Limite (matematica): differenze tra le versioni
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In [[matematica]], il '''limite''' è un concetto basato sull'idea di vicinanza<ref>{{Cita web|url=https://www.britannica.com/science/limit-mathematics|titolo=Limit {{!}} Definition, Example, & Facts {{!}} Britannica|sito=www.britannica.com|data=2024-08-06|lingua=en|accesso=2024-09-02}}</ref> ed è utilizzato per studiare localmente, cioè "vicino" a un punto del [[dominio e codominio|dominio]], [[Funzione (matematica)|funzioni]] o, come caso particolare, [[Successione (matematica)|successioni]].
Il fondamento concettuale del [[calcolo infinitesimale]] sta proprio nel concetto di limite, che perciò si può considerare una pietra miliare nella storia del [[pensiero scientifico]]<ref>{{Cita libro|autore=Marco Bramanti|autore2=Carlo D. Pagani|autore3=Sandro Salsa|titolo=Analisi matematica 1|edizione=Prima edizione|editore=[[Zanichelli]]|città=[[Bologna]]-[[Milano]]|ISBN=978-88-08-06485-1}}</ref>: esso infatti è ricorrente in tutti i rami dell'[[analisi matematica]], per esempio nel definire la [[Funzione continua|continuità]], la [[Derivata|derivazione]] e l'[[Integrale|integrazione]].
Il concetto di limite di una funzione, più generale del limite di una successione, può essere generalizzato da quello di limite di un [[Filtro (matematica)|filtro]].
== Storia ==
Il concetto di limite era già presente in modo intuitivo nell'antichità, per esempio in [[Archimede]] (nel suo [[metodo di esaustione]]), e fu utilizzato, anche se non in modo rigoroso, a partire dalla fine del [[XVII secolo]] da [[Isaac Newton|Newton]], [[Gottfried Leibniz|Leibniz]], [[Leonhard Euler|Eulero]] e [[Jean Baptiste Le Rond d'Alembert|D'Alembert]]. La prima definizione abbastanza rigorosa di limite risale al [[XIX secolo]] con [[Augustin-Louis Cauchy|Cauchy]], seguita da una miglior formalizzazione di [[Karl Weierstrass|Weierstrass]].
Una completa teoria del limite si ha
== Limite di una successione ==
{{vedi anche|
Una successione può non avere limite, ad esempio <math> a_n = (-1)^n </math>, data da:
:<math> 1,-1,1,-1,1,-1, \ldots </math>
non ha limite. D'altra parte, se esiste un limite <math> a </math>, si dice che la successione [[convergenza|converge]] ad <math> a </math>; in questo caso, il limite è unico (una successione non può convergere a due valori distinti). Ad esempio, la successione <math> a_n = 1/n </math>, data da:
:<math> 1,1/2, 1/3, 1/4, \ldots </math>
converge a zero.
Considerando uno [[spazio topologico]] <math>X</math>, una successione <math>x_n</math> con <math>n \in \N</math> tende al limite <math> a \in X </math> se, comunque si prenda un [[intorno]] <math>B</math> di <math>a</math>, esiste un <math>N</math> tale per cui <math>x_n \in B</math> per tutti gli <math>n>N</math>, e si scrive:
:<math>\lim_{n \to +\infty} x_n = a</math>
Se <math>X</math> è uno [[spazio di Hausdorff]] il limite di <math>x_n</math> con <math>n \in \N</math>, se esiste, è unico.
== Limite di una funzione ==
{{vedi anche|
Il limite di una [[funzione (matematica)|funzione]] generalizza il limite di una successione di punti in uno [[spazio topologico]] <math>Y</math>; si considera la successione una funzione <math>f : \N \to Y</math> nello spazio topologico <math>\N \cup \lbrace +\infty \rbrace</math> con la [[Topologia di sottospazio|topologia discreta]]. In tale definizione, un [[intorno]] di <math>+ \infty</math> ha la forma <math>\lbrace n : n \ge n_0 \rbrace \cup \lbrace +\infty \rbrace</math>.
Siano dati una [[Funzione (matematica)|funzione]] <math>f: X \rightarrow \R </math> definita su un [[sottoinsieme]] <math>X</math> della [[retta reale]] <math>\R </math> ed un [[punto di accumulazione]] <math>x_0 </math> di <math>X</math>. Un [[numero reale]] <math> l </math> è il limite di <math> f(x) </math> per <math> x </math> tendente a <math> x_0 </math> se la distanza fra <math> f(x) </math> ed <math> l </math> è arbitrariamente piccola quando <math>x </math> si avvicina a <math> x_0 </math>.
Formalmente, <math> l </math> è limite se per ogni [[numero reale]] <math> \varepsilon > 0 </math> piccolo a piacere esiste un altro numero reale positivo <math>\delta </math> tale che:
:<math> |f(x)-l|<\varepsilon </math> per ogni <math> x </math> in <math> X </math> con <math>0<|x-x_0|<\delta </math>.
In questo caso si scrive:
:<math>\lim_{x \to x_0}f(x) = l</math>
La definizione di limite di una funzione è comoda per formalizzare il concetto di [[funzione continua]].
==Limite di un ultrafiltro==
Dato uno [[spazio topologico]] <math>(X,T)</math>, un punto <math>x \in X</math> è il limite di un [[ultrafiltro]] <math>U</math> su <math>X</math> se ogni [[intorno]] di <math>x</math> appartiene a <math>U</math>.
Il limite di una funzione rispetto ad un [[Filtro (matematica)|filtro]] è definito considerando una funzione <math>f : B \subset X \to Y</math> tra spazi topologici e un filtro <math>U</math> su <math>B</math>. Il punto <math>y \in Y</math> è il limite di <math>f</math> in <math>x \in X</math> rispetto ad <math>U</math> se <math>x</math> è il limite di <math>U</math> e <math>y</math> è il limite di <math>f(U)</math>. Si scrive in tal caso:
:<math>\lim_U f(x) = y</math>
==Limite insiemistico==
{{vedi anche|Limite insiemistico}}
Il concetto di limite si estende anche alle successioni di [[insieme|insiemi]] attraverso le nozioni di [[limite superiore e limite inferiore]]: data una successione di insiemi <math>\{A_n\}_n</math>, l'insieme limite è definito come l'insieme che intuitivamente contiene gli elementi che stanno nel maggior numero di insiemi della successione. Formalmente, una successione di insiemi si dice possedere limite se vale la seguente uguaglianza:
:<math>{\bigcap_{n=1}^\infty}\left({\bigcup_{m=n}^\infty}A_m\right) = {\bigcup_{n=1}^\infty}\left({\bigcap_{m=n}^\infty}A_m\right) =: \lim_{n \to \infty} A_n</math>
== Note ==
<references/>
== Bibliografia ==
* {{Cita libro|autore=Carlo Domenico Pagani|autore2=[[Sandro Salsa]]|titolo=Analisi matematica 1|edizione=Seconda edizione|editore=[[Zanichelli]]|città=[[Bologna]]|ISBN=978-88-08-15133-9}}
* {{Cita pubblicazione|autore=Lucia Doretti|titolo=Limiti di funzioni|editore=Dipartimento di Ingegneria dell'Informazione e Scienze Matematiche dell'[[Università di Siena]]|url=https://www.dsv.unisi.it/sites/st15/files/allegatiparagrafo/01-12-2014/6._limiti_di_funzioni.pdf}}
* [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]], ''Analisi Matematica Uno'', Liguori Editore, Napoli, ISBN 88-207-2819-2, 1998.
* [[Nicola Fusco (matematico)|Nicola Fusco]], [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]], ''Lezioni di analisi matematica due'', Zanichelli Editore, Bologna, ISBN 978-88-08-52020-3, 2020.
* {{en}} Moore E.H., Smith H.L., "A General Theory of Limits". ''American Journal of Mathematics'' '''44''' (2), 102–121 (1922).
* {{en}} Miller, N. ''Limits: An Introductory Treatment''. Waltham, MA: Blaisdell, 1964.
* {{en}} Gruntz, D. ''On Computing Limits in a Symbolic Manipulation System''. Doctoral thesis. Zürich: Swiss Federal Institute of Technology, 1996.
* {{en}} Hight, D. W. ''A Concept of Limits''. New York: Prentice-Hall, 1966.
* {{en}} Kaplan, W. "Limits and Continuity." §2.4 in ''Advanced Calculus, 4th ed''. Reading, MA: Addison-Wesley, pp. 82–86, 1992.
==Voci correlate==
*[[Convergenza]]
*[[Forma indeterminata]]
*[[Limite di una funzione]]
*[[Limite di una successione]]
*[[Limite insiemistico]]
*[[Limite notevole]]
*[[Limite superiore e limite inferiore]]
*[[Regola di De L'Hôpital]]
*[[Stima asintotica]]
== Altri progetti ==
{{Interprogetto|preposizione=sui|etichetta=limiti}}
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* {{springerEOM|titolo=Limit|autore= L.D. Kudryavtsev }}
{{analisi_matematica}}
{{Topologia}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Limiti| ]]
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