Particella libera: differenze tra le versioni

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In [[fisica]], in particolare in [[meccanica quantistica]], la '''particella libera''' è la descrizione di una [[particella (fisica)|particella]] soggetta ad un [[Potenziale scalare|potenziale]] costante, cioè quello in cui si considera una particella non soggetta a [[forza (fisica)|forze]].

<div style="float:right; width:16em; background:transparent;">{{voce complessa|Funzione d'onda|Energia potenziale|Hamiltoniana|Equazione di Schrödinger}}<br clear=all /></div>

In [[fisica]], in particolare in [[meccanica quantistica]], la '''particella libera''' è la descrizione di una particella non soggetta ad alcun potenziale.

==Caso unidimensionale==

L'[[equazione di Schrödinger]] dipendente dal tempo per la [[funzione d'onda]] di una particella libera è caratterizzata da un potenziale nullo, ed assume la forma:

{{vedi anche|Equazione di Schrödinger}}

L'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo per la [[funzione d'onda]] di una particella libera è caratterizzata da un potenziale nullo, ed assume la forma:

:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (x,t)

= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi (x,t)</math>

con la funzione d'onda preparata nello stato iniziale <math>\psi_psi(x,0)=\phi_k(x)</math>.<br>

La soluzione, chepiù determinagenerale l'evoluzionenel temporalecaso dellodi statoparticella <math>\phi_k</math>,libera è un'il [[ondapacchetto pianad'onda]] in una dimensione:

:<math>\psi (x,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dp \, \phi(p) e^{i (px - \frac{p^2}{2m} t ) / \hbar}</math>

Che è una sovrapposizione di [[onda piana|onde piane]]:

:<math>\psi_k(x,t) = A \, e^{-i E_k t/\hbar+ i k x} = \phi_k(x)\,e^{-i E_k t/\hbar},</math>

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:<math>\omega_k = \frac{E_k}{\hbar} = \frac{\hbar k^2}{2m},</math>

ilIl cuivettore ''k'' è il [[vettore d'onda]], <math>\phi_k(x)</math> è la relativa autofunzione dell''k''.<br>energia e

La soluzione generale dell'equazione di Shrödinger dipendente dal tempo si ottiene dalla sovrapposizione lineare

delle varie onde piane <math>\psi_k</math>:

:<math>\psiphi(x,tp) = \sum_klangle c_k\phi_k | \,\psi_k \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dx e^{- \frac{ipx}{\hbar}}\psi^0(x,t), </math>

la [[trasformata di Fourier]] della funzione <math>\psi (x)</math>.

in cui i coefficienti <math>c_k</math> sono normalizzati ad uno,

Il fattore prima dell'integrale del pacchetto d'onda è dovuto alla corretta normalizzazione, dovuta alla interpretazione probabilistica della funzione d'onda. Essendo un'equazione differenziale al primo ordine nel tempo, l'equazione di Schrödinger deve essere accompagnata dalla condizione iniziale della funzione d'onda. Ad esempio al tempo <math>t=0</math> si impone che la funzione d'onda sia:

:<math>\sum_k\,\vert c_k \vert^2 = 1,</math>

:<math>\psi (x,t=0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dp \, \phi(p) e^{i px / \hbar} </math>

per garantire che la funzione d'onda abbia norma unitaria.

in modo che la sua evoluzione nel tempo esista determinata per ogni istante ''t''. Abbiamo stabilito anche che la giusta interpretazione della funzione d'onda è che:

Lo [[spettro]] energetico è continuo, da zero all'infinito, ogni autovalore (escluso <math>E_0=0</math>) è doppiamente degenere, perché ad ogni <math>E_k \neq 0</math> corrispondono le autofunzioni <math>\phi_k</math> e <math>\phi_{-k}</math>. <ref>In tre dimensioni, ogni autovalore diverso da zero ha molteplicità infinita poiché ad ogni autovalore corrispondono infinite autofunzioni che differiscono per la direzione del vettore d'onda. </ref>

:<math>P(x,t) dx = |\psi(x,t) |^2 dx \ </math>

rappresenta la probabilità che la particella si trovi nell'intervallo <math>x, x+dx</math>, avendo l'accortezza di normalizzare la funzione d'onda:

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^2 dx = 1</math>

che rappresenta il fatto che la probabilità di trovare la particella in qualche punto dello spazio (in questo caso siamo su una retta perché stiamo prendendo solo il caso unidimensionale, ma tutto ciò vale anche nel caso tridimensionale), deve essere 1 con certezza. Abbiamo inoltre stabilito che le funzioni accettabili come soluzioni dell'equazione di Schrödinger sono le funzioni definite in un [[campo vettoriale]] complesso e che siano a quadrato sommabili, cioè sia sempre verificata:

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,0)|^2 dx < \infty</math>

e il fatto che sia lineare implica che possiamo considerare la sovrapposizione:

:<math>\psi(x,t) = c_1 \psi_1 (x,t) + c_2 \psi_2 (x,t) \ </math>

dove <math>c_1, c_2 \in \mathbb{C}</math> che suggerisce valevole il [[principio di sovrapposizione (meccanica quantistica)|principio di sovrapposizione]], essa è anche soluzione dell'equazione di Schrödinger. Un'altra caratteristica delle soluzioni dell'equazione di Schrödinger è che se il modulo quadro della funzione d'onda è importante perché rappresenta una probabilità, la fase dell'onda invece non ha rilevanza fisica.

===Autofunzioni===

{{vedi anche|Autofunzione}}

Nel caso di particella libera le autofunzioni dell'energia coincidono con le autofunzioni dell'[[operatore impulso]], dal momento che i due operatori <math>\hat{H}</math> e <math>\hat{p}</math> [[commutatore (matematica)|commutano]], e possiedono quindi una base di [[Autostato|autostati]] comune.<br>

L'[[equazione di Schrödinger]] stazionaria per le autofunzioni di particella libera è in generale

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:<math>\phi_k(x) = A\,e^{i k x}+ B\,e^{-i k x},</math>

con ''A'',''B'' coefficienti reali arbitrari da determinarsi. Imponendo la [[condizione al contorno]] che la funzione dl'ondaautofunzione contenga solo una componente progressiva, si ottiene <math>B = 0</math> e

:<math>\phi_k(x) = A\,e^{i k x},</math>

Riga 55 ⟶ 72:

<ref>

Una possibile normalizzazione è fornita dalla rappresentazione di Fourier della [[Delta di Dirac]]

:<math>\int_{-\infty}^{\infty} dx \phi_{k^{\prime}}^{\ast} (x) \phi_{k} (x)

= \vert A \vert^2 \int_{-\infty}^{\infty} dx e^{i (k-k^{\prime}) x }

Riga 82 ⟶ 98:

</ref>

==Caso tridimensionale==

In generale, l'operatore [[hamiltoniano]] <math>\hat{H}</math> e l'operatore [[quantità di moto]] <math>\hat{p}</math> della particella libera [[commutatore|commutano]], così vale anche per l'[[energia cinetica]]

Lo studio della particella libera in tre dimensioni è un esempio di propagazione di [[Onda sferica|onde sferiche]].

===L'equazione di Schrödinger radiale===

:<math>\hat{K}=\frac{\hat{p}^2}{2m};</math>

{{Vedi anche|Moto in un campo centrale}}

L'equazione di Schrödinger radiale nel caso di particella libera per le autofunzioni dell'energia

:<math>\Psi_{k,l,m} = R(r) Y_{l,m} (\theta, \varphi)</math>

Si ha

dove <math>Y_{l,m}</math> sono le armoniche sferiche, ha la forma:

:<math>[\hat{H}, \hat{p}] = [ \hat{H}, \hat{K} ] =0,</math>

:<math>-\frac{1}{2 m} \left[\frac{\hbar^2}{r^2} \frac{d}{d r} \left(r^2 \frac{d}{d r} \right) - \frac{l(l+1) \hbar^2}{r^2} \right] \Psi_{k,l,m} = E \Psi_{k,l,m}</math>

quindi, gli operatori <math>\hat{H}</math>, <math>\hat{K}</math>, e <math>\hat{p}</math> ammettono una base comune di [[Autostato|autostati]].

Si può verificare che la soluzione progressiva dell'equazione di Schrödinger è autofunzione

della quantità di moto, essendo:

dove <math>l(l+1) \hbar^2</math> sono gli autovalori del momento angolare orbitale <math>\mathcal{L}</math>. La funzione <math>R_{E,l}</math> dipende anche da ''l'' ma non da ''m'', infatti non compare l'operatore <math>\mathcal{L}_z</math>.<br>

:<math>\left(-i \hbar \frac{d}{dx}\right)\,\phi_k(x) = \hbar k\,\phi_k(x).</math>

Posto <math>R(r) = \frac{R_{k,l}(r)}{r}</math>, l'equazione per la parte radiale si può scrivere:

:<math>\left[- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d r^2} + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2} \right] R_{k,l}(r) = E R_{k,l}(r)</math>

==Caso tridimensionale==

{{vedi anche|Particella libera tridimensionale}}

Le funzioni <math>R_{k,l}</math> dipendono da ''k'' e dal valore di ''l''.

In meccanica quantistica la particella libera tridimensionale è un tipico esempio di propagazione di onde sferiche. Essa è descritta da un'equazione di Schrödinger radiale tridimensionale derivata dal moto in un campo centrale in cui il potenziale è nullo. In effetti l'equazione radiale per campi a simmetria sferica è sempre la stessa mentre la soluzione della parte angolare del sistema è sempre data in termini di Armoniche sferiche, in particolare introducendo il momento angolare orbitale.

La normalizzazione delle funzioni d'onda sono date da:

:<math>\int_{0}^{\infty} \Psi_{k',l',m'}^{*} \Psi_{k,l,m} r^2 \, dr \,\int d \Omega = 2 \pi \delta_{l'l} \delta_{m'm} \delta (k'-k)</math>

come vuole la normalizzazione discreta (<math>d\Omega = d \theta d\varphi</math>) per ''l'' ed ''m'' data dalle [[autofunzioni del momento angolare]] e normalizzazione continua per ''k''. Per le funzioni radiali che ci interessano:

:<math>\int_{0}^{\infty} R_{k',l}^{*} R_{k,l} r^2 \, dr = 2 \pi \delta (k'-k)</math>

In termini di energia usando <math>\hbar^2 k^2 / 2 m = E</math> questa condizione diventa

:<math>\int_{0}^{\infty} R_{E',l}^{*} R_{E,l} r^2 \, dr = \delta (E'-E)</math>

==== Soluzione per <math>l=0</math> ====

Per <math>l=0</math> l'equazione si semplifica:

:<math>\frac{d^2 R_{k,0} (r)}{d r^2} + \frac{2}{r} \frac{dR_{k,0} (r)}{dr} + k^2 R_{k,0)} (r) = 0</math>

la cui soluzione regolare nell'origine cioè che soddisfa la condizione di continuità <math>\lim_{r \to 0} R(r) = 0</math> è data da:

:<math>R_{k,0} (r) = A_1 \frac{\sin k r}{r}</math>

mentre quella singolare nell'origine:

:<math>R_{k,0} (r) = - A_2 \frac{\cos k r}{r}</math>

dove <math>A_1, A_2</math> sono costanti di normalizzazione. Le costanti di normalizzazione si ottengono dalla condizione di normalizzazione vista sopra:

:<math>A_{1}^{2} \int_{0}^{\infty} dr \, r^2 \sin (k' r) \sin (k r) = 2 \pi \delta (k'-k)</math>

da cui <math>A_1 = 2</math>. Quindi:

:<math>R_{k,0} (r) = 2 \frac{\sin k r}{r}</math>

:<math>R_{k,0} (r) = - 2 \frac{\cos k r}{r}</math>

==== Soluzione per <math>l \neq 0</math> ====

Facciamo la sostituzione:

:<math>R_{k,l} (r) = r^l \chi_{k,l} \ </math>

e risolviamo l'equazione:

:<math>\frac{d^2 \chi_{k,l}}{d r^2} + \frac{2(l+1)}{r} \frac{d\chi_{k,l}}{dr} + k^2 \chi_{k,l} = 0</math>

derivando rispetto ad ''r'' abbiamo:

:<math>\frac{d^3 \chi_{k,l}}{d r^3} + \frac{2 (l+1)}{r} \frac{d^2 \chi_{k,l}}{dr^2} + k^2 \frac{d\chi_{k,l}}{dr} - \frac{2 (l+1)}{r^2} \frac{d\chi_{k,l}}{dr} = 0</math>

cioè derivando si aggiunge un termine costante. Quindi se <math>\chi'_{k,l} = r \chi_{k, l+1}</math> l'equazione precedente si riduce

:<math>\frac{d^2 \chi_{k,l+1}}{d r^2} + \frac{2 (l+2)}{r} \frac{d \chi_{k,l+1}}{dr} + k^2 \chi_{k,l+1} = 0</math>

dove le funzioni <math>\chi_{k,l}</math> sono legate dalla relazione ricorsiva:

:<math>\chi_{k,l+1} = \frac{1}{r} \frac{d\chi_{k,l}}{dr}</math>

Quindi noto il termine:

:<math>\chi_{k,0} (r) = R_{k,0} (r) = 2 \frac{\sin kr}{r}</math>

allora tutte le funzioni sono note infatti per <math>l \neq 0</math>:

:<math>\chi_{k,l} (r) = \left(\frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \chi_{k,0}</math>

In definitiva le funzioni radiali sono date da:

:<math>R_{k,l} (r) = N_l r^l \left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \frac{\sin kr}{r}</math>

dove la costante di normalizzazione vale <math>N_l = \frac{2 (-)^l}{k^l}</math>. Le soluzioni singolari nell'origine sono date:

:<math>S_{k,l} (r) = N_l r^l \left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \frac{\cos kr}{r}</math>

==== Comportamento asintotico ====

Per <math>r \to 0</math> le funzioni regolari possono essere sviluppate in serie di <math>\sin kr</math> al primo ordine in ''r'':

:<math>\left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \frac{\sin kr}{r} \simeq \left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l (-)^l \frac{(kr)^{2l + 1}}{r (2l + 1)!} + O(r^2)= \frac{(-)^l k^{2l+1}}{(2l+1)(2l-1)(2l-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1} + O(r^2)</math>

Le funzioni d'onda radiali regolari nell'origine assumono la forma:

:<math>R_{k,l} (r) \simeq \frac{2 k^{l+1} r^l}{(2l+1)(2l-1)(2l-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1} + O(r^2)</math>

Per <math>r \to \infty</math> le funzioni regolari di ''r'':

:<math>R_{k,l} \simeq \frac{2}{r} \sin \left( k r - \frac{l \pi}{2} \right)</math>

infatti ogni derivazione rispetto ad ''r'' del seno aggiunge solo un termine <math>- \pi /2</math>

=== Funzioni di Bessel sferiche ===

Le soluzioni <math>R_{k,l} (r)</math> possono essere rappresentate in termini di [[Funzione di Bessel|funzioni di Bessel sferiche]] regolari e singolari nell'origine. Le prime funzioni di Bessel sferiche sono:

:<math>j_0(x) = \frac{\sin x}{x}</math>

:<math>n_0(x) = -\frac{\cos x}{x}</math>

:<math>j_1(x) = \frac{\sin x}{x^2} - \frac{\cos x}{x}</math>

:<math>n_1(x) = - \frac{\cos x}{x^2} - \frac{\sin x}{x}</math>

:<math>j_2(x) = \left(\frac{3}{x^3} - \frac{1}{x} \right) \sin x - \frac{3 \cos x}{x^2}</math>

:<math>n_2(x) = - \left(\frac{3}{x^3} - \frac{1}{x} \right) \cos x - \frac{3 \sin x}{x^2}</math>

:<math>j_{l} (x) = (-)^l x^l \left( \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right)^l \frac{\sin x}{x}</math>

:<math>n_{l} (x) = - (-)^l x^l \left( \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right)^l \frac{\cos x}{x}</math>

Allora le funzioni radiali regolari e singolari per la particella libera sono espresse:

:<math>R_{k,l} (r) = \sqrt{\frac{2 \pi k}{r}} J_{l+1/2} (kr) = 2 k j_l (kr)</math>

:<math>S_{k,l} (r) = \sqrt{\frac{2 \pi k}{r}} N_{l+1/2} (kr) = 2 k n_l (kr)</math>

dove <math>J_{l+1/2}, N_{l+1/2}</math> sono le soluzioni rispettivamente regolari e singolari dell'[[equazione di Bessel]]:

:<math>\frac{d^2}{dz^2} Z_v + \frac{1}{z} Z_v + \left( 1- \frac{v^2}{z^2} \right) Z_v = 0</math>

Il legame tra le funzioni di Bessel di ordine intero e semintero è dato da:

:<math>j_l (x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2} (x)</math>

Gli andamenti asintotici per <math>x \to 0</math>:

:<math>j_{l} (x) \simeq \frac{x^l}{(2 l + 1)!!}</math>

:<math>n_{l} (x) \simeq \frac{(2l -1)!!}{x^{l+1}}</math>

per <math>x \to \infty</math>

:<math>j_{l} (x) \simeq \frac{1}{x} \cos \left(x - \frac{(l+1) \pi}{2} \right)</math>

:<math>n_{l} (x) \simeq \frac{1}{x} \sin \left(x - \frac{(l+1) \pi}{2} \right)</math>

come si voleva.

=== Funzioni di Hankel sferiche ===

Le prime [[funzioni di Hankel sferiche]] per la particella libera sono:

:<math>h_{0}^{(1)}(x) = \frac{e^{ix}}{ix}</math>

:<math>h_{1}^{(1)}(x) = - \frac{e^{ix}}{x} \left( 1 + \frac{i}{x} \right)</math>

:<math>h_{2}^{(1)}(x) = \frac{i e^{ix}}{x} \left( 1 + \frac{3i}{x} \frac{3}{x^2} \right)</math>

Allora le funzioni radiali per la particella libera sono espresse:

:<math>R_{k,l}^{(1)} (r) = 2 k h_{1}^{(l)}(kr)</math>

:<math>R_{k,l}^{(2)} (r) = 2 k h_{2}^{(l)}(kr)</math>

e gli andamenti asintotici: per <math>x \to \infty</math>

:<math>h_{l}^{(1)} (x) \simeq \frac{1}{x} e^{i (x - (l+1) \pi /2 )}</math>

:<math>h_{l}^{(2)} (x) \simeq \frac{1}{x} e^{-i (x - (l+1) \pi /2 )}</math>

Così le funzioni radiali hanno comportamento asintotico:

:<math>R_{k,l}^{(1)} \simeq \frac{1}{kr} e^{i (kr - (l+1) \pi /2 )}</math>

:<math>R_{k,l}^{(2)} \simeq \frac{1}{kr} e^{-i (kr - (l+1) \pi /2 )}</math>

Mentre nell'origine <math>r \to 0</math>:

:<math>R_{k,l}^{\pm} \simeq \frac{(2l - 1)!!}{k^{l}} r^{-l-1}</math>

== Note ==

{{<references|2}}/>

== Bibliografia ==

*B.H. Bransden & C.J. Joachain - Physics of atoms and molecules

==Voci correlate==

Riga 109 ⟶ 297:

*[[Particella in una scatola]]

*[[Oscillatore armonico quantistico]]

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