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[[File:Matematiker georg cantor.jpg|thumb|[[Georg Cantor]], scopritore del concetto di numero transfinito]]In [[matematica]] perla nozione di '''numerinumero transfinititransfinito''' siestende intendonola entinozione diversidi dai''numero'', le [[aritmetica|operazioni aritmetiche]] e la [[relazione d'ordine]] proprie dei [[numero naturale|numeri finiti,naturali]] maa comeuna questiclasse sottoponibilipiù alleampia di oggetti che in qualche senso sono "più grandi" degli usuali operazioninumeri aritmetiche"finiti". Queste entità sono state introdotte da [[Georg Cantor]] e servono a chiarirefornire un importante strumento di nozionilavoro dellenella [[teoria degli insiemi]] ede adi fornireriflesso qualchenella precisazione sulla nozione di [[infinito]]matematica.
Come per i numeri finiti vi sono due modi perin trattarecui ila nozione di numero può essere estesa ai numeri transfiniti,: come numeri ordinali e come numeri cardinali. Contrariamente a quanto accade per i numeri finiti, accade che ordinali transfiniti e cardinali transfiniti costituiscono due classi distinte di entità non [[isomorfismo|isomorfe]].
* Il più piccolo [[numero ordinale (matematicateoria degli insiemi)|numero ordinale]] transfinito è ωω.
* Il primo [[ numero cardinale (matematica)|numero cardinale]] transfinito è [[Aleph-zero]], <math>\aleph_0</math> , ([[Aleph_(cardinalità)|aleph zero]]) cioè la [[cardinalità]] dell'insieme infinito dei [[numeri interinaturali]] <math>\N</math>. ▼*Il successivo numero cardinale è [[Aleph-uno]], <math>\aleph_1</math> ([[Aleph_(cardinalità)|aleph uno]]). ▼
L'[[ipotesi del continuo]] afferma che non esistono numeri cardinali intermedi tra Aleph-zero<math>\aleph_0</math> e la cardinalità del continuo <math>\mathfrak{c}</math>, cioè la cardinalità dell'insieme dei [[numeri reali]] <math>\R</math>: questo equivale ad affermare che Aleph-uno<math>\mathfrak{c} esprime= la\aleph_1</math>. cardinalitàPerò, dellgrazie agli studi di [[Paul Cohen (matematico)|Paul Cohen]], l' insiemeesistenza deidi numeriun realinumerico cardinale è stata dimostrata indecidibile. ▼▲* Il primo [[numero cardinale (matematica)|numero cardinale]] transfinito è [[Aleph-zero]], <math>\aleph_0</math>, cioè la [[cardinalità]] dell'insieme infinito dei [[numeri interi]].
Sia per il sistema degli ordinali chesia per quello dei cardinali, si può procedere illimitatamente nella introduzione di numeri transfiniti, andando incontro a forme sempre più bizzarre di entità numeriche. ▼▲*Il successivo numero cardinale è [[Aleph-uno]], <math>\aleph_1</math>.
Ricordiamo che [[Georg Cantor ]] ha introdotto anche la nozione di [[infinito assoluto]] per poter trattare il più esteso concetto assoluto di "numero grande". ▼▲L'[[ipotesi del continuo]] afferma che non esistono numeri cardinali intermedi tra Aleph-zero e la cardinalità del continuo, cioè la cardinalità dell'insieme dei [[numeri reali]]: questo equivale ad affermare che Aleph-uno esprime la cardinalità dell'insieme dei numeri reali.
▲Sia per il sistema degli ordinali che per quello dei cardinali, si può procedere illimitatamente nella introduzione di numeri transfiniti, andando incontro a forme sempre più bizzarre di entità numeriche.
▲Ricordiamo che [[Georg Cantor]] ha introdotto anche la nozione di [[infinito assoluto]] per poter trattare il più esteso concetto assoluto di "numero grande".
== Voci correlate ==
*[[Numero beth]]
*[[Cardinale grande]]
*[[Cardinale inaccessibile]]
*[[Cardinale di Mahlo]]
*[[Infinitesimale]]
*[[Paul Cohen (matematico)]]
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== Collegamenti esterni ==
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[[Categoria:Teoria degli insiemi]] ▼{{Portale|matematica}}
▲[[Categoria: TeoriaNumeri degli insiemiordinali]]
[[en:Transfinite number]]
[[es:Número transfinito]]
[[fr:Nombre transfini]]
[[nl:Transfiniet getal]]
[[pt:Número transfinito]]
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