Numero complesso: differenze tra le versioni

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Con l'espressioneUn '''numero complesso''' siè intendedefinito la somma dicome un [[numero reale]]della forma <math>x+iy</math>, con <math>x</math> e di un<math>y</math> [[numeroNumero reale|numeri immaginarioreali]] (cioèe un<math>i</math> multiplouna realesoluzione dell'equazione <math>x^2=-1</math> detta [[unità immaginaria]], indicata con la lettera ''i'' ). I numeri complessi sono usati in tutti i campi della [[matematica]], in molti campi della [[fisica]] (e notoriamente in [[meccanica quantistica]]), nonché in [[ingegneria]], (specialmente in [[elettronica]]/, [[Telecomunicazione|telecomunicazioni]] oed [[elettrotecnica]],) per la loro utilità nel rappresentare [[onda elettromagnetica|onde elettromagnetiche]] e [[corrente elettrica|correnti elettriche]] ad andamento temporale [[Sinusoide|sinusoidale]].

In matematica, i numeri complessi formano un [[campo (matematica)|campo]] (nonché un'[[Glossario delle strutture matematiche|algebra]] [[Numero reale|reale]] bidimensionale) e sono generalmente visualizzati come punti deldi un [[Piano (geometria)|piano]], detto [[piano complesso]]. La proprietà più importante che caratterizza idei numeri complessi è ilbasata sul [[teorema fondamentale dell'algebra]], chesecondo asserisceil chequale qualunque [[equazione polinomiale]] di grado <math>n</math> ha esattamente <math>n</math> soluzioni complesse, non necessariamente distinte.

== Introduzione informale ==

=== L'unità immaginaria ===

Nel corso dei secoli gli [[insieme (insiemistica)|insiemi]] dei numeri sono andati man mano allargandosi, presumibilmente per rispondere all'esigenza di dare soluzione a equazioni e problemi sempre nuovi.<ref>{{en}} W. S. Anglin e J. Lambek, ''[https://books.google.it/books?id=flblBwAAQBAJ&pg=PA5#v=onepage&q&f=false The Heritage of Thales]'', Springer, 2012, p. 3.</ref>

I '''numeri complessi''' sono un'estensione dei [[numeri reali]], nata inizialmente per consentire di trovare tutte le soluzioni delle [[equazioni polinomiali]]. Ad esempio, l'[[equazione]]

:<math>x^2=-1\,</math>

non ha soluzioni reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.

non ha soluzioni nell'insieme dei numeri reali, perché in questo insieme non esistono numeri il cui quadrato sia negativo.

Si definisce allora il valore <math>i</math>, chiamato anche [[unità immaginaria]], che gode della seguente proprietà:

:<math>i^2=-1\,</math>

Si definisce allora il valore <math>i</math>, chiamato [[unità immaginaria]], che gode della seguente proprietà:

e dunque:

:<math>i^2=\sqrt{-1}\,.</math>

I numeri complessi sono formati da due parti, una [[parte reale]] ede una [[parte immaginaria]], e sono rappresentati dalla seguente espressione:

:<math>a + ib\,</math>

dove <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali, mentre <math>i</math> è l'unità immaginaria.

Le leggi della [[somma algebrica]] e del [[moltiplicazione|prodotto]] nei numeri complessi si applicano facendo i conti nel modo usuale, usandoe il fattosapendo che <math> i^2 = -1 </math>.

Come i numeri reali sono in [[corrispondenza biunivoca]] con i punti di una [[retta]], quelli complessi sono in corrispondenza con i punti del [[Piano (geometria)|piano]], detto [[piano complesso]] (o '''di Argand-Gauss'''): al numero complesso <math> a+ ib </math> si associa il punto di [[piano cartesiano|coordinate cartesiane]] <math> (a,b) </math>.

=== Equazioni a coefficienti reali con soluzioni non reali ===

Usando la relazione <math>i^2=-1</math> si possono risolvere tutte le [[Equazione di secondo grado|equazioni di secondo grado]]

:<math>ax^2 + bx + c = 0, \;</math>

con <math>a,b,c\in\R</math>, incluse quelle che non hanno soluzioni reali perché dotate di [[discriminante]] negativo:

:<math>\Delta=b^2-4ac<0.\,\!</math>

Le soluzioni sono determinate dalla formula risolutiva dell'equazione

:<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}</math>

che nel caso in cui il discriminante sia negativo, si svolge nel modo seguente:

:<math>\sqrt{-\Delta} = \sqrt{(-1)(-\Delta)} = \sqrt{-1}\sqrt{-\Delta} = i\sqrt{-\Delta}.</math>

Ad esempio:

:<math>x^2 + 4x + 8 = 0\,\!\Rightarrow x=\frac{-4\pm\sqrt{16-32}}{2} =\frac{-4\pm\sqrt{-16}}{2} =\frac{-4\pm i\sqrt{16}}{2} =-2\pm 2i.</math>

Più in generale è vero che se un numero complesso è soluzione di un'equazione a coefficienti reali, allora anche il suo [[complesso coniugato]] è soluzione della stessa equazione. Quindi nel caso di un'equazione di grado dispari, tra le soluzioni ci sarà sempre almeno un [[numero reale]].

=== Cenni storiciStoria ===

{{vedi anche|Storia dei numeri complessi}}

I numeri complessi hanno avuto una genesi dilatata nel tempo. Cominciarono a essere utilizzati formalmente nel [[XVI secolo]] nelle formule di risoluzione delle [[equazione di terzo grado|equazioni di terzo]] e [[equazione di quarto grado|quarto grado]] di [[Niccolo Fontana Tartaglia|Tartaglia]]. I primi che riuscirono ad attribuire soluzioni alle equazioni cubiche furono [[Scipione del Ferro]], il [[Rafael Bombelli|Bombelli]] e anche [[Niccolò Tartaglia]], quest'ultimo, dopo molte insistenze, passò i risultati a [[Girolamo Cardano]] con la promessa di non divulgarli. Cardano dopo aver verificato l'esattezza delle soluzioni di Tartaglia non rispettò la sua promessa e pubblicò i risultati, citandone l'autore però, nella sua nota ''Ars Magna'' del 1545. Tartaglia aveva molte amicizie tra gli inquisitori e in seguito Cardano ebbe problemi legati alla giustizia del tempo, molti dei quali provenienti da accuse di eresia. Attualmente la comparsa di radici di numeri negativi viene attribuita principalmente a Tartaglia mentre nelle meno numerose pagine dedicate a Cardano non vi è traccia del suo probabile importante contributo a tale rappresentazione numerica.

Alcuni sostengono che i numeri complessi furono utilizzati per la prima volta da Girolamo Cardano mentre studiava la risoluzione di equazioni cubiche. Cardano scrisse a Tartaglia dei suoi risultati che non reagì in modo positivo vedendo gli sviluppi geniali del suo collega e lo accusò di avergli copiato alcune idee. Tartaglia aveva molte amicizie tra gli inquisitori e in seguito Cardano ebbe problemi legati alla giustizia del tempo molti dei quali provenienti da accuse di eresia.

Attualmente la comparsa di radici di numeri negativi viene attribuita principalmente a Tartaglia mentre nelle meno numerose pagine dedicate a Cardano non vi è traccia del suo probabile importante contributo a tale rappresentazione numerica.

Inizialmente i numeri complessi non vennero considerati come "numeri" ma solo come artifici [[algebra|algebrici]] utili a risolvere equazioni. Erano infatti numeri "che non dovrebbero esistere": [[Cartesio]] nel [[XVIXVII secolo]] li chiamò "numeri immaginari". [[Abraham de Moivre]] ed [[Eulero]] nel [[XVIII secolo]] iniziaronoincominciarono a fornire ai numeri complessi una base teorica, finché questi assunsero piena cittadinanza nel mondo matematico con i lavori di [[Gauss]]. Contemporaneamente si affermò l'interpretazione dei numeri complessi come punti del piano.

=== Terminologia ===

In matematica molti oggetti e teoremi dipendono dalla scelta di un insieme numerico di base: spesso la scelta è fra numeri reali e complessi. L'aggettivo "complesso" è in questo caso usato per specificare questo insieme di base. Per esempio, si definiscono le [[matrice|matrici complesse]], i [[polinomio|polinomi complessi]], gli [[spazio vettoriale complesso|spazi vettoriali complessi]] e l'[[algebra di Lie|algebra di Lie complessa]]. Esistono anche il [[teorema di Sylvester complesso]] e il [[teorema spettrale complesso]].

== Definizione moderna ==

Formalmente un numero complesso si può definire come una [[coppia ordinata]] di numeri reali <math> (a, b) </math>. Si definiscono quindi somma e prodotto di due numeri complessi nel modo seguente:

:<math> ( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ), \,</math><br>

:<math> ( a , b ) ( c , d ) = ( ac - bd , bc + ad ). \,</math>

Con queste due operazioni, l'insieme dei numeri complessi risulta essere un [[campo (matematica)|campo]], che viene indicato con <math> \mathbb{C} </math> oppure con '''C'''.

Il numero complesso <math> (a,0) </math> viene identificato con il [[numero reale]] <math> a </math>, mentre il numero <math> (0,1) </math> è chiamato [[unità immaginaria]] ed è descritto con la lettera <math> i </math>. L'elemento 1 è l'elemento neutro per la moltiplicazione, mentre si verifica che:

:<math>i^2 = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1.\,</math><br>

Ogni numero complesso <math> z = (a,b) </math> si scrive facilmente come [[combinazione lineare]] nel modo seguente:

:<math>z =(a,b)=(a,0) + (10,b) = a + (b,0) (0,1) = a + b (0,1) = a + bi.\,</math><br>

I numeri ''<math>a''</math> e ''<math>b''</math> sono rispettivamente la [[parte reale]] e la [[parte immaginaria]] di ''<math>z''</math>. Questa [[rappresentazione dei numeri complessi|rappresentazione]] dei numeri complessi rende agevole lo svolgimento delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio:

:<math> (2+4i)(1-i) = 2(1-i)+4i(1-i) = 2-2i+4i-4i^2 = 2+2i-4(-1) = 6+2i. \,</math><br>

=== Definizioni alternative ===

Usando gli strumenti della [[Teoria dei campi (matematica)|teoria dei campi]], il campo dei numeri complessi può essere definito come la [[campo algebricamente chiuso|chiusura algebrica]] del campo dei numeri reali.

Usando gli strumenti della [[teoria degli anelli]], può anche essere introdotto come l'[[anello quoziente]] dell'[[Anello (algebra)|anello]] dei [[polinomio|polinomi]] reali con una variabile tramite l'[[ideale (matematica)|ideale]] generato dal polinomio <math> x^2+1 </math>:

:<math> \mathbb{C} = \mathbb{R}[ x ] / (x^2 + 1).</math>

Questo è effettivamente un campo perché <math> x^2+1 </math> è [[dominio di integrità|irriducibile]]. L'immagineLa radice del polinomio <math> x^2+1 </math> in questo anello quoziente è l'unità immaginaria <math> i </math>, quindi l'anello quoziente è isomorfo a <math>\mathbb{R}[i]=\mathbb{C}</math>.

== Geometria ==

{{vedi anche|Rappresentazione dei numeri complessi|Piano complesso}}

[[immagineFile:complesso.png|right|]]

Un numero complesso può essere visto come un punto del [[piano cartesiano]], chiamato in questo caso piano di [[Gauss]]. Una rappresentazione di questo tipo si chiama '''diagramma di Argand-Gauss'''. Nella figura si vede che

:<math> z = x + iy = r (\cos \varphi + i\sin \varphi ) ,</math>

essendo <math> \cos \varphi </math> e <math> \sin \varphi </math> [[funzioni trigonometriche]].

Le formule inverse per <math> x > 0 </math> sono:

Le formule inverse sono:

:<math> r = \sqrt{x^2 + y^2}</math>

:<math>\varphi r = \arctansqrt{x^2 + \frac{y^2}{x},</math>

Per :<math>\varphi x= \arctan \frac{y}{x},</math> 0per </math> valex invece> l'uguaglianza:0,</math>

:<math>\varphi = \arctan \frac{y}{x}+\pi,</math> per <math> x < 0.</math>

Usando la [[formula di Eulero]], possiamo esprimere <math> z </math> come

:<math> z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) = re^{i\varphi} ,</math>

tramite la [[funzione esponenziale]]. Qui <math> r </math> è il '''modulo''' (o '''valore assoluto''' o '''norma''') e <math> \varphi </math> (detta '''anomalia''') è l{{'}}'''argomento''' di <math> z </math>. L'argomento è determinato da <math> z </math> se è inteso nell'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math> [0,2\pi) </math>, altrimenti è definito solo a meno di somme con <math> 2k\pi </math> per qualche intero <math> k </math>.

== Operazioni con i numeri complessi ==

=== Modulo e distanza ===

:<math> | z | = \sqrt{x^2 + y^2}\,\!.</math>

Il [[valore assoluto#Numeri complessi|valore assoluto]] (modulo) ha le proprietà seguenti proprietà:

:<math> | z + w | \leq | z | + | w |,\,\! </math>

:<math> | z w | = | z | | w |,\,\! </math>

:<math> \left| \frac{z / }{w }\right| = \frac{| z | / }{| w | \},\! </math> se <math> w \neq 0 ,</math>,

valide per tutti i numeri complessi <math> z </math> e <math> w </math>.

Riga 100 ⟶ 96:

La [[distanza (matematica)|distanza]] fra due punti del piano complesso è data semplicemente da

:<math> d(z, w) =|z - w| \,\! .</math>.

=== Coniugato ===

Riga 107 ⟶ 103:

:<math> \bar z = a-ib. </math>

A volte è anche indicato come <math> z^* </math>. Nel piano complesso <math>\bar{z}</math> è ottenuto da <math> z </math> per [[simmetria]] rispetto all'asse reale. Valgono le seguenti proprietà:

: <math>\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w},;</math>

: <math>\overline{zw} = \bar{z}\bar{w},;</math>

: <math>\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w},;</math>

: <math>\bar{\bar{z}}=z,;</math>

: <math>\bar{z}=z \LeftrightarrowLongleftrightarrow z\in\R,;</math>

: <math>|z|=|\bar{z}|,;</math>

: <math>|z|^2 = z\bar{z},.</math>

=== InversoReciproco ===

{{vedi anche|Inverso di un numero complesso}}

Conoscendo il valore assoluto ede il coniugato di un numero complesso <math>z \neq 0</math> è possibile calcolare il suo inversoreciproco <math>z^{-1}</math> attraverso la formula:

: <math>z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^2}.</math>

OvveroOssia, se <math> z = a+ib </math> otteniamo

: <math> z(a+ib)^{-1} = \frac{a-ib}{a^2+b^2}. </math>

=== Somma algebrica ===

Valgono le relazioni

:<math> ( a + ib ) + ( c + id ) = ( a + c ) + i ( b + d ),\,\!</math>

:<math> ( a + ib ) - ( c + id ) = ( a - c ) + i ( b - d ).\,\!</math>

La somma di due numeri complessi equivale alla usuale somma fra [[Vettore (matematica)|vettori]] nel piano complesso.

Riga 135 ⟶ 131:

Vale

:<math> ( a + ib )( c + id ) = ( ac - bd ) + i ( bc + ad )\,\!.</math>

In realtà il prodotto non è che il risultato di un normalissimo prodotto di binomi. Usando la rappresentazione

:<math>z = re^{i\theta}</math>

Usando la rappresentazione

:<math> z = re^{i\theta} \,\!</math>

e le proprietà della [[funzione esponenziale]], il prodotto di due numeri complessi

:<math> z_1 = r_1 e^{i \theta_1}, \quad z_2 = r_2 e^{i \theta_2}\,\! </math>

assume la forma più agevole

:<math>z_1\cdot z_2 = r_1 e^{i \theta_1} \cdot r_2 e^{i \theta_2} = r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)}. </math>

= r_1 r_2 e^{i (\theta_1 + \theta_2)}. </math>

In altre parole, nel prodotto di due numeri complessi, si sommano gli argomenti e si moltiplicano i moduli.

Questa affermazione consente di dimostrare la [[Regolaregola dei segni del prodotto]]: – • –<math>-\cdot -= + </math>. Difatti se si considera che l’argomentol'argomento di un numero reale negativo è 180°º, moltiplicando tra loro due di questi numeri si ottiene un numero con argomento 360° e quindi 0° che è l’argomentol'argomento di un numero reale positivo.

Una moltiplicazione per un numero complesso può essere vista come una simultanea [[rotazione]] e [[omotetia]]. Moltiplicare un vettore o equivalentemente un numero complesso per l'elemento <math> i </math> produce una rotazione di 90°, in senso antiorario, del numero complesso di partenza. Ovviamente laLa moltiplicazione per <math> i </math> e poi ancora per <math> i </math> produce una rotazione di 180°º; ciò è logico visto che <math> i^2 = -1 </math>.

=== Rapporto ===

Il rapporto fra due numeri complessi <math> z_1 = a_1a+b_1iib </math> e <math> z_2 = a_2c+b_2iid </math> è dato da:

: <math> {z_1 \over z_2} = {a_1a+b_1iib \over a_2c+b_2iid} = {(a_1a+b_1iib) \over (a_2c+b_2iid)}{(a_2c-b_2iid) \over (a_2c-b_2iid)}= \frac{a_1a_2ac+b_1b_2bd+i(a_2b_1cb-a_1b_2ad)i}{a_2c^2+b_2d^2}.</math>

Usando la rappresentazione

:<math> z = re^{i\theta}, \,\! </math>

il rapporto di due numeri complessi è

:<math>\frac{r_1 e^{i \theta_1}}{r_2 e^{i \theta_2}}= \frac{r_1}{r_2} e^{i (\theta_1 - \theta_2)}.</math>

{r_2 e^{i \theta_2}}

= \frac{r_1}{r_2} e^{i (\theta_1 - \theta_2)}. </math>

=== Potenze ===

Rappresentando ogni numero complesso come

:<math> z = re^{i\theta} \,\!</math>

è facile descrivere la potenza <math> n </math>-esima

:<math> z^n = r^ne^{ni\theta} \,\!</math>

per ogni <math> n </math> [[numero intero|intero]]. Con una notazione lievemente differente:

:<math>z = |z|(\cos \theta + i sen\sin \theta )\,\!</math>

Si ottiene la [[formula di De Moivre]]:

:<math>z^n = |z|^n ( \cos(n\theta) + i sen\sin(n\theta) )\,\!.</math>

LaInoltre, potenza di unogni numero complesso non ha senso seesattamente <math> n </math> non è intero. Inoltre, ogni numero complesso ha esattamenteradici <math>n</math> radici ''n''-esime: in particolare non esiste un modo univoco di definire la [[radice quadrata]] di un numero complesso.

{{vedi anche|Radice dell'unità}}

=== EsempioEsponenziale ===

{{vedi anche|esponenziale complesso}}

La [[funzione esponenziale]] complessa <math>e^z</math> è definita facendo uso delle [[Serie (matematica)|serie]] e degli strumenti del [[calcolo infinitesimale]], nel modo seguente:

:<math>e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}.</math>

In particolare, se <math>z = a+ib</math> si ottiene

:<math>e^{a+ib} = e^ae^{ib} = e^a(\cos b + i \sin b)</math>

facendo uso della [[formula di Eulero]].

===Logaritmo===

Supponiamo di voler individuare i numeri complessi z tali che <math> 4z^2=\bar z^4 </math>.

{{vedi anche|logaritmo complesso}}

Il [[logaritmo naturale]] <math>\ln z</math> di un numero complesso <math>z</math> è per definizione un numero complesso <math>w</math> tale che

:<math>e^w = z.</math>

Se

:<math>z = a+ib = re^{i\theta} = r(\cos\theta + i\sin\theta),</math>

il logaritmo di <math>z</math> è un qualsiasi numero complesso <math>w</math> del tipo

:<math>w = \ln z = \ln (re^{i\theta}) = \ln r + i(\theta +2k\pi),</math>

dove <math>k</math> è un [[numero intero]] qualsiasi. Poiché il valore <math>k</math> è arbitrario, un numero complesso ha una infinità di logaritmi distinti, che differiscono per multipli interi di <math>2\pi i</math>.

Se <math>a>0</math> si può scrivere

La prima possibilità è quella di porre <math> z=a+ib </math> e di uguagliare la parte reale di <math> 4z^2 </math> alla parte reale del coniugato di <math> z^4 </math> e analogamente per le rispettive parti immaginarie.

:<math>\ln(a+ib)=\ln\sqrt[2]{a^2+b^2}+i\arctan\frac{b}{a}.</math>

In questo caso, se <math> z </math> è reale (cioè se <math>b=0</math>) fra gli infiniti valori ce n'è uno reale, che corrisponde all'usuale logaritmo di un numero reale positivo.

=== Esempi ===

Supponiamo di voler individuare i numeri complessi z tali che

:<math> 4z^2=\bar z^4. </math>

La prima possibilità è quella di porre <math> z=a+ib </math> e di uguagliare la parte reale di <math> 4z^2 </math> alla parte reale del coniugato di <math> z^4 </math> e analogamente per le rispettive parti immaginarie. Seguendo questa strada si ottengono due equazioni:

Deve risultare contemporaneamente:

:<math>ab(a^2-b^2+2)=0,</math>

:<math>a^4+b^4-6(ab)^2=4(a^2-b^2).</math>

da cui si ricavano 7 soluzioni:

:<math>z=0, -2, 2, i\sqrt{3}+1, -i\sqrt{3}+1, i\sqrt{3}-1, -i\sqrt{3}-1.</math>

In alternativa, si può usare la rappresentazione polare

<math> ab(a^2-b^2+2)=0 </math> e

:<math>z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi)</math>

e uguagliare le norme e gli argomenti di <math> 4z^2 </math> e del coniugato di <math> z^4 </math>, ottenendo anche qui due equazioni:

<math> a^4+b^4-6(ab)^2=4(a^2-b^2) </math>

:<math>4r^2=r^4,</math>

:<math>6\varphi=2k\pi,</math>

con <math> k=0,1,\ldots,5 </math>. Si ottengono le stesse soluzioni, per esempio

da cui: <math> z=0 , z=-2 , z=2 , z=i\sqrt{3}+1 , z=-i\sqrt{3}+1, z=i\sqrt{3}-1 , z=-i\sqrt{3}-1 </math>

:<math> z=i\sqrt{3}+1=2e^{i{\pi}/3}.</math>

Se invece poniamo <math> z = r (\cos \varphi + i\sin \varphi ) </math> basta uguagliare le norme e gli argomenti di <math> 4z^2 </math> e del coniugato di <math> z^4 </math>.

Ricordiamo che la norma del prodotto è il prodotto delle norme e che la norma di un numero reale coincide con il suo valore assoluto. L'argomento del prodotto è la somma degli argomenti e l'argomento di un numero reale è nullo. L'argomento del coniugato di un numero complesso <math> z </math> è l'opposto dell'argomento di <math> z </math>. Naturalmente l'argomento di un numero complesso è sempre definito a meno di multipli di <math> {2\pi} </math>. Tenendo conto di ciò otteniamo le relazioni

<math> 4r^2=r^4 </math> e

<math> 6\varphi={2k\pi} </math> con k=0,1,...,5

Ovviamente si ottengono le stesse soluzioni, per esempio <math> z=i\sqrt{3}+1=2e^{i{\pi}/3} </math>.

== Alcune proprietà ==

=== Perdita dell'ordinamento ===

Diversamente dai numeri reali, i numeri complessi non possono essere [[relazionecampo d'ordineordinato|ordinati]] in modo compatibile con le operazioni aritmetiche. Non è cioè possibile definire un ordine tale che

:<math>a<\leq b, s>0 \Rightarrow as<bs, a+c\leq b+c,\!</math>

:<math> a<b\geq 0, s<b\geq 0 \Rightarrow as>bs,ab \geq 0,\!</math>

come avviene con i numeri reali. Quindi non ha senso chiedere ad esempio se <math>i</math> è maggiore o minore di <math>0</math>, né studiare [[disequazione|disequazioni]] nel campo complesso. Infatti in ogni campo ordinato tutti i quadrati devono essere maggiori o uguali a zero: per costruzione dell'unità immaginaria, invece <math>i^2=-1</math>.

:<math>a<b \Rightarrow a+c<b+c \,\!</math>

come avviene con i numeri reali.

Quindi non ha senso chiedere ad esempio se <math> i </math> è maggiore o minore di 1, né studiare [[disequazione|disequazioni]] nel campo complesso.

Ciò non deve essere confuso con il dire che l'insieme dei numeri complessi non può essere totalmente ben ordinato. Infatti i numeri complessi hanno, ad esempio, un ordinamento in termini di [[ordine lessicografico]], e costituiscono quindi un insieme ordinabile (come ogni insieme in [[Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel|ZFC]] stante l'[[assioma della scelta]]), ma non formano un campo ordinato (per la ragione di cui sopra) né una struttura algebrica ordinabile rispetto alla [[metrica indotta]] da una [[Norma (matematica)|norma]].

{{cassetto|titolo = Dimostrazione della mancanza di ordinamento|testo =

Siano <math>a</math> e <math>b</math> due numeri complessi, con <math> a < b. </math>

Si moltiplichino entrambi i membri della disequazione per ''<math>i</math>'' (l'unità immaginaria) due volte:

=== Piano cartesiano ===

:''i''·''i''·''a'' < ''i''·''i''·''b''.

[[File:Logarithms_tagged.svg|thumb|upright=1.4|Funzione logaritmica: tutte le coppie (''x'';''y'') con ''x'' negativa sono numeri complessi e non possono essere rappresentati nel piano, prescindendo dalla base scelta: rosso per la base ''e'', verde per la base 10 e viola per la base 1,7.]]

Quando si disegna una funzione nel piano cartesiano il cui codominio contiene numeri dell'insieme immaginario, tali numeri non possono essere rappresentati da una coppia di coordinate <math>(x;y)</math>, poiché essendo <math>y</math> complesso non può avere ordinamento rispetto alla retta <math>y</math>.

Dato che, per definizione, <math>i^2=-1</math> si ottiene:

:<math> -a<-b. </math>

Si sommi ad entrambi i membri l'espressione <math>(a+b)</math>:

:<math> (a+b)-a<(a+b)-b, </math>

si eliminano le parentesi e i termini opposti e si ottiene

:<math> b<a.</math>

Questo è un risultato in contraddizione con la premessa quindi non può essere definito in generale un ordinamento nei numeri complessi.

}}

=== Spazio dei vettori reali ===

L'''C'''insieme <math>\Complex</math> è contemporaneamente uno [[spazio vettoriale complesso]] ada una dimensione (come tutti i campi), ede uno [[spazio vettoriale reale]] a due dimensioni. In quanto spazio vettoriale reale a dimensione finita è inoltre uno [[spazio normato]] [[spazio completo|completo]], cioè uno [[spazio di Banach]], e più in particolare uno [[spazio di Hilbert]].

=== Soluzioni delle equazioni polinomiali ===

{{vedi anche|Teorema fondamentale dell'algebra}}

Una ''radice complessa'' di un [[polinomio]] ''<math>p''</math> a coefficienti reali è un numero complesso ''<math>z''</math> tale che ''<math>p''(''z'')=0</math>. Il [[teorema fondamentale dell'algebra]] asserisce che ogni polinomio di grado ''<math>n''</math> ha esattamente ''<math>n''</math> soluzioni complesse, contate con molteplicità. Questo risultato indica che i numeri complessi sono (a differenza dei reali) un [[campo algebricamente chiuso]].

== Analisi complessa ==

{{vedi anche|Analisi complessa}}

Lo studio delle funzioni con variabili complesse è chiamata [[analisi complessa]] ed è usatissima nella [[matematica applicata]] e nella [[teoria dei numeri]] oltre che in altre branche della matematica.

Lo studio delle funzioni con variabili complesse è detto [[analisi complessa]] e trova largo impiego nella [[matematica applicata]] e nella [[teoria dei numeri]], oltre che in altre branche della matematica, della fisica e dell'ingegneria. Spesso, le dimostrazioni più semplici per gli enunciati dell'[[analisi reale]] o persino della [[teoria dei numeri]] impiegano tecniche di analisi complessa (vedi [[ teorema dei numeri primi]] per un esempio). Diversamente delledalle funzioni reali, che sono rappresentate comunemente come grafici bidimensionali, le funzioni complesse hanno grafici a quattro dimensioni e spesso vengono rappresentate come grafici colorati dove il colore rappresentasopperisce laalla dimensione mancante (si veda, ad esempio, la voce [[Immagini conformi]]). Si possono anche usare delle animazioni per mostrare la trasformazione dinamica della funzione complessa del piano complesso.

== Applicazioni ==

=== In matematica ===

I numeri complessi sono presenti in tutta la matematica, e sono protagonisti di interi settori, come l'[[analisi complessa]] o la [[geometria algebrica]]. Elenchiamo qui soltanto alcune applicazioni dei numeri complessi a settori della matematica in cui questi non hanno un ruolo dominante.

* '''Teoria dei numeri''': La [[teoria dei numeri analitica]] usa l'[[analisi complessa]] per affrontare problemi sui [[numeri interi]]. Alcuni esempi sono il [[teorema dei numeri primi]] e la collegata [[ipotesi di Riemann]].

* '''Integrali impropri''': Alcuni [[integrale improprio|integrali impropri]] possono essere risolti agevolmente con il [[teorema dei residui]] dell'analisi complessa.

* '''Integrali impropri''': Alcuni [[integrale improprio|integrali impropri]] possono essere risolti agevolmente con il [[teorema dei residui]] dell'analisi complessa.

* '''Equazioni differenziali''': Le [[equazione differenziale lineare|equazioni differenziali lineari]] a coefficienti costanti si risolvono trovando le radici complesse di un polinomio associato all'equazione.

* '''Frattali''': Alcuni [[frattali]] sono definiti tramite i numeri complessi, per esempio l'[[insieme di Mandelbrot]] e l'[[insieme di Julia]].

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* '''Dinamica dei fluidi''': Nella [[dinamica dei fluidi]] i numeri complessi vengono utilizzati per descrivere il flusso potenziale in 2 dimensioni.

* '''Meccanica quantistica''': Il campo dei numeri complessi è una componente essenziale della [[meccanica quantistica]] dato che la teoria è sviluppata in uno [[spazio di Hilbert]] a dimensione infinita derivato da '''C'''. L'unità immaginaria compare anche nell'[[equazione di Schrödinger]].

* '''Meccanica Quantistica''': Il campo dei numeri complessi è una componente essenziale della [[meccanica quantistica]] dato che la teoria è sviluppata in uno [[spazio di Hilbert]] a dimensione infinita derivato da '''C'''. L'unità immaginaria compare anche nell'[[equazione di Schrödinger]].

* '''Relatività''': Nella [[relatività generale]] e [[relatività speciale]] alcune formule dello [[spazio metrico]] diventano più semplici se si suppone la variabile temporale come una variabile immaginaria.

=== Ingegneria ===

I numeri complessi sono utilizzati per la risoluzione delle equazioni differenziali associate al moto di tipo vibratorio dei sistemi meccanici. Sono molto usati anche nell'ingegneria elettrica, soprattutto per rappresentare lo sfasamento tra reattanza e resistenza.

==== Analisi dei segnali ====

I numeri complessi vengono utilizzati nell'[[analisi dei segnali]] e in tutti i campi dove si trattano segnali che variano sinusoidalmente nel tempo, o anche semplicemente periodici. Il valore assoluto di |''z''| è interpretato come la l'ampiezza del segnale mentre l'argomento di ''z'' è interpretato come la [[Fase (segnali)|fase]]. I numeri complessi rendono possibile anche l'[[analisi di Fourier]], che rende possibile scomporre un generico segnale tempo-varianteinvariante in una somma di infinite sinusoidi: ogni sinusoide è scritta come un singolo numero complesso

:<math> f ( t ) = z e^{ji\omega t} \,</math>

dove &<math>\omega;</math> è la [[Velocità angolare|pulsazione]] della sinusoide e ''z'' la sua ampiezza.

=== Elettrotecnica ed elettronica ===

Nell'[[ingegneria elettrica]] ed [[ingegneria elettronica|elettronica]] vengono utilizzati per indicare la [[Potenziale elettrico|tensione]] e la [[Corrente elettrica|corrente]]. L'analisi dei componenti

Nell'[[ingegneria elettrica]] ed [[ingegneria elettronica|elettronica]] vengono utilizzati per indicare la [[Potenziale elettrico|tensione]] e la [[Corrente elettrica|corrente]]. L'analisi dei componenti [[resistenza elettrica|resistivi]], [[Condensatore (elettrotecnica)|capacitivi]] e [[induttore|induttivi]] è stata unificata con l'introduzione dei numeri complessi, che riassumono tutte e tre queste componenti in una sola entità detta [[impedenza]], semplificando notevolmente i calcoli. Possono esprimere delle relazioni che tengono conto delle frequenze e di come i componenti varino il loro comportamento al variare della frequenza. In questo tipo di calcoli si usa tradizionalmente la lettera ''j'' per indicare l'unità immaginaria, dato che la ''i'' è riservata alla corrente: i primi trattati di elettrotecnica, all'inizio del [[XX secolo]], stabilivano ''j'' = ''-i'', cioè l'unità immaginaria nelle formule usate per l'elettrotecnica era il negativo di quella usata dai matematici. L'uso è stato mantenuto nel tempo, e questo dettaglio, sia pure ignoto ai più, è parzialmente vero anche oggi. {{citazioneAnche necessaria|Lase, cosala nonstragrande creòmaggioranza problemi né agli ingegneri nédelle ai matematicivolte, chenella nonletteratura lavoravanotecnica praticamentecon mai''j'' insieme; a volte tuttavia i fisicioramai si trovaronointende al'unità doverimmaginaria correggere strani errori di segno nei loro calcolistessa, seper usavanocui formule prese da libri di elettrotecnica''j''=''i''.}}

Attualmente, la stragrande maggioranza delle volte con ''j'' ormai nella letteratura tecnica si intende l'unità immaginaria stessa, per cui ''j''=''i''

==Generalizzazioni ed estensioni==

== Bibliografia ==

{{vedi anche|Costruzione di Cayley-Dickson|Algebra di Clifford}}

Il processo di estensione del campo '''R''' dei numeri reali al campo '''C''' dei numeri complessi è noto come [[costruzione di Cayley-Dickson]]. Esso può essere portato oltre a dimensioni più elevate, ottenendo i [[Quaternione|quaternioni]] '''H''', gli [[Ottetto (matematica)|ottetti]] (o '''ottonioni''') '''O''' e i [[Sedenione|sedenioni]], i quali costituiscono, rispettivamente, delle [[algebra su campo|algebre]] a ''4'', ''8'', ''16'' [[dimensione di uno spazio vettoriale|dimensioni]] sul campo dei [[numeri reali]].

In questo contesto, i numeri complessi sono stati chiamati '''binarioni'''.<ref>{{cita libro | cognome= McCrimmon | nome= Kevin | titolo= A Taste of Jordan Algebras | editore= Universitext, Springer| anno= 2004|isbn= 0-387-95447-3|cid =loune|lingua= en}} [https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2014924 MR 2014924] p. 64</ref>

Le algebre prodotte da questo processo sono note come '''algebre di Cayley-Dickson''' e, poiché estendono i numeri complessi, vanno a costituire una famiglia dell'insieme dei cosiddetti [[numeri ipercomplessi]], il quale, tuttavia, include anche la famiglia delle [[Algebra di Clifford|algebre di Clifford]].

*{{en}} ''An Imaginary Tale'', by Paul J. Nahin; Princeton University Press; ISBN 0691027951 (hardcover, 1998). Una semplice introduzione ai numeri complessi e all'analisi complessa.

==Note==

== Collegamenti esterni ==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{ar}} {{en}} {{es}} {{fr}} [http://www.dimensions-math.org/Dim_regarder_E_E.htm Dimensions: a math film.] Film introduttivo sui numeri complessi (capitoli 5 e 6).

* {{cita libro|cognome=Ahlfors|nome=Lars|linkautore=Lars Ahlfors|titolo=Complex Analysis|url=https://archive.org/details/complexanalysisi0000ahlf_v7n1|editore=McGraw-Hill|anno=1979|edizione=3rd|isbn=978-0-07-000657-7|lingua=en}}

* [http://www.sandroronca.it/matematica/complessi/complex0.html Numeri Complessi]. Una lezione interattiva

* {{en}} E. Freitag, R. Busam, ''Complex Analysis''; Springer-Verlag (2005).

* {{cita libro | cognome= Lounesto | nome= P. | titolo= Clifford Algebras and Spinors | editore= Cambridge University Press| anno= 1997|isbn= 0-521-59916-4|cid =loune|lingua= en}}

* {{Cita libro|nome=Paul J.|cognome=Nahin|titolo=An imaginary tale : the story of [the square root of minus one]|url=https://www.worldcat.org/oclc/38147840|data=1998|editore=Princeton University Press|lingua=en|OCLC=38147840|ISBN=0-691-02795-1}}

* {{Cita libro|nome=Tristan|cognome=Needham|titolo=Visual complex analysis|url=https://www.worldcat.org/oclc/36523806|data=1997|editore=Clarendon Press|lingua=en|OCLC=36523806|ISBN=0-19-853447-7}}

== Voci correlate ==

{{div col}}

* [[Parte reale]]

* [[Parte immaginaria]]

* [[Complesso coniugato]]

* [[Inverso di un numero complesso]]

* [[Fasore]]

* [[Formula di De Moivre]]

* [[Identità di Eulero]]

* [[Inverso di un numeroPiano complesso]]

* [[Radice dell'unità]]

* [[Rappresentazione dei numeri complessi]]

* [[Storia dei numeri complessi]]

* [[Teorema fondamentale dell'algebra]]

* [[Leonhard Euler]]

* [[Caspar Wessel]]

* [[Jean-Robert Argand]]

* [[Carl Friedrich Gauss]]

* [[Analisi complessa]]

* [[Geometria complessa]]

* [[Fasore]]

* [[Numero ipercomplesso]]

* [[Piano complesso]]

* [[Quaternione]]

* [[Ottetto (matematica)]]

* [[Sedenione]]

* [[Costruzione di Cayley-Dickson]]

* [[Algebra di Clifford]]

* [[Numero complesso iperbolico]]

* [[Numero duale]]

* [[Numero complesso iperbolico]]

* [[Radice dell'unità]]

* [[Rappresentazione dei numeri complessi]]

* [[Storia dei numeri complessi]]

* [[Teorema fondamentale dell'algebra]]

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==Altri progetti==

{{interprogetto|commons|Category:Complex numbers}}

== Altri progetti ==

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== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{FOLDOC|complex number|complex number}}

* {{lingue|ar|en|es|fr}}[https://web.archive.org/web/20080907200446/http://www.dimensions-math.org/Dim_regarder_E_E.htm Dimensions: a math film.] Film introduttivo sui numeri complessi (capitoli 5 e 6).

* [https://www.sandroronca.it/matematica/NumeriComplessi/NumeriComplessi1.html Numeri Complessi]. Una lezione interattiva

* [http://fismat.wikidot.com/immaginari I numeri complessi]. Note da lezioni alle superiori. Con GeoGebra.

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