*[[Metodi di integrazione]]

*[[Passaggio al limite sotto segno di integrale]]

*[[Primitiva (matematica)]]

*[[Teorema di Stokes]]

*[[Teorema fondamentale del calcolo integrale]]

{{Div col end}}

===Tavole Derivedi integrali===

*[[Tavola degli integrali più comuni]]

Con Derive (ver. 5) si possono risolvere integrali definiti, indefiniti e graficare le funzioni integrali utilizzando anche qui il comando '''int'''. La sintassi è

*[[Tavola degli integrali definiti]]

INT(f,x,a,b)

dove:

* ''f'' è l'espressione da integrare

* ''x'' è la variabile

* ''a'' e ''b'' sono gli estremi di integrazione nel caso di integrali definiti e possono contenere la variabile. Nel caso di integrali indefiniti vanno omessi.

====Integrali indefiniti====

Per calcolare la primitiva di sin(x) inseriremo il comando:

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni razionali]]

INT(sin(x),x)

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni irrazionali]]

e - premendo CTRL + B - ne calcoleremo il risultato, mentre se vogliamo graficare la funzione integrale di |x-1| da 0 a x inseriremo

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni trigonometriche]]

INT(abs(x-1),x,0,x)

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni iperboliche]]

e cliccheremo sul pulsante "Finestra grafica 2D".

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni esponenziali]]

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni logaritmiche]]

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni d'arco]]

*[[Tavola degli integrali indefiniti di funzioni d'area]]

==Altri Bibliografia progetti==

{{interprogetto|preposizione=sull'|wikt}}

*[[Giuseppe Scorza Dragoni]] - ''Elementi di analisi matematica I,II, III'' - Padova

*[[Mauro Picone]], [[Gaetano Fichera]] - ''Lezioni di analisi matematica I,II'' - Roma

*Jean Favard - ''Cours d'analyse I,II'' - Parigi

*[[Federico Cafiero]] - ''Misura di integrazione'' - Roma

*[[Mauro Picone]], [[Tullio Viola]] - ''Lezioni sulla teoria moderna dell'integrazione'' - Torino

*[[Henry Lebesgue]] - ''Leçons sur integration'' - Parigi

*[[Ernesto Cesaro]] - ''Elementi di calcolo infinitesimale'' - Napoli

==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

*[https://www.wolframalpha.com/calculators/integral-calculator/ The Integrator - Calcolo formale di primitive] ([[Wolfram Research]])

*{{Cita web|url=http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?lang=it|titolo=Interactive Multipurpose Server}}

[[Categoria:{{analisi matematica]]}}

{{Controllo di autorità}}

[[Categoria:Calcolo infinitesimale]]

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Calcolo integrale| ]]

[[cs:Integrál]]

[[de:Integralrechnung]]

[[en:Integral]]

[[eo:Integralo]]

[[fr:Intégrale]]

[[he:אינטגרל]]

[[hu:Integrálszámítás]]

[[is:Heildun]]

[[ja:積分]]

[[nl:Integraalrekening]]

[[pl:Całka]]

[[sv:Integral]]

[[zh:积分]]