Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

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{{F|numeri|arg2=teorie dell'informatica|luglio 2012}}

Gli '''Assiomiassiomi di Peano''' sono un gruppo di [[Assioma (matematica)|assiomi]] ideati dal matematico [[Giuseppe Peano]] al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei [[numeri naturali]]. Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

<div style="float:center; width:95%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

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#Ogni numero naturale ha un numero naturale successore

#Numeri diversi hanno successori diversi

#0 non è il successore di alcun numero naturale

#Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)

</div>

Si prende 0 o 1 a seconda del modello dei numeri naturali voluto. Oltre a questi assiomi, Peano sottindendesottintende anche gli [[assiomi logici]] che gli permettono di operare con la [[logica]] simbolica.

== Significato matematico degli assiomi ==

In termini più precisi possiamo dire che la struttura data dalla terna <math>(\mathbb N, 0, S)</math> composta dall'[[insieme]] dei [[numeri naturali]] <math>\mathbb N\!</math>, lo [[zero]] e la [[funzione (matematica)|funzione]] "successore" <math>S: \N \to \N</math> può essere caratterizzata ''a meno di isomorfismi'' (in seguito sarà più chiaro in che senso) dai seguenti ''assiomi di Peano'':

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted purplered;">

:(P1) Esiste un numero <math>0 \in \mathbb N</math>

:(P2) Esiste una [[funzione (matematica)|funzione]] <math>S: \N \to \N</math> (chiamata "successore")

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Analizziamo la funzione di ciascun assioma:

* (P1) ci dice che l'insieme <math>\mathbb N\!</math> non è [[insieme vuoto|vuoto]] specificandone un elemento (<math>0</math>);

* (P2) afferma l'esistenza di una funzione <math>S</math> (la ''funzione successore'') di cui l'insieme <math>\mathbb N</math> è [[dominio (matematica)|dominio]] e [[codominio]].

* (P3) dice che <math>S</math> è una [[funzione iniettiva]]; questo ci permette di escludere modelli in cui partendo da <math>0</math> e andando avanti ripetutamente da un elemento al successore si possa ritornare su un elemento già visitato e rimanere confinati in un ciclo;

* (P4) dice che <math>0</math> non è nell'[[immagine (matematica)|immagine]] di <math>S</math>, questo ci permette di escludere modelli in cui iterando la funzione successore si possa compiere un loop che ritorni al punto di partenza; questo assioma con il precedente esclude qualsiasi modello dotato di un numero finito di elementi.

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== Unicità del modello a meno di isomorfismi ==

Ciascun assioma consente di ridurre progressivamente il campo dei [[modello (logica)|modelli]] possibili tagliando fuori, via via, modelli che sono strutturalmente diversi dall'insieme dei numeri naturali (come l'insieme vuoto o insiemi con numero finito di elementi o strutture cicliche). I cinque assiomi sono sufficienti ad escludere tutti i modelli "non buoni" e, quindi, caratterizzare univocamente la struttura dei numeri naturali o, magari, occorrono altri assiomi?

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::allora <math>U=X</math>

Un sistema di Peano è dunque un [[modello (logica)|modello]] valido degli assiomi di Peano. Il modello più naturale per gli assiomi è la struttura <math>(\mathbb N, 0, S)</math>, tuttavia questa '''non''' è l'unica a verificare gli assiomi. Un esempio di sistema di Peano diverso da <math>(\mathbb N , 0, S)</math> si ha prendendo come <math>X</math> l'insieme dei numeri pari positivi <math>\{2,4,6,...\}</math>, <math>x_0:=2</math> e <math>s(x):=x+2</math>.

Un ''[[isomorfismo]]'' tra due ''sistemi di Peano'' <math>(A,a_0,s)</math> e <math>(B,b_0,t)</math> è una [[biiezione]] <math>f:A \to B</math> tale che:

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Con queste definizioni è possibile determinare che gli assiomi sono sufficienti a dare una caratterizzazione univoca, cioè non esistono modelli non isomorfi alla struttura dei numeri naturali. È ciò che afferma il

'''Teorema di Categoricità:''': Tutti i sistemi di Peano sono isomorfi al sistema <math>(\mathbb N, 0, S)</math>.

''Dimostrazione'': un isomorfismo tra un qualunque sistema di Peano <math>(A,a_0,s)</math> e il sistema <math>(\mathbb N,0,S)</math> si ha considerando la biiezione <math>f:\mathbb N \to A</math> definita da:<br/>

:<math>0 \mapsto a_0</math><br/>

:<math>1 \mapstobegin{align} s(a_0)</math><br/>

:<math>20 &\mapsto s(s(a_0))</math><br/>\\

1 &\mapsto s(a_0)\\

:...<br/>

:<math>2 &\mapsto s(s(a_0))\\
\vdots\\
n &\mapsto s(s(...s(s(a_0))...))
\end{align}</math>
con <math>n</math> composizioni di <math>s</math>.<math>\square</math><br/>

== Indipendenza degli assiomi ==

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== Ruolo nella logica matematica ==

Gli assiomi di Peano appartengono alla [[logica dei predicati del secondo ordine]] poiché il quinto assioma (il principio di induzione) richiede un uso di [[quantificatore|quantificatori]] sui [[sottoinsieme|sottoinsiemi]] dei numeri naturali.

La versione degli assiomi di Peano nella [[teoria del primo ordine|logica del primo ordine]] è chiamata [[aritmetica di Peano]] ed ha un ruolo molto importante nella [[teoria della calcolabilità]] e nella [[logica matematica]] poiché soddisfa le condizioni di validità dei [[teoremi di incompletezza di Gödel]].

== Voci correlateBibliografia==

*{{Cita libro|autore=Giuseppe Peano|wkautore=Giuseppe Peano|titolo=Arithmetices principia, nova methodo exposita|città=Torino|anno=1889|url=https://www.archive.org/details/arithmeticespri00peangoog}}

== Voci correlate ==

* [[Principio di induzione]]

* [[Aritmetica di Peano]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Teoria degli insiemi}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria degli insiemi]]

[[Categoria:Teoria dei numeri]]

[[categoriaCategoria:Assiomi]]

[[Categoria:Logica nell'informatica]]

[[be:Аксіомы Пеана]]

[[be-x-old:Аксіёмы Пэана]]

[[ca:Axiomes de Peano]]

[[cs:Peanovy axiomy]]

[[da:Peanos aksiomer]]

[[de:Peano-Axiome]]

[[en:Peano axioms]]

[[es:Axiomas de Peano]]

[[fi:Peanon aksioomat]]

[[fr:Axiomes de Peano]]

[[he:מערכת פאנו]]

[[hu:Giuseppe Peano#A természetes számok Peano-axiómái]]

[[ja:ペアノの公理]]

[[ko:페아노 공리계]]

[[nl:Axioma's van Peano]]

[[pms:Assiòma ëd Peano]]

[[pt:Axiomas de Peano]]

[[ru:Аксиомы Пеано]]

[[sv:Peanos axiom]]

[[tr:Peano aksiyomları]]

[[zh:皮亚诺公理]]