Teorema di Lagrange: differenze tra le versioni

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{{nota disambigua|il teorema di Lagrange nella teoria dei gruppi|[[Teorema di Lagrange (teoria dei gruppi)]]}}

{{nota disambigua|il teorema di Lagrange nella teoria dei numeri|Teorema di Lagrange (teoria dei numeri)}}

In [[analisi matematica]] il '''teorema di [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]''' (o '''del valor medio''' o '''dell'incremento finito''') è un risultato che si applica a [[funzione di variabile reale|funzioni di variabile reale]].

In [[analisi matematica]] il '''teorema di [[Joseph-Louis Lagrange|Lagrange]]''' (o '''del valor medio''' o '''dell'incremento finito''') è un risultato che si applica a [[funzione di variabile reale|funzioni di variabile reale]] e afferma, dal punto di vista geometrico, che dato il [[grafico di una funzione]] tra due estremi, esiste almeno un punto in cui la [[tangente (geometria)|tangente]] al grafico è parallela alla [[secante (geometria)|secante]] passante per gli estremi.

Questo teorema è usato per provare delle proprietà di una funzione in un intervallo partendo da ipotesi locali sulle derivate nei punti di tale intervallo. È uno dei più importanti risultati dell'[[analisi matematica]].

== Idea intuitiva ==

[[File:Mvt2 italian.svg|thumb|200px|Teorema di Lagrange]]

Supponiamo una funzione di variabile reale a valori reali ''f''(''x'') definita nell'[[intervallo (matematica)|intervallo]] che va dal punto ''a'' al punto ''b'', come nell'immagine a fianco, sufficientemente "liscia", cioè tale che essa è [[funzione continua|continua]] e ogni suo punto ha una [[tangente (geometria)|tangente]], quest'ultima non parallela all'asse delle ordinate, e tracciamo la retta [[secante (geometria)|secante]] il grafico che passa per i punti (''a'',''f''(''a'')) e (''b'',f(''b'')), gli estremi di ''f''(''x'') nell'intervallo considerato (in arancione): essa intersecherà ''f''(''x'') almeno in due punti, inizialmente: ''f''(''a'') e ''f''(''b'').

== Storia ==

Ora se spostiamo idealmente questa retta verso il basso, sempre mantenendola parallela con la stessa pendenza, notiamo che essa andrà a coincidere con la retta in verde, [[tangente (geometria)|tangente]] alla curva nel punto (''c'',f(''c'')): il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità enunciate esiste almeno un punto di ascissa ''c'', come nell'esempio, tale che la tangente in quel punto ha la stessa pendenza del segmento congiungente i punti estremi del grafico.

Un caso speciale di questo [[teorema]] fu inizialmente descritto da [[Parameshvara (matematico)|Parameshvara]] (1370–1460), dalla [[Scuola del Kerala]] in [[India]], nei suoi commenti su Govindasvāmi e [[Bhāskara II]].<ref>J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Paramesvara.html Paramesvara] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20150402163744/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Paramesvara.html |date=2 aprile 2015 }}, ''[[MacTutor History of Mathematics archive]]''.</ref> Una forma ristretta del teorema fu poi provata da [[Michel Rolle|Rolle]] nel 1691; il suo risultato fu quello che ora è conosciuto come [[teorema di Rolle]], e fu provato solo per [[Polinomio|polinomi]], senza nessuna tecnica di analisi. Il teorema del valor medio nella sua forma moderna fu formulato e dimostrato da [[Augustin Louis Cauchy|Cauchy]] nel 1823.<ref>A. Besenyei, Historical development of the mean value theorem, http://abesenyei.web.elte.hu/publications/meanvalue.pdf</ref>

== Enunciato ==

Sia <math>f:\colon [a, b] \rightarrowto \mathbb{R}</math> una [[funzione continua|continua]] in 'nell'intervallo chiuso <math>[a, b]''</math>, con <math>a<b,</math> e [[funzione derivabile|derivabile]] in 'nell'intervallo aperto <math>(a, b)'';</math>. alloraAllora esiste almeno un punto <math>c\in (a,b)</math>:

:<math>\exists \ c \ \in (a, b)\ : f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

:<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.</math><ref>{{Cita|P. M. Soardi|p. 223|soardi}}.</ref>

== Dimostrazione ==

== Significato geometrico ==

Ai fini della dimostrazione dobbiamo cercare una funzione a cui si possa applicare il [[teorema di Rolle]]. In particolare dobbiamo fare in modo che essa rispetti la terza ipotesi, non garantita dalla ipotesi di Lagrange

[[File:Mvt2 italian.svg|thumb|Immagine che spiega il significato geometrico del teorema di Lagrange]]

Supponiamo di avere una funzione <math>f</math> di variabile reale a valori reali definita nell'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[a,b]</math>, come nell'immagine. Supponiamo che essa sia [[funzione continua|continua]] e che in ogni punto del suo grafico, esclusi <math>(a,f(a))</math> e <math>(b,f(b)),</math> sia ben definita la retta [[tangente (geometria)|tangente]], quest'ultima non parallela all'asse delle ordinate (supponiamo cioè che la funzione <math>f</math> sia derivabile in <math>(a,b)</math>). Tracciamo la retta [[secante (geometria)|secante]] il grafico della funzione, passante per i punti <math>(a,f(a))</math> e <math>(b,f(b))</math>.

Il teorema di Lagrange afferma che sotto le ipotesi di regolarità sopra enunciate esiste almeno un punto <math>c\in (a,b)</math>, come nell'esempio, tale che la tangente al grafico di <math>f</math> nel punto <math>(c,f(c))</math> abbia la stessa pendenza della retta passante per i punti <math>(a,f(a))</math> e <math>(b,f(b))</math>.

Sia ''g''(''x'') la seguente funzione lineare:

:<math>g(x) = f(a) + \frac{f(b)-f (a)}{b-a}(x-a)</math>

=== Osservazioni ===

Si tratta della retta passante per i punti <math>\, A</math> <math>\, B</math> della figura.

* Il teorema di Lagrange può anche essere considerato un caso particolare del [[Teorema di Cauchy (analisi matematica)|teorema di Cauchy]].

:Sia ora ''h''(''x'')<math>g</math> la differenza[[funzione traidentità]] le due funzioni ''f''(''x'')cioè e ''<math>g''(''x''): =x</math>\, per h(ogni <math>x</math>). =Applichiamo (f-g)(x)il =teorema di Cauchy a <math>f(x)</math> -e <math>g(x)</math> :

::<math>h\exists c\in (xa,b): = \frac{f(xb) - f(a)}{g(xb)-g(a)}=\,frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.</math>

:Poiché <math>g'(ax) = f1</math> per ogni <math>x \in (a,b)</math>, +si ha che <math>f'(c) = \frac{f(b)-f (a)}{b-a}(a-a) = f(a).</math>

* Il teorema di Lagrange è inoltre una generalizzazione del [[teorema di Rolle]].

:Sia <math>g(b)f</math> =una f(a)funzione +continua \frac{f(b)-fnell'intervallo (<math>[a)}{,b-a}(b-a)]</math>, =derivabile fin <math>(a,b)</math> +e f(b)tale -che <math>f(a) = f(b)</math>. Applicando il teorema di Lagrange si ha che

::<math>\exists c \in (a,b): f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0.</math>

Quindi ''h''(''x'') si annulla nei punti ''a'' e ''b'' (vi assume quindi valori identici):

*Da notare che il teorema, come enunciato, è falso se una funzione derivabile è a valori complessi invece che reali. Per esempio, si definisce <math>f(x)=e^{xi}</math> per tutti gli <math>x</math> reali. In tal caso

<math>h(a) = f(a) - g(a) = 0 \qquad \qquad h(b) = f(b) - g(b) = 0</math>

::<math>f(2\pi)-f(0)=0=0(2\pi-0),</math>

Per il [[teorema di Rolle]], se una funzione è continua in un intervallo [''a'', ''b''], derivabile in (''a'', ''b'') ed assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto c la cui derivata sia 0.

:mentre <math>f'(x)\ne 0</math> per ogni <math>x\in\R</math>.

La funzione ''h''(''x'') è continua perché somma di funzioni continue (una per ipotesi ed una perché è un polinomio di primo grado); inoltre è derivabile perché somma di funzioni derivabili (la prima per ipotesi, la seconda in quanto polinomio di primo grado). La terza ipotesi di Rolle la abbiamo dimostrata poco prima.

== Dimostrazione ==

Applichiamo quindi il teorema alla funzione ''h''(''x''), dal momento che ne soddisfa tutte le condizioni:

È possibile dimostrare l'asserto mediante un'applicazione del [[teorema di Rolle]].

Sia <math>g</math> la seguente funzione ausiliare:

<math>\exists \ c \in (a, b) : h'(c) = 0</math>

:<math>h'g(cx) = f'(ca) - g'(c) =+ 0\Longrightarrow \ frac{f'(cb)-f = g'(ca)}{b-a}(x-a).</math>

Si tratta della retta passante per i punti <math>(a,f(a))</math> e <math>(b,f(b))</math> della figura.

''g''(''x'') è una retta, e la derivata prima di una retta è, in ogni suo punto, uguale al suo coefficiente angolare:

Sia ora <math>h</math> la differenza tra le due funzioni <math>f</math> e <math>g</math>:

<math>g'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}</math>

:<math>f'h(cx) = (f-g')(cx) = \frac{f(bx) - fg(ax)}{b-a}.</math>

Si verifica immediatamente che

ed il teorema è così dimostrato.

:<math>h(a) = f(a) - g(a) = 0, \qquad h(b) = f(b) - g(b) = 0.</math>

== Osservazione ==

Il teorema di Lagrange può anche essere considerato un caso particolare del [[Teorema di Cauchy (analisi matematica)|teorema di Cauchy]].

La funzione <math>h</math> è continua perché somma di funzioni continue (una per ipotesi e una perché è un polinomio di primo grado); inoltre è derivabile perché somma di funzioni derivabili (la prima per ipotesi, la seconda in quanto polinomio di primo grado).

Sia <math>g(x) : x \mapsto x</math> la funzione identità. Applichiamo il teorema di Cauchy ad ''f''(''x'') e ''g''(''x''):

Per il [[teorema di Rolle]], se una funzione è continua in un intervallo <math>[a,b]</math>, derivabile nell'intervallo aperto <math>(a,b)</math> e assume valori uguali agli estremi dell'intervallo, esiste almeno un punto <math>c\in(a,b)</math> in cui la sua derivata sia <math>0</math>.

<math>\exists \ c \in (a, b) : \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>

Applichiamo quindi il teorema di Rolle alla funzione <math>h</math>, dal momento che ne soddisfa tutte le ipotesi:

:<math>\exists c \in (a, b) \mid h'(c) = 0.</math>

Segue che

:<math>h'(c) = f'(c) - g'(c) = 0.</math>

Ora si osserva che

:<math>g'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}.</math>

Quindi

:<math>f'(c) = g'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}</math>

e il teorema è così dimostrato.

== Estensioni ==

=== Funzioni definite in Rⁿ ===

Il teorema rimane valido considerando funzioni definite in <math>\R^n</math>.

Sia <math>\, f</math> una funzione reale derivabiledifferenziabile su un aperto <math>U \subseteq\R^n</math>, siano <math>\, \mathbf x, \mathbf y</math> due punti di <math>\,U </math> tali che il segmento <math>[\mathbf x, \mathbf y]=\{t \mathbf x + (1-t) \mathbf y : t \in [0,1]\} \subseteq U ,</math>

allora esiste <math>\, \mathbf \xi \in ([\mathbf x, \mathbf y)]</math> tale che

:<math>f(\mathbf y)-f(\mathbf x) = \langle \mathbf Df(\mathbf \xi),(\mathbf y -\mathbf x) \mathbf \rangle,</math>

dove con <math>\mathbf Df </math> indichiamo il [[differenziale]]gradiente di <math>f.</math>

Per la dimostrazione è sufficiente considerare la funzione

:<math>\varphi(t)= f(\mathbf x + t(\mathbf y - \mathbf x))</math> con <math>t \in [0, 1]</math>

derivabile sull'intervallo unitario perché composizione di due funzioni derivabili.

=== Funzioni a valori suin R^m ===

Il teorema non è più valido in questa forma per le funzioni a valori in <math>\R^m</math>. Infatti sebbene applicabile ada ogni singola componente, non è possibile garantire che ciascuna delle uguaglianze del teorema si verifichi contemporaneamente per lo stesso valore della variabile indipendente.

In questo caso il teorema è valido se si accetta la seguente formulazione:

Sia <math>\, f</math> una funzione reale derivabile su un aperto <math>U \subseteq \R^n \rightarrow \R^m</math>, contenente il segmento <math>[\mathbf x, \mathbf y]</math>,

allora:

:<math> \| f(\mathbf y)-f(\mathbf x) \| \leqle \sup_{\mathbf{\mathbf \xi} \in U} \left \|\mathbf Df(\mathbf \xi) \right \| \left \| \mathbf x - \mathbf y \right \|.</math>

== Esempi di impiego (corollari) ==

=== Funzioni aventi derivata identicamente nulla su un intervallo ===

Sia <math>f</math> una funzione continua e derivabile definita in un intervallo <math>I</math>, sia <math>f'</math> la derivata di <math>f</math>. Se <math>f'(x)= 0</math> per ogni <math>x</math> interno ad <math>I</math>, allora <math>f</math> è costante in tale intervallo, cioè:

''Ipotesi'':

:<math>f'(x)=0 \quad \forall x \in \left ( a,b \right )</math><br />

''Tesi'': <math>f(x)=k ,\quad k\in \mathbb{R} \quad \forall x \in \left ( a,b \right )I.</math><br />

''Dimostrazione'':<br />

==== Dimostrazione ====

Prendiamo due punti distinti, <math> \alpha, \beta \in \left [ a,b \right ]</math><br />

ApplichiamoPrendiamo ildue teoremapunti di Lagrange all'intervallo avente come estremidistinti, <math> \alpha,</math> \betae </math>\beta<br /math> ottenendoappartenenti cheall'intervallo <br math>I</math>.

<math>\exists c\in(a,b):\frac{f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f^{\prime}(c)</math><br />

Possiamo applicare il teorema di Lagrange all'intervallo <math>[\alpha,\beta]</math> ottenendo che

Da questo si ricava, dall'ipotesi, che

<math> \frac {f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=0 \Longrightarrow \ f(\beta )=f(\alpha)</math><br />.

:<math>\exists c\in(\alpha,\beta):\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f^{\prime}(c).</math>

Dato che per ipotesi <math>f'(x)= 0</math> per ogni <math>x</math>, ne segue che

:<math>\frac {f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=0</math>

e quindi

:<math>f(\beta)=f(\alpha).</math>

Visto che <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> sono due punti arbitrari dell'intervallo, questo vale per ogni coppia di punti e quindi <math>f(x)= k</math> per ogni <math>x\in I</math> (cioè <math>f(x)</math> è costante nell'intervallo).

=== Funzioni aventi derivata uguale in un intervallo ===

Siano <math>f</math> e <math>g</math> due funzioni derivabili in un intervallo <math>I</math> e sia <math>f'(x)=g'(x)</math> per ogni <math>x\in I</math>. Allora le due funzioni differiscono per una costante <math>c\in\R</math>, cioè

:<math>f(x)=g(x)+c, \quad\forall x \in I.</math>

==== Dimostrazione ====

Si prenda <math>h(x)=f(x)-g(x)</math>. Per ipotesi si ha <math>h'(x)=f'(x)-g'(x)=0</math> per ogni <math>x\in I</math>. Allora per il corollario precedente sulle funzioni a derivata nulla, la funzione <math>h(x)</math> è costante nell'intervallo <math>I</math>, cioè <math>h(x)=f(x)-g(x)=c</math> per un determinato <math>c\in\R</math>, e quindi

:<math>f(x)=g(x)+c, \quad\forall x \in I.</math>

=== Monotonia a partire dalla derivata ===

Il teorema di Lagrange ci permette di stabilire la [[Funzione monotona|monotonia]] di una funzione derivabile in un certo intervallo, in base al segno della derivata.

==== Derivata non negativa ====

Sia <math>f</math> una funzione derivabile in <math>I</math>. Se <math>f'(x)\ge 0</math>, <math>\forall x \in I</math>, allora per ogni <math>x_1,x_2 \in I</math>, con <math>x_1<x_2</math>, si ha che <math>f(x_1)\le f(x_2)</math>.

Il ''teorema di Lagrange'' può essere utilizzato per dimostrare che tutte le funzioni derivabili, con derivata prima non negativa, sono [[Funzioni monotone|monotóne]] non decrescenti.

==== Dimostrazione ====

Prendiamo due generici punti <math>x_1</math> e <math>x_2</math> appartenenti all'intervallo <math>I</math>, con <math>x_1<x_2</math>.

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange a <math>[x_1,x_2]</math> ottenendo che

:<math>\exists c\in(x_1,x_2):\frac{f(x_2 )-f(x_1)}{x_2-x_1}=f^{\prime}(c).</math>

Dato che <math>f'(x)\ge 0</math> per ogni <math>x \in I</math> si ha che

:<math>\frac{f(x_2 )-f(x_1)}{x_2 -x_1} \ge 0.</math>

Ora, dato che <math>x_1<x_2</math>, per essere vera la formula appena scritta deve essere <math>f(x_1)\le f(x_2)</math> e visto che questo vale per ogni coppia di punti appartenenti a <math>I</math>, possiamo concludere che la funzione è monotona crescente nell'intervallo.

''Ipotesi'':

<math> f'(x) \ge \ 0 \quad \forall x \in \left [ a,b \right ]</math><br />

''Tesi'': ''f(x)'' crescente <math>\quad \forall x \in \left [ a,b \right ]</math><br />

''Dimostrazione'':<br />

Prendiamo due generici, ma diversi, punti <math> \alpha, \beta \in \left [ a,b \right ]</math><br />

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi vi è anche continua, allora possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange ad un intervallo avente come estremi <math> \alpha, \beta </math><br /> ottenendo che <br />

<math>\exists c\in(a,b):\frac{f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f^{\prime}(c)</math><br />

Da questo si ricava, dall'ipotesi, che

<math> \frac {f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha} \ge \ 0 </math><br />

A questo punto si presentano due casi:<br />

se <math> \alpha < \ \beta \Longrightarrow \ f \left ( \alpha \right ) \le \ f \left ( \beta \right ) </math><br />

se <math> \alpha \ > \beta \Longrightarrow \ f \left ( \alpha \right ) \ge \ f \left ( \beta \right ) </math><br />

Ma in entrambi i casi si deduce chiaramente che la funzione è crescente: e dal momento che i due punti erano stati scelti a caso, possiamo dire che la funzione è crescente in [''a'',''b''], c.v.d.

==== Derivata positiva ====

Sia <math>f'(x)>0</math> per ogni <math>x</math> appartenente all'intervallo <math>[a,b]</math>. Allora per ogni <math>x_1,x_2</math> appartenenti all'intervallo <math>[a,b]</math> con <math>x_1<x_2</math> si ha che <math>f(x_1)<f(x_2)</math>.

''Ipotesi'':

<math> f'(x) > \ 0 \quad \forall x \in \left [ a,b \right ]</math><br />

===== Dimostrazione =====

''Tesi'': ''f(x)'' strettamente crescente <math>\quad \forall x \in \left [ a,b \right ]</math><br />

Prendiamo due generici punti <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> appartenenti all'intervallo chiuso <math>[a,b]</math> con <math>\alpha<\beta</math>.

''Dimostrazione'':<br />

Prendiamo due generici, ma diversi, punti <math> \alpha, \beta \in \left [ a,b \right ]</math><br />

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua in esso, allora possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange ada un intervallo avente come estremi <math> \alpha,</math> \betae </math>\beta<br /math> ottenendo che <br />

<math>\exists c\in(a,b):\frac{f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f^{\prime}(c)</math><br />

:<math>\exists c\in(\alpha,\beta):\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f'(c).</math>

Da questo si ricava, dato che l'ipotesi ci da informazioni sul segno della derivata in ogni punto, che

<math> \frac {f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha} > \ 0 </math><br />

Dato che <math>f'(x)>0</math> per ogni <math>x</math> si ha che

A questo punto si presentano due casi distinti, a seconda dell'ordinamento tra i due punti su cui si è applicato Lagrange:<br />

se <math> \alpha < \ \beta \Longrightarrow \ f \left ( \alpha \right ) \ < f \left ( \beta \right ) </math><br />

se :<math> \alpha \ > frac{f(\beta \Longrightarrow \ )-f \left ( \alpha \right ) > \ f \left ( }{\beta -\right )alpha} > 0.</math><br />

Osservando entrambe le situazioni che scaturiscono è facile osservare come la funzione sia comunque sempre strettamente crescente; e poiché <math> \alpha, \beta \in \left [ a,b \right ] \quad </math> erano stati scelti arbitrariamente, ne consegue che la funzione è strettamente crescente in [''a'',''b''], e questo è quello che dovevamo dimostrare.

Ora dato che <math>\alpha<\beta</math> per essere vera la formula appena scritta deve essere <math>f(\alpha)<f(\beta)</math> e visto che questo vale per ogni <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> appartenenti ad <math>[a,b]</math> possiamo concludere che la funzione è monotona crescente.

==== Derivata non positiva e derivata negativa ====

Riga 135 ⟶ 177:

=== Studio delle funzioni su un intervallo aventi derivata limitata ===

Se <math>f</math> è una funzione continua e derivabile nell'intervallo <math>[a,b]</math> e la sua derivata prima <math>f'</math> è limitata in <math>[a,b]</math>, ossia esiste <math>k>0: |f'(x)| \le k</math>, si ha che <math>f</math> è [[Condizione di Lipschitz|lipschitziana]] su <math>[a,b]</math>.

''Ipotesi'':

<math> f'(x) \quad</math> è limitata su <math> \left [ a,b \right ]\quad</math> ovvero <math> \exists k \in \mathbb{R}, k > \ 0 : \left | f'(x) \right | \le \ k </math> <br />

==== Dimostrazione ====

''Tesi'': ''f(x)'' [[Condizione di Lipschitz|lipschitziana]] su <math>\quad \left [ a,b \right ]</math><br />

Consideriamo due generici punti <math>\alpha</math> e <math>\beta</math> appartenenti all'intervallo <math>[a,b]</math> tali che <math>\alpha<\beta</math>.

''Dimostrazione'':<br />

Consideriamo due generici e distinti punti <math> \alpha, \beta \in \left [ a,b \right ]</math><br />

Dal momento che l'ipotesi ci garantisce che la funzione sia derivabile in tutti i punti dell'intervallo, cosa che ci garantisce anche la continuità, allora possiamo applicare il teorema di Lagrange ada un intervallo avente come estremi i due punti di prima, ottenendo che <br />

<math>\exists c\in(a,b):\frac{f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f^{\prime}(c)</math><br />

:<math>\exists c\in(\alpha,\beta):\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f'(c).</math>

Adesso uniamo questa informazione alla limitatezza della derivata, dataci per ipotesi, dunque possiamo scrivere:

<math> \left | \frac {f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha} \right | \le \ k </math><br />

Adesso uniamo questa informazione alla limitatezza della derivata, dataci per ipotesi, dunque possiamo scrivere:

Ma siccome i punti possiamo sceglierli a nostro completo arbitrio tra tutti quelli presenti nell'intervallo, allora la pendenza della funzione risulterà limitata, e quindi la funzione seguirà la condizione di Lipschitz, c.v.d.

:<math>\left| \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta -\alpha} \right| \le k.</math>

Ma siccome i punti possiamo sceglierli a nostro completo arbitrio tra tutti quelli presenti nell'intervallo, allora la pendenza della funzione risulterà limitata, e quindi la funzione soddisferà la condizione di Lipschitz.

==Note==

<references/>

==Bibliografia==

* [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]] ''Analisi Matematica Uno'', Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998, paragrafo 61.

* {{cita libro | cognome= Soardi | nome= Paolo Maurizio | titolo= Analisi Matematica| editore= CittàStudi| anno= 2007|isbn= 978-88-251-7319-2|cid =soardi}}

== Voci correlate ==

* [[Derivata]]

* [[Teorema di Rolle]]

* [[Teorema di Cauchy (analisi matematica)]]

== Altri progetti ==

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== Collegamenti esterni ==

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