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[[File:Integral-area-under-curve.png|thumb|L'area sottesa ad una curva può essere interpretata come l'integrale di quella curva.]]
{{Avvisounicode}}
In [[analisi matematica]], l{{'}}'''integrale di Lebesgue''' di una [[funzione (matematica)|funzione]], il cui nome è dovuto a [[Henri Lebesgue]], è l'[[integrale]] rispetto a una [[Misura (matematica)|misura]] definita su una [[sigma-algebra]]. La locuzione si riferisce anche al caso particolare in cui si integri una funzione definita su un sottoinsieme dell'[[Numero reale|asse reale]], o in generale di uno [[spazio euclideo]], rispetto alla [[misura di Lebesgue]].
{{quote|Qualcuno crede che la differenza fra l'integrale di Lebesgue e l'integrale di Riemann possa avere significato fisico, e comunque se ne dica, che un aereo possa volare o no potrebbe dipendere da questa differenza? Se si sostenesse questo, non avrei problemi a volare su quell'aereo.|[[Richard Hamming]]{{citazione necessaria}}|Does anyone believe that the difference between the Lebesgue and Riemann integrals can have physical significance, and that whether say, an airplane would or would not fly could depend on this difference? If such were claimed, I should not care to fly in that plane.|lingua=en}}
Si tratta di una generalizzazione dell'[[integrale di Riemann]] (il quale è stato storicamente il primo a formalizzare l'idea di '''integrale'''), che permette di definire l'integrale di una più ampia classe di funzioni. Ad esempio, la [[funzione di Dirichlet]] è integrabile per mezzo dell'integrale di Lebesgue, mentre non lo è con l'integrale di Riemann. L'integrale di Lebesgue risponde inoltre alla necessità di considerare funzioni sempre più irregolari, ad esempio il risultato di processi al limite nell'[[analisi matematica]] e nella [[teoria della probabilità|teoria matematica della probabilità]].
[[Immagine:Integral-area-under-curve.png|thumb|L'integrale può essere interpretato come l'area sotto una curva]]
In [[matematica]], l<nowiki>'</nowiki>''[[integrale]]'' di una funzione può essere visto, nel caso più semplice, come l'area tra il grafico della funzione e l'asse delle ''x''. La prima formalizzazione dell'idea di integrale si ha con il concetto di [[integrale di Riemann]]. Non tutte le funzioni sono integrabili nel senso di Riemann, un esempio classico è dato dalla [[funzione di Dirichlet]]. La nozione di '''integrale di Lebesgue''' estende l'integrale a una classe di funzioni più grande; inoltre estende i domini nei quali queste funzioni possono essere definite. Da molto tempo si è compreso che per funzioni che abbiano un grafico sufficientemente liscio (come nel caso di funzioni continue integrate su un intervallo chiuso e limitato) l<nowiki>'</nowiki>''area sotto la curva'' può essere definita come l'integrale e può essere calcolata utilizzando tecniche di approssimazione della regione con poligoni. Tuttavia, con il crescere della necessità di considerare funzioni sempre più irregolari (ad esempio come risultato di processi al limite nell'[[analisi matematica]] e nella [[teoria della probabilità|teoria matematica della probabilità]]) è diventato sempre più evidente che era necessaria una maniera più precisa e opportuna per definire gli integrali in questi casi.
L'integrale di Lebesgue ha un ruolo importante nel settore della matematica chiamato [[analisi matematica]] e in molti altri campi della matematica.
L'integrale di Lebesgue prende il nome da [[Henri Lebesgue]] ([[1875]]-[[1941]]). Viene pronunciato come ''Lebeg'' ({{IPA|ləˈbɛɡ}}).
== Introduzione ==
Come parte della generale tendenza dei matematici del [[XIX secolo]] ad usare maggior rigore nelle loro dimostrazioni, erano stati fatti dei tentativi per dare al calcolo integrale basi più solide. L'[[integrale di Riemann]], proposto da [[Bernhard Riemann]] ([[1826]]-[[1866]]), fu un tentativo piuttosto riuscito di fondare tali basi. La definizione di Riemann parte dalla costruzione di una successione di integrali facilmente calcolabili che convergono al limite ad una data funzione: tale definizione forniva la generalizzazione attesa per molti problemi già risolti, risultando al contempo utile per altri problemi in prospettiva.
L'integrale di una funzione ''f'' tra i limiti ''a'' e ''b'' può essere interpretato come l'area sotto il grafico di ''f''. Questo è facile da capire per funzioni familiari come i polinomi, ma quale è il suo senso per funzioni più esotiche? In generale, quale è la classe di funzioni per le quali l'espressione "area sotto la curva" ha senso? La risposta a questa domanda ha grande importanza teorica e pratica.
Come parte della generale tendenza al rigore in matematica del [[XIX secolo]], erano stati fatti dei tentativi per porre il calcolo integrale su basi solide. L'[[integrale di Riemann]], proposto da [[Bernhard Riemann]] ([[1826]]-[[1866]]), è un tentativo largamente riuscito di fornire tale fondazione all'integrale. La definizione di Riemann parte con la costruzione di una successione di integrali facilmente calcolabili che convergono all'integrale di una data funzione. Questa definizione è di successo nel senso che fornisce la risposta attesa per molti problemi già risolti, e risultati utili in molti altri problemi.
Tuttavia l'integrazione secondo Riemann non si comporta bene con i limiti di successioni di funzioni, rendendo questi processi al limite difficili da analizzare. Questi limiti sono di primaria importanza, ad esempio, nello studio delle [[serie di Fourier]], [[trasformata di Fourier|trasformate di Fourier]], e in altri campi. L'integrale di Lebesgue è più adatto a descrivere come e quando è possibile eseguire l'operazione di limite sotto il segno di integrale. La definizione di Lebesgue considera una differente classe di integrali facilmente calcolabili rispetto alla definizione di Riemann, e questa è la ragione principale per cui l'integrale di Lebesgue si comporta meglio.
La definizione di Lebesgue inoltre rende possibile il calcolo di integrali per una classe di funzioni più estesa.
Ad esempio, la [[funzione di Dirichlet]], che vale 0 dove il suo argomento è [[numero irrazionale|irrazionale]] e 1 altrimenti, ha un integrale di Lebesgue, ma non ha un integrale di Riemann.
L'integrazione secondo Riemann, tuttavia, è inapplicabile quando si trattino <u>limiti di successioni di funzioni</u>, rendendo questi processi difficili da analizzare. Detti <u>limiti</u> sono di primaria importanza nella matematica e nella [[fisica matematica]]. L'integrale di Lebesgue si è rivelato il più idoneo, fino ad ora nel prevedere se sia possibile eseguire l'operazione di limite sotto il segno di integrale. La definizione di Lebesgue considera infatti una differente classe di integrali facilmente calcolabili rispetto alla definizione di Riemann, e questa è la ragione principale per cui l'integrale di Lebesgue si è fatto preferire.
===Teoria della misura ===
{{vedi anche|teoria della misura}}
La teoria della misura è stata inizialmente creata per fornire un'analisi dettagliata della nozione di lunghezza dei sottoinsiemi della retta reale e più in generale aree e volumi di sottoinsiemi di [[spazio euclideo|spazi euclidei]]. In particolare, fornisce una risposta generale alla domanda: "quali sottoinsiemi di <math>\mathbb{R}</math> hanno una lunghezza?". Come mostrato da sviluppi successivi nella [[teoria degli insiemi]] (vedi [[insieme non misurabile]]), è effettivamente impossibile assegnare una lunghezza a tutti i sottoinsiemi di <math>\mathbb{R}</math> in un modo che preservi determinate proprietà di addittività naturale e di invarianza per traslazioni. Questo suggerisce che scegliere un'appropriata classe di sottoinsiemi ''misurabili'' sia un prerequisito essenziale.
La definizione di Lebesgue rende inoltre possibile il calcolo di integrali per una classe di funzioni più estesa. Ad esempio, la [[funzione di Dirichlet]], che vale 0 dove il suo argomento è [[numero irrazionale|irrazionale]] e 1 altrimenti, ha un integrale di Lebesgue, ma non ha un integrale di Riemann.
Naturalmente, l'integrale di Riemann usa la nozione di lunghezza implicitamente. Infatti, l'elemento di calcolo per l'integrale di Riemann è il rettangolo [''a'', ''b''] × [''c'', ''d''], la cui area è calcolata come (''b''-''a'')(''d''-''c''). La quantità ''b''-''a'' è la lunghezza della base del rettangolo e ''d''-''c'' è l'altezza del rettangolo. Riemann poteva usare solo rettangoli piani per approssimare l'area sotto la curva perché non esisteva una teoria adeguata per misurare insiemi più generali.
La costruzione dell'integrale di Lebesgue si basa sulla [[teoria della misura]]. La teoria della misura è stata inizialmente creata per fornire un'analisi dettagliata della nozione di lunghezza dei sottoinsiemi della retta reale e più in generale aree e volumi di sottoinsiemi di [[spazio euclideo|spazi euclidei]]. Come dimostrato molto presto nella [[teoria degli insiemi]] (vedasi [[insieme di Vitali]]), esistono [[insieme non misurabile|insieme non misurabili]], sottoinsiemi di <math>\R</math>, a cui è impossibile assegnare una lunghezza, in modo che preservino determinate proprietà di additività e di invarianza per traslazioni. Questo suggerisce che scegliere un'appropriata classe di sottoinsiemi, detti ''misurabili'', sia un prerequisito essenziale.
Nello sviluppo della teoria in testi più moderni (dopo il 1950), l'approccio alla misura e all'integrazione è ''assiomatico''. Questo significa che una misura è una qualsiasi funzione μ definita su un certo sottoinsieme ''X'' di un insieme ''E'' che soddisfa una certa lista di proprietà. Si mostra che queste proprietà valgono in molti casi.
== Definizione ==
Sia μ<math>\mu</math> una misura[[Misura non negativa(matematica)|misura]] su una [[sigma-algebra]] ''<math>X''</math> di sottoinsiemi di un insieme ''<math>E''</math>. Ad esempio, ''<math>E''</math> può essere un [[spazio euclideo|''n''-spazio euclideo]] '''R'''<supmath>''\R^n''</supmath> o un qualche suo sottoinsieme [[misura di Lebesgue|Lebesgue-misurabile]], ''mentre <math>X''</math> può essere la sigma-algebra di tutti i sottoinsiemi Lebesgue-misurabili di ''<math>E''</math> e μ<math>\mu</math> la misura di Lebesgue. Nella teoria matematica delle probabilità μ<math>\mu</math> è una misura di [[probabilità]] su uno spazio di probabilità ''<math>E''</math> di misura 1.
===Funzioni misurabili===
{{vedi anche|funzione misurabile}}
Nella teoria di Lebesgue, gli integrali sono limitati a una classe di funzioni, chiamate funzioni misurabili. Una funzione ''<math>f''</math> è misurabile se la [[controimmagine]] di ogni intervallo <math>I \insubset X\R</math> è in <math>X</math>, ossia se <math>f^{-1}(I)</math> è un insieme misurabile di <math>X</math> per ogni aperto intervallo aperto <math>I = [(a,b])</math>:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 8|rudin}}.</ref>
:<math> f^{-1}(I) \in X, \quad \forall a < b.</math>
Si mostra che questo è equivalente alla richiesta che la preimmagine di ogni sottoinsieme [[algebra di Borel|boreliano]] di '''<math>\R'''</math> sia in ''<math>X''</math>. L'insieme delle funzioni misurabili è chiuso rispetto alle operazioni algebriche, ede in particolare la classe è chiusa rispetto a vari tipi di limiti puntuali di successioni. I [[limite superiore e limite inferiore|limiti superiore e inferiore]]:
: <math> \liminf_{k \in \mathbb{N}} f_k \quad</math> e <math>\quad\limsup_{k \in \mathbb{N}} f_k </math>
sono inoltre misurabili se la successione <math>\{f_k \}</math> è costituita da funzioni misurabili.
===Funzioni semplici===
{{vedi anche|funzione semplice}}
Una funzione semplice <math>fs</math> è una [[combinazione lineare]] finita di [[funzione indicatrice|funzioni indicatrici]] di [[insieme misurabile|insiemi misurabili]].<ref name=def>{{Cita|W. Rudin|Pag. 15|rudin}}.</ref>
Siano i [[numero reale|numeri reali]] o [[numero complesso|complessi]] <math>a_1, \dots, a_n </math> i valori assunti dalla funzione semplice <math>s</math> e sia:
:<math>A_i = \{x : s(x) = a_i \} \ .</math>
Allora:<ref name=def/>
:<math>s(x)=\sum_{i=1}^n a_i {\mathbf 1}_{A_i}(x),</math>
dove <math>{\mathbf 1}_{A_kA_i}(x)</math> è la [[funzione indicatrice]] relativa all'insieme <math>A_i</math> per ogni ''<math>i''</math>.
===Integrale di Lebesgue===
L'integrale di Lebesgue di una [[funzione semplice]] è definito nel seguente modo:
:<math>\int_F s \,d \mu = \sum_{i=1}^n a_i \mu (A_i \cap F), \quad F \in X.</math>
Sia ''<math>f''</math> una funzione misurabile non negativa su ''<math>E''</math> a valori sulla [[retta reale estesa]]. L'integrale di Lebesgue di ''<math>f''</math> sull'insieme ''<math>F''</math> rispetto alla misura <math>\mu</math> è definito nel seguente modo:<ref name=int>{{Cita|W. Rudin|Pag. 19|rudin}}.</ref>
:<math>\int_F f\,d\mu := \sup \int_F s \, d \mu,</math>
dove l'estremo superiore è valutato considerando tutte le funzioni semplici ''<math>s''</math> tali che <math>0 \le s \le f</math>. Il valore dell'integrale è un numero nell'intervallo <math>[0,+\infty]</math>.
L'insieme delle funzioni tali che:
:<math>\int_E |f| d\mu < \infty</math>
è detto insieme delle funzioni integrabili su ''<math>E''</math> secondo Lebesgue rispetto alla misura <math>\mu</math>, o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con <math>L^1(\mu)</math>.
L'integrale di Lebesgue di una funzione può essere visto come l'applicazione di un operatore lineare, più precisamente di un [[funzionale lineare]], alla funzione stessa. Data una funzione definita su un intervallo <math>I</math>, il [[Teorema di rappresentazione di Riesz|teorema di Riesz]] permette di affermare che per ogni funzionale lineare <math>\lambda</math> su '''C'''<math>\Complex</math> è associata una [[misura di Borel]] finita <math>\mu</math> su <math>I</math> tale che:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 34|rudin}}.</ref>
:<math>\lambda f = \int_I f\,d\mu .</math>
In questo modo il valore del funzionale dipende con continuità dalla lunghezza dell'intervallo di integrazione.
===Integrazione di funzioni complessenon semplici===
L'integrale di Lebesgue può essere immediatamente esteso al caso di funzioni complessenon semplici. Sia ''<math>f''</math> una funzione dall'insieme misurabile ''<math>E''</math> alla [[retta reale estesa]]. Allora è possibile scriverescomporre <math>f</math> nella sua [[Parte positiva e parte negativa di una funzione|parte positiva e parte negativa]]:
:<math> f = f^+ - f^- \ ,</math>
dove:
:<math>f^+(x) = \begin{cases}
:<math> f^+(x) = \left\{\begin{matrix} f(x) & \mbox{se} \quad f(x) \geq 0 \\ 0 & \mbox{altrimenti} \end{matrix}\right. </math>
f(x), & \text{se } f(x) \ge 0, \\
0, & \text{altrimenti},
\end{cases}</math>
:<math>f^-(x) = \begin{cases}
:<math> f^-(x) = \left\{\begin{matrix} -f(x) & \mbox{se} \quad f(x) < 0 \\ 0 & \mbox{altrimenti} \end{matrix}\right. </math>
-f(x), & \text{se } f(x) < 0, \\
0, & \text{altrimenti}.
Entrambe le funzioni sono non negative, e si ha:
\end{cases}</math>
:<math> |f| = f^+ + f^- \ </math>
Sia ora:
:<math> f = u + iv \in L^1(\mu),</math>
dove <math>u</math> e <math>v</math> sono funzioni reali misurabili in ''<math>E''</math>.
Si definisce integrale di Lebesgue di ''<math>f''</math> la relazione:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 24|rudin}}.</ref>
:<math> \int_E f d \mu = \int_E u^+ d \mu - \int_E u^- d \mu + i\int_E v^+ d \mu - i\int_E v^- d \mu \ ,</math>
per ogni insieme misurabile ''<math>E''</math>.
La definizione è motivata dal fatto che se <math> f = u + iv </math> con <math>u</math> e <math>v</math> sono funzioni reali misurabili su ''<math>E''</math>, allora ''<math>f''</math> è una funzione complessa e misurabile su ''<math>E''</math>. Inoltre, se ''<math>f''</math> è una funzione complessa e misurabile su ''<math>E''</math>, allora <math>u</math>, <math>v</math> e <math>|f|</math> sono funzioni reali misurabili su ''<math>E''</math>. Questo discende dal fatto che una funzione continua definita dalla [[composizione di funzioni]] misurabili è misurabile.<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 11|rudin}}.</ref>
==Proprietà==
==Integrale di Lebesgue e Integrale di Riemann==
L'integraleSia di Lebesgue è<math>\mu</math> una generalizzazionemisura dell'integralenon dinegativa Riemann,su euna la[[sigma-algebra]] motivazione<math>X</math> risiededi nelsottoinsiemi seguentedi fatto.un Sianoinsieme <math>fE</math>, e sia l'insieme <math>gF</math> due funzioni continue,appartenente a supporto compatto ed a valori in '''R'''<supmath>1X</supmath>. SiaDalla definitadefinizione unadi distranzaintegrale tradi leLebesgue duesegue funzioniche nelesso seguentegode mododelle seguenti proprietà:<ref name=prop>{{Cita|W. Rudin|Pag. 6820|rudin}}.</ref>
:* Se <math>d(0 \le f, \le g)</math>, =allora <math>\int_{-int_F f\infty}^{+,d\infty}|f(t)-mu \le \int_F g(t)|dt\,d\mu</math>.
* Se <math>A \subset B</math> e <math>0 \le f </math>, allora <math>\int_A f\,d\mu \le \int_B f\,d\mu</math>.
* Se <math>0 \le c < \infty</math> e <math>0 \le f </math>, allora <math>c\int_F f\,d\mu = \int_F cf\,d\mu</math>.
* Se <math>f(x)=0</math> per ogni <math>x \in F</math>, allora <math>\int_F f\,d\mu = 0</math>.
* Se <math>\mu(F)=0</math>, allora <math>\int_F f\,d\mu = 0</math>.
* Se <math>0 \le f </math>, allora <math>\int_F f\,d\mu = \int_F {\mathbf 1}_{F} f\,d\mu</math>.
Sia <math>s</math> una funzione semplice sull'insieme <math>E</math>. Si definisce:
Il completamento dello spazio metrico definito con la precedente operazione di distanza è lo spazio delle [[funzione misurabile|funzioni]] integrabili secondo Lebesgue, ponendo che due funzioni uguali [[quasi ovunque]] sono uguali.<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 69|rudin}}</ref>
:<math>\phi(F) = \int_F f d\mu.</math>
== Interpretazione intuitiva ==
[[Immagine:RandLintegrals.svg|right|thumb|250px|Integrale di Riemann (blu) e integrale di Lebesgue (rosso)]]
Per avere una certa intuizione sui differenti approcci all'integrazione, immaginiamo che si voglia trovare il volume di una montagna (sopra il livello del mare) e che i confini della montagna siano delimitati chiaramente (sono i limiti di integrazione).
Si dimostra che <math> \phi</math> è una misura su <math>X</math> e:<ref name=prop/>
L<nowiki>'</nowiki>'''approccio di Riemann-Darboux ''': Taglia la montagna in fette verticali, ciascuna con una base quadrata al livello del mare. Prendi un paio di punti interni a questo quadrato, uno dove l'altezza è massima e uno dove l'altezza è minima. Associate a queste due altezze ci sono un volume superiore e un volume inferiore, ottenuti moltiplicando le altezze per l'area del quadrato. La somma superiore di Riemann è la somma dei volumi superiori di tutte le fette, e analogamente si ottiene la somma inferiore di Riemann. L'integrale di Riemann esiste se le somme superiori e inferiori convergono man mano che lo spessore delle fette tende verso 0.
:<math>\int_F g \, d\phi = \int_F gf \, d\mu,</math>
L<nowiki>'</nowiki>'''approccio di Lebesgue''': Disegna una carta a [[curve di livello]] della montagna. Per la curva di livello (o insieme di curve) di altezza minore, trova l'area totale racchiusa (nella mappa) da esse. Moltiplica questa misura per l'altezza rappresentata dall'insieme delle curve di livello: il prodotto sarà un addendo della "somma di Lebesgue".
per ogni funzione misurabile <math>g</math> a valori sulla retta reale estesa.
Quindi trova una curva di livello, o un insieme di curve, che si trovano un gradino più in su in altezza (cioè all'altezza più bassa fra le curve di livello rimanenti). Calcola la misura dell'area racchiusa da esse. Moltiplica la misura per la differenza in altezza (rispetto al passo precedente), e il prodotto sarà un altro addendo della "somma di Lebesgue".
La precedente affermazione è equivalente al dire che:
Ripeti questo processo per livelli successivi di curve sempre più alte, finché l'insieme di curve di livello più alto è stato elaborato. La somma risultante è la chiusura lineare, in cui ogni curva di livello corrisponde a una funzione indicatrice.
:<math>d\phi = f d\mu.</math>
La somma può essere raffinata aggiungendo curve di livello intermedio alla mappa, dimezzando la differenza fra altezze successive e poi ricalcolando la somma. L'integrale di Lebesgue è il limite di questo processo.
L'integrale di Lebesgue è inoltre [[trasformazione lineare|lineare]]. Se <math>f</math> e <math>g</math> sono funzioni integrabili e <math>a</math> e <math>b</math> sono numeri reali, allora <math>af + bg</math> è integrabile e:<ref name=prop/>
Un modo equivalente a quello sopra per esprimere l'integrale di Lebesgue, ma che mette in risalto questo aspetto intuitivo, si ottiene definendo
:<math>\int f\ d\mu := \int_0^{+\infty} \mu(f^{-1}([t,+\infty)))\ dt</math>
dove ''f'' è positiva e l'integrale a destra è un normale integrale di Riemann.
:<math>\int (a f + bg) \, d \mu = a\!\int f \, d\mu + b\!\int g \, d\mu.</math>
==Proprietà==
Sia μ una misura non negativa su una [[sigma-algebra]] ''X'' di sottoinsiemi di un insieme ''E'', e sia l'insieme ''F'' appartenente a ''X''. Dalla definizione di integrale di Lebesgue segue che esso gode delle seguenti proprietà:<ref name=prop>{{Cita|W. Rudin|Pag. 20|rudin}}</ref>
===Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale===
* Se <math>0 \le f \le g</math> allora: <math>\int_F f\,d\mu \le \int_F g\,d\mu</math>
{{vedi anche|Passaggio al limite sotto segno di integrale}}
* Il [[teorema della convergenza monotona]] o di [[Beppo Levi]] afferma che se <math>\{f_n \}</math> una [[successione di funzioni]] misurabili non negative tali che:
*Se ::<math>A0 \subsetle B</math>f_1(x) e\le <math>0f_2(x) \le f\dots </math> allora: <math>\int_Ale f\infty,d \muquad \leforall x \int_Bin f\,d\muE</math>
::<math>\lim_{n\to\infty}f_n(x) \to f(x), \quad \forall x \in E,</math>
:allora <math>f</math> è misurabile e:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 21|rudin}}.</ref>
* Se <math>0 \le c < \infty</math> e <math>0 \le f </math> allora: <math>c\int_F f\,d\mu = \int_F cf\,d\mu</math>
* Se ::<math>f(x)=0</math>\lim_{n\to+\infty} per\int_E ognif_n ''x''\, ind ''F''\mu allora:= <math>\int_Fint_E f \, d \mu = 0.</math>
:Si nota che il valore di ogni integrale può essere infinito.
* Se <math>\mu(F)=0</math> allora: <math>\int_F f\,d\mu = 0</math>
* Il [[lemma di Fatou]] afferma che se <math>\{f_n \}</math> è una successione di funzioni misurabili non negative tali che:
* Se <math>0 \le f </math> allora: <math>\int_F f\,d\mu = \int_F {\mathbf 1}_{F} f\,d\mu</math>
::<math>\liminf_{n\to\infty}f_n \to f, \quad \forall x \in E,</math>
Sia ''s'' una funzione semplice sull'insieme ''E''. Si definisce:
:allora <math>f</math> è misurabile e:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 22|rudin}}.</ref>
:<math> \phi(F) = \int_F f d\mu \ </math>
::<math>\int_E f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_E f_n\,d\mu.</math>
Si dimostra che <math> \phi</math> è una misura su ''X'' e:<ref name=prop/>
:Anche in questo caso il valore di ogni integrale può essere infinito.
:<math>\int_F g d\phi = \int_F gf d\mu \ </math>
* Il [[lemma di Fatou]] permette di dimostrare il [[teorema della convergenza dominata]], il quale afferma che se una successione di funzioni misurabili <math>\{f_n\}</math> converge [[quasi ovunque]] ed è dominata da una funzione non negativa <math>g\in L^1</math>, allora:
per ogni funzione misurabile ''g'' a valori sulla retta reale estesa.
::<math>\int_E \lim_{n\rightarrow+\infty} f_n \, d\mu =\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_E f_n \, d\mu,</math>
La precedente affermazione è equivalente al dire che:
:<math>dove d\phiuna =sequenza fsi d\mudice \dominata da <math>g</math> se:
::<math>|f_n(x)| \le g(x),</math>
L'integrale di Lebesgue è inoltre [[trasformazione lineare|lineare]]. Se ''f'' e ''g'' sono funzioni integrabili e ''a'' e ''b'' sono numeri reali, allora ''af'' + ''bg'' è integrabile e:<ref name=prop/>
:per ogni <math>{\displaystyle n}</math> e [[quasi ovunque|quasi per tutti]] gli <math>x</math>.
:<math> \int (a f + bg) d \mu = a \int f d\mu + b \int g d\mu </math>
===Funzioni uguali quasi ovunque===
===Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale===
L'integrale di Lebesgue non discrimina fra funzioni che differiscono solo per un insieme di <math>{\displaystyle \mu}</math>-misura zero. In termini più precisi, le funzioni <math>f</math> e <math>g</math> sono dette uguali [[quasi ovunque]] (o uguali q.o.) se:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 27|rudin}}.</ref>
{{vedi anche|Passaggio al limite sotto segno di integrale}}
* Il [[teorema della convergenza monotona]] o di [[Beppo Levi]] afferma che se <math>\{f_n \}</math> una successione di funzioni misurabili non negative tali che:
:<math>0 \leq f_1mu(\{x) \leqin f_2E: f(x) \leq \dots \leq \infty \quad \forallne g(x )\in}) E= 0.</math>
Se <math>f</math> e <math>g</math> sono funzioni non negative tali che <math>f = g</math> quasi ovunque, allora:
:<math>\lim_{n\to\infty}f_n(x) \to f(x) \quad \forall x \in E</math>
:<math>\int f \, d \mu = \int g \, d \mu.</math>
:allora ''f'' è misurabile e:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 21|rudin}}</ref>
Se <math>f</math> e <math>g</math> sono funzioni tali che <math>f = g</math> [[quasi ovunque]], allora <math>f</math> è integrabile se e solo se <math>g</math> è integrabile e gli integrali di <math>f</math> e <math>g</math> sono uguali.
:<math> \lim_{n\to\infty} \int_E f_n d \mu = \int_E f d \mu \ </math>
==Integrazione rispetto ad una misura prodotto==
:Si nota che il valore di ogni integrale può essere infinito.
{{vedi anche|Misura prodotto}}
Siano <math>(X,\mathfrak{F},\mu)</math> e <math>(Y,\mathfrak{G},\lambda)</math> due [[Spazio di misura|spazi di misura]]. A ogni funzione <math>f(x,y)</math> che sia <math>\mathfrak{G} \times \mathfrak{F}</math>-[[funzione misurabile|misurabile]] su <math>X \times Y</math> e a ogni <math>x \in X</math> si può associare la funzione <math>f_x(y) = f(x,y)</math> definita in <math>Y</math>, e per ogni <math>y \in Y</math> si può associare la funzione <math>f_y(x) = f(x,y)</math>.<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 138|rudin}}.</ref> Per ogni insieme aperto <math>V \in \mathfrak{G} \times \mathfrak{F}</math> si definisce inoltre:
:<math>Q = \{(x,y): f(x,y)\in V \}, \qquad Q_x = \{y: f_x(y)\in V \}.</math>
* Il [[lemma di Fatou]] afferma che se <math>\{f_n \}</math> è una successione di funzioni misurabili non negative tali che:
Si definisce la misura prodotto <math>\mu \times \lambda </math> il prodotto delle due misure <math>\mu</math> e <math>\lambda </math>:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 140|rudin}}.</ref>
:<math>\liminf_{n\to\infty}f_n \to f \quad \forall x \in E</math>
:<math>(\mu \times \lambda) (Q) = \int_X \lambda (Q_x) d\mu(x) = \int_Y \mu(Q_y) d\lambda (y).</math>
:allora ''f'' è misurabile e:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 22|rudin}}</ref>
Il [[teorema di Fubini]] stabilisce inoltre quali siano le condizioni tali per cui è possibile scambiare l'ordine di integrazione. Se la funzione <math>f</math> è positiva e se:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 141|rudin}}.</ref>
:<math>\int_E f\,d\mu \le \liminf_{n\to\infty} \int_E f_n\,d\mu</math>
:<math>\phi(x) = \int_Y f_x d\lambda, \qquad \psi(y) = \int_X f_y d\mu,</math>
:Anche in questo caso il valore di ogni integrale può essere infinito.
allora <math>\phi</math> è <math>\mathfrak{F}</math>-misurabile e <math>\psi</math> è <math>\mathfrak{G}</math>-misurabile, inoltre:
* Il lemma di Fatou permette di dimostrare il [[teorema della convergenza dominata]], il quale afferma che se una successione di funzioni misurabili <math>\{f_n\}</math> converge [[quasi ovunque]] ed è dominata da una funzione non negativa <math>g\in L^1</math>, allora:
:<math>\int_Eint_X \lim_{nphi d\rightarrow\infty}mu f_n= \lim_int_{nX \rightarrow\inftytimes Y} f d(\int_Emu f_n\times \lambda) = \int_Y \psi d\lambda.</math>
In modo equivalente si può scrivere:
:dove una sequenza si dice dominata da ''g'' se:
:<math>|f_n\int_X d\mu(x)| \leqint_Y gf(x,y) d\lambda(y) = \int_Y d\lambda(y) \int_X f(x,y) d\mu(x).</math>
==Integrale di Lebesgue e integrale di Riemann==
:per ogni ''n'' e [[quasi ovunque|quasi per tutti]] gli ''x''.
{{vedi anche|Integrale di Riemann}}
L'integrale di Lebesgue è una generalizzazione dell'integrale di Riemann, che storicamente è la prima definizione rigorosa a essere stata formulata di integrale su un intervallo, e per mostrarne la relazione è necessario utilizzare la classe delle [[funzione continua|funzioni continue]] a [[funzione a supporto compatto|supporto compatto]], per le quali l'integrale di Riemann esiste sempre. Siano <math>f</math> e <math>g</math> due funzioni continue a supporto compatto su <math>\mathbb{R}^1</math>. Si può definire la loro [[Distanza (matematica)|distanza]] nel seguente modo:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 68|rudin}}.</ref>
:<math>d(f,g)= \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)-g(t)|dt.</math>
===Funzioni uguali quasi ovunque===
L'integrale di Lebesgue non discrimina fra funzioni che differiscono solo per un insieme di μ-misura zero. In termini più precisi, le funzioni ''f'', ''g'' sono dette uguali [[quasi ovunque]], o uguali q.o., se:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 27|rudin}}</ref>
Munito della funzione distanza, lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto è uno [[spazio metrico]]. Il [[spazio completo|completamento]] di tale spazio metrico è l'insieme delle funzioni integrabili secondo Lebesgue.<ref>Si pone in tale contesto che due funzioni uguali [[quasi ovunque]] siano coincidenti.</ref><ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 69|rudin}}.</ref> In letteratura esistono diversi altri operatori di integrazione, tuttavia essi godono di minore diffusione rispetto a quelli di Riemann e Lebesgue.
:<math> \mu(\{x \in E: f(x) \neq g(x)\}) = 0 </math>
=== Interpretazione intuitiva ===
Se ''f'', ''g'' sono funzioni non negative tali che ''f'' = ''g'' quasi ovunque, allora:
[[File:RandLintegrals.svg|thumb|Integrale di Riemann (blu) e integrale di Lebesgue (rosso)]]
Per mostrare intuitivamente la differenza tra l'approccio di Riemann-Darboux e quello di Lebesgue è possibile visualizzare il calcolo dell'integrale come la somma delle aree di insiemi elementari. L'approccio di Riemann-Darboux suddivide in sezioni verticali il [[grafico di una funzione]] e calcola l'area di ogni sezione moltiplicando il valore della funzione per la larghezza <math>dx</math> della sezione stessa. Il valore dell'integrale è quindi dato dalla somma di tutte le aree delle sezioni verticali nel limite in cui il loro numero è infinito.
L'approccio di Lebesgue prevede, invece, la suddivisione del grafico in sezioni orizzontali, dette anche [[curve di livello]], e ad ognuna di esse è associata una funzione indicatrice. La somma di tutte le aree può essere migliorata aggiungendo curve di livello intermedio, dimezzando la differenza fra altezze di sezioni successive e poi ricalcolando la somma. L'integrale di Lebesgue è il limite di questo processo.
:<math> \int f d \mu = \int g d \mu. </math>
Un modo equivalente a quello sopra per esprimere l'integrale di Lebesgue si ottiene definendo:
Se ''f'', ''g'' sono funzioni tali che ''f'' = ''g'' quasi ovunque, allora ''f'' è integrabile se e solo se ''g'' è integrabile e gli integrali di ''f'' e ''g'' sono uguali.
:<math>\int f\ d\mu := \int_0^{+\infty} \mu\left(f^{-1}\big([t,+\infty)\big)\right)\ dt,</math>
== Formulazioni alternative ==
Se ''f'' è non negativa, allora ∫''f'' dμ è precisamente l'area sotto la curva misurata secondo la misura prodotto μ × λ dove λ è la misura di Lebesgue per '''R'''.
dove <math>f</math> è positiva e l'integrale a destra è l'integrale di Riemann.
Si può aggirare completamente la teoria della misura. L'integrale di Riemann esiste per ogni funzione continua ''f'' di [[supporto (matematica)|supporto compatto]]. Allora usiamo l'analisi funzionale per ottenere l'integrale per funzioni più generali.
Sia ''C<sub>c</sub>'' lo spazio di tutte le funzioni di '''R''' a valori reali su supporto compatto. Definiamo una norma su ''C<sub>c</sub>'' con
=== Limitazioni dell'integrale di Riemann ===
: <math> \|f\| = \int |f(x)| dx </math>
Con l'avvento delle [[serie di Fourier]] si incontrarono storicamente molti problemi analitici coinvolgenti integrali, la cui soluzione soddisfacente richiedeva di scambiare somme infinite di funzioni e segni di integrale. Tuttavia, le condizioni per le quali gli integrali:
:<math>\sum_k \int f_k(x) dx\quad</math> e <math>\quad\int \bigg[\sum_k f_k(x) \bigg] dx</math>
Allora ''C<sub>c</sub>'' è uno spazio vettoriale normato (e in particolare, è uno spazio metrico). Tutti gli spazi metrici hanno [[spazio completo|completamento]], così sia ''L''<sup>1</sup> il suo completamento. Questo spazio è isomorfo allo spazio delle funzioni Lebesgue-integrabili (a meno di insiemi di misura zero). Inoltre, l'integrale di Riemann ∫ definisce un funzionale continuo su ''C<sub>c</sub>'' denso in ''L''<sup>1</sup>, perciò ∫ ha un'unica estensione su tutto ''L''<sup>1</sup>. Questo integrale è precisamente l'integrale di Lebesgue.
sono uguali si sono dimostrate abbastanza elusive nella struttura di Riemann, essendoci difficoltà collegate con il passaggio al limite sotto il segno di integrale.
Il problema con questo approccio è che le funzioni integrali sono rappresentate come elementi di un completamento definito astrattamente e mostrare come questi elementi definiti astrattamente sono rappresentati da funzioni è non banale. In particolare, la relazione fra limiti puntuali di successioni di funzioni e l'integrale è difficile da provare.
====Convergenza monotona====
Un altro approccio è offerto dall'[[integrale di Daniell]] o dalla variante di [[Bourbaki]] di quest'ultimo, spesso menzionata come approccio all'integrazione mediante la [[misura di Radon]].
Dal momento che la funzione indicatrice <math>1_\mathbb{Q}</math> sui razionali non è Riemann-integrabile, il [[teorema della convergenza monotona]] non vale. Infatti, sia <math>\{ a_k \}</math> un'enumerazione di tutti i [[Numero razionale|numeri razionali]] in <math>[0,1]</math> e sia:
:<math>g_k(x) = \begin{cases}
== Limitazioni dell'integrale di Riemann ==
1, & \text{se } x = a_k, \\
0, & \text{altrimenti}.
\end{cases}</math>
Sia inoltre:
Qui discutiamo le limitazioni dell'integrale di Riemann e la più ampia libertà d'azione offerta dall'integrale di Lebesgue. Presupponiamo una buona comprensione dell'[[integrale di Riemann]].
:<math>f_k = g_1 + g_2+ \ldots + g_k.</math>
Con l'avvento delle [[serie di Fourier]], si incontrarono molti problemi analitici coinvolgenti integrali, la cui soluzione soddisfacente richiedeva di scambiare somme infinite di funzioni e segni di integrale. Tuttavia, le condizioni per le quali gli integrali
La funzione <math>f_k</math> è zero ovunque eccetto un numero finito di punti, e quindi il suo integrale di Riemann è zero. La successione <math>f_k</math> è inoltre chiaramente non negativa e monotona crescente verso <math>1_\mathbb{Q}</math>, che è non integrabile secondo Riemann.
: <math> \sum_k \int f_k(x) dx, \quad \int \bigg[\sum_k f_k(x) \bigg] dx </math>
La funzione <math>1_\mathbb{Q}</math> è invece Lebesgue-integrabile su <math>[0,1]</math>, essendo la funzione indicatrice dei razionali. Quindi, per definizione:
sono uguali si sono dimostrate abbastanza elusive nella struttura di Riemann. Ci sono altre difficoltà tecniche con l'integrale di Riemann, e sono collegate con la difficoltà di passaggio al limite discussa prima.
:<math>\int_{[0,1]} 1_\mathbb{Q} \, d \mu = \mu\big(\mathbb{Q} \cap [0,1]\big) = 0,</math>
'''Assenza della convergenza monotona '''. Come mostrato sopra, la funzione indicatrice 1<sub>'''Q'''</sub> sui razionali non è Riemann-integrabile. In particolare, fallisce il [[teorema della convergenza monotona]]. Per veder perché, sia {''a''<sub>''k''</sub>} una enumerazione di tutti i numeri razionali in [0,1] (sono [[numerabile|numerabili]] e quindi è possibile.) Allora sia
:<math> g_k(x) = \left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{se } x = a_k \\
0 & \mbox{altrimenti} \end{matrix} \right. </math>
poiché <math>\mathbb{Q}</math> è numerabile.
Poi sia
:<math> f_k = g_1 + g_2+ \ldots + g_k. \quad </math>
====Intervalli non limitati====
La funzione ''f''<sub>''k''</sub> è zero ovunque eccetto un numero finito di punti, quindi il suo integrale di Riemann è zero. La successione ''f''<sub>''k''</sub> è inoltre chiaramente non negativa e monotona crescente verso 1<sub>'''Q'''</sub>, che è non integrabile secondo Riemann.
L'integrale di Riemann può essere applicato solo su funzioni definite su un intervallo limitato. L'estensione più semplice è definire:
:<math>CPV \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{a \rightarrow \infty} \int_{-a}^{+a} f(x) dx</math>
'''Inadeguatezza degli intervalli non limitati'''. L'integrale di Riemann può integrare solo funzioni su un intervallo limitato. L'estensione più semplice è definire
ogni volta che il limite esiste. Tuttavia questo viola la proprietà di invarianza per traslazioni: se <math>f</math> e <math>g</math> sono zero al di fuori di un certo intervallo <math>[a, b]</math> e sono Riemann-integrabili, e se <math>f(x) = g(x + y)</math> per qualche <math>y</math>, allora l'integrale di <math>f</math> è uguale all'integrale di <math>g</math>. Con tale definizione di [[integrale improprio]], spesso detta [[valore principale di Cauchy]] improprio sullo zero, le funzioni <math>f(x) = (1 \ \mbox{se} \ x > 0, \ -1 \ \mbox{altrimenti} )</math> e <math>g(x) = (1 \ \mbox{se} \ x > 1, \ -1 \ \mbox{altrimenti} )</math> sono traslazioni l'una dell'altra, ma i loro integrali impropri sono differenti:
:<math> \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{a \rightarrow \infty} \int_{-a}^{+a} f(x) dx </math>
:<math>\int f(x) dx = 0, \qquad \int g(x) dx= -2.</math>
ogni volta che il limite esiste. Tuttavia questo rompe la proprietà desiderabile dell<nowiki>'</nowiki>''invarianza per traslazioni'': se ''f'' e ''g'' sono zero al di fuori di un certo intervallo [''a'', ''b''] e sono Riemann-integrabili, e se ''f''(''x'') = ''g''(''x'' + ''y'') per qualche ''y'', allora ∫ ''f'' = ∫ ''g''. Con questa definizione di [[integrale improprio]] (questa definizione è spesso detta [[valore principale di Cauchy]] improprio sullo zero), le funzioni ''f''(''x'') = (1 se ''x'' > 0, −1 altrimenti) e ''g''(''x'') = (1 se ''x'' > 1, −1 altrimenti) sono traslazioni l'una dell'altra, ma i loro integrali impropri sono differenti.
Un'estensione che non viola le proprietà algebriche e geometriche è
:<math> \int f(x) dx = 0, \quad \int g(x) dx= -2 . \quad </math>
:<math>\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{a \rightarrow +\infty} \int_{x_0}^{a} f(x) dx+\lim_{b \rightarrow -\infty} \int_{b}^{x_0} f(x) dx</math>
'''Inadeguatezza per una definizione assiomatica di probabilità'''. In teoria della probabilità un assioma di cui non si può fare a meno è: ''un'unione numerabile di eventi deve essere un evento''.
purché entrambi gli integrali nel membro destro esistano e siano finiti.
Se si prova a definire la probabilità di un sottoinsieme <math>\ E</math> dell'intervallo <math>\ [0,1]</math> come l'integrale di Riemann della funzione caratteristica dell'insieme <math>\ E</math>(<math>\ f(x)=1</math> per <math>\ x\in E</math> e 0 altrove), si ha che ogni numero razionale compreso tra 0 e 1 ha probabilità nulla, ma la loro unione non è un evento in quanto non è un insieme integrabile secondo Riemann e quindi non è possibile assegnargli una probabilità.
====Definizione assiomatica di probabilità====
Con l'integrale di Lebesgue questo problema non si presenta ed è possibile dare una nozione assiomatica di probabilità perfettamente coerente.
Un [[assioma]] di notevole importanza nella teoria della probabilità afferma che un'unione numerabile di eventi deve essere un evento. Se si prova a definire la probabilità di un sottoinsieme <math>\ E</math> dell'intervallo <math>[0,1]</math> come l'integrale di Riemann della funzione caratteristica dell'insieme <math> E </math>:
:<math> f(x) = \begin{cases}
=== Esempi ===
1, & \text{se } x \in E, \\
Si consideri la [[funzione indicatrice]] dei numeri razionali, 1<sub>'''Q'''</sub>. È noto che 1<sub>'''Q'''</sub> è [[funzione mai continua|mai continua]].
0, & \text{se } x \notin E,
\end{cases}</math>
si ha che ogni numero razionale compreso tra 0 e 1 ha probabilità nulla, ma la loro unione non è un evento in quanto non è un insieme integrabile secondo Riemann e quindi non è possibile assegnargli una probabilità. Con l'integrale di Lebesgue questo problema non si presenta ed è possibile dare una nozione assiomatica di probabilità perfettamente coerente.
* 1<sub>'''Q'''</sub> '''non è Riemann-integrabile su''' [0,1]: Non importa in che modo l'insieme [0,1] è partizionato in sottointervalli, ogni partizione conterrà almeno un numero razionale e almeno un numero irrazionale, dato che sia i razionali che gli irrazionali sono densi nei reali. Quindi la somma superiore di Darboux sarà sempre uno, e la somma inferiore di Darboux sarà sempre zero.
* 1<sub>'''Q'''</sub> '''è Lebesgue-integrabile su ''' [0,1]: Infatti è la funzione indicatrice dei razionali e quindi per definizione
::<math> \int_{[0,1]} 1_{\mathbf{Q}} \, d \mu = \mu(\mathbf{Q} \cap [0,1]) = 0,</math>
:poiché '''Q''' è numerabile.
==Note==
== Bibliografia ==
* [[Nicola Fusco (matematico)|Nicola Fusco]], [[Paolo Marcellini]], [[Carlo Sbordone]], ''Lezioni di Analisi Matematica Due'', Zanichelli, 2020, ISBN 9788808520203, capitolo 9.
* {{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Real and Complex Analysis | editore= McGraw-Hill | città= Mladinska Knjiga| anno= 1970|id=ISBN 0070542341|cid =rudin}}
* {{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Real and Complex Analysis | editore= McGraw-Hill | città= Mladinska Knjiga| anno= 1970| isbn= 0-07-054234-1|cid =rudin| lingua= en}}
* {{en}} R. M. Dudley, ''Real Analysis and Probability'', Wadsworth & Brookes/Cole, 1989. Trattazione molto accurata, specialmente per i probabilisti, con buone note e riferimenti storici.
* {{en}} R. M. Dudley, ''Real Analysis and Probability'', Wadsworth & Brookes/Cole, 1989.
* {{en}} P. R. Halmos, ''Measure Theory'', D. van Nostrand Company, Inc. 1950. Una esposizione classica, benché talvolta datata.
* {{en}} LP. HR. LoomisHalmos, ''AnMeasure Introduction to Abstract Harmonic AnalysisTheory'', D. van Nostrand Company, Inc. 1953. Include una presentazione dell'integrale di Daniell1950.
* {{en}} L. H. Loomis, ''An Introduction to Abstract Harmonic Analysis'', D. van Nostrand Company, Inc. 1953.
* {{fr}} H. Lebesgue, ''Oeuvres Scientifiques'', L'Enseignement Mathématique, 1972
* {{fr}} H. Lebesgue, ''Oeuvres Scientifiques'', L'Enseignement Mathématique, 1972.
* {{en}} M. E. Munroe, ''Introduction to Measure and Integration'', Addison Wesley, 1953. Buona trattazione della teoria delle misure esterne.
* {{en}} M. E. Munroe, ''Introduction to Measure and Integration'', Addison Wesley, 1953.
* {{en}} W. Rudin, ''Principles of Mathematical Analysis'' Third edition, McGraw Hill, 1976. Noto come ''Little Rudin'', contiene le basi della teoria di Lebesgue, ma non tratta materiale come il [[teorema di Fubini]].
* {{en}} E. H. Lieb, M. Loss, ''Analysis'', AMS, 2001.
* {{en}} E. H. Lieb, M. Loss, ''Analysis'', AMS, 2001. Sviluppa la teoria dell'integrazione nel primo capitolo mettendo in risalto l'aspetto intuitivo e le motivazioni. Tratta poi gli spazi Lp e più avanti le distribuzioni, ma la maggior parte del libro è dedicata a mostrare "applicazioni" della teoria in analisi, con tre capitoli dedicati alle disuguaglianze (Rearrangement Inequalities, Integral Inequalities, Sobolev Inequalities), e altri dedicati alla trasformata di Fourier, spazi di Sobolev, teoria del potenziale ed energie di Coulomb, regolarità delle soluzioni dell'equazione di Poisson, calcolo delle variazioni ed autovalori.
* N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone. ''Analisi Matematica due'', Liguori Editore.
== Voci correlate ==
* [[Insieme nullo (teoria della misura)]]
* [[integrale|IntegrazioneIntegrale]]
* [[misuraMisura (matematica)|Misura]]
* [[Misura di Lebesgue]]
* [[Punto di Lebesgue]]
* [[Sigma-algebra]]
* [[Misura di Lebesgue]]
* [[Spazio di Lebesgue]]
* [[Teorema di Lebesgue]]
==Altri progetti==
{{interprogetto|preposizione=sull'}}
==Collegamenti esterni==
* {{Collegamenti esterni}}
* (IT) Kevin R. Payne, [http://www.mat.unimi.it/users/payne/An4_notes_12-13.pdf Misura ed Integrazione], Appunti del Corso di Analisi Matematica 4, 2014
{{analisi matematica}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Teoria della misura]]
[[Categoria:Calcolo integrale|Lebesgue]]
[[ca:Integral de Lebesgue]]
[[de:Lebesgue-Integral]]
[[en:Lebesgue integration]]
[[es:Integral de Lebesgue]]
[[fr:Intégrale de Lebesgue]]
[[he:אינטגרל לבג]]
[[ja:ルベーグ積分]]
[[ko:르베그 적분]]
[[nl:Lebesgue-integraal]]
[[pl:Całka Lebesgue'a]]
[[pt:Integral de Lebesgue]]
[[ru:Интеграл Лебега]]
[[sk:Lebesgueov integrál]]
[[su:Integrasi Lebesgue]]
[[sv:Lebesgueintegration]]
[[tr:Lebesgue integrali]]
[[uk:Інтеграл Лебега]]
[[zh:勒貝格積分]]
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