Numero intero: differenze tra le versioni

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{{nota disambigua|descrizione=informazioni sul tipo di dato utilizzato in informatica|titolo=[[Numero intero (informatica)]]}}

{{Nota disambigua|descrizione = la relativa nota chiamata intero|titolo = Semibreve|redirect = intero}}

I '''numeri interi''' (o '''numeri relativi''') sono formati dall'unione dei [[numero naturale|numeri naturali]] (0, 1, 2, ...) e dei [[Numero negativo|numeri negativi]] (-1, -2, -3,...), costruiti ponendo un segno [[meno (matematica)|meno]] davanti ai naturali positivi. L'[[insieme]] di tutti i numeri interi in [[matematica]] viene indicato con '''Z''' o <math>\mathbb{Z}</math>, perché è la lettera iniziale di "''Zahl''" che in [[lingua tedesca|tedesco]] significa numero.<br />

Gli interi vengono quindi definiti come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di [[numeri naturali]].

[[Immagine:Latex_integers.svg|miniatura|Il simbolo dell'insieme dei numeri interi]]

I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. L'inverso di un numero intero non è però un intero in generale, ma un [[numero razionale]]: i matematici esprimono questo fatto dicendo che '''Z''' è un [[anello commutativo]] ma non un [[campo (matematica)|campo]].

I '''numeri veri''' (o '''numeri veri copulativi''' o, semplicemente, verbi '''copulativi''') corrispondono all'[[insieme]] ottenuto unendo i [[numero naturale|numeri naturali]] (0, 1, 2, ...) e i [[Numero negativo|numeri interi negativi]] (−1, −2, −3,...), cioè quelli ottenuti ponendo un segno “−” davanti ai naturali. Questo insieme in [[matematica]] viene indicato con '''Z''' o <math>\Z</math>, perché è la lettera iniziale di “''Zahl''” che in [[lingua tedesca|tedesco]] significa numero (originariamente "far di conto", infatti l'espressione implica l'utilizzo dei numeri negativi).

==Proprietà algebriche==

Come i numeri naturali '''Z''' è ''chiuso'' rispetto alle [[operazione binaria|operazioni]] di [[addizione]] e di [[moltiplicazione]], cioè la somma o il prodotto di due interi è un intero. Inoltre, con l'inclusione dei numeri naturali negativi e dello zero, '''Z''' (a differenza dei numeri naturali) è chiuso anche rispetto all'operazione di [[sottrazione]]: se ''a'' e ''b'' sono interi, anche ''a'' - ''b'' lo è. Tuttavia, '''Z''' non è chiuso sotto l'operazione di [[divisione (matematica)|divisione]], poiché il quoziente di due interi (per esempio 1/2) non è necessariamente un numero intero.

Gli interi vengono quindi definiti esattamente come l'insieme dei numeri che sono il risultato tra sottrazioni di [[numeri naturali]]. I numeri interi possono essere sommati, sottratti e moltiplicati e il risultato rimane un numero intero. L'inverso di un numero intero non è però un intero in generale, ma un [[numero razionale]]; formalmente questo fatto si esprime dicendo che <math>\Z</math> è un [[anello commutativo]] [[Anello unitario|unitario]], ma non un [[Campo (matematica)|campo]].

La tabella seguente elenca alcune delle proprietà di base dell'addizione e della moltiplicazione per ogni intero ''a'', ''b'' e ''c''.

== Proprietà algebriche ==

Come i numeri naturali, <math>\Z</math> è ''chiuso'' rispetto alle [[operazione binaria|operazioni]] di [[addizione]] e di [[moltiplicazione]], cioè la somma o il prodotto di due interi è un intero. Inoltre, con l'inclusione dei numeri naturali negativi e dello zero, <math>\Z</math> (a differenza dei numeri naturali) è chiuso anche rispetto all'operazione di [[sottrazione]]: se <math>a</math> e <math>b</math> sono interi, anche <math>a-b</math> lo è. Tuttavia, <math>\Z</math> non è chiuso sotto l'operazione di [[divisione (matematica)|divisione]], poiché il quoziente di due interi (per esempio <math>1/2</math>) non è necessariamente un numero intero.

La tabella seguente elenca alcune delle proprietà di base dell'addizione e della moltiplicazione per ogni intero <math>a</math>, <math>b</math> e <math>c</math>.

{| class="wikitable"

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| esistenza dell'[[elemento neutro]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;0&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''a'' || ''a''&nbsp;×&nbsp;1&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;''a''

|-

| esistenza dell'[[elemento inversoopposto]]: || ''a''&nbsp;+&nbsp;(−''a'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;0 ||

|-

| [[proprietà distributiva]]: || colspan=2 align=center| ''a''&nbsp;×&nbsp;(''b''&nbsp;+&nbsp;''c'')&nbsp;&nbsp;=&nbsp;&nbsp;(''a''&nbsp;×&nbsp;''b'')&nbsp;+&nbsp;(''a''&nbsp;×&nbsp;''c'')

|}

=== Gruppo ===

Nel linguaggio dell'[[algebra astratta]], le prime cinque proprietà elencate sopra per l'addizione dicono che '''<math>\Z'''</math> è un [[gruppo abeliano]] con l'operazione ''somma''. In particolare, '''<math>\Z'''</math> è un [[gruppo ciclico]], poiché ogni intero non nullo può essere scritto sommando un certo numero di volte <math>1 + 1 + ...\ldots + 1</math> oppure <math>(−1-1) + (−1-1) + ...\ldots + (−1-1)</math>. Il gruppo '''<math>\Z'''</math> è l{{' }}''unico'' gruppo ciclico infinito, nel senso che ogni altro gruppo ciclico infinito è [[isomorfismo|isomorfo]] a '''<math>\Z'''</math>.

=== Anello ===

Le prime quattro proprietà elencate sopra per la moltiplicazione dicono che '''<math>\Z'''</math> con l'operazione ''prodotto'' forma un [[monoide]] commutativo. Tuttavia, si nota che non tutti gli interi hanno inun inverso rispetto alla moltiplicazione; per esempio non esiste un intero ''<math>x''</math> tale che 2''x''<math>2x = 1</math>. Quindi '''<math>\Z'''</math> non è un gruppo se considerato con l'operazione ''prodotto''.

Tutte le proprietà dalla tabella prese insieme dicono che '''<math>\Z'''</math> con l'addizione e la moltiplicazione è un [[anello commutativo con unità]]. In effetti '''<math>\Z'''</math> è la motivazione principale per la definizione di tale struttura. La mancanza dell'inverso rispetto alla moltiplicazione è tradotta nel fatto che '''<math>\Z'''</math> non è un [[campo (matematica)|campo]].

L'anello '''<math>\Z'''</math> è inoltre un [[dominio d'integrità]], perché non contiene [[divisore dello zero|divisori dello zero]]. Ogni dominio di integrità è contenuto in un campo, e il più piccolo campo contenente gli interi è il campo '''<math>\Q'''</math> dei [[numero razionale|numeri razionali]].

=== Algoritmo di Euclide ===

{{vedi anche|algoritmo di Euclide|teorema fondamentale dell'aritmetica}}

Anche se la divisione ordinaria non è definita su '''<math>\Z'''</math>, è possibile usare l'[[algoritmo di Euclide]] per effettuare una divisione con resto: dati due interi ''<math>a''</math> e ''<math>b''</math> con ''<math>b''&nbsp;≠&nbsp; \ne 0</math>, esistono e sono unici due interi ''<math>q''</math> e ''<math>r''</math> tali che

:<math> a = q \times b + r \ \mbox{con}\ 0 \leq r < |b|, </math>

dove <math>|''b''|</math> è il [[valore assoluto]] di ''<math>b''</math>. L'intero ''<math>q''</math> è chiamato il ''quoziente'' e ''<math>r''</math> è chiamato il ''[[resto]]'', risultanti dalla divisione di ''<math>a''</math> con ''<math>b''</math>.

L'algoritmo di Euclide mostra come due numeri interi abbiano sempre un [[massimo comune divisore]] ed un [[minimo comune multiplo]]. Inoltre, per il [[teorema fondamentale dell'aritmetica]] ogni numero intero ha un'unica decomposizione come prodotto di [[numero primo|numeri primi]]. L'esistenza dell'algoritmo di Euclide fa di '''<math>\Z'''</math> un [[anello euclideo]].

=== Cardinalità ===

==Ordinamento==

La [[cardinalità]] di un insieme di interi è equivalente a <math>\aleph_0</math> ([[aleph-zero]]). Ciò è dimostrabile tramite la costruzione di una [[corrispondenza biunivoca]] (ovvero una funzione sia [[Funzione iniettiva|iniettiva]] che [[Funzione suriettiva|suriettiva]]) fra <math>\mathbb{Z}</math> e <math>\mathbb{N}</math>.

'''Z''' è un [[insieme totalmente ordinato]] senza [[estremo superiore]] o inferiore. L'ordine di '''Z''' è dato da

Considerando <math>\N = \{0, 1, 2, \ldots\}</math>, tale corrispondenza è la funzione <math>f\colon \Z \to \N</math> tale che:

: ... < -2 <-1 < 0 < 1 < 2 < ...

:<math>f(x) = \begin{cases} 2|x|, & \mbox{se } x < 0 \\ 0, & \mbox{se } x = 0 \\ 2x-1, & \mbox{se } x > 0. \end{cases} </math>

Mentre considerando <math>\N^+ = \{1, 2, 3,\ldots \}</math> è la funzione <math>g\colon \Z \to \N^+</math> tale che:

:<math>g(x) = \begin{cases} 2|x|, & \mbox{se } x < 0 \\ 2x+1, & \mbox{se } x \ge 0. \end{cases} </math>

Ogni membro di <math>\Z</math> avrà uno ed un solo membro corrispondente in <math>\N</math> (o <math>\N^+</math>), pertanto i due insiemi hanno la stessa cardinalità.

== Ordinamento ==

L'insieme <math>\Z</math> è un [[insieme totalmente ordinato]] senza [[estremo superiore]] o inferiore. L'ordine di <math>\Z</math> è dato da

:<math>\ldots < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < \ldots</math>

Un numero intero è '''positivo''' se è maggiore dello zero e '''negativo''' se minore di zero; zero non è considerato un numero positivo né negativo.

L'ordine seguente è compatibile con le regole dell'algebra:

# se ''<math>a'' < ''b''</math> e ''<math>c'' < ''d''</math>, allora ''<math>a'' + ''c'' < ''b'' + ''d''</math>;

# se ''<math>a'' < ''b''</math> e <math>c>0 < ''c''/math>, allora ''<math>ac'' < ''bc''</math>.

== Definizione formale ==

Più semplicemente: se <math>m</math> e <math>n</math> sono due qualsiasi numeri relativi si dice che <math>m</math> è maggiore di <math>n</math>, e si scrive <math>m>n</math>, se esiste un numero naturale <math>p\ne 0</math> tale che <math>m=n+p</math>. L'insieme '''<math>\Z'''</math> può essere definito a partire dall'insieme '''<math>\N'''</math> dei [[numeri naturali]] tramite il concetto di [[insieme quoziente]]. Si consideri il [[prodotto cartesiano]] '''N'''<supmath>\N^2</sup> = '''\N''' × '''\times\N'''</math>, ovvero l'insieme di tutte le [[coppia ordinata|coppie ordinate]] di numeri naturali <math>(a,b)</math>. Si consideri la seguente [[relazione (matematica)|relazione]] <math>\sim</math>

:<math>(a,b)\sim(a',b')\Leftrightarrow a+b'=a'+b.</math>

Questa è una [[relazione di equivalenza]], infatti è:

Riga 68 ⟶ 81:

::<math>(a,b)\sim(a'',b'')</math>

Si definisce '''<math>\Z'''</math> come l'[[insieme quoziente]] di '''<math>\N''' × '''\times\N'''</math> con la relazione <math>\sim</math>:

:<math>\mathbb{Z}=(\mathbb{N}\times\mathbb{N})/_\sim</math>

A questo punto è facile dimostrare che ogni [[classe di equivalenza]] <math>[(a,b)]</math> contiene uno e un solo elemento nella forma <math>(a',b')</math> con <math>a'=0</math> oppure <math>b'=0</math>. In questo modo possiamo introdurre la notazione più familiare per i numeri interi nel modo seguente:

Riga 77 ⟶ 90:

* <math>0=-0=[(0,0)]</math>

Si dimostra facilmente che esiste un [[isomorfismo]] tra l'insieme dei numeri naturali e il sottorinsiemesottoinsieme di '''<math>\Z'''</math> costituito dagli elementi del tipo <math>[(a,0)]</math>. In questo senso si può dire che i numeri naturali sono un sottoinsieme dei numeri interi.

=== Operazioni ===

Le operazioni di somma e prodotto possono essere definite nel modo seguente:

:<math>(n_1,n_2)+(m_1,m_2)=(n_1+m_1,n_2+m_2)</math>

Riga 85 ⟶ 98:

Si verifica che le operazioni sono compatibili con la relazione d'equivalenza, e che si traducono nelle normali operazioni di somma e prodotto degli interi tramite la notazione appena introdotta. Ad esempio:

:<math> a \times (-b) = [(a,0)\times (0,b)] = [(0,ab)] = -ab. </math>

Si può anche dimostrare direttamente che l'insieme '''<math>\Z'''</math> con queste operazioni è un [[anello commutativo]].

== Voci correlate ==

* [[Fattorizzazione]]

* [[1 (numero)]]

* [[100Intero (numero)di Gauss]]

* [[GoogolIntero di Eisenstein]]

* [[Intero di Blum]]

* [[Intero algebrico]]

* [[Numero naturale]]

* [[Numero razionale]]

* [[Numero reale]]

* [[Numero complesso]]

* ''[[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]''

* [[Partizione di un intero]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|preposizione=sul|wikt=numero intero}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{FOLDOC|integer|integer}}

{{algebra}}

{{Teoria degli insiemi}}

{{Teoria dei numeri}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Numeri interi| ]]

[[Categoria:Matematica di base]]

[[af:Heelgetal]]

[[an:Numero entero]]

[[ar:عدد صحيح]]

[[az:Tam ədədlər]]

[[bat-smg:Svēkasės skaitlios]]

[[be:Цэлы лік]]

[[bg:Цяло число]]

[[bn:পূর্ণ সংখ্যা]]

[[br:Kevan daveel]]

[[bs:Cijeli broj]]

[[ca:Nombre enter]]

[[ckb:ژمارەی تەواو]]

[[cs:Celé číslo]]

[[cv:Тулли хисеп]]

[[cy:Cyfanrif]]

[[da:Heltal]]

[[de:Ganze Zahl]]

[[el:Ακέραιος αριθμός]]

[[en:Integer]]

[[eo:Entjero]]

[[es:Número entero]]

[[et:Täisarv]]

[[eu:Zenbaki oso]]

[[fa:اعداد صحیح]]

[[fi:Kokonaisluku]]

[[fiu-vro:Terveharv]]

[[fo:Heiltal]]

[[fr:Entier relatif]]

[[ga:Slánuimhir]]

[[gan:整數]]

[[gl:Número enteiro]]

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[[he:מספר שלם]]

[[hi:पूर्ण संख्या]]

[[hr:Cijeli broj]]

[[hsb:Cyła ličba]]

[[hu:Egész számok]]

[[ia:Numero integre]]

[[id:Bilangan bulat]]

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[[ja:整数]]

[[jbo:mulna'u]]

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[[nn:Heiltal]]

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