Particella libera: differenze tra le versioni

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In [[fisica]], in particolare in [[meccanica quantistica]], la '''particella libera''' è la descrizione di una [[particella (fisica)|particella]] soggetta ad un [[Potenziale scalare|potenziale]] costante, cioè quello in cui si considera una particella non soggetta a [[forza (fisica)|forze]].

<div style="float:right; width:16em; background:transparent;">{{voce complessa|Funzione d'onda|Energia potenziale|Hamiltoniana|Equazione di Schrödinger}}<br clear=all /></div>

In [[meccanica quantistica]] lo studio della '''particella libera''' in una dimensione è uno dei principali problemi che si affrontano. Con particella libera si intende il fatto che essa non è sottoposta ad alcun potenziale; lo studio in una dimensione è inoltre importante perché molti problemi tridimensionali si riducono a problemi equivalenti unidimensionali.

==Caso unidimensionale==

L'[[equazione di Schrödinger]] dipendente dal tempo per la [[funzione d'onda]] di una particella libera è caratterizzata da un potenziale nullo, ed assume la forma:

{{vedi anche|Equazione di Schrödinger}}

L'[[equazione di Schrödinger]] stazionaria, in una dimensione, è in generale

:<math>-\frac{i \hbar^2}{2m} \frac{d^2\partial}{dx^2} \phipartial (x) + V(x)t} \, \phipsi (x) = E \, \phi (xt),</math>

= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi (x,t)</math>

con la funzione d'onda preparata nello stato iniziale <math>\psi(x,0)=\phi_k(x)</math>.<br>

La soluzione più generale nel caso di particella libera è il [[pacchetto d'onda]] in una dimensione:

:<math>\psi (x,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dp \, \phi(p) e^{i (px - \frac{p^2}{2m} t ) / \hbar}</math>

Che è una sovrapposizione di [[onda piana|onde piane]]:

:<math>\psi_k(x,t) = A \, e^{-i E_k t/\hbar+ i k x} = \phi_k(x)\,e^{-i E_k t/\hbar},</math>

di energia <math>E_k = p^2/(2m)</math> e quantità di moto <math>p=\hbar\,k</math>, che viaggia con [[frequenza]]:

:<math>\omega_k = \frac{E_k}{\hbar} = \frac{\hbar k^2}{2m},</math>

Il vettore ''k'' è il [[vettore d'onda]], <math>\phi_k(x)</math> è la relativa autofunzione dell'energia e

:<math>\phi(p) = \langle \phi_k | \psi_k \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dx e^{- \frac{ipx}{\hbar}}\psi^0(x) </math>

la [[trasformata di Fourier]] della funzione <math>\psi (x)</math>.

Il fattore prima dell'integrale del pacchetto d'onda è dovuto alla corretta normalizzazione, dovuta alla interpretazione probabilistica della funzione d'onda. Essendo un'equazione differenziale al primo ordine nel tempo, l'equazione di Schrödinger deve essere accompagnata dalla condizione iniziale della funzione d'onda. Ad esempio al tempo <math>t=0</math> si impone che la funzione d'onda sia:

:<math>\psi (x,t=0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dp \, \phi(p) e^{i px / \hbar} </math>

in modo che la sua evoluzione nel tempo esista determinata per ogni istante ''t''. Abbiamo stabilito anche che la giusta interpretazione della funzione d'onda è che:

:<math>P(x,t) dx = |\psi(x,t) |^2 dx \ </math>

rappresenta la probabilità che la particella si trovi nell'intervallo <math>x, x+dx</math>, avendo l'accortezza di normalizzare la funzione d'onda:

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^2 dx = 1</math>

che rappresenta il fatto che la probabilità di trovare la particella in qualche punto dello spazio (in questo caso siamo su una retta perché stiamo prendendo solo il caso unidimensionale, ma tutto ciò vale anche nel caso tridimensionale), deve essere 1 con certezza. Abbiamo inoltre stabilito che le funzioni accettabili come soluzioni dell'equazione di Schrödinger sono le funzioni definite in un [[campo vettoriale]] complesso e che siano a quadrato sommabili, cioè sia sempre verificata:

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,0)|^2 dx < \infty</math>

e il fatto che sia lineare implica che possiamo considerare la sovrapposizione:

:<math>\psi(x,t) = c_1 \psi_1 (x,t) + c_2 \psi_2 (x,t) \ </math>

dove <math>c_1, c_2 \in \mathbb{C}</math> che suggerisce valevole il [[principio di sovrapposizione (meccanica quantistica)|principio di sovrapposizione]], essa è anche soluzione dell'equazione di Schrödinger. Un'altra caratteristica delle soluzioni dell'equazione di Schrödinger è che se il modulo quadro della funzione d'onda è importante perché rappresenta una probabilità, la fase dell'onda invece non ha rilevanza fisica.

dove ''m'' è la massa della particella ed ''E'' l'energia dello stato <math>\phi</math>.

===Autofunzioni===

Nel caso <math>V(x) = 0</math>, si ha l'equazione di Schrödinger unidimensionale per la particella libera

{{vedi anche|Autofunzione}}

Nel caso di particella libera le autofunzioni dell'energia coincidono con le autofunzioni dell'[[operatore impulso]], dal momento che i due operatori <math>\hat{H}</math> e <math>\hat{p}</math> [[commutatore (matematica)|commutano]], e possiedono quindi una base di [[Autostato|autostati]] comune.<br>

L'[[equazione di Schrödinger]] stazionaria per le autofunzioni di particella libera è in generale

:<math>-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \phi (x) = E \, \phi (x).</math>

dove ''m'' è la massa della particella ed ''E'' l'energia dello stato <math>\phi</math>.<br>

Questa è un'[[equazione differenziale]] del secondo ordine a coefficienti costanti, che può essere posta nella forma:

Si tratta di un'[[equazione differenziale]] del secondo ordine a coefficienti costanti, che può essere posta nella forma:

:<math>\frac{d^2}{dx^2} \phi (x) = -k^2 \cdot \phi (x),</math>

dove <math>k = \sqrt{2mE}/\hbar</math> è un parametro reale se <math>E \geq 0</math>.<br>

La soluzione generale, dipendente da <math>k</math>, può essere scritta nella forma

:<math>\phi_k(x) = A\,e^{i k x}+ B\,e^{-i k x},</math>

con ''A'',''B'' coefficienti realereali arbitrari da determinarsi imponendo le condizioni al contorno. Imponendo la [[condizione al contorno]] che la funzione dl'ondaautofunzione contenga solo una componente progressiva, si ottiene <math>B = 0</math> e

:<math>\phi_k(x) = A\,e^{i k x},</math>

La costante ''A'' si ottienericava imponendo lache [[normalizzazione]] degligli stati <math>\phi_k</math> siano ortonormali.

<ref>

Una possibile normalizzazione è fornita dalla rappresentazione di Fourier della [[Delta di Dirac]]

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} dx \phi_{k^{\prime}}^{\ast} (x) \phi_{k} (x)

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} dx \psi_{k^{\prime}}^{\ast} (x) \psi_{k} (x)

= \vert A \vert^2 \int_{-\infty}^{\infty} dx e^{i (k-k^{\prime}) x }

= 2 \pi \vert A \vert^2 \delta (k^{\prime} - k),</math>

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per cui si può porre

:<math>A=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}.</math>

Una seconda possibilità consiste nel chiudere lo spazio, imponendo condizioni periodiche al contorno su una lunghezza ''L'' molto grande:

:<math>\phi_k(x+L) = \phi_k(x). \ </math>

In tal caso, i vettori d'onda sono quantizzati

:<math>k=k_n = \frac{2 \pi n}{L},\qquad n=0, \pm 1, \pm 2, \ldots</math>

e si ha

:<math>\int_{-L/2}^{L/2} dx \psi_{k_{m}}^{\ast} (x) \psi_{k_n} (x)

= \vert A \vert^2\,\delta_{nm}.</math>

Pertanto, è sufficiente porre

:<math>A=\sqrt{\frac{1}{L}}</math>

</ref>

==Caso tridimensionale==

In generale, l'operatore [[hamiltoniano]] <math>\hat{H}</math> e l'operatore [[quantità di moto]] <math>\hat{p}</math> della particella libera [[commutatore|commutano]], così vale anche per l'[[energia cinetica]] <math>\hat{K}=\hat{p}^2/(2m)</math>:

Lo studio della particella libera in tre dimensioni è un esempio di propagazione di [[Onda sferica|onde sferiche]].

===L'equazione di Schrödinger radiale===

:<math>[\hat{H}, \hat{p}] = \left[ \hat{H}, \hat{K} \right] =0.</math>

{{Vedi anche|Moto in un campo centrale}}

L'equazione di Schrödinger radiale nel caso di particella libera per le autofunzioni dell'energia

:<math>\Psi_{k,l,m} = R(r) Y_{l,m} (\theta, \varphi)</math>

Quindi, gli operatori <math>\hat{H}</math>, <math>\hat{K}</math>, e <math>\hat{p}</math> ammettono una base comune di [[Autostato|autostati]].

Si può verificare che la soluzione generale dell'equazione di Schrödinger è autofunzione

della quantità di moto, essendo:

dove <math>Y_{l,m}</math> sono le armoniche sferiche, ha la forma:

:<math>(-i \hbar \frac{d}{dx})\,\phi_k(x) = A \hbar k e^{i k x} = \hbar k\,\phi_k(x).</math>

:<math>-\frac{1}{2 m} \left[\frac{\hbar^2}{r^2} \frac{d}{d r} \left(r^2 \frac{d}{d r} \right) - \frac{l(l+1) \hbar^2}{r^2} \right] \Psi_{k,l,m} = E \Psi_{k,l,m}</math>

L'evoluzione temporale dello stato <math>\phi_k</math> da luogo a

un'[[onda piana]],

dove <math>l(l+1) \hbar^2</math> sono gli autovalori del momento angolare orbitale <math>\mathcal{L}</math>. La funzione <math>R_{E,l}</math> dipende anche da ''l'' ma non da ''m'', infatti non compare l'operatore <math>\mathcal{L}_z</math>.<br>

:<math>\psi_k(x,t) = A \, e^{-i E_k t/\hbar+ i k x} = \phi_k(x)\,e^{-i E_k t/\hbar},</math>

Posto <math>R(r) = \frac{R_{k,l}(r)}{r}</math>, l'equazione per la parte radiale si può scrivere:

:<math>\left[- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d r^2} + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2} \right] R_{k,l}(r) = E R_{k,l}(r)</math>

di energia <math>E_k = p^2/(2m)</math> e quantità di moto <math>p=\hbar\,k</math>, che viaggia con [[frequenza]]:

Le funzioni <math>R_{k,l}</math> dipendono da ''k'' e dal valore di ''l''.

:<math>\omega_k = \frac{E_k}{\hbar} = \frac{\hbar k^2}{2m},</math>

La normalizzazione delle funzioni d'onda sono date da:

il cui [[vettore d'onda]] è ''k''.

Questa è soluzione dell'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo

:<math>\int_{0}^{\infty} \Psi_{k',l',m'}^{*} \Psi_{k,l,m} r^2 \, dr \,\int d \Omega = 2 \pi \delta_{l'l} \delta_{m'm} \delta (k'-k)</math>

:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (x,t)

= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi (x,t) + V(x) \, \psi (x,t), </math>

come vuole la normalizzazione discreta (<math>d\Omega = d \theta d\varphi</math>) per ''l'' ed ''m'' data dalle [[autofunzioni del momento angolare]] e normalizzazione continua per ''k''. Per le funzioni radiali che ci interessano:

per una particella libera, <math>V(x)=0</math>, preparata nello stato iniziale <math>\psi_(x,0)=\phi_k(x)</math>.

:<math>\int_{0}^{\infty} R_{k',l}^{*} R_{k,l} r^2 \, dr = 2 \pi \delta (k'-k)</math>

La soluzione generale dell'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo si ottiene dalla sovrapposizione lineare

dei vari $\psi_k$:

In termini di energia usando <math>\hbar^2 k^2 / 2 m = E</math> questa condizione diventa

:<math>\psi(x,t) =\sum_k c_k \,\psi_k(x,t),</math>

:<math>\int_{0}^{\infty} R_{E',l}^{*} R_{E,l} r^2 \, dr = \delta (E'-E)</math>

in cui i coefficienti <math>c_k</math> sono normalizzati ad uno,

==== Soluzione per <math>l=0</math> ====

:<math>\sum_k\,\vert c_k \vert^2 = 1,</math>

Per <math>l=0</math> l'equazione si semplifica:

per garantire che la funzione d'onda abbia norma unitaria.

:<math>\frac{d^2 R_{k,0} (r)}{d r^2} + \frac{2}{r} \frac{dR_{k,0} (r)}{dr} + k^2 R_{k,0)} (r) = 0</math>

Lo [[spettro]] energetico è continuo, da zero all'infinito, ogni autovalore (escluso <math>E_0=0</math>) è doppiamente degenere, perché ad ogni autovalore <math>E_k \neq 0</math> corrispondono le autofunzioni <math>\phi_k</math> e <math>\phi_{-k}</math>. <ref>In tre dimensioni, ogni autovalore diverso da zero ha molteplicità infinita poiché ad ogni autovalore corrispondono infinite autofunzioni che differiscono per la direzione del vettore d'onda. </ref>

la cui soluzione regolare nell'origine cioè che soddisfa la condizione di continuità <math>\lim_{r \to 0} R(r) = 0</math> è data da:

==Caso tridimensionale==

{{vedi anche|Particella libera tridimensionale}}

:<math>R_{k,0} (r) = A_1 \frac{\sin k r}{r}</math>

In meccanica quantistica la particella libera tridimensionale è un tipico esempio di propagazione di onde sferiche. Essa è descritta da un'equazione di Schrödinger radiale tridimensionale derivata dal moto in un campo centrale in cui il potenziale è nullo. In effetti l'equazione radiale per campi a simmetria sferica è sempre la stessa mentre la soluzione della parte angolare del sistema è sempre data in termini di Armoniche sferiche, in particolare introducendo il momento angolare orbitale.

mentre quella singolare nell'origine:

:<math>R_{k,0} (r) = - A_2 \frac{\cos k r}{r}</math>

dove <math>A_1, A_2</math> sono costanti di normalizzazione. Le costanti di normalizzazione si ottengono dalla condizione di normalizzazione vista sopra:

:<math>A_{1}^{2} \int_{0}^{\infty} dr \, r^2 \sin (k' r) \sin (k r) = 2 \pi \delta (k'-k)</math>

da cui <math>A_1 = 2</math>. Quindi:

:<math>R_{k,0} (r) = 2 \frac{\sin k r}{r}</math>

:<math>R_{k,0} (r) = - 2 \frac{\cos k r}{r}</math>

==== Soluzione per <math>l \neq 0</math> ====

Facciamo la sostituzione:

:<math>R_{k,l} (r) = r^l \chi_{k,l} \ </math>

e risolviamo l'equazione:

:<math>\frac{d^2 \chi_{k,l}}{d r^2} + \frac{2(l+1)}{r} \frac{d\chi_{k,l}}{dr} + k^2 \chi_{k,l} = 0</math>

derivando rispetto ad ''r'' abbiamo:

:<math>\frac{d^3 \chi_{k,l}}{d r^3} + \frac{2 (l+1)}{r} \frac{d^2 \chi_{k,l}}{dr^2} + k^2 \frac{d\chi_{k,l}}{dr} - \frac{2 (l+1)}{r^2} \frac{d\chi_{k,l}}{dr} = 0</math>

cioè derivando si aggiunge un termine costante. Quindi se <math>\chi'_{k,l} = r \chi_{k, l+1}</math> l'equazione precedente si riduce

:<math>\frac{d^2 \chi_{k,l+1}}{d r^2} + \frac{2 (l+2)}{r} \frac{d \chi_{k,l+1}}{dr} + k^2 \chi_{k,l+1} = 0</math>

dove le funzioni <math>\chi_{k,l}</math> sono legate dalla relazione ricorsiva:

:<math>\chi_{k,l+1} = \frac{1}{r} \frac{d\chi_{k,l}}{dr}</math>

Quindi noto il termine:

:<math>\chi_{k,0} (r) = R_{k,0} (r) = 2 \frac{\sin kr}{r}</math>

allora tutte le funzioni sono note infatti per <math>l \neq 0</math>:

:<math>\chi_{k,l} (r) = \left(\frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \chi_{k,0}</math>

In definitiva le funzioni radiali sono date da:

:<math>R_{k,l} (r) = N_l r^l \left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \frac{\sin kr}{r}</math>

dove la costante di normalizzazione vale <math>N_l = \frac{2 (-)^l}{k^l}</math>. Le soluzioni singolari nell'origine sono date:

:<math>S_{k,l} (r) = N_l r^l \left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \frac{\cos kr}{r}</math>

==== Comportamento asintotico ====

Per <math>r \to 0</math> le funzioni regolari possono essere sviluppate in serie di <math>\sin kr</math> al primo ordine in ''r'':

:<math>\left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \frac{\sin kr}{r} \simeq \left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l (-)^l \frac{(kr)^{2l + 1}}{r (2l + 1)!} + O(r^2)= \frac{(-)^l k^{2l+1}}{(2l+1)(2l-1)(2l-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1} + O(r^2)</math>

Le funzioni d'onda radiali regolari nell'origine assumono la forma:

:<math>R_{k,l} (r) \simeq \frac{2 k^{l+1} r^l}{(2l+1)(2l-1)(2l-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1} + O(r^2)</math>

Per <math>r \to \infty</math> le funzioni regolari di ''r'':

:<math>R_{k,l} \simeq \frac{2}{r} \sin \left( k r - \frac{l \pi}{2} \right)</math>

infatti ogni derivazione rispetto ad ''r'' del seno aggiunge solo un termine <math>- \pi /2</math>

=== Funzioni di Bessel sferiche ===

Le soluzioni <math>R_{k,l} (r)</math> possono essere rappresentate in termini di [[Funzione di Bessel|funzioni di Bessel sferiche]] regolari e singolari nell'origine. Le prime funzioni di Bessel sferiche sono:

:<math>j_0(x) = \frac{\sin x}{x}</math>

:<math>n_0(x) = -\frac{\cos x}{x}</math>

:<math>j_1(x) = \frac{\sin x}{x^2} - \frac{\cos x}{x}</math>

:<math>n_1(x) = - \frac{\cos x}{x^2} - \frac{\sin x}{x}</math>

:<math>j_2(x) = \left(\frac{3}{x^3} - \frac{1}{x} \right) \sin x - \frac{3 \cos x}{x^2}</math>

:<math>n_2(x) = - \left(\frac{3}{x^3} - \frac{1}{x} \right) \cos x - \frac{3 \sin x}{x^2}</math>

:<math>j_{l} (x) = (-)^l x^l \left( \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right)^l \frac{\sin x}{x}</math>

:<math>n_{l} (x) = - (-)^l x^l \left( \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right)^l \frac{\cos x}{x}</math>

Allora le funzioni radiali regolari e singolari per la particella libera sono espresse:

:<math>R_{k,l} (r) = \sqrt{\frac{2 \pi k}{r}} J_{l+1/2} (kr) = 2 k j_l (kr)</math>

:<math>S_{k,l} (r) = \sqrt{\frac{2 \pi k}{r}} N_{l+1/2} (kr) = 2 k n_l (kr)</math>

dove <math>J_{l+1/2}, N_{l+1/2}</math> sono le soluzioni rispettivamente regolari e singolari dell'[[equazione di Bessel]]:

:<math>\frac{d^2}{dz^2} Z_v + \frac{1}{z} Z_v + \left( 1- \frac{v^2}{z^2} \right) Z_v = 0</math>

Il legame tra le funzioni di Bessel di ordine intero e semintero è dato da:

:<math>j_l (x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2} (x)</math>

Gli andamenti asintotici per <math>x \to 0</math>:

:<math>j_{l} (x) \simeq \frac{x^l}{(2 l + 1)!!}</math>

:<math>n_{l} (x) \simeq \frac{(2l -1)!!}{x^{l+1}}</math>

per <math>x \to \infty</math>

:<math>j_{l} (x) \simeq \frac{1}{x} \cos \left(x - \frac{(l+1) \pi}{2} \right)</math>

:<math>n_{l} (x) \simeq \frac{1}{x} \sin \left(x - \frac{(l+1) \pi}{2} \right)</math>

come si voleva.

=== Funzioni di Hankel sferiche ===

Le prime [[funzioni di Hankel sferiche]] per la particella libera sono:

:<math>h_{0}^{(1)}(x) = \frac{e^{ix}}{ix}</math>

:<math>h_{1}^{(1)}(x) = - \frac{e^{ix}}{x} \left( 1 + \frac{i}{x} \right)</math>

:<math>h_{2}^{(1)}(x) = \frac{i e^{ix}}{x} \left( 1 + \frac{3i}{x} \frac{3}{x^2} \right)</math>

Allora le funzioni radiali per la particella libera sono espresse:

:<math>R_{k,l}^{(1)} (r) = 2 k h_{1}^{(l)}(kr)</math>

:<math>R_{k,l}^{(2)} (r) = 2 k h_{2}^{(l)}(kr)</math>

e gli andamenti asintotici: per <math>x \to \infty</math>

:<math>h_{l}^{(1)} (x) \simeq \frac{1}{x} e^{i (x - (l+1) \pi /2 )}</math>

:<math>h_{l}^{(2)} (x) \simeq \frac{1}{x} e^{-i (x - (l+1) \pi /2 )}</math>

Così le funzioni radiali hanno comportamento asintotico:

:<math>R_{k,l}^{(1)} \simeq \frac{1}{kr} e^{i (kr - (l+1) \pi /2 )}</math>

:<math>R_{k,l}^{(2)} \simeq \frac{1}{kr} e^{-i (kr - (l+1) \pi /2 )}</math>

Mentre nell'origine <math>r \to 0</math>:

:<math>R_{k,l}^{\pm} \simeq \frac{(2l - 1)!!}{k^{l}} r^{-l-1}</math>

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

*B.H. Bransden & C.J. Joachain - Physics of atoms and molecules

==Voci correlate==

Riga 89 ⟶ 297:

*[[Particella in una scatola]]

*[[Oscillatore armonico quantistico]]

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