Funzione intera: differenze tra le versioni

Versione delle 10:00, 10 giu 2010

Versione attuale delle 13:55, 11 feb 2024

(26 versioni intermedie di 18 utenti non mostrate)

Riga 1:

In [[analisi complessa]], per '''funzione analitica intera''' o, brevementein breve, per '''funzione intera''' si intende una [[Funzione (matematica)|funzione]] di variabile complessa che è [[funzione olomorfa|olomorfa]] in tutti i punti del [[numero complesso|piano complesso]] <math>\mathbb{C}</math>.

Equivalentemente si definisce funzione intera una funzione di variabile complessa ''f''(''z'') che per qualche <math>c\in \mathbb{C}</math> è esprimibile con uno sviluppo in [[serie di potenze Taylor]]

Equivalentemente si definisce funzione intera una funzione di variabile complessa ''f''(''z'') che per qualche <math>c\in \mathbb{C}</math> è esprimibile con uno sviluppo in serie di potenze

:<math>f(z)=a_0+a_1(z-c)+a_2(z-c)^2+a_3(z-c)^3+\cdots</math>

convergente per ogni valore complesso della variabile ''z''.

convergente per ogni valore complesso della variabile ''z''. In effetti, se uno sviluppo della forma precedente esiste per ogniun <math>punto '''c\in''', allora esso esiste per ogni punto del piano \mathbb{C}</math>complesso.

== Esempi ==

I più semplici esempi di funzioni intere sono le [[polinomio|funzioni polinomiali]] e la [[funzione esponenziale]]; altri sono le [[funzione trigonometrica|funzioni trigonometriche]] seno e coseno, le funzioni [[seno iperbolico]] e [[coseno iperbolico]] e la funzione di distribuzione gaussiana sono intere, in quanto si possono ottenere con le suddette composizioni a partire dalla funzione esponenziale.

La somma, la differenza, il prodotto, le derivate e lela funzioni[[composizione di funzioni]] intere sono funzioni intere; lo sono anche i quozienti ''f''/''g'', ma solo se ogni zero di ''g'', è sempreanche diversazero da 0 (sedi ''gf'' hacon zero di molteplicità uguale o superiore (in deglicaso zericontrario il quoziente è una [[funzione meromorfa]]).

Molte funzioni inverse di funzioni intere non sono intere: non lo sono la funzione [[logaritmo]], la funzione [[radice quadrata]], [[arcoseno]], [[arcocoseno]].

Altre funzioni intere sono:

* le [[funzioni di Airy]];

* la [[funzione degli errori]] erf(''z'') e le sue varianti la funzione complementare della funzione degli errori erfc(''z'') e la funzione degli errori immaginaria erfi(''z'');

* la reciproca della [[funzione Gamma]];

* gli [[integrali di Fresnel]];

* la funzione [[Funzioni integrali trigonometriche |integral seno integrale]];

* le [[Funzione integrale esponenziale |funzioni En]];

* la [[funzione G di Barnes]].

== Crescita ==

Un primo strumento nello studio della crescita delle funzioni intere, ovvero di quanto diventa grande il suo [[valore assoluto|modulo]], sono le stime (valide per qualsiasi [[funzione olomorfa]]) derivanti dalla [[formula integrale di Cauchy]], secondo cui

:<math>f^{(n)}(z)\leq\frac{n!M}{R^n}</math>

dove ''M'' è il massimo di |''f''| nel cerchio di raggio ''R'' e centro ''z''. Per le funzioni intere, ''R'' può assumere qualsiasi valore, e quindi può essere fatto tendere all'infinito. Dall'applicazione di questa stima per ''n'' = 1 si ottiene il [[teorema di Liouville (analisi complessa)|teorema di Liouville]]: una funzione intera limitata deve ridursi a una costante; questo è un comportamento significativamente differente dal caso reale, dove esistono funzioni analitiche (ad esempio il seno) che rimangono limitate. Generalizzando, si ottiene che una funzione che cresca al più come un [[polinomio]] di grado ''n'' (tale cioè che <math>|f(z)|<C|z|^n</math> per una costante ''C'' e per un intero ''n'') è effettivamente un polinomio di grado ''n''.

:<math>\left|f^{(n)}(z)\right|\leq\frac{n!M}{R^n},</math>

Questi due risultati possono essere riformulati nei termini del comportamento della funzione nel [[punto all'infinito]] del piano complesso: se una funzione intera vi ha una [[singolarità rimovibile]] allora è costante, mentre se ha un [[polo (analisi complessa)|polo]] allora è un polinomio; di conseguenza, ogni altra funzione intera ha una [[singolarità essenziale]] all'infinito. Legato a questo è il [[teorema di Picard|piccolo teorema di Picard]]: una funzione intera non costante assume come valore ogni numero complesso con al più una eccezione. La presenza dell'eccezione è necessaria, ad esempio, per la funzione esponenziale, che non è mai nulla.

dove ''M'' è il massimo di |''f'' | nel cerchio di raggio ''R'' e centro ''z''. Per le funzioni intere, ''R'' può assumere qualsiasi valore, e quindi può essere fatto tendere all'infinito. Dall'applicazione di questa stima per ''n'' = 1 si ottiene il [[teorema di Liouville (analisi complessa)|teorema di Liouville]]: una funzione intera limitata deve ridursi a una costante; questo è un comportamento significativamente differente dal caso reale, dove esistono funzioni analitiche (ad esempio il seno) che rimangono limitate. Generalizzando, si ottiene che una funzione che cresca al più come un [[polinomio]] di grado ''nm'' (tale cioè che <math>|f(z)|<C|z|^nm</math> per una costante ''C'' e per un intero ''nm'') è effettivamente un polinomio di grado al più ''nm''.

Questi due risultati possono essere riformulati nei termini del comportamento della funzione nel [[punto all'infinito]] del piano complesso: se una funzione intera vi ha una [[Singolarità isolata#Singolarità eliminabile|singolarità rimovibileeliminabile]] allora è costante, mentre se ha un [[polo (analisi complessa)|polo]] allora è un polinomio; di conseguenza, ogni altra funzione intera ha una [[singolarità essenziale]] all'infinito. Legato a questo è il [[teorema di Picard|piccolo teorema di Picard]]: una funzione intera non costante assume come valore ogni numero complesso con al più una eccezione. La presenza dell'eccezione è necessaria, ad esempio, per la funzione esponenziale, che non è mai nulla.

Un modo per quantificare la velocità con cui una funzione cresce è dato dal suo ''ordine'': questo è definito come

:<math>\lambda=\limsup_{r\to\infty}\frac{\ln\ln M_f(r)}{\ln r},</math>

dove ''M_f''(''r'') indica il massimo del modulo di ''f'' nei punti di modulo minori di ''r''. Ad esempio, i polinomi hanno ordine 0, la funzione esponenziale ordine 1 e la funzione <math>e^{e^z}</math> ha ordine infinito. Un esempio di ordine frazionario (1/2) è dato dalla funzione <math>\cos\sqrt{z}</math>.

dove ''M_f''(''r'' ) indica il massimo del modulo di ''f'' nei punti di modulo minori di ''r''. Ad esempio, i polinomi hanno ordine 0, la funzione esponenziale ordine 1 e la funzione <math>e^{e^z}</math> ha ordine infinito. Un esempio di ordine frazionario (1/2) è dato dalla funzione (intera) <math>\cos\sqrt{z}</math>.

== Zeri ==

Come per ogni funzione olomorfa, gli zeri di una funzione intera non possono avere alcun [[punto di accumulazione]] interno al dominio, ovvero nell'intero piano complesso; a parte questa condizione, tuttavia, gli zeri di una funzione intera possono distribuirsi in qualunque modo. Nel caso di un numero finito di zeri, questa è facile da costruire attraverso la produttoria

:<math>\prod_{n=1}^m (a_n-z)</math>

Come per ogni funzione olomorfa, glil'insieme degli zeri di una funzione intera non possonopuò avere alcun [[punto di accumulazione]] interno al dominio, ovveroe dunque, in questo caso, nell'intero piano complesso; a parte questa condizione, tuttavia, gli zeri di una funzione intera possono distribuirsi in qualunque modo. Nel caso di un numero finito di zeri, questa è facile costruire una funzione intera che si annulla in quegli zeri (e solo in quelli). Ad esempio, una funzione con zero in 0 di molteplicità ''m'' (può anche essere ''m''=0) e in ''a''₁, ..., ''a''_n, diversi da costruire0 (ove ogni zero è ripetuto un numero di volte pari alla sua molteplicità), è attraversodata ladal produttoriapolinomio

Questa costruzione non si può estendere senza modificazioni ad infiniti zeri, perché il [[prodotto infinito]] potrebbe non convergere (o convergere ma non [[convergenza uniforme|uniformemente]], e quindi non necessariamente ad una funzione intera). È necessario quindi introdurre dei fattori correttivi; il [[teorema di fattorizzazione di Weierstrass]] afferma che ogni funzione con zeri negli {''a_n''} (tutti diversi da 0) è

:<math>f(z)=z^m e^{g(z)}\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z}{a_n}\right)e^{g_n(z)}</math>

:<math>z^m\prod_{n=1}^mr \left(a_n1-\frac{z}{a_n}\right).</math>

dove ''g'' è una funzione intera e

:<math>g_n(z)=\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\ldots+\frac{1}{h_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{h_n}</math>

Di conseguenza, ogni funzione intera con esattamente quegli zeri (con la giusta molteplicità) può essere ottenuta moltiplicando questa [[produttoria]] per <math>e^{g(z)}</math>, ove ''g''(''z'') è una funzione intera.

Questa costruzione non si può estendere senza modificazionimodifiche ad infiniti zeri, perché il [[prodotto infinito]] potrebbe non convergere (o convergere ma non [[convergenza uniforme|uniformemente]], e quindi non necessariamente ad una funzione interaolomorfa). È necessario quindi introdurre dei fattori correttivi; il [[teorema di fattorizzazione di Weierstrass]] afferma che ogni funzione intera ''f'' (''z''), con uno zero di ordine ''m'' in 0 e gli altri zeri negliin {''a''_n1, ''}a''₂, ..., ''a''_''n'', ... (tuttiognuno diversidei daquali 0ripetuto in accordo con la sua molteplicità), può essere scritta nella èforma

:<math>f(z)=z^m e^{g(z)}\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z}{a_n}\right)e^{g_n(z)},</math>

dove ''g'' (''z'') è una funzione intera e

:<math>g_n(z)=\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\ldotscdots+\frac{1}{h_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{h_n}</math>

in cui gli ''h_n'' sono degli interi tali che

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{|a_n|^{h_n+1}}<+\infty</math>

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{|a_n|^{h_n+1}}<+\infty.</math>

Se è possibile prendere gli ''h_n'' tutti uguali ad un intero ''h'' e ''g'' è un polinomio, il massimo tra ''h'' e il suo grado è detto il ''genere'' di ''f''; altrimenti il genere è infinito. Il [[teorema di Hadamard]] lega il genere e l'ordine: se ''h'' è il genere e &lambda; l'ordine, si ha <math>h\leq\lambda\leq h+1</math>. Poiché il genere è un intero, questo è univocamente determinato dall'ordine se questo è frazionario; se invece l'ordine è intero si possono avere entrambi i casi. Grazie al teorema di Hadamard è possibile dimostrare che ogni funzione intera di ordine frazionario assume tutti i valori nel piano complesso infinite volte.

Se tale serie risulta convergente prendendo gli ''h_n'' tutti uguali ad un [[numero reale]] positivo ''a'', il minimo &tau; tra gli ''a'' che soddisfano questa ipotesi viene detto esponente di convergenza della successione {|''a''_''n''|}_''n''. Il [[teorema di Hadamard]] lega l'ordine &lambda; di una funzione intera all'esponente di convergenza &tau; ed al grado del polinomio ''d'': più precisamente si ha

:<math>\lambda=\max(d,\tau).</math>

Grazie al teorema di Hadamard è possibile dimostrare che ogni funzione intera di ordine frazionario assume tutti i valori nel piano complesso infinite volte.

== Bibliografia ==

* {{cita libro|autore=[[Lars Ahlfors]]|titolo=Complex Analysis|url=https://archive.org/details/complexanalysisi0000ahlf_v7n1|anno=1979|editore=McGraw Hill|edizionelingua=terza en|edizione=3|idisbn=ISBN 0-07-000657-1}}

== Voci correlate ==

* [[Funzione meromorfa]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Analisi complessa]]

[[Categoria:Funzioni speciali]]

[[Categoria:Analisi complessa]]

[[bg:Цяла функция]]

[[ca:Funció entera]]

[[cs:Celá funkce]]

[[de:Ganze Funktion]]

[[en:Entire function]]

[[fi:Kokonainen funktio]]

[[fr:Fonction entière]]

[[he:פונקציה שלמה]]

[[is:Heilt fall]]

[[ja:整関数]]

[[ko:전해석함수]]

[[lmo:Funziun intrega]]

[[nl:Gehele functie]]

[[pl:Funkcja całkowita]]

[[pt:Função inteira]]

[[ru:Целая функция]]

[[sv:Hel funktion]]

[[zh:整函数]]