Punto materiale: differenze tra le versioni
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[[Image:Example of a point.svg|thumb|La massa grigia può essere semplificata rappresentandola come un punto materiale (ossia un corpo puntiforme dotato di [[Massa (fisica)|massa]]). In [[fisica]] quest'approssimazione è utilizzata per descrivere la [[dinamica (fisica)|dinamica]] di corpi estesi quando è possibile trascurarne la struttura interna (come nel caso dell'approssimazione di [[corpo rigido]]). Nell'immagine il corpo (in grigio) è approssimato come un punto materiale nel suo [[centro di massa]] (in nero). Tutta la massa del corpo è concentrata in un punto.|300x300px]]
Si definisce '''punto materiale''', in [[fisica]], un corpo le cui dimensioni siano trascurabili rispetto al fenomeno in studio. Ad esempio un [[pianeta]] può essere considerato un punto materiale in un problema di [[meccanica celeste]], un [[atomo]] in un problema di [[meccanica statistica]] e così via.
==Descrizione==
In generale un punto materiale è solamente caratterizzato dalle tre [[coordinate spaziali]], dalle relative [[velocità]] e dalla sua [[Massa (fisica)|massa]]. Ciò significa che la schematizzazione di un corpo come punto materiale equivale a trascurare l'esistenza dei suoi [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]] interni: un punto materiale non può immagazzinare [[energia]] ruotando su se stesso, scaldandosi o comprimendosi elasticamente.
Tutti questi fenomeni, per essere descritti necessitano di una modellizzazione del corpo più dettagliata: sempre rifacendoci ad un esempio concreto un pianeta può essere trattato come [[corpo rigido]], piuttosto che come punto materiale, se si è interessati alla sua rotazione. L'utilità del concetto di punto materiale sta nel poter ''associare'' al corpo un punto geometrico e quindi poter operare nello [[spazio cartesiano]] con i metodi della [[geometria analitica]].
=== Consistenza con i principi della dinamica ===
La possibilità di trattare un corpo qualunque come punto materiale non è scontata. Infatti, in meccanica classica, per un punto materiale vale rigorosamente il secondo [[principi della dinamica|principio della dinamica]]:<br />
:<math>\vec{F} = m \vec{a}</math><br />
e, perché un sistema esteso possa essere approssimato come un punto materiale deve essere possibile confondere l'accelerazione del suo [[centro di massa]] con l'accelerazione del punto materiale che lo rappresenta. Analogamente deve essere possibile identificare la risultante delle forze agenti sul corpo con la forza agente sul punto materiale che lo rappresenta.
Ciò è possibile soltanto perché vige per i sistemi estesi la [[Equazioni cardinali della dinamica#prima equazione cardinale|prima equazione cardinale della dinamica]], ovvero:<br />
:<math>\Sigma_i \vec{F_i} = m \vec{a}_{CM}</math><br/>
dove <math>F_i</math> sono le forze agenti sul corpo (la cui somma a primo membro è appunto la risultante) e <math>\vec{a}_{CM}</math> è l'accelerazione del centro di massa del corpo.
Diversamente <math>\vec{F} = m \vec{a}</math> e la rappresentazione di punto materiale si applicherebbero solo ad eventuali costituenti elementari realmente privi di struttura interna, ma sarebbero inapplicabili ai corpi estesi. Sarebbe quindi impossibile rappresentare come punto materiale un qualunque corpo di cui sia possibile trascurare i gradi di libertà interni.
==Trattazione analitica==
È possibile dare una descrizione matematicamente rigorosa del punto materiale attraverso l'uso dell'[[analisi funzionale]] e della distribuzione [[delta di Dirac]].
Supponiamo di avere un corpo di massa ''m'' = 1 [[Chilogrammo|kg]] di forma cubica (anche se la forma non è essenziale). Se lo spigolo del cubo è <math>l_n=\frac{1}{n}</math>, con ''n'' intero positivo, la densità del cubo deve essere:
:<math>\rho(x,y,z)=\left\{\begin{matrix} 0, & \mbox{se }\operatorname{max}(|x|,|y|,|z|) > 1/2n \\ n^3, & \mbox{se }\operatorname{max}(|x|,|y|,|z|) \le 1/2n
\end{matrix}\right.</math>
in modo tale che la densità, integrata su tutto lo spazio, dia 1:
:<math>\iiint_{\mathbb {R}^3} \rho \mbox{d}x\mbox{d}y\mbox{d}z=n^3 \int_{-1/2n}^{1/2n}\mbox{d}x \int_{-1/2n}^{1/2n}\mbox{d}y \int_{-1/2n}^{1/2n}\mbox{d}z = n^3 \left( \frac{1}{n}\right)\cdot\left( \frac{1}{n}\right)\cdot\left( \frac{1}{n}\right)=1</math>
Interpretando la funzione densità come un [[funzionale]] <math>F_n</math> sullo spazio delle funzioni di prova <math>\varphi</math> su <math>\mathbb{R}^3</math>, si dimostra facilmente la [[convergenza]] (nel senso delle distribuzioni) al funzionale [[delta di Dirac]]:
:<math>\lim_{n \rightarrow \infty}\left|F_n-\varphi(0,0,0)\right|=\lim_{n \rightarrow \infty}\left|\iiint_{\mathbb {R}^3} \rho \varphi(x,y,z) \mbox{d}x\mbox{d}y\mbox{d}z-\varphi(0,0,0)\right| =</math>
:<math>=\lim_{n \rightarrow \infty} \sup_{|x|,|y|,|z| \le 1/2n}\left| \varphi(x,y,z)-\varphi(0,0,0)\right| = 0</math>
dove l'ultimo passaggio è dovuto alla [[funzione continua|continuità]] di <math>\varphi</math> in un intorno dell'origine.
In altre parole, per ''n'' che tende all'infinito, il funzionale <math>F_n(\varphi)</math> restituisce proprio la funzione di prova <math>\varphi</math> calcolata nell'origine: ma questa è proprio la definizione di delta di Dirac. Più fisicamente, si osserva che all'aumentare di ''n'' la densità esplode all'infinito, mentre il cubo diventa sempre più piccolo; le cose però si bilanciano al momento di calcolare la massa del corpo, che risulta essere sempre uguale a 1.
== Voci correlate ==
* [[Corpo rigido]]
* [[Corpo continuo]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto|preposizione=sul}}
{{Portale|Meccanica}}
[[Categoria:Meccanica classica]]
[[Categoria:Meccanica razionale]]
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