Meccanica razionale: differenze tra le versioni

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[[File:Carl Jacobi.jpg|thumb|[[Carl Jacobi|Carl Gustav Jacobi]]]]

La '''meccanica razionale''' è la parte della [[fisica matematica]] che studia il moto dei sistemi meccanici con un numero finito di [[gradi di libertà]]. L'attenzione della disciplina è ditetta non tanto al confronto dei modelli studiati con i dati sperimentali, quanto verso lo studio, la sistematizzazione e la generalizzazione delle strutture matematiche utilizzate in questi modelli.

La '''meccanica razionale''' (o '''meccanica analitica''') è la branca della [[fisica matematica]] che studia il [[moto (fisica)|moto]] e l'[[Equilibrio meccanico|equilibrio]] dei sistemi meccanici con un numero finito di [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]]. Essa rappresenta una formulazione della [[meccanica classica]] alternativa a [[Meccanica newtoniana|quella newtoniana]]. Il principio fondamentale che, assieme al [[principio di relatività galileiana]], sta alla base della meccanica analitica è il [[principio di minima azione]]. La meccanica razionale si è sviluppata tra la seconda metà del [[XVIII secolo]] e la fine del [[XIX secolo]], grazie al contributo di scienziati come [[William Rowan Hamilton|William Hamilton]], [[Carl Jacobi]], [[Joseph-Louis Lagrange]], [[Jacques Charles François Sturm]], [[Joseph Liouville]], [[Pierre Louis Moreau de Maupertuis|Pierre-Louis de Maupertuis]], [[Emmy Noether]] e [[Siméon-Denis Poisson]].

== Descrizione ==

La meccanica razionale ha importanti legami con le teoria generale dei [[sistema dinamico|sistemi dinamici]], con la [[teoria della relatività]] e con la [[meccanica quantistica]]; nonostante ciò i sistemi studiati da questa disciplina appartengono prevalentemente alla [[meccanica classica]].

[[File:Simeon Poisson.jpg|thumb|upright=1.0|[[Simeon Poisson]]]]

=== Meccanica lagrangiana e hamiltoniana ===

{{vedi anche|Meccanica lagrangiana|Meccanica hamiltoniana}}

All'interno della meccanica razionale è possibile distinguere due differenti formulazioni: la [[meccanica lagrangiana]] e la [[meccanica hamiltoniana]]. La principale distinzione tra di esse è rappresentata da una diversa scelta operata nel selezionare le [[Coordinate lagrangiane|coordinate]] usate per generare lo [[spazio delle fasi]]. In particolare, tramite la formulazione hamiltoniana si arriva allo studio delle [[varietà simplettica|varietà simplettiche]] e di [[varietà di Poisson|Poisson]].

La ''meccanica lagrangiana'' è una formulazione della [[meccanica newtoniana]] introdotta nel [[XVIII secolo]] da [[Joseph-Louis Lagrange]]. Si tratta di un formalismo in cui le [[equazione del moto|equazioni del moto]] sono descritte tramite le cosiddette [[equazioni di Eulero-Lagrange]], in cui la [[funzione scalare]] argomento è la [[lagrangiana]], la differenza tra energia cinetica e potenziale.<ref>{{Cita libro|cognome=Goldstein|nome= H. |titolo=Classical Mechanics|edizione=3rd|p=35 |editore=Addison-Wesley|anno= 2001}}</ref> In questo modo, non è necessario utilizzare [[campi vettoriali]] come nel caso invece delle [[equazioni di Newton]] o delle [[equazioni di Navier-Stokes]].

Sistemi meccanici centrali nella teoria sono quelli composti da un numero finito di [[punto materiale|punti materiali]] soggetti a forze, sia che essi siano liberi di muoversi in uno [[spazio vettoriale]] (come la retta, il piano o lo spazio tridimensionale ordinario), sia che siano [[vincolo|vincolati]] a muoversi su sottoinsiemi di uno spazio vettoriale rappresentati da [[varietà differenziabili]]. Siccome gli spazi vettoriali sono esempi particolari di varietà differenziabili è evidente che queste ultime costituisco l'ambiente di definizione naturale della meccanica razionale, a prescindere dall'esistenza di uno "spazio fisico" in cui queste varietà siano immerse. La meccanica razionale si occupa anche di alcuni sistemi che pur essendo costituiti da un numero infinito di [[punto materiale|punti materiali]] sono soggetti a particolari [[vincolo|vincoli]] (come nel caso dei [[corpo rigido|corpi rigidi]]) che ne rendono finito il numero di gradi di libertà.

La ''meccanica hamiltoniana'' è un'altra riformulazione della meccanica classica introdotta nel 1833 da [[William Rowan Hamilton]]. In questa trattazione la grandezza di riferimento è la hamiltoniana, ovvero la somma di energia cinetica e energia potenziale. Le equazioni che essa deve soddisfare sono le [[equazioni di Hamilton-Jacobi]].

Le tecniche matematiche utilizzate permettono di distinguere all'interno della meccanica razionale la [[meccanica lagrangiana]], la [[meccanica hamiltoniana]] e come generalizzazione di quest'ultima lo studi dei sistemi definiti sulle [[varietà simplettica|varietà simplettiche]] e di [[varietà di Poisson|Poisson]].

=== Caratteristiche ===

==Storia==

[[File:Joseph liouville.jpeg|thumb|[[Joseph Liouville]]]]

Sistemi meccanici centrali nella teoria sono quelli composti da un numero finito di [[punto materiale|punti materiali]] soggetti a [[forza (fisica)|forze]], sia che essi siano liberi di muoversi in uno [[spazio vettoriale]], (come la retta, il piano o lo [[spazio tridimensionale ordinario)]], sia che siano [[vincolo|vincolati]] a muoversi su sottoinsiemi di uno spazio vettoriale rappresentati da [[Varietà differenziabile|varietà differenziabili]] ([[Curva (matematica)|curve]] o [[Superficie|superfici]]). SiccomeDal momento che gli spazi vettoriali sono esempi particolari di varietà differenziabili, è evidente che queste ultime costituiscocostituiscono l'ambiente di definizione naturale della meccanica razionale, a prescindere dall'esistenza di uno "spazio fisico" in cui queste varietà siano immerse. La meccanica razionale si occupa anche di alcuni sistemi che pur essendo costituiti da un numero infinito di [[punto materiale|punti materiali]] sono soggetti a particolari [[vincolo|vincoli]] (come nel caso dei [[corpo rigido|corpi rigidi]]) che ne rendono finito il numero di gradi di libertà.

La meccanica razionale si occupa anche di alcuni sistemi che, pur essendo costituiti da un numero infinito di [[punto materiale|punti materiali]], sono soggetti a particolari [[vincolo|vincoli]], come nel caso dei [[corpo rigido|corpi rigidi]], che ne rendono finito il numero di gradi di libertà. Un altro importante campo di applicazione della meccanica razionale è rappresentato dalla teoria generale dei [[sistema dinamico|sistemi dinamici]]. Tuttavia, va sottolineato che l'attenzione della disciplina è diretta non tanto al confronto dei [[modello matematico|modelli]] con i dati sperimentali, quanto allo studio, la sistematizzazione e la generalizzazione delle strutture matematiche utilizzate da questi modelli, come ad esempio il [[calcolo delle variazioni]].

Nonostante i sistemi studiati da questa disciplina appartengano al campo [[meccanica classica]], la meccanica razionale ha importanti legami con teorie non classiche, quali la [[teoria della relatività]] e la [[meccanica quantistica]], ad esempio la formulazione lagrangiana costituisce un formalismo naturale per la cosiddetta [[Meccanica quantistica|''prima quantizzazione'']], includendo [[Commutatore (matematica)|commutatori]] tra determinati termini delle equazioni di Lagrange relative al moto di un sistema fisico.

== Note ==

<references />

==Bibliografia==

*[[Joseph-Louis Lagrange|J.-L. Lagrange]], ''Mécanique analytique'', Parigi 1788.

*[[Tullio Levi-Civita|T. Levi-Civita]], [[Ugo Amaldi|U. Amaldi]], ''Lezioni di meccanica razionale'', 2° ed., due vol., Zanichelli 1950;

*H. Goldstein, ''Classical Mechanics'', Addison-Wesley 1950;

*E. Whittaker, ''A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies'', 4° ed., Cambridge Univ. Press 1959;

*R. Abraham, J. E. Marsdend, ''Foundations of mechanics'', 2° ed. rivista e ampliata, Benjamin/Cummings Publishing Co. 1978;

*[[Vladimir Arnold|V.I. Arnold]], Mathematical Methods of Classical Mechanics, seconda edizione, Graduate Texts in Mathematics '''60''', Springer-Verlag 1989;

*J. E. Marsden, T. S. Ratiu, ''Introduction to mechanics and symmetry. A basic exposition of classical mechanical systems'', 2° ed., Texts in Applied Mathematics '''17''', Springer-Verlag 1999.

*{{cita libro|autore=[[Joseph-Louis Lagrange]]|url=http://books.google.com/books?id=TmMSAAAAIAAJ|titolo=Mécanique analytique|città=Parigi|anno=1788|lingua=fr}}

* Arthur Gordon Webster ''[https://www.archive.org/details/dynamicsofpartic00websrich The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies]'' Teubner, 1904;

*[[Horace Lamb]] ''[https://www.archive.org/details/highermechanics00lambuoft Higher mechanics]'' Cambridge University Press, 1920;

* Alexander Ziwet e P. Field ''[https://www.archive.org/details/introductiontoan00ziweuoft Introduction to analytical mechanics]'' MacMillan, 1921;

* {{cita libro|autore=Paul Appell|url=https://books.google.it/books/about/Trait%C3%A9_de_m%C3%A9canique_rationnelle.html?id=lEWf0AEACAAJ&redir_esc=y|titolo= Traité de Mécanique Rationnelle|urlmorto=no|editore=Gauthier-Villars|anno=1921|lingua=fr}}

* {{Cita libro|autore=[[Tullio Levi Civita]]|autore2=[[Ugo Amaldi]]|titolo=Cinematica: principi e statica|url=http://mathematica.sns.it/opere/306/|anno=1938|volume=1}}

* {{Cita libro|autore=[[Tullio Levi Civita]]|autore2=[[Ugo Amaldi]]|titolo=Dinamica: cenni di meccanica dei sistemi continui|url=http://mathematica.sns.it/opere/307/|anno=1938|volume=2}}

*Herbert Goldstein, Charles Poole, John L. Safko (2002): ''Classical Mechanics'', 3rd ed., Addison-Wesley, ISBN 0-201-65702-3, pp.&nbsp;680

*E.Edmund Whittaker, ''[https://www.archive.org/details/treatisanalytdyn00whitrich A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies]'', 4°ª ed., Cambridge Univ.University Press 1959;

*[[Lev Davidovič Landau|Lev Landau]] e [[Evgenij Michajlovič Lifšic|Evgenij Lifšic]] ''[[Corso di Fisica Teorica|Meccanica]]'', Editori Riuniti, 1976;

*R. Abraham, J.Jerrold E. MarsdendMarsden, ''[https://web.archive.org/web/20080111150348/http://caltechbook.library.caltech.edu/103/ Foundations of mechanics]'', 2°ª ed. rivista e ampliata, Benjamin/Cummings Publishing Co. 1978;

*[[Vladimir Arnold|V.I.Igorevič ArnoldArnol'd]], Mathematical Methods of Classical Mechanics, seconda edizione, Graduate Texts in Mathematics '''60''', Springer-Verlag 1989;

*[[Giuseppe Arcidiacono]] ''Problemi di meccanica razionale'', Di Renzo Editore - Roma, 1994.

*J.Jerrold E. Marsden, T. S.Tudor Ratiu, ''Introduction to mechanics and symmetry. A basic exposition of classical mechanical systems'', 2°ª ed., Texts in Applied Mathematics '''17''', Springer-Verlag 1999.

*{{cita libro|autore=Valter Moretti|titolo=Meccanica Analitica, Meccanica Classica, Meccanica Lagrangiana e Hamiltoniana e Teoria della Stabilità (2020) Springer - Milano|url=https://www.springer.com/it/book/9788847039971}}

==Voci correlate==

* [[Coordinate generalizzate]]

* [[Azione (fisica)]]

* [[Lagrangiana]]

* [[Meccanica hamiltoniana]]

* [[Meccanica lagrangiana]]

* [[Teorema di Sturm]]

* [[Teoria di Sturm-Liouville]]

* [[Parentesi di Poisson]]

* [[Principio di minima azione]]

* [[Principio di minima azione|Teorema di Liouville]]

* [[Teoria delle piccole oscillazioni]]

* [[Teoria di Hamilton-Jacobi]]

* [[Trasformata di Legendre]]

== Altri progetti ==

{{interprogetto|b|preposizione=sulla|wikt=meccanica razionale}}

==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{cita web |autore=Raffaele Esposito| 1 = http://people.disim.univaq.it/~serva/teaching/Esposito.pdf | 2 = Appunti di Meccanica Razionale a cura di Raffaele Esposito|editore=Universit`a degli Studi de L’Aquila| accesso = 22 febbraio 2023 }}

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