Formula di Grassmann: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], la '''formula di Grassmann''' è una relazione che riguarda le [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensioni]] dei [[sottospazio vettoriale|sottospazi vettoriali]] di uno [[spazio vettoriale]] o dei [[sottospazio proiettivo|sottospazi proiettivi]] di uno [[spazio proiettivo]].

IlLa formula di Grassmann, il cui nome è stato scelto in onore del matematico tedesco [[Hermann Grassmann]], (1809-1877)afferma inoltre che i sottospazi di uno spazio vettoriale muniti delle operazioni binarie + e <math>\cap </math> costituiscono un [[reticolo modulare]].

== DefinizioneEnunciato ==

Sia <math> V </math> uno [[spazio vettoriale]] su un [[Campo_Campo (matematica)|campo]] <math>K </math> dotato di [[dimensione]] finita, cioè dotato di una [[base (algebra lineare)|base]] finita;. sianoSiano <math> W </math> e <math> U </math> due sottospazi di <math> V </math>. IndichiamoIndicando con <math> W+U </math> il [[sottospazio vettoriale|sottospazio somma]] di <math>W</math> e <math>U</math>, dato da:<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 52|lang}}.</ref>

:<math> W + U := \{ \mathbf w+\mathbf u\ |\ \mathbf w \in W, \mathbf u \in U\} </math>

e con <math> W\cap U </math> il loro [[sottospazio vettorialeintersezione, la formula di Grassmann afferma che:<ref>{{Cita|sottospazioHoffman, intersezione]]Kunze|Pag. 46|kunze}}.</ref>

:<math>\dim(W + U) = \dim(W) + \dim(U) - \dim(W \cap U)</math>

La formula di Grassman afferma che:

<center><div style="float:center; width:420px; padding:8px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:center">

<math>\dim(W + U) = \dim(W) + \dim(U) - \dim(W \cap U)</math>

</div></center>

=== EsempiSomma diretta ===

{{vedi anche|Somma diretta}}

Due sottospazi <math> U </math> e <math> W </math> sono in somma diretta se <math> U\cap W =\{0\}</math>. In questo caso la formula di Grassmann asserisce che:

:<math> \dim(U + W) = \dim(U) + \dim(W) </math>

=== Spazio tridimensionale ===

Questa formula si visualizza facilmente e significativamente nel caso in cui <math> V </math> sia lo [[spazio vettoriale]] tridimensionale sui reali <math>\R^3 </math>; le possibilità per i sottospazi portano alla seguente casistica:

* Uno dei due sottospazi <math> W </math> o <math>U</math> ha dimensione 0 o 3: in questo caso (a meno di scambiare i nomi dei due sottospazi) abbiamo <math> W + U = U </math> e <math> W\cap U = W </math> e la formula si riduce a una identità.

* <math> W </math> e <math>U</math> sono sottospazi di dimensione 1 (cioè rette passanti per l'origine):

** se le rette sono distinte <math> W\cap U</math> contiene solo il vettore nullo ed ha dimensione 0 e <math> W + U </math> è il piano contenente le due rette, per cui la formula si riduce a 1 + 1 = 2 + 0.

** se coincidono <math> W + U = W = U = W\cap U</math> e ancora si ha una identità.

*<math> W </math> è una retta per l'origine e <math> U </math> un piano per l'origine:

** se la retta non giace nel piano si ha: 1 + 2 = 3 + 0;

** se la retta giace nel piano: 1 + 2 = 2 + 1.

*<math> W </math> e <math>U</math> sono piani per l'origine:

** se non coincidono la loro intersezione è una retta e si ha: 2 + 2 = 3 + 1;

** se coincidono si ha un'identita` che numericamente afferma: 2 + 2 = 2 + 2.

Se inoltre <math> V = U + W </math>, si dice che <math> V </math> si decompone in somma diretta di <math> U </math> e <math> W </math> e si scrive:

=== Somma diretta ===

{{vedi anche|somma diretta}}

==== Definizione ====

Due sottospazi <math> U </math> e <math> W </math> sono in '''somma diretta''' se <math> U\cap W =\{0\}</math>. In questo caso la formula di Grassmann asserisce che

:<math> \dim(U + W) = \dim(U) + \dim(W). </math>

Se inoltre <math> V = U + W </math>, si dice che <math> V </math> si '''decompone in somma diretta''' di <math> U </math> e <math> W </math> e si scrive

:<math> V = U \oplus W.</math>

In questo caso il sottospazio <math>W </math> è un '''supplementare''' di <math> U </math> (e viceversa).

:<math> V = U \oplus W</math>

==== Esempi ====

Lo spazio <math> M(n) </math> delle [[matrice quadrata|matrici quadrate]] <math> n\times n </math> a coefficienti in un campo <math>K </math> si decompone nei sottospazi delle [[matrice simmetrica|matrici simmetriche]] e delle [[matrice antisimmetrica|antisimmetriche]]:

In questo caso il sottospazio <math>W </math> è un ''supplementare'' di <math> U </math> (e viceversa).

:<math> M(n) = S(n) \oplus A(n).</math>

Ad esempio, lo spazio <math> M(n) </math> delle [[matrice quadrata|matrici quadrate]] <math> n\times n </math> a coefficienti in un campo <math>K </math> si decompone nei sottospazi delle [[matrice simmetrica|matrici simmetriche]] e delle [[matrice antisimmetrica|antisimmetriche]]:

La formula di Grassmann porta alla uguaglianza concernente le dimensioni dei due sottospazi della forma:

:<math> n^2 = \frac{n(n+1)}2 + \frac {n(n-1)}2. </math>

:<math> M(n) = S(n) \oplus A(n)</math>

La formula di Grassmann porta all'uguaglianza concernente le dimensioni dei due sottospazi della forma:

:<math> n^2 = \frac{n(n+1)}2 + \frac {n(n-1)}2 </math>

== Dimostrazione ==

=== Struttura della dimostrazione ===

La formula si dimostra individuando due basi per <math> W </math> e <math> U </math> che hanno in comune i vettori che costituiscono una base per la loro intersezione. Più precisamente, si prende una base <math> B </math> per <math> W\cap U </math>, e si [[completamento a base|completa]] ad una base <math> B \cup B_U </math> di <math> U</math>, e ad una base <math> B \cup B_W </math> di <math> W </math>. I vettori in:

:<math> B \cup B_U </math>

di :<math> U</math>,B e\cup adB_U una\cup baseB_W </math>

:<math> B \cup B_W </math>

[[span lineare|generano]] lo spazio <math> U + W </math>, si verifica che sono indipendenti, e quindi sono una base per <math> U+ W </math>. Un conteggio degli elementi nelle tre basi trovate fornisce la formula di Grassmann.

di <math> W </math>. I vettori in

:<math> B \cup B_U \cup B_W </math>

[[span lineare|generano]] lo spazio <math> U + W </math>, si verifica che sono indipendenti, e quindi sono una base per <math> U+ W </math>. Un conteggio degli elementi nelle quattro basi trovate fornisce la formula di Grassmann.

=== Verifica dell'indipendenza lineare ===

L'unico fatto che necessita di una dimostrazione approfondita è l'indipendenza dei vettori in :

:<math> B \cup B_U \cup B_W </math>

:<math> B \cup B_U \cup B_W </math>

che viene mostrata nel modo seguente: sia

:<math> B = \{v_1,\ldots, v_d\},\quad B_U = \{u_1,\ldots,u_s\},\quad B_W =\{w_1,\ldots,w_t\}. </math>

che viene mostrata nel modo seguente. Sia:

Supponiamo l'esistenza di una [[combinazione lineare]] nulla

:<math> \lambda_1v_1+\ldots \lambda_dv_d+ \mu_1u_1+\ldots+\mu_su_s+\gamma_1w_1+\ldots+\gamma_tw_t = 0. \,\!</math>

:<math> B = \{\mathbf v_1,\ldots, \mathbf v_d\},\quad B_U = \{\mathbf u_1,\ldots,\mathbf u_s\},\quad B_W =\{\mathbf w_1,\ldots,\mathbf w_t\} </math>

In altre parole, raggruppando

:<math> v = \lambda_1v_1+\ldots \lambda_dv_d, \quad u = \mu_1u_1+\ldots+\mu_su_s, \quad w = \gamma_1w_1+\ldots+\gamma_tw_t </math>

Si supponga l'esistenza di una [[combinazione lineare]] nulla:

si ottiene

:<math> v + u + w = 0. \,\!</math>

:<math> \lambda_1 \mathbf v_1+\ldots \lambda_d \mathbf v_d+ \mu_1 \mathbf u_1+\ldots+\mu_s \mathbf u_s+\gamma_1 \mathbf w_1+\ldots+\gamma_t \mathbf w_t = 0 </math>

Da questo segue che <math> w = -v-u </math>, e poiché sia <math> v </math> che <math> u </math> appartengono a <math> U </math>, ne segue che anche <math> w </math> appartiene a <math> U </math>. Quindi <math> w </math> appartiene all'intersezione <math> U\cap W </math>, e si scrive come combinazione lineare di elementi di <math> B </math>. D'altra parte, come elemento di <math> W </math>, è descritto come combinazione lineare di elementi di <math> B_W </math>: poiché ogni elemento ha un'unica descrizione come combinazione lineare di elementi di una base, ne segue che entrambe queste combinazioni hanno tutti i coefficienti nulli. Quindi

:<math> \gamma_1=\ldots=\gamma_t= 0, \quad w=0. </math>

In altre parole, raggruppando:

Si ottiene quindi <math> v+u=0 </math>. Poiché i vettori

:<math> B\cup B_U </math>

:<math> \mathbf v = \lambda_1 \mathbf v_1+\ldots \lambda_d \mathbf v_d, \quad \mathbf u = \mu_1 \mathbf u_1+\ldots+\mu_s \mathbf u_s, \quad \mathbf w = \gamma_1 \mathbf w_1+\ldots+\gamma_t \mathbf w_t </math>

sono una base di <math> U </math>, sono quindi indipendenti, e ne segue che anche

:<math> \lambda_1=\ldots =\lambda_d =0, \quad \mu_1=\ldots=\mu_s = 0. </math>

si ottiene:

Quindi i coefficienti sono tutti nulli: l'insieme

:<math> B\cup B_U\cup B_W </math>

:<math> \mathbf v + \mathbf u + \mathbf w = 0 </math>

Da questo segue che <math> \mathbf w = -\mathbf v-\mathbf u </math>, e poiché sia <math> \mathbf v </math> che <math> \mathbf u </math> appartengono a <math> U </math>, ne segue che anche <math> \mathbf w </math> appartiene a <math> U </math>. Quindi <math> \mathbf w </math> appartiene all'intersezione <math> U\cap W </math>, e si scrive come combinazione lineare di elementi di <math> B </math>. D'altra parte, come elemento di <math> W </math>, è descritto come combinazione lineare di elementi di <math> B_W </math>: poiché ogni elemento ha un'unica descrizione come combinazione lineare di elementi di una base, ne segue che entrambe queste combinazioni hanno tutti i coefficienti nulli. Quindi:

:<math> \gamma_1=\ldots=\gamma_t= 0, \quad \mathbf w=0 </math>

Si ottiene quindi <math> \mathbf v+\mathbf u=0 </math>. Poiché i vettori <math> B\cup B_U </math> sono una base di <math> U </math>, sono quindi indipendenti, e ne segue che anche:

:<math> \lambda_1=\ldots =\lambda_d =0, \quad \mu_1=\ldots=\mu_s = 0 </math>

Quindi i coefficienti sono tutti nulli, e l'insieme:

:<math> B\cup B_U\cup B_W </math>

è formato da elementi indipendenti, ed è quindi una base.

=== Conteggio dimensioni ===

Usando le notazioni appena introdotte, il conteggio delle dimensioni dà proprio :

:<math> \dim (U+W) = d+s+t = (d+s) + (d+t) - d = \dim U + \dim W -\dim (U\cap W).</math>

:<math> \dim (U+W) = d+s+t = (d+s) + (d+t) - d = \dim U + \dim W -\dim (U\cap W)</math>

==Dimostrazione alternativa==

ConsideriamoSi consideri la funzione :

:<math>f \;\colon\; U \times W \to U + W \;\colon\; (u,w) \mapsto \mathbf u + \mathbf w </math>

che si verifica essere un'[[applicazione lineare]], inoltre banalmente <math>\mathrm{im}(f) = U + W </math> e <math>\ker(f) = \{(v,-v) : v \in U \cap W\} </math>, quest'ultimo è uno spazio vettoriale isomorfo a <math>U \cap W</math> (l'isomorfismo è dato da <math>\phi\, \colon\, \ker(f) \to U \cap W \,\colon\, (v,-v) \mapsto v</math>), quindi

che si verifica essere un'[[applicazione lineare]]. Si ha:

:<math>\mathrm{im}(f) = U + W \qquad \ker(f) = \{(\mathbf v,-\mathbf v) : \mathbf v \in U \cap W\} </math>

Il nucleo è uno spazio vettoriale isomorfo a <math>U \cap W</math>, e l'isomorfismo è dato da:

:<math>\phi\, \colon\, \ker(f) \to U \cap W \,\colon\, (\mathbf v,-\mathbf v) \mapsto \mathbf v</math>

Si ha quindi:

:<math>\dim(U + W) + \dim(U \cap W) = \dim(\mathrm{im}(f)) + \dim(\ker(f)) </math>

::<math>= \dim(U \times W) = \dim(U) + \dim(W)</math>

dove si è applicato il [[Teorema della dimensione|teorema del rango più nullità]].

== Dimostrazione con il teorema di isomorfismo ==

==Proprietà==

La formula di Grassmann può essere vista come corollario del [[Teorema di isomorfismo#Secondo teorema d'isomorfismo (teorema del diamante)|secondo teorema di isomorfismo]]:

* La formula di Grassmann dice che i sottospazi di uno spazio vettoriale muniti delle operazioni binarie + e <math>\cap </math> costituiscono un [[reticolo modulare]].

:<math>{U + W} / W \cong U / {U \cap W}</math>

con <math>U</math> e <math>W</math> visti come [[gruppo (algebra)|gruppi]] (notazione additiva), e dove con <math>/ </math> si intende l'ordinario [[spazio vettoriale quoziente|quoziente]] insiemistico. Infatti si ha:

:<math> \dim{({U + W} / W)} = \dim({U / {U \cap W}})</math>

:<math> \dim{(U + W)} - \dim{(W)} = \dim{(U)} - \dim{(U \cap W)}</math>

che è la formula di Grassmann.

== Esempi ==

Questa formula si visualizza facilmente e significativamente nel caso in cui <math> V </math> sia lo [[spazio vettoriale]] tridimensionale sui reali <math>\R^3 </math>; le possibilità per i sottospazi portano alla seguente casistica:

* Uno dei due sottospazi <math> W </math> o <math>U</math> ha dimensione 0 o 3: in questo caso (a meno di scambiare i nomi dei due sottospazi) si ha <math> W + U = U </math> e <math> W\cap U = W </math> e la formula si riduce a una identità.

* <math> W </math> e <math>U</math> sono sottospazi di dimensione 1 (cioè rette passanti per l'origine):

** se le rette sono distinte <math> W\cap U</math> contiene solo il vettore nullo ed ha dimensione 0 e <math> W + U </math> è il piano contenente le due rette, per cui la formula si riduce a 1 + 1 = 2 + 0.

** se coincidono <math> W + U = W = U = W\cap U</math> e ancora si ha una identità.

*<math> W </math> è una retta per l'origine e <math> U </math> un piano per l'origine:

** se la retta non giace nel piano si ha: 1 + 2 = 3 + 0;

** se la retta giace nel piano: 1 + 2 = 2 + 1.

*<math> W </math> e <math>U</math> sono piani per l'origine:

** se non coincidono la loro intersezione è una retta e si ha: 2 + 2 = 3 + 1;

** se coincidono si ha un'identità che numericamente afferma: 2 + 2 = 2 + 2.

== Note ==

<references/>

== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992| isbn= 88-339-5035-2|cid =lang}}

* {{cita libro | cognome= Hoffman| nome= Kenneth |coautori= Ray Kunze| titolo= Linear Algebra| url= https://archive.org/details/linearalgebra00hoff_0| editore= Prentice - Hall, inc.| città= Englewood Cliffs, New Jersey| anno= 1971|ed = 2|isbn= 0-13-536821-9|cid =kunze}}

==Voci correlate==

* [[Base (algebra lineare)|base]]

* [[Dimensione (spazio vettoriale)]]

* [[Somma diretta]]

* [[Sottospazio vettoriale]]

* [[Teorema della dimensione]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Algebra lineare}}

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[[Categoria:Algebra lineare]]

[[es:Fórmula de Grassman]]

[[ru:Формула Грассмана]]