Integrale di linea: differenze tra le versioni

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{{nota disambigua|il metodo di integrazione funzionale usato in meccanica quantistica|Integrale sui cammini}}

{{Avvisounicode}}

{{nota disambigua|il metodol'integrale di integrazionelinea funzionalenel usatocampo in meccanica quantisticacomplesso|[[integraleIntegrale suidi cammini]]contorno}}

[[File:Line-Integral.gif|thumb|Integrale di linea]]

In [[matematica]], un '''integrale di linea''' (da non confondere con il calcolo della lunghezza di una curva usando l'integrazione) o ''integrale curvilineo'' è un [[integrale]] in cui la [[funzione (matematica)|funzione]] da integrare è valutata lungo un cammino o una [[Curva (matematica)|curva]]. Sono usati vari differenti integrali di linea. Nel caso di percorsi chiusi l'integrale di linea è anche chiamato '''integrale di contorno'''.

La funzione da integrare può essere un [[campo scalare]] o un [[campo vettoriale]]. Il valore dell'integrale di linea è la somma dei valori del campo in tutti i punti della curva, pesata da una funzione scalare definita sulla curva (tipicamente la [[lunghezza di un arco]] o, nel campo vettoriale, il [[prodotto scalare]] del campo vettoriale con il vettore [[Differenziale (matematica)|differenziale]] nella curva). Questa "pesatura" distingue l'integrale di linea dai più semplici integrali definiti su [[intervallo (matematica)|intervalli]]. Molte relazioni in fisica sono formulate in termini di integrali di linea: ad esempio, il [[lavoro (fisica)|lavoro]] compiuto dalle forze del campo su un oggetto spostato attraverso un campo, elettrico o gravitazionale, lungo una traiettoria.

In [[matematica]], un '''integrale di linea''' o ''integrale curvilineo'' è un [[integrale]] in cui la [[funzione (matematica)|funzione]] da integrare è valutata lungo un cammino o una [[Curva (matematica)|curva]]. Sono usati vari differenti integrali di linea. Nel caso di percorsi chiusi l'integrale di linea è anche chiamato '''integrale di contorno'''.

== Analisi vettoriale ==

La funzione da integrare può essere un [[campo scalare]] o un [[campo vettoriale]]. Il valore dell'integrale di linea è la somma dei valori del campo in tutti i punti della curva, pesata da una funzione scalare definita sulla curva (tipicamente la [[lunghezza di un arco]] o, nel campo vettoriale, il [[prodotto scalare]] del campo scalare con il vettore [[Differenziale_(matematica)|differenziale]] nella curva). Questa "pesatura" distingue l'integrale di linea dai più semplici integrali definiti su [[intervallo (matematica)|intervalli]]. Molte semplici formule in fisica (per [[lavoro (fisica)|esempio]], <math>W=\vec F\cdot\vec d</math>) hanno analoghi nel continuo formulati in termini di integrali di linea (<math>W=\int_C \vec F\cdot d\vec s</math>). L'integrale di linea definisce ad esempio anche il lavoro compiuto su un oggetto spostato attraverso un campo, elettrico o gravitazionale, lungo una traiettoria.

L'integrale di linea di un [[campo scalare]] è talvolta detto "di prima specie", mentre l'integrale di un [[campo vettoriale]] è "di seconda specie".

In termini qualitativi, un integrale di linea nel [[calcolo vettoriale]] può essere pensato come la misura di un effetto di un dato [[campo vettoriale]] lungo una certa curva.

[[File:Line-Integral.gif|right]]

=== Integrale di prima specie ===

== Calcolo vettoriale ==

{{Vedi anche|Integrale di linea di prima specie}}

Dato un [[campo scalare]] <math> f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, si definisce l'integrale di linea su una curva <math>C</math>, parametrizzata da <math>\mathbf{r}(t)</math>, con <math>t \in [a, b]</math>, come:<ref>{{Cita web

|url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Curvilinear_integral

|titolo=Encyclopedia of Mathematics - Curvilinear integral

|autore=L.D. Kudryavtsev

|anno=2012

}}</ref>

:<math>\int_C f \, \mathrm ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| \, \mathrm dt</math>

In termini qualitativi, un integrale di linea nel calcolo vettoriale può essere pensato come la misura di un effetto di un dato [[campo vettoriale]] lungo una certa curva.

dove il termine <math>\mathrm{d}s</math> indica che l'integrale è effettuato su un'[[ascissa curvilinea]]. Se il dominio della funzione <math>f</math> è <math>\mathbb{R}</math>, l'integrale curvilineo si riduce al comune [[integrale di Riemann]] valutato nell'intervallo <math>[r(a),r(b)]</math> (o <math>[r(b),r(a)]</math>, qualora fosse <math>r(b)<r(a)</math>). Alla famiglia degli integrali di linea appartengono anche gli [[integrali ellittici]] di prima e di seconda specie, questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della [[Indice di concentrazione#Curva di Lorenz|curva di Lorenz]].

=== Definizione ===

{{Vedi anche|integrale di linea di prima specie}}

=== Integrale di seconda specie ===

Dato un [[campo scalare|campo scalare]] <math> f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>, si definisce l'integrale di linea su una curva ''C'', parametrizzata da '''''r'''''(''t'') con ''t'' ∈ [a, b], come

{{Vedi anche|Integrale di linea di seconda specie}}

Similmente, per un [[campo vettoriale]] <math>\mathbf{F} : \R^n \to \R^n</math>, l'integrale di linea lungo una curva <math>C</math>, parametrizzata da <math>\mathbf{r}(t)</math> con <math>t \in [a, b]</math>, è definito da:<ref name=mathworld>{{Cita web

:<math>\int_C f\ ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) \|\mathbf{r}'(t)\| dt</math> ,

|url=http://mathworld.wolfram.com/LineIntegral.html

|titolo=MathWorld - Line Integral

dove il termine <math>ds</math> indica che l'integrale è effettuato su un'[[ascissa curvilinea]]; se il dominio della funzione ''f'' è <math>\mathbb{R}</math>, l'integrale curvilineo si riduce al comune [[integrale di Riemann]] valutato nell'intervallo [r(a),r(b)] (o [r(b),r(a)], qualora fosse r(b)<r(a)). Alla famiglia degli ''integrali di linea'' appartengono anche gli ''[[integrali ellittici]] di prima e di seconda specie'', questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della ''[[Indice_di_concentrazione#Curva_di_Lorenz|curva di Lorenz]]''.

|autore=Eric Weisstein

{{Vedi anche|Integrale di linea di seconda specie}}

|anno=2012

}}</ref>

:<math>\int_C \mathbf{F} = \int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t</math>

Similmente, per un [[campo vettoriale]] '''F''' : '''R'''^''n'' → '''R'''^''n'', l'integrale di linea lungo una curva ''C'', parametrizzata da '''''r'''''(''t'') con ''t'' ∈ [a, b], è definito da

:<math>\int_C \mathbf{F} = \int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,d\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.</math>

=== Indipendenza dal cammino ===

{{Vedi anche|Teorema del gradiente}}

Se un campo vettoriale <math>\mathbf{F}</math> è il [[gradiente]] di un campo scalare <math>G</math>, cioè:

:<math>\nabla G = \mathbf{F}</math>

Se un campo vettoriale '''F''' è il [[gradiente]] di un campo scalare ''G'', cioè

:<math>\nabla G = \mathbf{F},</math>

allora la [[derivata]] della [[funzione composta]] di ''G'' e '''r'''(''t'') è

:<math>\frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)</math>

allora la [[derivata]] della [[funzione composta]] di <math>G</math> e <math>\mathbf{r}(t)</math> è:

che è l'integrando dell'integrale di linea di '''F''' lungo '''r'''(''t''). Segue che, dato un cammino ''C''

:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,d\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt = \int_a^b \frac{dG(\mathbf{r}(t))}{dt}\,dt = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a)).</math>

:<math>\frac{\operatorname dG(\mathbf{r}(t))}{\operatorname dt} = \nabla G(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) = \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t)</math>

A parole, l'integrale di '''F''' lungo ''C'' dipende solamente dai valori nei punti

'''r'''(''b'') e '''r'''(''a'') ed è quindi indipendente dal cammino particolare.

che è l'integrando dell'integrale di linea di <math>\mathbf{F}</math> lungo <math>\mathbf{r}(t)</math>. Segue che, dato un cammino <math>C</math>:

Per questa ragione, un campo vettoriale che è il gradiente di un campo scalare è detto ''cammino indipendente''.

:<math>\int_C \mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{x} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,\mathrm{d}t = \int_a^b \frac{\operatorname dG(\mathbf{r}(t))}{\operatorname dt}\,\mathrm{d}t = G(\mathbf{r}(b)) - G(\mathbf{r}(a))</math>

=== Applicazioni ===

L'integrale di linea è spesso usato in fisica. Per esempio, il lavoro svolto su una particella che si muove su una curva ''C'' in un campo di forze rappresentato da un campo vettoriale '''F''' è l'integrale di linea di '''F''' lungo ''C''.

A parole, l'integrale di <math>\mathbf{F}</math> lungo <math>C</math> dipende solamente dai valori nei punti <math>\mathbf{r}(b)</math> e <math>\mathbf{r}(a)</math>, ed è quindi indipendente dal cammino particolare. Per questa ragione, un campo vettoriale che è il gradiente di un campo scalare è detto ''cammino indipendente''.

=== Relazione con l'integrale di linea dell'analisi complessa ===

Vedendo i numeri complessi come vettori in due dimensioni, l'integrale di linea nel piano di un campo vettoriale corrisponde alla parte reale dell'integrale di linea del coniugato della funzione complessa corrispondente di variabile complessa.

L'integrale di linea è largamente usato in fisica, spesso nella descrizione di [[campo di forze|campi di forze]] [[Campo vettoriale conservativo|conservativi]]. Per esempio, il lavoro <math>W=\mathbf F\cdot\mathbf s</math> svolto su una particella che si muove su una curva <math>C</math> in un campo di forze rappresentato da un campo vettoriale <math>\mathbf{F}</math> è l'integrale di linea di <math>\mathbf{F}</math> lungo <math>C</math>:

Per l'[[equazione di Cauchy-Riemann]] il [[rotore (matematica)|rotore]] del campo vettoriale corrispondente al coniugato di una funzione olomorfa è nullo.

:<math>W=\int_C \mathbf F\cdot \operatorname d\mathbf s</math>

== Analisi complessa ==

{{Vedi anche|Integrale di contorno}}

L'integrale di linea è uno strumento fondamentale nell'[[analisi complessa]]. Sia ''U'' un [[insieme aperto]] di [[numeri complessi|'''C''']], γ : [''a'', ''b''] → ''U'' sia una [[curva rettificabile]] e ''f'' : ''U'' → '''C''' sia una funzione. Allora l'integrale di linea

L'integrale di linea è uno strumento fondamentale nell'[[analisi complessa]]. Sia <math>U \subset \Complex</math> un [[insieme aperto]], sia <math>\gamma : [a,b] \to U</math> una [[curva rettificabile]] e <math>f : U \to \Complex</math> una funzione. Allora l'integrale di linea:

:<math>\int_\gamma f(z)\,dz\mathrm{d}z</math>

può essere definito suddividendo l'[[intervallo (matematica)|intervallo]] <math>[''a'', ''b'']</math> in ''<math>a'' = ''t''₀t_0 < ''t''₁t_1 < ...t_2 <\dots ''t''_''n'' t_n = ''b''</math> e considerando l'espressione:

:<math>\sum_{1 \le k \le n} f\big(\gamma(t_k)\big) \big(\gamma(t_k) - \gamma(t_{k-1})\big).</math>

L'integrale è allora il [[limite (matematica)|limite]] di questa somma, per la lunghezza delle suddivisioni tendente a zero.

Se γ<math>\gamma</math> è una curva [[differenziabile]] con continuità, l'integrale di linea può essere valutato come un integrale di una funzione reale di variabile reale:

:<math>\int_\gamma f(z)\,dz\mathrm{d}z =\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,\mathrm{d}t</math>

=\int_a^b f(\gamma(t))\,\gamma\,'(t)\,dt.</math>

Quando γ<math>\gamma</math> è una curva chiusa, cioè la sua posizione iniziale e finale coincidono, la notazione:

:<math>\oint_\gamma f(z)\,dz\mathrm{d}z</math>

è spesso usata per l'integrale di linea di ''<math>f''</math> su γ<math>\gamma</math>.

Vedendo i [[Numero complesso|numeri complessi]] come vettori in due dimensioni, l'integrale di linea nel piano di un [[campo vettoriale]] corrisponde alla parte reale dell'integrale di linea del coniugato della funzione complessa corrispondente di variabile complessa. Nello specifico, se:

Importanti risultati riguardo agli integrali di linea sono il [[teorema integrale di Cauchy]] e la [[formula integrale di Cauchy]].

:<math>\mathbf{r} (t)=x(t)\mathbf{i}+y(t)\mathbf{j} \qquad f(z)=u(z)+iv(z)</math>

Per il [[teorema dei residui]], spesso si usa un integrale di contorno nel piano complesso per trovare l'integrale di una funzione reale di variabile reale (vedi [[teorema dei residui]] per esempi).

allora:

:<math>\int_L \overline{f(z)}\,dz = \int_L (u-iv)\,dz = \int_L (u\mathbf{i}+v\mathbf{j})\cdot d\mathbf{r} - i\int_L (v\mathbf{i}-u\mathbf{j})\cdot d\mathbf{r}</math>

a condizione che gli integrali alla destra esistono e che la parametrizzazione <math>\gamma</math> di <math>L</math> abbia la stessa orientazione di <math>\mathbf{r}</math>.

Per l'[[equazione di Cauchy-Riemann]], il [[rotore (matematica)|rotore]] del campo vettoriale corrispondente al coniugato di una [[funzione olomorfa]] è nullo. Per il [[teorema dei residui]], inoltre, spesso si usa un integrale di contorno nel piano complesso per trovare l'integrale di una funzione reale di variabile reale. Importanti risultati riguardo agli integrali di linea sono il [[teorema integrale di Cauchy]] e la [[formula integrale di Cauchy]].

=== Esempi ===

Si consideri una funzione <math>f(z) = 1 / z</math>, e la circonferenza <math>\gamma</math> di raggio unitario intorno all'origine, parametrizzata da:

:<math> \gamma(t)= \mathrm{e}^{it} </math>

Sostituendo, si trova:

:<math>\oint_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z = \int_0^{2\pi} {1\over \mathrm{e}^{it}} i\mathrm{e}^{it}\,\mathrm{d}t = i\int_0^{2\pi} \mathrm{e}^{-it}e^{it}\,\mathrm{d}t=i\int_0^{2\pi}\,\mathrm{d}t = i(2\pi-0)=2\pi i</math>

Si consideri una funzione ''f''(''z'')=1/''z'', e la circonferenza <math>\gamma</math> di raggio unitario intorno all'origine, parametrizzata da

:<math> \gamma(t)= e^{it} </math>

Sostituendo, si trova:

:<math>\oint_\gamma f(z)\,dz = \int_0^{2\pi} {1\over e^{it}} ie^{it}\,dt = i\int_0^{2\pi} e^{-it}e^{it}\,dt=i\int_0^{2\pi}\,dt = i(2\pi-0)=2\pi i</math>

che può anche essere verificato con la [[formula integrale di Cauchy]].

== Meccanica quantistica ==

La L'"[[integrale sui cammini|integrazione sui cammini]]" usata in [[meccanica quantistica]] si riferisce non agli integrali trattati in questa voce ma a un metodo di [[integrazione funzionale]], che è l'integrazione su uno spazio di cammini, di una funzione ''di'' un possibile cammino. Gli integrali di linea nel senso di questa voce sono tuttavia importanti in meccanica quantistica; per esempio, l'integrazione complessa lungo una curva chiusa è spesso utilizzata nel valutare l'[[ampiezza di probabilità]] nella teoria quantistica dello [[scattering]].

==Note==

<references/>

==Bibliografia==

* {{en}} Krantz, S. G. ''The Complex Line Integral.'' §2.1.6 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p.&nbsp;22, 1999.

== Voci correlate ==

* [[Circuitazione]]

* [[Integrale]]

* [[Integrale di linea di prima specie]]

* [[Integrale di linea di seconda specie]]

* [[Integrazione funzionale]]

* [[Integrale di superficie]]

* [[Integrale di volume]]

* [[Teorema del rotore]]

* [[Metodi per l'integrazione su contorno]]

==Altri progetti==

* [[Circuitazione]]

{{interprogetto|v=Integrali curvilinei}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{en}} [http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Complex_Variables#Complex_Integrals Problemi risolti su integrali di linea]

* {{cita web|1=http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Complex_Variables#Complex_Integrals|2=Problemi risolti su integrali di linea|lingua=en|accesso=12 gennaio 2006|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20080115102010/http://www.exampleproblems.com/wiki/index.php/Complex_Variables#Complex_Integrals|dataarchivio=15 gennaio 2008|urlmorto=sì}}

{{analisi matematica}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Analisi complessa]]

[[Categoria:Calcolo integrale|Linea, integrale di]]

[[ar:تكامل خطي]]

[[ca:Integral curvilínia]]

[[cs:Křivkový integrál]]

[[de:Kurvenintegral]]

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[[es:Integral de línea]]

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[[he:אינטגרל קווי]]

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[[ro:Integrală curbilinie]]

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[[sr:Криволинијски интеграл]]

[[sv:Kurvintegral]]

[[tr:Çizgi integrali]]

[[uk:Криволінійний інтеграл]]

[[vi:Tích phân đường]]

[[zh:曲线积分]]