Modulo piatto: differenze tra le versioni

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:<math>\cdots \longrightarrow M \otimes_A N_{i-1} \longrightarrow M\otimes_A N_i\longrightarrow M\otimes_A N_{i+1}\longrightarrow \cdots</math>

In altri termini, un modulo sinistro è piatto se il [[funtore (matematica)|funtore]] <math>-\otimes_A M</math> è [[funtore esatto|esatto]], mentre un modulo destro è piatto se è esatto <math>M\otimes_A -</math>. Su [[anellianello commutativo|anelloanelli commutativi]], le nozioni di modulo sinistro piatto e modulo destro piatto coincidono.

== Definizioni equivalenti ==

Per verificare la piattezza di un modulo è sufficiente considerare le [[successione esatta|successioni esatte]] corte: il moduloimodulo sinistro ''M'' è piatto se e solo se, per ogni esatta corta

:<math>0\longrightarrow N'\longrightarrow N\longrightarrow N''\longrightarrow 0</math>

anche la successione [[prodotto tensoriale|tensorizzata]]

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Se ''S'' è un sottoinsieme di ''A'' moltiplicativamente chiuso e contenuto nel suo [[centro (matematica)|centro]], la [[localizzazione di un anello|localizzazione]] <math>S^{-1}A</math> di ''A'' è un ''A''-modulo piatto; di conseguenza, le localizzazioni di un modulo piatto sono ancora piatte.

Se ''x'' è un elemento nel centro di ''A'' e non è uno zerodivisore, allora ''A/xA'' è un esempio di modulo che non è piatto: questo può essere visto a partire dalla successione esatta

:<math>0\longrightarrow A\longrightarrow^x A\longrightarrow A/xA\longrightarrow 0</math>

perché, nella successione tensorizzata

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la mappa <math>A\otimes_A A/xA\longrightarrow A\otimes_A A/xA</math> diventa l'omomorfismo nullo, mentre <math>A\otimes_A A/xA</math> non è il modulo nullo.

In particolare, se ''A'' è [[anello commutativo|commutativo]], tutte le localizzazioni <math>S^{-1}A</math> sono piatte; la piattezza è inoltre una ''proprietà locale'', nel senso che ''M'' è un modulo piatto se e solo la localizzazione ''M_P'' è piattopiatta per ogni [[ideale primo]] ''P''. Se ''A'' è anche [[dominio d'integrità|integro]], nessun [[anello quoziente|quoziente]] ''A/I'' è piatto; ampliando il ragionamento precedente, su un dominio d'integrità tutti i moduli piatti sono privi di [[sottogruppo di torsione|torsione]].

Ogni [[modulo libero]] e ogni [[modulo proiettivo]] sono piatti; il viceversa non è vero in generale, sebbene un modulo piatto [[finitamente presentato]] sia proiettivo.<ref>{{cita|Weibel|p. 71}}.</ref>

== Anelli assolutamente piatti ==

Un anello ''A'' tale che tutti gli ''A''-moduli sinistri sono piatti è detto ''assolutamente piatto'' (o ''von Neumann regolare''); se questo avviene, allora anche tutti gli ''A''-moduli destri sono piatti. Equivalentemente, ''A'' è assolutamente piatto se per ogni ''a'' esiste un ''x'' tale che ''axa'' = ''a''; un'altra condizione equivalente è che tutti gli [[ideale (matematica)|ideali]] principali di ''A'' sono idempotenti, cioè sono tali che <math>I^2=I</math>.<ref>{{EncyMathSpringerEOM|r/r080830titolo=Flat module|autore=V.E. Govorov}}</ref><ref name=abs-weib>{{cita|Weibel|ppp. 97-98}}.</ref>

Tra gli anelli commutativi, un [[anello locale]] è assolutamente piatto se e solo se è un campo;<ref>{{cita|Clarke|ppp. 117-118}}.</ref> in generale, unaun nelloanello commutativo è assolutamente piatto se e solo se è [[anello ridotto|ridotto]] e ha [[dimensione di Krull|dimensione]] 0.<ref name=abs-weib/>

Un esempio di anello assolutamente piatto è qualunque [[anello booleano]].

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== Bibliografia ==

*{{cita libro|autore=[[Michael Atiyah]] e [[Ian G. Macdonald]]|titolo=Introduction to Commutative Algebra|editore=Westview Press|anno=1969|id=ISBN =0-201-40751-5|lingua=inglese|cid=Atiyah}}

*{{cita libro|autore=Charles A. Weibel|titolo=An introduction to homological algebra|editore=Cambridge University Press|id=ISBN =0-521-43500-5|lingua=inglese}}

*{{cita libro|autore=Pete L. Clark|titolo=Commutative Algebra|url=http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf|accesso=5 novembre 2011|lingua=inglese|cid=Clarke|dataarchivio=14 dicembre 2010|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20101214214852/http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf|urlmorto=sì}}

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

*{{EncyMath|F/f040590|Flat module}}

{{algebra commutativa}}

[[Categoria:Teoria dei moduli|Piatto]]

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria dei moduli|Piatto]]

[[de:Flachheit (Algebra)]]

[[en:Flat module]]

[[es:Módulo plano]]

[[fr:Module plat]]

[[ja:平坦性]]

[[zh:平坦模]]