Base (algebra lineare): differenze tra le versioni

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In [[matematica]], e più precisamente in [[algebra lineare]], la '''base''' di uno [[spazio vettoriale]] è un insieme di [[Vettore (matematica)|vettori]] [[dipendenza lineare|linearmente indipendenti]] che [[insieme di generatori|generano]] lo spazio.<ref name=base>{{Cita|Hoffman, Kunze|Pag. 41|kunze}}.</ref> In modo equivalente, ogni elemento dello spazio vettoriale può essere scritto in modo unico come [[combinazione lineare]] dei [[Vettore (matematica)|vettori]] appartenenti alla base.<ref name=def>{{Cita|S. Lang|Pag. 44|lang}}.</ref>

{{Avvisounicode}}

{{voce complessa|Vettore (matematica)|Spazio vettoriale}}

In [[matematica]], e più precisamente in [[algebra lineare]], un insieme di [[Vettore (matematica)|vettori]] di uno [[spazio vettoriale]] è una '''base''' se questi vettori sono [[dipendenza lineare|indipendenti]] e [[Combinazione_lineare|generano]] lo spazio vettoriale.

Se la base di uno spazio vettoriale è composta da un numero finito di elementi allora la [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] dello spazio è finita.<ref>Si ha anche che se la base è composta da un numero infinito di elementi allora la dimensione è infinita, tuttavia questa affermazione non segue direttamente dalla definizione.</ref> In particolare, il numero di elementi della base coincide con la dimensione dello spazio.<ref>{{Cita|Hoffman, Kunze|Pag. 44|kunze}}.</ref>

La base è un concetto chiave dell'algebra lineare, simile a quello di [[sistema di riferimento]] usato in [[fisica]], che permette di definire la [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] di uno spazio vettoriale.

==Definizione nel caso di dimensione finita==

Sia <math>V</math> uno [[spazio vettoriale]] su un [[campo (matematica)|campo]] <math>K</math>. L'[[insieme]] <math>\mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2 \dots \mathbf{v}_n</math> di elementi di <math>V</math> è una base di <math>V</math> se valgono entrambe le seguenti proprietà:<ref name=def/>

* I vettori <math>\mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2 \dots \mathbf{v}_n</math> sono [[linearmente indipendenti]] in <math>K</math>, ovvero la relazione:

Sia ''V'' uno [[spazio vettoriale]] su un [[campo (matematica)|campo]] '''K'''. Un [[insieme ordinato]] (sequenza) di vettori (''v''₁, ..., ''v_n'') è una '''base''' per ''V'' se valgono entrambe queste proprietà:

:<math> \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i = a_1 \mathbf{v}_1 + a_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + a_n \mathbf{v}_n = \mathbf{0}</math>

<div style="float:center; width:65%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

# I vettori ''v''₁, ..., ''v_n'' sono [[linearmente indipendenti]];

# I vettori ''v''₁, ..., ''v_n'' [[span_lineare|generano]] ''V'', cioè ''V'' = Span(''v''₁, ..., ''v_n'').

</div>

:è verificata solo se i numeri <math>a_1 , a_2, \dots ,a_n \in K</math> sono tutti uguali a zero.

== Proprietà ==

=== Dimensione ===

Uno spazio vettoriale generalmente non ha una sola base, anzi solitamente ha una infinità di basi molto diverse fra loro; però grazie al [[teorema della dimensione per spazi vettoriali]] queste basi hanno tutte la stessa [[cardinalità]], sono formate cioè sempre dallo stesso numero di vettori.

* I vettori <math>\mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2 \dots \mathbf{v}_n</math> [[span lineare|generano]] <math>V</math>, ovvero:

Questo numero, che dipende quindi solo da ''V'', è la [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] di ''V'' e permette di definire spazi di dimensione arbitrariamente alta, superando i limiti dell'umana intuizione tridimensionale.

:<math>V = \mathrm{Span}( \mathbf v_1 ,\ldots, \mathbf v_n) := \{ a_1 \mathbf v_1 + \cdots + a_n \mathbf v_n \ |\ a_1 ,\ldots, a_n \in K \} </math>

La dimensione di ''V'' è inoltre pari al massimo numero di vettori indipendenti in ''V'', e al minimo numero di vettori necessari per generare ''V''.

:In particolare, per ogni vettore <math>\mathbf v</math> di <math>V</math> i numeri <math>a_1 , a_2 \dots a_n</math> sono le sue [[coordinate di un vettore|coordinate]] rispetto alla base scelta.

=== Combinazione lineare ===

Un insieme ''B'' = (''v''₁, ..., ''v_n'') di vettori è una base per ''V'' se e solo se ogni elemento ''v'' di ''V'' si può scrivere in un modo solo come [[combinazione lineare]]

dei vettori ''v''₁, ..., ''v_n''. Tale combinazione lineare identifica le [[coordinate di un vettore|coordinate]] di ''v'' rispetto a ''B''.

Si dice anche che i vettori <math>\{\mathbf{v}_i \}</math> appartenenti a una qualsiasi base di <math>V</math> costituiscono un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti dello spazio.<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 45|lang}}.</ref> Questo significa che i vettori <math>\{\mathbf{v}_i \}</math> sono tali che esistono <math>a_1 , a_2 \dots a_n</math> tali che:

=== Condizioni sufficienti ===

Le due proprietà seguenti mostrano che, conoscendo già la dimensione dello spazio, per verificare che un insieme del numero giusto di elementi sia una base è sufficiente provare una sola delle due proprietà necessarie:

* Un insieme ''B'' di ''n'' vettori in uno spazio ''V'' di dimensione ''n'' è una base se e solo se sono indipendenti.

* Un insieme ''B'' di ''n'' vettori in uno spazio ''V'' di dimensione ''n'' è una base se e solo se generano ''V''.

:<math> \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i + \mathbf{w} = \mathbf{0} \qquad \forall \mathbf{w} \ne \mathbf{v}_i , \mathbf{w} \in V</math>

=== Esistenza ===

Qualsiasi sia lo spazio vettoriale ''V'', possiamo sempre trovare una base. Vediamo il perché (la cosa non è banale, e richiede l'uso del [[lemma di Zorn]] nel caso generale). Consideriamo la collezione ''I''(''V'') dei sottoinsiemi di ''V'' linearmente indipendenti. È immediato che l'inclusione ⊂ sia un ordine parziale su ''I''(''V''), e che per ogni catena {''B_i''} l'insieme ∪ ''B_i'' sia un maggiorante (è linearmente indipendente in quanto unione di elementi di una catena ordinata per inclusione). Applicando il lemma di Zorn sappiamo che esiste un insieme massimale linearmente indipendente ''B'' in ''I''(''V''). Adesso è facile concludere che ''B'' è una base, infatti se ''v'' ∈ ''V'' e ''v'' ∉ ''B'', allora per la massimalità di ''B'' l'insieme ''B'' ∪ {''v''} deve essere linearmente dipendente, cioè esistono degli scalari ''a, a₁, ..., a_n'' non tutti nulli tali che

:''a v'' + ''a₁ b₁'' + ... + ''a_n b_n'' = 0, &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; ''b₁, ..., b_n'' ∈ ''B

notiamo che ''a'' ≠ 0 (se fosse nulla allora anche gli altri ''a_i'' dovrebbero esserlo essendo gli elementi di ''B'' linearmente indipendenti), ne deriviamo che ''v'' può essere scritto come combinazione lineare finita di elementi di ''B'', che quindi, oltre a essere linearmente indipendente, genera ''V'', ovvero è una base.

ossia l'aggiunta al sottoinsieme massimale di un qualsiasi altro elemento dello spazio determina la dipendenza lineare degli elementi del sottoinsieme.<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 47|lang}}.</ref>

==Esempi==

* I vettori (1,0) e (0,1) sono una base di '''R'''², perché sono indipendenti e generano '''R'''² (infatti ogni altro (''a'', ''b'') si scrive come (''a'', ''b'') = ''a''(1,0) + ''b''(0,1)).

Una base è dunque composta da un minimo numero di vettori generatori dello spazio. Uno spazio vettoriale non banale con un campo infinito possiede infinite possibili basi diverse.

* In dimensione arbitraria, una base dello spazio vettoriale '''R'''''ⁿ'' è data dai vettori <blockquote>''e''₁ = (1, 0, 0, ..., 0), ''e''₂ = (0, 1, 0, ...,0), ..., ''e_n'' = (0, ..., 0, 1).</blockquote>Questa base si chiama '''base canonica''' di '''R'''''ⁿ''.

* La base canonica di '''C'''''ⁿ'', cioè lo spazio vettoriale delle n-uple di [[numeri complessi]], è sempre <blockquote>''e''₁ = (1, 0, 0, ..., 0), ''e''₂ = (0, 1, 0, ...,0), ..., ''e_n'' = (0, ..., 0, 1).</blockquote> È facile infatti scrivere un qualsiasi vettore di '''C'''^''n'' come combinazione di questi. Ad esempio il vettore (''i'', 0, 0) si scrive come <blockquote> ''i'' * (1 , 0 , 0) = (''i'' , 0 , 0)</blockquote>

=== Dimensione di uno spazio vettoriale ===

* I vettori (2,1) e (-1,2) formano una base di '''R'''², diversa da quella canonica: visto che sono 2 vettori in uno spazio che sappiamo già avere dimensione 2, grazie alla proprietà descritta sopra per dimostrare questo fatto ci basta notare che sono indipendenti.

Uno spazio vettoriale in generale non ha una sola base, e solitamente si trattano spazi con infinite basi possibili. Il [[teorema della dimensione per spazi vettoriali]] afferma che tutte le possibili basi di uno stesso spazio hanno la stessa [[cardinalità]], sono formate cioè sempre dallo stesso numero di vettori.<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 49|lang}}.</ref> Questo numero è la [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] dello spazio, e permette di definire spazi di dimensione arbitrariamente alta. La dimensione dello spazio è inoltre uguale sia al massimo numero di vettori indipendenti che esso contiene, sia al minimo numero di vettori necessari per generare lo spazio stesso.

== Esistenza ==

Qualsiasi sia lo spazio vettoriale <math>V</math>, è sempre possibile trovarne una base. La dimostrazione richiede l'uso del [[lemma di Zorn]] nel caso generale, mentre nel caso particolare degli spazi finitamente generati esistono dimostrazioni più semplici.

=== Dimostrazione ===

Si proverà che ogni [[spazio vettoriale]] ha una [[Base vettoriale|base]], cioè ogni spazio vettoriale ha un insieme massimale [[Linearmente indipendenti|linearmente indipendente]]. Sia <math>V</math> uno spazio vettoriale su un [[Campo (matematica)|campo]] <math>\mathbb{K}</math>, <math>\{ \mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n \} \subseteq V</math> è linearmente indipendente se <math>a_1\mathbf{v}_1+a_2\mathbf{v}_2+\dots+a_n\mathbf{v}_n=0 \iff a_i=0, \forall i=0,1,\dots,n</math>, con <math>a_i \in \mathbb{K}, \forall i=0,1,\dots,n</math>. Se si considera <math>U \subseteq V</math>, non necessariamente [[Insieme finito|finito]], <math>U</math> è linearmente indipendente se ogni [[sottoinsieme]] finito di <math>U</math> è linearmente indipendente.

Si proverà che per ogni <math>U \subseteq V</math>, <math>U</math> è linearmente indipendente, esiste un insieme <math>U \subseteq W \subseteq V</math> tale che <math>W</math> è linearmente indipendente [[massimale]]. Innanzitutto, in ogni spazio vettoriale, l'[[insieme vuoto]] è linearmente indipendente, ciò scende banalmente dal fatto che una [[somma vuota]] è nulla. Si consideri il seguente insieme<math>F=\{ W \subseteq V| U \subseteq W \, \textrm{e} \, W \, \grave{\textrm{e}} \, \textrm{linearmente} \, \textrm{indipendente} \}</math>. Si consideri <math>(F,\subset)

</math> , il quale è un [[ordine parziale]]. Si proverà, ora, che <math>(F,\subset)

</math> soddisfa le ipotesi del [[lemma di Zorn]]. Si osservi che <math>F

</math> è un insieme non vuoto, in quanto <math>U \in F

</math> e <math>U</math> è linearmente indipendente (per ipotesi). Si proverà, adesso, che <math>\subset

</math> è [[Insieme induttivo (teoria degli ordini)|induttivo]] su <math>F

</math>. Sia <math>G \subseteq F</math> una catena in <math>F

</math>. Si proverà che <math>\cup G</math> è un [[Maggiorante e minorante|maggiorante]] di <math>G</math> in <math>F

</math>. Si supponga, per assurdo, che <math>\cup G</math> non sia linearmente indipendente, ovvero esistono <math>n \in \mathbb{N}</math> e <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n \in \cup G</math>, e <math>\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n \in F</math> non tutti nulli tali che <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i \mathbf{v}_i=0</math>. Dato che <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n \in \cup G</math>, allora <math>\mathbf{v}_i \in U_i, \forall i=1,2,\dots,n</math>. Sia <math>U^*=\max \{U_1,U_2,\dots,U_n\}</math>, il quale esiste in quanto si sta operando in una catena. Allora <math>U^* \in G</math>, e inoltre <math>\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n\} \subseteq U^*</math>. Dunque, per quanto detto sopra, <math>\sum_{i=1}^n \lambda_i \mathbf{v}_i=0</math>, segue che <math>U^*</math> non è linearmente indipendente, contro l'ipotesi che <math>U \in F</math>. Di conseguenza, <math>U^*</math> deve essere linearmente indipendente, [[A fortiori ratione|a fortiori]], <math>\cup G</math> è linearmente indipendente.

Dunque <math>(F,\subset)

</math> soddisfa le condizioni del [[lemma di Zorn]]. Quindi, in <math>F

</math>, esistono [[Elemento massimale|elementi massimalei]] che estendono l'insieme <math>U</math>. Ognuno di essi è una base di <math>V</math> che estende <math>U</math> stesso. In particolare, essendo l'insieme vuoto linearmente indipendente, si conclude che esiste una base in ogni spazio vettoriale.

==Coordinate rispetto ad una base==

{{vedi anche|Coordinate di un vettore}}

Per esprimere un vettore in modo unico attraverso una base è necessario definire un ordinamento nell'insieme dei vettori che costituiscono la base. Una ''base ordinata'' è una successione di vettori linearmente indipendenti che generano lo spazio. In particolare, se la successione <math>\mathbf{v}_1 , \mathbf{v}_2 \dots \mathbf{v}_n</math> di elementi è una base ordinata di <math>V</math>, allora l'insieme di tali vettori è una base di <math>V</math>.<ref name=coord>{{Cita|Hoffman, Kunze|Pag. 50|kunze}}.</ref>

Ogni vettore <math>\mathbf w \in V</math> si può scrivere in modo unico come combinazione lineare dei vettori di base:

:<math>\mathbf{w} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{v}_i</math>

Si definisce l'insieme delle coordinate di <math>\mathbf w</math> rispetto alla base data il vettore:<ref name=coord/>

:<math>\mathbf a = (a_1,a_2, \cdots , a_n)</math>

Si tratta del vettore che ha come componenti i coefficienti della combinazione lineare di vettori di base attraverso i quali si può scrivere <math>\mathbf w</math>. Tale vettore dipende dalla base scelta.

La mappa <math>f:V \to K^n</math> che associa ad ogni vettore <math>\mathbf v</math> le sue coordinate <math>f(\mathbf v)</math> è un [[isomorfismo]] di spazi vettoriali, cioè è una [[applicazione lineare]] [[funzione biettiva|biettiva]].<ref>{{Cita|Hoffman, Kunze|Pag. 51|kunze}}.</ref>

===La base canonica===

Sia <math>K</math> un campo. L'insieme <math>K^n</math> è uno [[spazio vettoriale]] di dimensione <math>n</math>. Si definisce base canonica di <math>K^n</math> l'insieme di vettori:<ref name=base/>

:<math>\mathbf e_1 = (1,0, \cdots , 0)</math>

:<math>\mathbf e_2 = (0,1, \cdots , 0)</math>

:<math> \cdots </math>

:<math>\mathbf e_n = (0,0, \cdots , 1)</math>

Ogni vettore <math>\mathbf w \in K^n</math> si può allora scrivere come combinazione lineare dei vettori di base:

:<math>\mathbf{w} = \sum_{i=1}^n a_i \mathbf{e}_i</math>

Il vettore:

:<math>\mathbf a = (a_1,a_2, \cdots , a_n)</math>

è il vettore delle [[Coordinate di un vettore|coordinate]] di <math>\mathbf w</math> rispetto alla base canonica.<ref>{{Cita|Hoffman, Kunze|Pag. 49|kunze}}.</ref> Solitamente si identifica un vettore attraverso le sue coordinate rispetto alla base canonica, ovvero <math>\mathbf w = \mathbf a</math>.

Ad esempio, i vettori <math>\mathbf e_1 = (1,0)</math> ed <math>\mathbf e_2 = (0,1)</math> sono una base di <math>\R^2</math>, infatti ogni vettore <math>\mathbf c = (a,b)</math> si scrive come:

:<math>(a, b) = a(1,0) + b(0,1) = a \mathbf e_1 + b \mathbf e_2 </math>

== Generalizzazioni in dimensione infinita ==

Il concetto di base in spazi di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] infinita (in cui cioè esista un [[insieme infinito]] di vettori linearmente indipendenti) è più problematico. Per tali spazi esistono due nozioni differenti di base: la prima, detta ''base di Hamel'', è definita algebricamente, mentre la seconda, detta ''base di Schauder'', necessita della presenza di una [[spazio topologico|topologia]].

=== Base di Hamel ===

Una '''base di Hamel''' per uno spazio vettoriale <math> V </math> è un insieme <math> \{v_i\}_{i\in I} </math> di vettori linearmente indipendenti<ref>Per definizione, <math>\{v_i\} </math> è un insieme di vettori indipendenti se ogni suo sottoinsieme finito di questi è formato da vettori indipendenti.</ref>, parametrizzato da un [[insieme ordinato]] <math> I </math> di indici, tale che ogni vettore <math> v </math> di <math> V </math> è combinazione lineare di un [[insieme finito]] di questi.

Nel caso in cui <math> I </math> è un insieme finito, la definizione coincide con quella data precedentemente.

Grazie al [[lemma di Zorn]] ogni spazio vettoriale ha una base di Hamel, ed inoltre due basi di Hamel qualsiasi di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa [[cardinalità]], che è pari alla dimensione (di Hamel) dello spazio vettoriale. Infine, continua a rimanere vero il fatto che ogni vettore dello spazio <math> V </math> si scrive in modo ''unico'' come combinazione lineare dei vettori di una base di Hamel.

Ad esempio, una base di Hamel per lo spazio vettoriale <math> V = K[x] </math> formato da tutti i [[polinomio|polinomi]] a coefficienti in un campo <math> K </math> è data dall'insieme di tutti i monomi

:<math>\{x^i\}_{i\in\mathbb N} = \{1,x,x^2,x^3,\ldots \}. </math>

Ad esempio, una base di Hamel per lo spazio vettoriale <math> V = K[x] </math> formato da tutti i [[polinomio|polinomi]] a coefficienti in un campo <math> K </math> è data dall'insieme di tutti i [[Monomio|monomi]]:

:<math>\{x^i\}_{i\in\mathbb N} = \{1,x,x^2,x^3,\ldots \} </math>

Infatti ogni polinomio <math> a_nx^n+\ldots a_1x + a_0 </math> è combinazione lineare di un insieme finito di questi.

L'insieme dei [[numeri reali]] può essere considerato uno spazio vettoriale su <math>\mathbb{Q}</math>. Ne consegue che ogni numero reale può essere espresso come combinazione lineare finita di elementi presi da un sottoinsieme proprio di <math>\mathbb{R}</math>: tale sottoinsieme non potrà essere finito o numerabile poiché <math>\mathbb{R}</math> ha la [[potenza del continuo]] (analoghe considerazioni possono essere fatte considerando <math>\mathbb{C}</math> come spazio vettoriale su <math>\mathbb{Q}</math>).

Ogni spazio vettoriale ha una base di Hamel, grazie al [[lemma di Zorn]] (vedi la [[#Esistenza|proprietà di esistenza]]). Inoltre due basi di Hamel qualsiasi di uno stesso spazio vettoriale hanno la stessa [[cardinalità]], che può dunque essere presa come dimensione (di Hamel) dello spazio vettoriale.

=== Base di Schauder o topologica ===

{{vedi anche|Base di Schauder}}

Se lo spazio è dotato di una [[spazio topologico|topologia]], è possibile estendere la definizione di base in modo diverso, ammettendo somme infinite di vettori. Il senso di queste somme infinite è infatti dato dalle nozioni di [[limite di una successione]] e di [[serie]].

Più generalmente per uno [[spazio topologico]] è possibile estendere la definizione di Hamel in modo diverso, ammettendo somme infinite di vettori. Il senso di queste somme infinite è infatti dato dalle nozioni di [[limite di una successione]] e di [[serie (matematica)|serie]].

Se <math> V </math> è uno [[spazio vettoriale topologico]] (ad esempio uno [[spazio di Hilbert]] o [[spazio di Banach|di Banach]]), un insieme ordinato <math> \{v_i\}_{i\in I} </math> di vettori linearmente indipendenti è una ''[[base di Schauder]]'' (o ''topologica'') se lo [[span lineare|spazio da essi generato]] è [[insieme denso|denso]] in <math> V </math>. In altre parole, se ogni vettore <math> v </math> di <math> V </math> può essere approssimato a piacere da somme (finite) di vettori in <math> \{v_i\}_{i\in I} </math>, e quindi come limite di una somma infinita di questi:

:<math> v =\sum_{i\in I'} (a_i-v_i) </math>

Se <math> V </math> è uno [[spazio vettoriale topologico]], ad esempio uno [[spazio di Hilbert]] o [[spazio di Banach|di Banach]], un insieme ordinato <math> \{v_i\}_{i\in I} </math> di vettori linearmente indipendenti è una '''[[base di Schauder]]''' (o '''topologica''') se lo [[span lineare|spazio da essi generato]] è [[insieme denso|denso]] in <math> V </math>. In altre parole, se ogni vettore <math> v </math> di <math> V </math> può essere approssimato da somme (finite) di vettori in <math> \{v_i\}_{i\in I} </math>, e quindi come limite di una somma infinita di questi:

:<math> v =\sum_{i\in I'} (a_i-v_i), </math>

dove <math>I'\subset I </math> è un sottoinsieme [[numerabile]].

==== Problema di esistenza della base di Schauder ====

In uno spazio di Hilbert, è di particolare importanza la nozione di [[base ortonormale]].

Si pone il problema dell'esistenza di una base di Schauder in spazi di Hilbert o di Banach. La risposta, in generale, è negativa: infatti, dalla definizione consegue, in particolare, che uno spazio di Hilbert o di Banach che possiede una base di Schauder deve necessariamente essere [[spazio separabile|separabile]] (infatti, dallo [[span lineare|spazio generato]] dai <math> \{v_i\}_{i\in I} </math>, che è [[insieme denso|denso]] in <math> V </math> è sempre possibile estrarre un [[insieme denso|sottoinsieme denso]] e numerabile utilizzando le combinazioni lineari a coefficienti in <math>\mathbb{Q}</math>)

In uno spazio di Hilbert, è di particolare importanza la nozione di [[base ortonormale]]: in uno spazio di Hilbert separabile, una [[base ortonormale]] è una base di Schauder.

L'esistenza di una base di Schauder in uno spazio di Banach non è, in genere, assicurata. Vedi {{citazione necessaria}}.

L'esistenza di una base di Schauder in uno spazio di Banach non è, in genere, assicurata nemmeno aggiungendo l'ipotesi (peraltro necessaria) che si tratti di uno [[spazio separabile]]: un [[controesempio]] è stato fornito nel 1973 da [[Per Enflo]]. Un teorema di [[Stanisław Mazur]] mostra che in ogni spazio di Banach (a dimensione infinita) esiste sempre un sottospazio di dimensione infinita che possiede una base di Schauder.

L'esistenza di una base di Schauder consente di estendere alcuni teoremi {{citazione necessaria}}. .

L'esistenza di una base di Schauder consente di estendere alcuni teoremi {{Senza fonte}}.

=== Cardinalità ===

Le due nozioni di basi sono generalmente molto differenti, e anche le loro cardinalità possono differire, portando a due concetti diversi di dimensione, chiamati rispettivamente ''[[dimensione di Hamel]]'' e ''[[dimensione di Schauder]]''. La dimensione di Hamel può avere cardinalità superiore a quella di Schauder (pur essendo entrambe infinite).

Ad esempio, sia <math> V </math> lo spazio delle [[funzione continua|funzioni continue]] reali definite sull'intervallo <math>[0,2\pi] </math>. Questo è uno [[spazio di Banach]] con la [[norma (matematica)|norma]]:

:<math>\|f\| = \max_{x\in [0,\pi]} |f(x)|. </math>

:<math>\|f\| = \max_{x\in [0,\pi]} |f(x)|</math>

Come conseguenza della teoria delle [[serie di Fourier]], una base di Schauder per <math> V </math> è costruita a partire dalle [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]]

:<math>\{1\} \cup \{\sin(nx), \cos(nx) | n = 1, 2, 3, \ldots\}, </math>

Come conseguenza della teoria delle [[serie di Fourier]], una base di Schauder per <math> V </math> è costruita a partire dalle [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]]:

:<math>\{1\} \cup \{\sin(nx), \cos(nx) | n = 1, 2, 3, \ldots\} </math>

ed ha cardinalità numerabile. Una base di Hamel ha invece [[cardinalità non numerabile]], ed è molto più difficile da costruire (e scarsamente utilizzata).

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992|cid =lang | isbn= 88-339-5035-2}}

* {{cita libro | cognome= Hoffman| nome= Kenneth |coautori= Ray Kunze| titolo= Linear Algebra| url= https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0| editore= Prentice - Hall, inc.| città= Englewood Cliffs, New Jersey| anno= 1971|ed = 2|isbn= 0-13-536821-9|cid =kunze|lingua= en}}

* {{en}} P.M. Cohn, ''Universal algebra'' , Reidel (1981)

* {{en}} A.I. Mal'tsev, ''Algebraic systems'' , Springer (1973) (Translated from Russian)

* {{en}} N. Bourbaki, ''Elements of mathematics. Algebra: Algebraic structures. Linear algebra'' , 1 , Addison-Wesley (1974) pp.&nbsp;Chapt.1;2

== Voci correlate ==

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* [[Sottospazio vettoriale]]

==Altri progetti==

{{algebra lineare}}

{{interprogetto|preposizione=sulla}}

==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

{{algebra lineare}}

{{Controllo di autorità}}

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[[Categoria:Algebra lineare]]

[[Categoria:Algebra lineare]]

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