Particella libera: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Funzionalità collegamenti suggeriti: 2 collegamenti inseriti. |
|||
| (25 versioni intermedie di 17 utenti non mostrate) | |||
Riga 1:
In [[fisica]], in particolare in [[meccanica quantistica]], la '''particella libera''' è la descrizione di una [[particella (fisica)|particella]] soggetta ad un [[Potenziale scalare|potenziale]] costante, cioè quello in cui si considera una particella non soggetta a [[forza (fisica)|forze]].
==Caso unidimensionale==
L'[[equazione di Schrödinger]] dipendente dal tempo per la [[funzione d'onda]] di una particella libera è caratterizzata da un potenziale nullo, ed assume la forma:
:<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi (x,t)
= -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \psi (x,t)</math>
con la funzione d'onda preparata nello stato iniziale <math>\
La soluzione
:<math>\psi (x,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dp \, \phi(p) e^{i (px - \frac{p^2}{2m} t ) / \hbar}</math>
Che è una sovrapposizione di [[onda piana|onde piane]]:
:<math>\psi_k(x,t) = A \, e^{-i E_k t/\hbar+ i k x} = \phi_k(x)\,e^{-i E_k t/\hbar},</math>
Riga 18 ⟶ 20:
:<math>\omega_k = \frac{E_k}{\hbar} = \frac{\hbar k^2}{2m},</math>
:<math>\phi(p) = \langle \phi_k | \psi_k \rangle = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dx e^{- \frac{ipx}{\hbar}}\psi^0(x) </math>
la [[trasformata di Fourier]] della funzione <math>\psi (x)</math>.
:<math>\psi (x,t=0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \hbar}} \int dp \, \phi(p) e^{i px / \hbar} </math>
in modo che la sua evoluzione nel tempo esista determinata per ogni istante ''t''. Abbiamo stabilito anche che la giusta interpretazione della funzione d'onda è che:
Riga 36 ⟶ 38:
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,t)|^2 dx = 1</math>
che rappresenta il fatto che la probabilità di trovare la particella in qualche punto dello spazio (in questo caso siamo su una retta perché stiamo prendendo solo il caso unidimensionale, ma tutto ciò vale anche nel caso tridimensionale), deve essere 1 con certezza. Abbiamo inoltre stabilito che le funzioni accettabili come soluzioni dell'equazione di Schrödinger sono le funzioni definite in un [[campo vettoriale]] complesso e che siano a quadrato sommabili, cioè sia sempre verificata:
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x,0)|^2 dx < \infty</math>
Riga 48 ⟶ 50:
===Autofunzioni===
{{vedi anche|Autofunzione}}
Nel caso di particella libera le autofunzioni dell'energia coincidono con
L'[[equazione di Schrödinger]] stazionaria per le autofunzioni di particella libera è in generale
Riga 63 ⟶ 65:
:<math>\phi_k(x) = A\,e^{i k x}+ B\,e^{-i k x},</math>
con ''A'',''B'' coefficienti reali arbitrari da determinarsi. Imponendo la [[condizione al contorno]] che l'autofunzione contenga solo una componente progressiva, si ottiene <math>B = 0</math> e
:<math>\phi_k(x) = A\,e^{i k x},</math>
Riga 70 ⟶ 72:
<ref>
Una possibile normalizzazione è fornita dalla rappresentazione di Fourier della [[Delta di Dirac]]
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} dx \phi_{k^{\prime}}^{\ast} (x) \phi_{k} (x)
= \vert A \vert^2 \int_{-\infty}^{\infty} dx e^{i (k-k^{\prime}) x }
Riga 98 ⟶ 99:
==Caso tridimensionale==
Lo studio della particella libera in tre dimensioni è un esempio di propagazione di [[Onda sferica|onde sferiche]].
===L'equazione di Schrödinger radiale===
{{Vedi anche|Moto in un campo centrale}}
L'equazione di Schrödinger radiale nel caso di particella libera per le autofunzioni dell'energia
:<math>\Psi_{k,l,m} = R(r) Y_{l,m} (\theta, \varphi)</math>
dove <math>Y_{l,m}</math> sono le armoniche sferiche, ha la forma:
:<math>-\frac{1}{2 m} \left[\frac{\hbar^2}{r^2} \frac{d}{d r} \left(r^2 \frac{d}{d r} \right) - \frac{l(l+1) \hbar^2}{r^2} \right] \Psi_{k,l,m} = E \Psi_{k,l,m}</math>
dove <math>l(l+1) \hbar^2</math> sono gli autovalori del momento angolare orbitale <math>\mathcal{L}</math>. La funzione <math>R_{E,l}</math> dipende anche da ''l'' ma non da ''m'', infatti non compare l'operatore <math>\mathcal{L}_z</math>.<br>
Posto <math>R(r) = \frac{R_{k,l}(r)}{r}</math>, l'equazione per la parte radiale si può scrivere:
:<math>\left[- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d r^2} + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2m r^2} \right] R_{k,l}(r) = E R_{k,l}(r)</math>
Le funzioni <math>R_{k,l}</math> dipendono da ''k'' e dal valore di ''l''.
La normalizzazione delle funzioni d'onda sono date da:
:<math>\int_{0}^{\infty} \Psi_{k',l',m'}^{*} \Psi_{k,l,m} r^2 \, dr \,\int d \Omega = 2 \pi \delta_{l'l} \delta_{m'm} \delta (k'-k)</math>
come vuole la normalizzazione discreta (<math>d\Omega = d \theta d\varphi</math>) per ''l'' ed ''m'' data dalle [[autofunzioni del momento angolare]] e normalizzazione continua per ''k''. Per le funzioni radiali che ci interessano:
:<math>\int_{0}^{\infty} R_{k',l}^{*} R_{k,l} r^2 \, dr = 2 \pi \delta (k'-k)</math>
In termini di energia usando <math>\hbar^2 k^2 / 2 m = E</math> questa condizione diventa
:<math>\int_{0}^{\infty} R_{E',l}^{*} R_{E,l} r^2 \, dr = \delta (E'-E)</math>
==== Soluzione per <math>l=0</math> ====
Per <math>l=0</math> l'equazione si semplifica:
:<math>\frac{d^2 R_{k,0} (r)}{d r^2} + \frac{2}{r} \frac{dR_{k,0} (r)}{dr} + k^2 R_{k,0)} (r) = 0</math>
la cui soluzione regolare nell'origine cioè che soddisfa la condizione di continuità <math>\lim_{r \to 0} R(r) = 0</math> è data da:
:<math>R_{k,0} (r) = A_1 \frac{\sin k r}{r}</math>
mentre quella singolare nell'origine:
:<math>R_{k,0} (r) = - A_2 \frac{\cos k r}{r}</math>
dove <math>A_1, A_2</math> sono costanti di normalizzazione. Le costanti di normalizzazione si ottengono dalla condizione di normalizzazione vista sopra:
:<math>A_{1}^{2} \int_{0}^{\infty} dr \, r^2 \sin (k' r) \sin (k r) = 2 \pi \delta (k'-k)</math>
da cui <math>A_1 = 2</math>. Quindi:
:<math>R_{k,0} (r) = 2 \frac{\sin k r}{r}</math>
:<math>R_{k,0} (r) = - 2 \frac{\cos k r}{r}</math>
==== Soluzione per <math>l \neq 0</math> ====
Facciamo la sostituzione:
:<math>R_{k,l} (r) = r^l \chi_{k,l} \ </math>
e risolviamo l'equazione:
:<math>\frac{d^2 \chi_{k,l}}{d r^2} + \frac{2(l+1)}{r} \frac{d\chi_{k,l}}{dr} + k^2 \chi_{k,l} = 0</math>
derivando rispetto ad ''r'' abbiamo:
:<math>\frac{d^3 \chi_{k,l}}{d r^3} + \frac{2 (l+1)}{r} \frac{d^2 \chi_{k,l}}{dr^2} + k^2 \frac{d\chi_{k,l}}{dr} - \frac{2 (l+1)}{r^2} \frac{d\chi_{k,l}}{dr} = 0</math>
cioè derivando si aggiunge un termine costante. Quindi se <math>\chi'_{k,l} = r \chi_{k, l+1}</math> l'equazione precedente si riduce
:<math>\frac{d^2 \chi_{k,l+1}}{d r^2} + \frac{2 (l+2)}{r} \frac{d \chi_{k,l+1}}{dr} + k^2 \chi_{k,l+1} = 0</math>
dove le funzioni <math>\chi_{k,l}</math> sono legate dalla relazione ricorsiva:
:<math>\chi_{k,l+1} = \frac{1}{r} \frac{d\chi_{k,l}}{dr}</math>
Quindi noto il termine:
:<math>\chi_{k,0} (r) = R_{k,0} (r) = 2 \frac{\sin kr}{r}</math>
allora tutte le funzioni sono note infatti per <math>l \neq 0</math>:
:<math>\chi_{k,l} (r) = \left(\frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \chi_{k,0}</math>
In definitiva le funzioni radiali sono date da:
:<math>R_{k,l} (r) = N_l r^l \left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \frac{\sin kr}{r}</math>
dove la costante di normalizzazione vale <math>N_l = \frac{2 (-)^l}{k^l}</math>. Le soluzioni singolari nell'origine sono date:
:<math>S_{k,l} (r) = N_l r^l \left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \frac{\cos kr}{r}</math>
==== Comportamento asintotico ====
Per <math>r \to 0</math> le funzioni regolari possono essere sviluppate in serie di <math>\sin kr</math> al primo ordine in ''r'':
:<math>\left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l \frac{\sin kr}{r} \simeq \left( \frac{1}{r} \frac{d}{dr} \right)^l (-)^l \frac{(kr)^{2l + 1}}{r (2l + 1)!} + O(r^2)= \frac{(-)^l k^{2l+1}}{(2l+1)(2l-1)(2l-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1} + O(r^2)</math>
Le funzioni d'onda radiali regolari nell'origine assumono la forma:
:<math>R_{k,l} (r) \simeq \frac{2 k^{l+1} r^l}{(2l+1)(2l-1)(2l-3) \cdots 5 \cdot 3 \cdot 1} + O(r^2)</math>
Per <math>r \to \infty</math> le funzioni regolari di ''r'':
:<math>R_{k,l} \simeq \frac{2}{r} \sin \left( k r - \frac{l \pi}{2} \right)</math>
infatti ogni derivazione rispetto ad ''r'' del seno aggiunge solo un termine <math>- \pi /2</math>
=== Funzioni di Bessel sferiche ===
Le soluzioni <math>R_{k,l} (r)</math> possono essere rappresentate in termini di [[Funzione di Bessel|funzioni di Bessel sferiche]] regolari e singolari nell'origine. Le prime funzioni di Bessel sferiche sono:
:<math>j_0(x) = \frac{\sin x}{x}</math>
:<math>n_0(x) = -\frac{\cos x}{x}</math>
:<math>j_1(x) = \frac{\sin x}{x^2} - \frac{\cos x}{x}</math>
:<math>n_1(x) = - \frac{\cos x}{x^2} - \frac{\sin x}{x}</math>
:<math>j_2(x) = \left(\frac{3}{x^3} - \frac{1}{x} \right) \sin x - \frac{3 \cos x}{x^2}</math>
:<math>n_2(x) = - \left(\frac{3}{x^3} - \frac{1}{x} \right) \cos x - \frac{3 \sin x}{x^2}</math>
:<math>j_{l} (x) = (-)^l x^l \left( \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right)^l \frac{\sin x}{x}</math>
:<math>n_{l} (x) = - (-)^l x^l \left( \frac{1}{x} \frac{d}{dx} \right)^l \frac{\cos x}{x}</math>
Allora le funzioni radiali regolari e singolari per la particella libera sono espresse:
:<math>R_{k,l} (r) = \sqrt{\frac{2 \pi k}{r}} J_{l+1/2} (kr) = 2 k j_l (kr)</math>
:<math>S_{k,l} (r) = \sqrt{\frac{2 \pi k}{r}} N_{l+1/2} (kr) = 2 k n_l (kr)</math>
dove <math>J_{l+1/2}, N_{l+1/2}</math> sono le soluzioni rispettivamente regolari e singolari dell'[[equazione di Bessel]]:
:<math>\frac{d^2}{dz^2} Z_v + \frac{1}{z} Z_v + \left( 1- \frac{v^2}{z^2} \right) Z_v = 0</math>
Il legame tra le funzioni di Bessel di ordine intero e semintero è dato da:
:<math>j_l (x) = \sqrt{\frac{\pi}{2x}} J_{l+1/2} (x)</math>
Gli andamenti asintotici per <math>x \to 0</math>:
:<math>j_{l} (x) \simeq \frac{x^l}{(2 l + 1)!!}</math>
:<math>n_{l} (x) \simeq \frac{(2l -1)!!}{x^{l+1}}</math>
per <math>x \to \infty</math>
:<math>j_{l} (x) \simeq \frac{1}{x} \cos \left(x - \frac{(l+1) \pi}{2} \right)</math>
:<math>n_{l} (x) \simeq \frac{1}{x} \sin \left(x - \frac{(l+1) \pi}{2} \right)</math>
come si voleva.
=== Funzioni di Hankel sferiche ===
Le prime [[funzioni di Hankel sferiche]] per la particella libera sono:
:<math>h_{0}^{(1)}(x) = \frac{e^{ix}}{ix}</math>
:<math>h_{1}^{(1)}(x) = - \frac{e^{ix}}{x} \left( 1 + \frac{i}{x} \right)</math>
:<math>h_{2}^{(1)}(x) = \frac{i e^{ix}}{x} \left( 1 + \frac{3i}{x} \frac{3}{x^2} \right)</math>
Allora le funzioni radiali per la particella libera sono espresse:
:<math>R_{k,l}^{(1)} (r) = 2 k h_{1}^{(l)}(kr)</math>
:<math>R_{k,l}^{(2)} (r) = 2 k h_{2}^{(l)}(kr)</math>
e gli andamenti asintotici: per <math>x \to \infty</math>
:<math>h_{l}^{(1)} (x) \simeq \frac{1}{x} e^{i (x - (l+1) \pi /2 )}</math>
:<math>h_{l}^{(2)} (x) \simeq \frac{1}{x} e^{-i (x - (l+1) \pi /2 )}</math>
Così le funzioni radiali hanno comportamento asintotico:
:<math>R_{k,l}^{(1)} \simeq \frac{1}{kr} e^{i (kr - (l+1) \pi /2 )}</math>
:<math>R_{k,l}^{(2)} \simeq \frac{1}{kr} e^{-i (kr - (l+1) \pi /2 )}</math>
Mentre nell'origine <math>r \to 0</math>:
:<math>R_{k,l}^{\pm} \simeq \frac{(2l - 1)!!}{k^{l}} r^{-l-1}</math>
== Note ==
== Bibliografia ==
*B.H. Bransden & C.J. Joachain - Physics of atoms and molecules
==Voci correlate==
Riga 110 ⟶ 297:
*[[Particella in una scatola]]
*[[Oscillatore armonico quantistico]]
{{Portale|
[[Categoria:Problemi unidimensionali]]
| |||