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In [[matematica]], unae in [[fisica teorica]] un''''algebra supercommutativa''' è una [[superalgebra]] (cioè una '''Z'''[[algebra graduata|algebra <submath>2\Z_2</submath>-[[algebra graduata]]) chein hacui solovale dueuna proprietà [[Algebradi graduata|elementicommutazione omogenei]]che ''x''dipende edalla ''y''gradazione perdegli cui:elementi.
== Definizione ==
:<math>yx = (-1)^{|x| |y|}xy.\,</math>
Una [[superalgebra]]<math>A</math> è un''''algebra supercommutativa''' se per ogni coppia <math>x,y\in A</math> di [[Algebra graduata|elementi omogenei]] si ha:
:<math>yx = (-1)^{|x| |y|}xy,</math>
Equivalentemente si tratta di una [[Superalgebra di Lie|supercommutatore]]
dove con <math>|x|</math> e <math>|y|</math> si indicano le gradazioni rispettivamente di <math>x</math> e <math>y.</math> In maniera equivalente, si tratta di una [[superalgebra]] in cui il [[Superalgebra di Lie|supercommutatore]]
:<math>[x,y] = xy - (-1)^{|x| |y|}yx\,</math>
che è:
:<math>[x,y] = xy - (-1)^{|x| |y|}yx</math>
1) un'[[anticommutatore]]
:<math>[x,y] = xy - (-1)^{|x| |y|}yx\,</math>
:<math>\{x,y\}= xy + yx\,\!</math>
quando ''x'' e ''y'' sono due operatori fermionici, che soddisfano all'[[algebra di Grassmann]] <ref> [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TVP-46P3X4Y-7S&_user=2823018&_coverDate=11%2F30%2F1985&_rdoc=1&_fmt=high&_orig=search&_sort=d&_docanchor=&view=c&_acct=C000058882&_version=1&_urlVersion=0&_userid=2823018&md5=5eac08065293c9f4894e4a78f7c9d210 Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985 ] </ref>;
è sempre nullo.
2) un [[commutatore]]
:<math>[x,y] = xy - (-1)^{|x| |y|}yx\,</math>
:<math>[x,y] = xy - yx\,</math>
in tutti gli altri casi (ovvero ''x'' e ''y'' sono o due [[Algebra commutativa|operatori bosonici]] oppure un operatore bosonico e uno fermionico) <ref> [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TVP-46P3X4Y-7S&_user=2823018&_coverDate=11%2F30%2F1985&_rdoc=1&_fmt=high&_orig=search&_sort=d&_docanchor=&view=c&_acct=C000058882&_version=1&_urlVersion=0&_userid=2823018&md5=5eac08065293c9f4894e4a78f7c9d210 Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985] </ref>.
La gradazione <math>|x|</math> vale 0 per gli operatori bosonici chiamati anche elementi pari, vale invece 1 per gli operatori fermionici chiamati anche elementi dispari<ref>[https://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TVP-46P3X4Y-7S&_user=2823018&_coverDate=11%2F30%2F1985&_rdoc=1&_fmt=high&_orig=search&_sort=d&_docanchor=&view=c&_acct=C000058882&_version=1&_urlVersion=0&_userid=2823018&md5=5eac08065293c9f4894e4a78f7c9d210 Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985 ]</ref>.
Ogni [[algebra commutativa]] (ovvero ogni algebra degli operatori bosonici) è un'algebra supercommutativa se ha la gradazione banale (cioè tutti gli elementi siano pari). L'[[algebra di Grassmann]] (nota anche come algebra esterna) sono i più comuni esempi di banali algebre supercommutative. Il supercentro di qualsiasi superalgebra (vedi [[Centro di un gruppo]]), è l'insieme di elementi che supercommutano con tutti gli elementi, ed è un'algebra supercommutativa.
== L'algebra graduata ==
In [[matematica]], in particolare nell'[[algebra astratta]], un<nowiki>'</nowiki>'''algebra graduata''' è un'[[algebra su campo]] (o [[anello commutativo]]), con un ulteriore pezzo della struttura, conosciuta come una gradazione (o classificazione).
=== Gli anelli graduati ===
Un '''anello graduato''' ''A'' is un [[Anello (algebra)|anello]] che ha una decomposizioni in una [[somma diretta]] di gruppi (abeliani) additivi:
:<math>A = \bigoplus_{n\in \mathbb N}A_n = A_0 \oplus A_1 \oplus A_2 \oplus \cdots</math>
in modo tale che l'anello moltiplicativo soddisfa alla seguente proprietà:
:<math>x \in A_s, y \in A_r \implies xy \in A_{s+r}</math>
e così che:
:<math> A_s A_r \subseteq A_{s + r}.</math>
Gli elementi <math>A_n</math> sono noti come ''elementi omogenei'' di grado ''n''. Un sottoinsieme [[Ideale (matematica)|ideale]] oppure un sottoinsieme <math>\mathfrak{a}</math> ⊂ ''A'' è '''omogeneo''' se per ogni elemento ''a'' ∈ <math>\mathfrak{a}</math>, le parti omogenee di ''a'' sono pure contenute in <math>\mathfrak{a}.</math>
Se ''I'' è un insiemo omogeneo ideali in ''A'', allora <math>A/I</math> è un anello graduato e possiede la seguente decomposizione:
:<math>A/I = \bigoplus_{n\in \mathbb N}(A_n + I)/I.</math>
=== L'algebra graduata definizione formale ===
Un'algebra A su un anello R è un'algebra graduata se è graduato come un anello. Nel caso in cui un anello R è anche un anello graduato, allora si richiede che:
#''A''<sub>i</sub>''R''<sub>j</sub> ⊂ ''A''<sub>i+j</sub>, e
#''R''<sub>i</sub>''A''<sub>j</sub> ⊂ ''A''<sub>i+j</sub>.
Si noti che la definizione di 'anello graduato su un anello non graduato è il caso particolare della definizione di quest'ultimo dove "R" è graduato in modo banale (ogni elemento della "R" è di grado zero).
== Superalgebra ==
In [[matematica]] e in [[fisica teorica]] una '''[[superalgebra]]''' è una '''Z'''<sub>2</sub>- algebra graded (algebra graduata)<ref>Kac, Martinez & Zelmanov (2001) .</ref>. Vale a dire, si tratta di un'algebra su un [[anello commutativo]] o un [[Campo (matematica)|campo]] che si decompone in un pezzo "pari" e uno "dispari" ovvero è un operatore moltiplicativo che rispetta la separazione in pezzi "pari" e "dispari".
Il prefisso ''super-'' deriva dalla teoria della [[supersimmetria]] in [[fisica teorica]]. Le superalgebre e le loro rappresentazioni, i supermoduli, forniscono un quadro algebrico per la formulazione della supersimmetria <ref> [http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TVP-46P3X4Y-7S&_user=2823018&_coverDate=11%2F30%2F1985&_rdoc=1&_fmt=high&_orig=search&_sort=d&_docanchor=&view=c&_acct=C000058882&_version=1&_urlVersion=0&_userid=2823018&md5=5eac08065293c9f4894e4a78f7c9d210 Introducing supersymmetry, M. F. Sohnius, 1985 ] </ref>. Lo studio di tali oggetti a volte è pure chiamato super algebra lineare.
=== Definizione formale ===
Sia ''K'' un fissato [[anello commutativo]]; nella maggior parte delle applicazioni ''K'' è un [[Campo (matematica)|campo]] come '''R''' o '''C'''.
Una '''superalgebra''' su ''K'' è un [[Campo (matematica)|''K''-modulo]] ''A'' con una decomposizione in una [[somma diretta]]:
:<math>A = A_0\oplus A_1</math>
con una moltiplicazione bilineare ''A'' × ''A'' → ''A'' tale che:
:<math>A_iA_j \sube A_{i+j}</math>
con gli indici che hanno modulo 2.
Ogni [[algebra commutativa]] (ossia ogni algebra degli operatori bosonici) è un'algebra supercommutativa se ha la gradazione banale (cioè se tutti gli elementi sono pari). Le [[Algebra esterna|algebre di Grassmann]] sono i più comuni esempi di algebre supercommutative banali. Il supercentro di qualsiasi superalgebra<ref>Vedere [[centro di un gruppo]]</ref> è l'insieme di elementi che supercommutano con tutti gli elementi, ed è un'algebra supercommutativa<ref>Kac, Martinez & Zelmanov (2001).</ref>.
== Note ==
<references />
== Bibliografia ==
* [[Nicolas Bourbaki|Bourbaki, Nicolas]] (1974) ''Algebra I'' (Chapters 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
* {{en}} D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
* Bourbaki, N. (1974) <i>Algebra I</i> (Chapters 1-3), ISBN: 978-3-540-64243-5, Chapter 3, Section 3.
* {{en}} V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.
* Junker G. ''Supersymmetric Methods in Quantum and Statistical Physics'', Springer-Verlag (1996).
* Kane G. L., Shifman M., ''The Supersymmetric World: The Beginnings of the Theory'' World Scientific, Singapore (2000). ISBN 981-02-4522-X.
* Weinberg Steven, ''The Quantum Theory of Fields, Volume 3: Supersymmetry'', Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 0-521-66000-9.
* Wess, Julius, and Jonathan Bagger, ''Supersymmetry and Supergravity'', Princeton University Press, Princeton, (1992). ISBN 0-691-02530-4.
* {{cite journal | author=Bennett GW, ''et al''; Muon (g−2) Collaboration | title=Measurement of the negative muon anomalous magnetic moment to 0.7 ppm | journal=Physical Review Letters | volume=92 | issue=16 | year=2004 | pages=161802 | pmid=15169217 | doi=10.1103/PhysRevLett.92.161802}}
* {{en}}Cooper F., A. Khare, U. Sukhatme. ''Supersymmetry in Quantum Mechanics'', Phys. Rep. 251 (1995) 267-85 (arXiv:hep-th/9405029).
* {{en}}D.V. Volkov, V.P. Akulov, Pisma Zh.Eksp.Teor.Fiz. 16 (1972) 621; Phys. Lett. B46 (1973) 109.
* {{en}}V.P. Akulov, D.V. Volkov, Teor.Mat.Fiz. 18 (1974) 39.
== Collegamenti esterni ==
* {{en}}[http://arxiv.org/pdf/hep-ph/9709356 A Supersymmetry Primer], S. Martin, 1999.
* {{en}}[http://arxiv.org/pdf/hep-th/9612114 Introduction to Supersymmetry], Joseph D. Lykken, 1996.
* {{en}}[http://arxiv.org/pdf/hep-ph/9611409 An Introduction to Supersymmetry], Manuel Drees, 1996.
* {{en}}[http://arxiv.org/pdf/hep-th/0101055 Introduction to Supersymmetry], Adel Bilal, 2001.
* {{en}}[http://www.physics.uc.edu/~argyres/661/susy2001.pdf An Introduction to Global Supersymmetry], Philip Arygres, 2001.
* {{en}}[http://www.cambridge.org/uk/catalogue/catalogue.asp?isbn=0521857864 Weak Scale Supersymmetry], Howard Baer and Xerxes Tata, 2006.
* {{en}}Brookhaven National Laboratory (8 gennaio 2004). ''[http://www.bnl.gov/bnlweb/pubaf/pr/2004/bnlpr010804.htm New g−2 measurement deviates further from Standard Model]''
* {{en}}Fermi National Accelerator Laboratory (25 settembre 2006). ''[http://www.fnal.gov/pub/presspass/press_releases/CDF_meson.html Fermilab's CDF scientists have discovered the quick-change behavior of the B-sub-s meson]''.
== Voci correlate ==
* [[Algebra di Lie graduata]]
* [[Algebra astratta]]
* [[Algebra di Super-Poincaré]]
* [[Anello commutativo]]
* [[Ideale (matematica)|Ideale]]
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