Frattale: differenze tra le versioni

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{{Nota disambigua|il calciatore|Pierluigi Frattali|Frattali}}

{{Avvisounicode}}

{{NN|matematica|giugno 2011}}

[[File:Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg|250px|thumb|[[Insieme di Mandelbrot|Frattale di Mandelbrot]]]]

[[File:Mandel zoom 00 mandelbrot set.jpg|thumb|[[Insieme di Mandelbrot|Frattale di Mandelbrot]]]]

Un '''frattale''' è un oggetto [[geometria|geometrico]] dotato di [[omotetia]] interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su [[Scala di rappresentazione|scale]] diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale. Si dice quindi geometria frattale, la geometria ([[geometria non euclidea|non euclidea]]) che studia queste strutture, ricorrenti ad esempio nella progettazione ingegneristica di reti, nel [[moto browniano]] e nelle [[galassia|galassie]]<ref>{{Cita pubblicazione|autore=UTET|anno=2003|titolo=Enciclopedia di Repubblica|rivista=|città=Torino (Moncalieri)|volume=|numero=|lingua=Italiano}}</ref>.

UnQuesta '''frattale'''caratteristica è unspesso oggettochiamata [[geometria|geometricoauto similarità]] cheoppure siautosomiglianza. ripeteIl nellatermine suafrattale strutturavenne alloconiato stessonel modo1975 suda [[scaleBenoît Mandelbrot]] diverse,nel ovvero[[libro]] che''[[Gli nonoggetti cambiafrattali. aspettoForma, anchecaso see vistodimensione|Les conObjets unaFractals: [[lenteForme, d'ingrandimento]].Hasard Questa caratteristica è spesso chiamataet [[auto similaritàDimension]].'' Ilper terminedescrivere frattalealcuni vennecomportamenti coniatomatematici nelche [[1975]]sembravano daavere [[Benoîtun Mandelbrot]]comportamento "caotico", e deriva dal latino ''fractus'' (rotto, spezzato), così come il termine [[frazione (matematica)|frazione]]; infatti le immagini frattali sono considerate dalla [[matematica]] oggetti di [[dimensione frattale|dimensione]] frazionariaanche non intera. Ad esempio, la [[curva di Koch]] ha dimensione <math>\frac{\log 4}{\log 3} \approx 1{,}26186</math>.

I frattali compaiono spesso nello studio dei [[sistemi dinamici]], nella definizione di curve o insiemi e nella [[teoria del caos]] e sono spesso descritti in modo [[algoritmo ricorsivo|ricorsivo]] da algoritmi o equazioni molto semplici, scritte con l'ausilio dei [[numero complesso|numeri complessi]]. Ad esempio l'equazione che descrive l'[[insieme di Mandelbrot]] è la seguente:

:<math> a_{n+1} = a_n^2 + P_0 </math>

dove <math> a_n </math> e <math> P_0 </math> sono numeri complessi.

Il termine "frattale" è un [[neologismo]] che fu introdotto da [[Benoît Mandelbrot]] nel [[libro]] ''[[Gli oggetti frattali. Forma, caso e dimensione|Les Objects Fractals: Forme, Hazard et Dimension]]'' ([[1975]]) per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento "caotico". Questo genere di fenomeni nasce dalla definizione di curve od insiemi tramite funzioni o [[algoritmo ricorsivo|algoritmi ricorsivi]].

== Frattali e natura ==

[[File:Animated fractal mountain.gif|thumb|right|250px|Forma frattale di una montagna]]

La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un [[Albero (botanica)|albero]], (soprattutto nell'abete), ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto. Frattali sono presenti anche in altri aspetti della natura, come nel profilo geomorfologico delle [[montagna|montagne]], nelle [[nube|nubi]], nei [[cristalli di ghiaccio]], in alcune [[foglia|foglie]] e [[fiore|fiori]].<ref>{{cita libro|nome=Barbara|cognome=Mastracchio|titolo=Frattali Arte, Natura e Modelli|anno=2010|editore=Kangourou Italia|città=Monza|pp=43-46|ISBN=978-88-89249-15-4}}</ref> Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda.

{{quoteCitazione|Si ritiene che in qualche modo i frattali abbiano delle corrispondenze con la struttura della mente umana, è per questo che la gente li trova così familiari. Questa familiarità è ancora un mistero e più si approfondisce l'argomento più il mistero aumenta|[[BenoitBenoît Mandelbrot]]}}

=== Auto-similitudine e definizione ricorsiva ===

[[File:Cavolfiore_frattaleRomanesco broccoli (Brassica oleracea).jpg|thumb|right|250px|La forma frattale di un [[cavolfiorebroccolo romanesco]]]]

A qualunque scala si osservi, l'oggetto presenta sempre gli stessi caratteri globali.

Una sostanziale differenza tra un ''oggetto'' geometrico [[geometria euclidea|euclideo]] ed un frattale è il modo in cui si costruisce. UnaInfatti una [[curva piana]], infatti, si costruisce generalmente sul piano cartesiano, utilizzando una [[funzione (matematica)|funzione]] del tipo:

:<math> f(x(t), y(t)) = 0 </math>

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che descrive la posizione del punto sulla curva al variare del tempo <math> t </math>.

LaInvece la costruzione dei frattali, invece, non si basa su di un'equazione, ma su un [[algoritmo]]. Ciò significa che si è in presenza di un metodo, non necessariamente numerico, che deve essere utilizzato per disegnare la curva. Inoltre, l'algoritmo non è mai applicato una volta sola:, ma la procedura è iterata un numero di volte teoricamente infinito: ada ogni iterazione, la curva si avvicina sempre più al risultato finale (per approssimazione), e, dopo un certo numero di iterazioni, l'occhio umano non è più in grado di distinguere le modifiche (oppure l'[[hardware]] del computer non è più in grado di consentire ulteriori miglioramenti):. pertantoPertanto, quando si disegna concretamente un frattale, ci si può fermare dopo un congruo numero di iterazioni.

Alla base dell’autodell'auto-similarità sta una particolare trasformazione geometrica chiamata [[omotetia]] che permette di ingrandire o ridurre una figura lasciandone inalterata la forma. Un frattale è un ente geometrico che mantiene la stessa forma se ingrandito con una omotetia opportuna, detta ''omotetia interna''.

== Caratteristiche ==

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| [[File:Mandelbrot-similar-x100.jpg|Mandelbrot Zoomed 100x]]

|-

| [[File:Mandelbrot-similar-x2000.jpg|Mandelbrot Zoomed 2000x ]] <small>L'insieme di Mandelbrot visto con una lente di ingrandimento sempre più potente ha sempre lo stesso aspetto.</small>

|}

=== Dimensione frattale ===

{{vedi anche|dimensione di Hausdorff}}

La [[dimensione frattale]], (o ''dimensione di Hausdorff''), è un parametro molto importante che determina il "grado di irregolarità" dell'oggetto frattale preso in esame.

Mandelbrot nel suo libro intitolato “"''Gli oggetti frattali''”" pubblicato nel 1975 afferma l’esistenzal'esistenza di differenti metodi per misurare la dimensione di un frattale, introdotti, quando il matematico si cimentò con la determinazione della lunghezza delle coste della Gran Bretagna. Tra questi, il seguente:.

Si fa avanzare, lungo la costa un compasso di apertura prescritta <math> h </math> e ogni passo comincia dove finisce il precedente. Il valore dell’aperturadell'apertura <math>h</math> moltiplicato per il numero di passi mi fornirà la lunghezza approssimativa <math> L(h) </math> della costa; tuttavia rendendo l’apertural'apertura del compasso sempre più piccola i numeri di passi aumenteranno, l'apertura tenderà a zero e il numero dei passi tenderà all'infinito e la misura della lunghezza della costa tenderà all’infinitoall'esattezza.

Per ottenere la dimensione di Hausdorff della costa, in modo euristico, si può scegliere una successione per l'apertura del compasso, che tenda a zero, allora è possibile rapportare tra loro il numero di passi tra due ampiezze consecutive (dato che il numero di passi del compasso cresce al diminuire dell'apertura, rapportiamo il numero di passi attuale con quello ottenuto nello step precedente). Al tendere a zero di <math>h</math> si ottiene la dimensione di Hausdorff della costa.

=== Il caso ===

Mandelbrot afferma che la costa è stata modellata nel corso del tempo da molteplici influenze. La situazione si presenta così complicata perché in [[geomorfologia]] non si conoscono le leggi che governano queste influenze. Quindi si può affermare che il caso occupa un ruolo rilevante e tuttora l'unico strumento capace di fornire una soluzione al problema è la statistica.

Possiamo quindi affermare che il caso occupa un ruolo rilevante e tuttora l’unico strumento capace di fornire una soluzione al problema è la statistica.

Il caso può generare irregolarità ed è capace di generare un’irregolaritàun'irregolarità talmente intensa come quella delle coste, anzi in molte situazioni è difficile impedire al caso di andare al di là delle nostre aspettative.

Il caso non deve essere sottovalutato nello studio degli oggetti frattali in quanto l’omotetial'omotetia interna fa sì che il caso abbia precisamente la stessa importanza a qualsiasi scala. Pertanto gli oggetti frattali sono inseriti nel contesto dei [[sistema caotico|sistemi dinamici caotici]].

Per tanto gli oggetti frattali sono inseriti nel contesto dei [[sistema caotico|sistemi dinamici caotici]].

Nel corso della storia molti matematici sono arrivati alle loro scoperte inaspettatamente. Lo stesso Mandelbrot afferma di essere arrivato alle sue scoperte per puro caso. Un giorno egli si trovò nella biblioteca dell'[[IBM]] dove molti libri che nessuno aveva mai letto stavano per essere spediti al macero. Benoit aprì una rivista a caso e lesse il nome del meteorologo [[Lewis Fry Richardson]]. Questo nome era già noto al matematico polacco per gli studi che stava effettuando sulla teoria della [[turbolenza]]. Richardson era uno studioso bizzarro ed eccentrico che era solito porsi domande che nessuno altro avrebbe mai formulato. Queste sue stramberie risultarono nell'anticipare scoperte che alcuni studiosi realizzarono nei decenni successivi.

Nel corso della storia molti matematici sono arrivati alle loro scoperte inaspettatamente.

Lo stesso Mandelbrot afferma di essere arrivato alle sue scoperte per puro caso.

Nel libro Richardson si preoccupò di misurare la lunghezza delle linee costiere su scale differenti. Mandelbrot fotocopiò il disegno che descriveva queste misure e lasciò il libro dove si trovava per riprenderlo il giorno seguente, ma il libro sparì. Il disegno servì al matematico per formulare la teoria dei frattali perché faceva riferimento a qualcosa che noi tutti conosciamo, le coste. Mandelbrot si rese così conto che tutti gli studi effettuati da lui stesso avevano qualcosa in comune per quanto spaziassero tra discipline completamente differenti. Il modello di partenza era lo stesso: Mandelbrot si preoccupò di definire l'apparente caos insito in essi.

Un giorno egli si trovò nella biblioteca dell’[[IBM]] dove molti libri che nessuno aveva mai letto stavano per essere spediti al macero. Benoit aprì una rivista a caso e lesse il nome del meteorologo Richarson.

Questo nome era già noto al matematico polacco per gli studi che stava effettuando sulla teoria della [[turbolenza]]. Richarson era uno studioso bizzarro ed eccentrico che era solito porsi domande che nessuno altro avrebbe mai formulato. Queste sue stramberie risultarono nell'anticipare scoperte che alcuni studiosi realizzarono nei decenni successivi.

Nel libro Richarson si preoccupò di misurare la lunghezza delle linee costiere su scale differenti. Mandelbrot fotocopiò il disegno che descriveva queste misure e lasciò il libro dove si trovava per riprenderlo il giorno seguente, ma il libro sparì. Il disegno servì al matematico per formulare la teoria dei frattali perché faceva riferimento a qualcosa che noi tutti conosciamo, le coste. Mandelbrot si rese così conto che tutti gli studi effettuati da lui stesso avevano qualcosa in comune seppur spaziavano in discipline completamente differenti. Il modello di partenza era lo stesso: Mandelbrot si preoccupò di definire l’apparente [[caos]] insito in essi.

== Famiglie di frattali ==

[[File:Von Koch curve.gif|thumb|200px|La [[curva di Von Koch]], un tipo di frattale]]

Esistono diverse famiglie di frattali, suddivise in base al grado dei termini dell'equazione generatrice contenuti nell’algoritmonell'algoritmo:

* Frattali lineari

* Frattali non lineari

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=== Frattali lineari ===

I '''frattali lineari''' sono quelli la cui equazione generatrice contiene solo termini del primo ordine, e quindi si ha un l'[[algoritmo]] di tipoè lineare. <br />Questi frattali possono essere studiati con l'ausilio di un immaginario duplicatore di figure: la ''fotocopiatrice a riduzioni'', una [[macchina]] metaforica ideata da [[John E. Hutchinson]], un matematico della Australian National University a [[Canberra]].

Questi frattali possono essere studiati con l'ausilio di un immaginario duplicatore di figure: la ''fotocopiatrice a riduzioni'', una [[macchina]] metaforica ideata da [[John E. Hutchinson]], un matematico della Australian National University a [[Canberra]].

Questa macchina funziona più o meno come una normale [[fotocopiatrice]] con variatore di riduzione, ma ne differisce per il fatto di avere più [[lente|lenti]] di riduzione, ciascuna delle quali può copiare l'originale collocato sulla macchina.

Questa macchina funziona più o meno come una normale [[fotocopiatrice]] con variatore di riduzione, ma ne differisce per il fatto di avere più [[lente|lenti]] di riduzione, ciascuna delle quali può copiare l'originale collocato sulla macchina.

Le lenti possono essere predisposte secondo diversi [[Fattore di riduzione|fattori di riduzione]] e le immagini ridotte possono essere collocate in qualsiasi [[posizione]]. La figura può quindi essere spostata, allungata, accorciata, riflessa, ruotata o trasformata in tutti i modi, purché le varie trasformazioni risultino essere delle [[omotetia|omotetie]] e i [[Segmento|segmenti di retta]] dell'originale rimangano dunque segmenti di retta.

Le lenti possono essere predisposte secondo diversi [[Fattore di riduzione|fattori di riduzione]] e le immagini ridotte possono essere collocate in qualsiasi [[posizione]]. La figura può quindi essere spostata, allungata, accorciata, riflessa, ruotata o trasformata in tutti i modi, purché le varie trasformazioni risultino essere delle [[Omotetia|omotetie]] e i [[Segmento|segmenti di retta]] dell'originale rimangano dunque segmenti di retta.

Il modo in cui l'immagine viene spostata e ridotta è determinato dall'algoritmo. Mediante un meccanismo di [[feedback]] l'immagine è elaborata ripetutamente, e tende via via a una forma frattale.

=== Frattali non lineari ===

Esistono diversi tipi di '''frattali non lineari''', la cui [[equazione]] generatrice è di ordine superiore a <math>1</math>.

<br />Uno di questi si basa sulla [[Forma quadratica|trasformazione quadratica]] ed è stato oggetto di attenzione particolare, poiché produce una grande ricchezza di forme geometriche a partire da un algoritmo piuttosto semplice ed è strettamente collegato all'odierna [[teoria del caos]].

Uno di questi si basa sulla [[Forma quadratica|trasformazione quadratica]] ed è stato oggetto di attenzione particolare, poiché produce una grande ricchezza di forme geometriche a partire da un algoritmo piuttosto semplice ed è strettamente collegato all'odierna [[teoria del caos]].

La teoria su cui si basa questo frattale quadratico fu descritta per la prima volta nel [[1918]] dal matematico francese [[Gaston Julia]], che si trovava allora in un ospedale militare, convalescente delle ferite riportate durante la prima guerra mondiale.

Tanto le sue ricerche quanto quelle contemporanee del suo accanito rivale [[Pierre Fatou]], e basate sul comportamento della trasformazione <math>g(z) = z^2 + c </math>, furono presto dimenticate fino alla rielaborazione da parte di [[Benoît Mandelbrot]].

La teoria su cui si basa questo frattale quadratico fu descritta per la prima volta nel 1918 dal matematico francese [[Gaston Julia]], che si trovava allora in un ospedale militare, convalescente delle ferite riportate durante la [[prima guerra mondiale]]. Tanto le sue ricerche quanto quelle contemporanee del suo accanito rivale [[Pierre Fatou]], e basate sul comportamento della trasformazione <math>g(z) = z^2 + c </math>, furono presto dimenticate fino alla rielaborazione da parte di [[Benoît Mandelbrot]].

L'impresa intellettuale di Julia e Fatou è particolarmente notevole perché, non esistendo a quel tempo calcolatori elettronici, essi potevano contare solamente sulle proprie capacità intrinseche di visualizzazione.

L'impresa intellettuale di Julia e Fatou è notevole perché, non esistendo a quel tempo calcolatori elettronici, essi potevano contare solamente sulle proprie capacità di astrazione.

=== Frattali aleatori ===

I frattali finora esaminati sono deterministici. Benché i processi aleatori, come per esempio il lancio di un dado, possano produrre immagini frattali, essi non hanno alcun effetto sulla forma frattale finale. La situazione è ben diversa per un'altra classe di frattali, i cosiddetti '''frattali aleatori'''. Per generare un frattale di questo tipo si può cominciare con un [[triangolo]] giacente su un piano arbitrario.

I frattali finora esaminati possono essere considerati deterministici.

Benché i processi aleatori, come per esempio il lancio di un dado, possano aiutarci a produrre immagini frattali, essi non hanno alcun effetto sulla forma frattale finale. La situazione è ben diversa per un'altra classe di frattali, i cosiddetti '''frattali aleatori'''.

Per generare un frattale di questo tipo si può cominciare con un [[triangolo]] giacente su un piano arbitrario.

I punti medi di ciascun lato del triangolo sono collegati tra loro e il triangolo è così diviso in quattro triangoli più piccoli. Ciascun [[punto medio]] è poi alzato o abbassato di una quantità scelta a caso. Lo stesso procedimento è applicato a ciascuno dei triangoli più piccoli e il processo è ripetuto all’infinitoall'infinito. All’aumentareAll'aumentare del numero delle iterazioni, comincia a formarsi una superficie sempre più ricca di particolari. In questo «metodo dello spostamento dei punti medi», l’entitàl'entità aleatoria dello spostamento dei punti medi è retta da una [[legge di distribuzione]] che può essere modificata fino a ottenere una buona approssimazione della superficie di cui si vuol costruire il modello.

Per un modello di una superficie relativamente liscia, le trasformazioni usate dovrebbero prevedere una regola per cui gli spostamenti dei punti medi diventino piccolissimi già dopo poche iterazioni. Una regola del genere aggiunge solo piccole prominenze sullo sviluppo complessivo.

Per rappresentare invece una superficie accidentata, come ad esempio la [[topografia]] di una [[catena montuosa]], è meglio far diminuire di poco l’entitàl'entità degli spostamenti a ogni iterazione.

Questo metodo per costruire superfici ha molte applicazioni. È stato impiegato per ottenere modelli dell’dell'[[erosione]] del suolo e per analizzare le registrazioni sismiche al fine di capire i cambiamenti nelle zone di [[faglia]]. Questo concetto è stato usato da Richard E. Voss, collega di Mandelbrot al Thomas J. Watson Research Center, per generare immagini molto realistiche di pianeti, satelliti, nubi e montagne.

== Insieme di Mandelbrot ==

{{vedi anche|Insieme di Mandelbrot}}

[[File:Mandelpart2.jpg|250px|right|thumb|L'[[Insieme di Mandelbrot]] è il frattale più famoso]]

L{{'}}'L’insieme'insieme di Mandelbrot'' è l'insieme dei ''<math>c''\in ∈ '''\mathbb{C'''}</math> tali che, posto <math> z_0 = 0 </math>, la successione <math> z_{n+1} = z_{n}^2 + c </math> è convergentelimitata.''

Il lavoro di gran lunga più riuscito in questo campo è quello sul cosiddetto [[Potenziale elettrico|potenziale elettrostatico]] dell’insiemedell'insieme di Mandelbrot.

<br />Si immagini che l’insieme sia dotato di carica elettrica. Si potrebbe misurare il potenziale collocando una carica puntiforme all’esterno dell’insieme e misurando la forza elettrostatica agente su quel punto. Risulta che il calcolo del potenziale è strettamente legato alla successione 0, <math>c</math>, <math>c^2+c</math>, <math>(c^2 + c)^2 + c </math>, ..., usata per stabilire se un ''c'' appartiene o no all’insieme di Mandelbrot.

<br />La proprietà forse più affascinante dell’insieme di Mandelbrot è che esso può essere considerato un «deposito» di immagini di efficienza infinita: oltre a suddividere gli insiemi di Julia in connessi e non connessi, l’insieme di Mandelbrot funge anche da indice diretto e grafico di un numero infinito di insiemi di Julia.

Si immagini che l'insieme sia dotato di [[carica elettrica]]. Si potrebbe misurare il [[potenziale elettrico]] collocando una carica puntiforme all'esterno dell'insieme e misurando la [[forza elettrostatica]] agente su quel punto. Risulta che il calcolo del potenziale è strettamente legato alla successione <math>0,c,c^2+c,(c^2 + c)^2 + c,\dots</math>, usata per stabilire se un <math>c</math> appartiene o no all'insieme di Mandelbrot.

Ingrandendo l’insieme di Mandelbrot intorno a un punto ''c'' situato sulla sua frontiera, appaiono forme che sono anche gli elementi costitutivi dell’insieme di Julia corrispondente al punto ''c''. Questa scoperta, tuttavia, non è stata ancora rivestita di tutto il necessario rigore matematico.

La proprietà forse più affascinante dell'insieme di Mandelbrot è che esso può essere considerato un «deposito» di immagini di efficienza infinita: oltre a suddividere gli insiemi di Julia in connessi e non connessi, l'insieme di Mandelbrot funge anche da indice diretto e grafico di un numero infinito di [[insieme di Julia|insiemi di Julia]].

Tan Lei, un giovane ricercatore di talento che lavora all’Università di Lione, ha dimostrato che l’insieme di Mandelbrot si comporta in questo modo per la maggior parte dei valori del parametro ''c'' situati esattamente sulla frontiera dell’insieme.

Ingrandendo l'insieme di Mandelbrot intorno a un punto <math>c</math> situato sulla sua frontiera, appaiono forme che sono anche gli elementi costitutivi dell'insieme di Julia corrispondente al punto <math>c</math>. Tuttavia questa scoperta non è stata ancora rivestita di tutto il necessario rigore matematico.

Tan Lei, ricercatore dell'[[Università di Lione]], ha dimostrato che l'insieme di Mandelbrot si comporta in questo modo per la maggior parte dei valori del parametro <math>c</math> situati esattamente sulla frontiera dell'insieme.

=== Il metodo di Mandelbrot: frattali per iterazione di potenze di <math>z</math> ===

Di seguito sono elencati una serie di frattali generati con il ''metodo Mandelbrot'', cioè iterando <math>z = z^m + c</math>, per un <math>m</math> fissato. Tutti i punti del piano complesso <math>c = (c_x, c_y)</math> vengono considerati e, se non diversamente specificato, tutte le iterazioni iniziano dal punto <math>z_0=0</math>. Quando l'iterazione converge l'immagine è colorata di giallo pallido. La divergenza all'infinito è colorata con un colore che va dal nero al blu. Il caso <math>m=2</math>, cioè <math>z = z^2 + c</math> è chiamato ''insieme di Mandelbrot''.

Esempi dei frattali di tipo Mandelbrot <math>z = z^m + c</math>.

<gallery>

FILE:MANDEL_Z2%2BC.jpg| <div align="center"><math>z = z^2 + c,</math><br />insieme di Mandelbrot</div>

FILE:MANDEL_Z3%2BC.jpg| <div align="center"><math>z = z^3 + c</math></div>

FILE:MANDEL_Z4%2BC.jpg| <div align="center"><math>z = z^4 + c</math></div>

FILE:MANDEL_Z5%2BC.jpg| <div align="center"><math>z = z^5 + c</math></div>

FILE:MANDEL_Z6%2BC_medium.jpg| <div align="center"><math>z = z^6 + c</math></div>

FILE:MANDEL_Z7%2BC_medium.jpg| <div align="center"><math>z = z^7 + c</math></div>

FILE:MANDEL_Z8%2BC_medium.jpg| <div align="center"><math>z = z^8 + c</math></div>

FILE:MANDEL_Z9%2BC_medium.jpg| <div align="center"><math>z = z^9 + c</math></div>

FILE:MANDEL_Z10%2BC_medium.jpg| <div align="center"><math>z = z^{10} + c</math></div>

FILE:MANDEL_Z11%2BC_medium.jpg| <div align="center"><math>z = z^{11} + c</math></div>

FILE:MANDEL_Z12%2BC_medium.jpg| <div align="center"><math>z = z^{12} + c</math></div>

</gallery>

Esempi dei frattali di tipo Mandelbrot <math>z = z^m + \frac{1}{c}</math>.

<gallery>

file:Mandel2i.jmb.jpg| <div align="center"><math>z = z^2 + \frac{1}{c}</math></div>

file:Mandel3i.jmb.jpg| <div align="center"><math>z = z^3 + \frac{1}{c}</math></div>

file:Mandel4i.jmb.jpg| <div align="center"><math>z = z^4 + \frac{1}{c}</math></div>

file:Mandel5i.jmb.jpg| <div align="center"><math>z = z^5 + \frac{1}{c}</math></div>

file:Mandel6i.jmb.jpg| <div align="center"><math>z = z^6 + \frac{1}{c}</math></div>

file:Mandel7i.jmb.jpg| <div align="center"><math>z = z^7 + \frac{1}{c}</math></div>

</gallery>

Altri frattali di Mandelbrot.

<gallery>

file:Mandel Z^2+C^6-1.jmb.jpg| <div align="center"><math>z = z^2+c^6 - 1,</math></div>

file:Cos(Z) + 1partitC iter=300.jmb.jpg| <div align="center"><math>z = \cos z+\frac{1}{c}</math></div>

file:Mandel Exp( (Z^2+k3xZ) Sqr(C^3) ).jmb.jpg| <div align="center"><math>z = e^{\frac{z^2+z}{\sqrt{c^3}}},</math><br /><math>z_0 = 1+i</math></div>

file:Mandel_Exp(_(Z%5E2%2Bk3xZ)_SQR(C%5E3)).jpg| <div align="center"><math>z = e^{\frac{z^2 - 1,00001\cdot z}{\sqrt{c^3}}}</math></div>

file:Mandel_Exp(_(Z%5E2%2Bk3xZ)_C%5E3)_.jmb.jpg| <div align="center"><math>z = e^{\frac{z^2 - 1,00001\cdot z}{c^3}}</math></div>

file:MANDEL SIN(ZxC^2).jmb.jpg| <div align="center"><math>z = \sin(zc^2),</math><br /><math>z_0 = 1</math></div>

file:Mandel Zn+1 = Cos(Zn C).jmb.jpg| <div align="center"><math>z = \cos\left(\frac{z}{c}\right)</math></div>

file:Mandel_Cos(ZxC3).jmb.jpg| <div align="center"><math>z = \cos (zc^3)</math></div>

file:Mandel_EXP(Z3_C3).jpg| <div align="center"><math>z = e^{\frac{z^3}{c^3}}</math></div>

file:EXP(C3_Z3).jpg| <div align="center"><math>z = e^{\frac{c^3}{z^3}}</math></div>

file:EXP(Z_C4).JPG| <div align="center"><math>z = e^{\frac{z}{c^4}}</math></div>

file:mandel.jmb_001.jpg| <div align="center"><math>\scriptstyle{z = z^2+\frac{c^2}{z^2+c}+c}</math></div>

file:Z2_%2B_C2_(C4%2B_0,1).jpg| <div align="center"><math>z = z^2+\frac{c^2}{c^4+0,1},</math></div>

file:Z2_%2B_C2_(C4-0,25).jpg| <div align="center"><math>\scriptstyle{z = z^2+\frac{c^2}{c^4-0,25}}</math></div>

file:SinH(Z C) (0,1).jpg| <div align="center"><math>z = \sinh\left(\frac{z}{c}\right),</math><br /><math>z_0 = i</math></div>

file:Exp(Z2 (C5 + C)).jpg| <div align="center"><math>z = e^{\frac{z^2}{c^5+c}}</math></div>

</gallery>

== Note ==

<references />

== Bibliografia ==

* {{fr}} {{Cita libro | titolo = Les objets fractals: forme, hasard et dimension | autore = Benoît B. Mandelbrot | wkautore = Benoît Mandelbrot | città=[[Parigi]] | editore = [[Groupe Flammarion|Flammarion]] | annooriginale = 1975 | anno = 1986 | ed = 2| lingua = fr }}

** {{Cita libro | titolo = Gli oggetti frattali | autore = Benoît B. Mandelbrot | editore = [[Giulio Einaudi Editore|Einaudi]] | città = [[Torino]] | anno = 2000 | idisbn = ISBN 8806155660, ISBN 978880615566788-06-15566-0 | annooriginale = 1987 }} <small>ultima edizione in italiano.</small>

* {{en}}cita libro|nome1=Michael F. |cognome1=Barnsley, |nome2=Robert L. |cognome2=Devaney, |nome3=Benoît |cognome3=Mandelbrot, |nome4=Heinz-Otto |cognome4=Peitgen, |nome5=Dietmar |cognome5=Saupe, |nome6=Richard F. |cognome6=Voss (1988): ''|titolo=The Science of Fractal Images'', |editore=Springer, |città=Berlino|anno=1988|ISBN =0-387-96608-0|lingua=en}}

* {{en}}cita libro|nome=Kenneth |cognome=Falconer (1990): ''|titolo=Fractal Geometry - Mathematical Foundations and Applications'', |url=https://archive.org/details/fractalgeometrym0000falc|editore=John Wiley & Sons,|città=New York|anno=1990|ISBN =0-471-92287-0|lingua=en}}

* {{en}}cita libro|nome=Donald L. |cognome=Turcotte (1997): ''|titolo=Fractals and chaos in Geology and Geophysics'', 2nd ed., |città=Cambridge|editore=Cambridge University Press, |anno=1997|ISBN =0-521-56733-5|lingua=en}}

* {{cita libro|nome1=Heinz-Otto |cognome1=Peitgen, |nome2=Peter H. |cognome2=Richter: ''|titolo=La bellezza dei frattali'', |città=Torino|editore=Bollati Boringhieri, |anno=1987|ISBN =88-339-0420-2}}

* Yurij{{cita libro|nome1=Yurij|cognome1=Baryshev e |nome2=Pekka |cognome2=Teerikorpi. ''|titolo=La scoperta dei frattali cosmici''. |città=Torino, |editore=Bollati Boringhieri, |anno=2006, |ISBN =88-339-1613-8}}

* Dick{{cita libro|nome1=Dick|cognome1=Oliver e |nome2=Daniel |cognome2=Hoviss. ''|titolo=Frattali : principi, tecniche, programmi e applicazioni''. |città=Milano, |editore=Jackson libri, Libri|anno=1994, |ISBN =88-256-0625-7}}

== Voci correlate ==

[[File:Julia set (highres 01).jpg|thumb|right|250px|L'[[insieme di Julia]] è anch'esso un frattale]]

* [[Lista28A80]] di{{MSCid| ai frattali per dimensione di Hausdorff]]}}

* [[InsiemeArte di Juliafrattale]]

* [[Auto similarità]]

* [[Benoît Mandelbrot]]

* [[Burning ship]]

* [[Cosmologia frattale]]

* [[Curva del drago di Heighway]]

* ''[[Electric Sheep]]'' generatore di frattali

* [[Figura di Lichtenberg]]

* [[Frattale di Newton]]

* [[Gaston Julia]]

* [[BenoitInsieme Mandelbrotdi Julia]]

* [[28-XX#28Axx|28A80]] {{MSCid| ai frattali}}

* [[Arte frattale]]

* [[Electric Sheep]] generatore di frattali

* [[Insieme di Mandelbrot]]

* [[Lista di frattali per dimensione di Hausdorff]]

* [[Polvere di Cantor]]

* [[Successione di interi frattale]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|commonswikt=Fractalfrattale|preposizione=sul}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{it}} {{cita web|url=http://www.miorelli.net/frattali|titolo=Un sito italiano dedicato ai frattali|accesso=18-12-2008}}

* {{FOLDOC|fractal|fractal}}

* {{en}} {{cita web|url=http://www.usenet-replayer.com/webrings/fractals.html|titolo=L'archivio di Frattali pubblicato su USENET|accesso=18-12-208}}

* {{Garzanti}}

* {{en}} {{cita web|url=http://soler7.com/Fractals/FractalsSite.html|titolo=La Galeria di Soler: 276 frattali|accesso=18-12-2008}}

* {{en}} {{cita web|url=http://electricsheepwww.orgmiorelli.net/frattali|titolo=ElectricUn Sheep,sito generatoreitaliano didedicato ai frattali|accesso=18-12-200829 gennaio 2010}}

* {{cita web|url=http://www.usenet-replayer.com/webrings/fractals.html|titolo=L'archivio di Frattali pubblicato su USENET|accesso=18 dicembre 2008|lingua=en|urlmorto=sì|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20060615162607/http://www.usenet-replayer.com/webrings/fractals.html|dataarchivio=15 giugno 2006}}

* {{lingue|it|fr|es}} {{cita web|url=http://www.mathcurve.com/fractals/fractals.shtml|titolo=Frattali da ''Mathcurve'', ''Encyclopédie des formes mathématiques remarquables''|accesso=18-12-2008}}

* {{lingue|it|en}} {{cita web|url=http://sawsoler7.altervistacom/Fractals/FractalsSite.org/maphtml|titolo=GeneratoreLa automaticoGaleria di fileSoler: .map per colorare276 frattali realizzati con Winfract e Fractint|accesso=18-12- dicembre 2008|lingua=en}}

* {{en}} {{cita web|url=http://soler7electricsheep.comorg/Fractals/Sterling2.html|titolo=Sterling2Electric software freewareSheep, generatore di frattali|accesso=18-12- dicembre 2008|lingua=en}}

* {{it}} {{cita web|url=http://www-1.unipvmathcurve.itcom/webgirofractals/album_fotofractals.htmshtml|titolo=RaccoltaFrattali dida foto''Mathcurve'', di''Encyclopédie frattalides naturaliformes mathématiques remarquables''|accesso=18-12- dicembre 2008|lingua=it, fr, es}}

{{it}}* {{cita web|url=http://xoomersaw.virgilioaltervista.itorg/thereefmap|titolo=RaccoltaGeneratore automatico di file .map per colorare frattali realizzati con Winfract e Fractint|accesso=06-06-200918 dicembre 2008|lingua=it, en}}

* {{cita web|url=http://soler7.com/Fractals/Sterling2.html|titolo=Sterling2 software freeware generatore di frattali|accesso=18 dicembre 2008|lingua=en}}

* {{cita web|url=http://www-1.unipv.it/webgiro/album_foto.htm|titolo=Raccolta di foto di frattali naturali|accesso=18 dicembre 2008}}

* {{cita web|url=http://xoomer.virgilio.it/thereef|titolo=Raccolta di frattali|accesso=6 giugno 2009}}

* {{cita web|url=https://www.youtube.com/watch?v=7Pf6jZWguCc|titolo=Esempio frattale: Mandelbox}}

{{Teoria del caos}}

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{{Portale|Matematica}}

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