「角運動量の合成」の版間の差分
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量子力学において'''角運動量の合成'''（かくうんどうりょうのごうせい）とは、別々の[[角運動量]]の[[固有状態]]から全角運動量の固有状態を作ることである。
例えば1つの粒子の場合、[[軌道角運動量]]と[[スピン角運動量]]との間には[[スピン軌道相互作用]]とよばれる相互作用が存在し、完全な物理的描像はスピン-軌道の合成を含まなければならない。
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原子における角運動量の合成は、原子[[スペクトル]]において重要である。[[電子スピン]]の角運動量の合成は、[[量子化学]]において重要である。[[シェルモデル]]においても、角運動量の合成はいたるところで現れる。
== 一般論 ==
[[角運動量保存の法則]]は、系に外力が働かない場合は系の全角運動量は一定の大きさと方向を持つ
# 系は[[球対称]]なポテンシャル場を受ける。
# 系は[[等方的と異方的|等方]]空間を量子力学的に運動する。
どちらの場合でも角運動量演算子は系の[[ハミルトニアン]]と[[交換関係 (量子力学)|交換]]する。[[不確定性原理]]より、これは角運動量とエネルギー（ハミルトニアンの固有値）が同時にある定まった値を持ちうることを意味する。
1. の例として、原子中の電子が核からのクーロン場しか受けないようなモデルを考える。一般に電子-電子間相互作用やその他の小さな相互作用（スピン-軌道相互作用など）を無視した場合、それぞれの電子の''軌道角運動量 '' '''l'''は全ハミルトニアンと交換する。このモデルでは、原子のハミルトニアンは電子の運動エネルギーと球対称な電子-核相互作用の合計だけで表せる。よってそれぞれの電子の角運動量'''l'''(1) はこのハミルトニアンと交換する。つまり、'''l'''(1) は原子をこのようなモデルで近似すると保存量になる。
2. の例として、[[自由場]]空間を運動する
このような2つの場合は古典力学に由来している。3つめの保存する角運動量として、[[スピン角運動量|スピン]]と関連するような、古典力学では記述できないものがある。しかし、角運動量の合成はスピンにおいても適応できる。
一般に角運動量保存の法則は回転群（
角運動量の合成の適用は、相互作用がなく角運動量が保存するような系どうしの間に相互作用があるような場合に有用である。系間の相互作用によって系の球対称性は壊されるが、全系の角運動量は保存量のままである。このことはシュレディンガー方程式を解くにあたって有用となる。
例として、ヘリウム原子内の1，2という電子を考える。もし電子-電子間相互作用が無く、電子-核相互作用のみがある場合、2つの電子は互いに独立に核のまわりを回転し、エネルギーは変わらない。つまり、演算子'''l'''(1)も'''l'''(2)も保存する。しかし電子間距離''d'' (1, 2)に依存する電子-電子相互作用が生まれると、2つの電子の同時で等しい回転だけが''d'' (1, 2)
量子力学において、1つの量子系を記述する異なる[[ヒルベルト空間]]の角運動量でも合成することができる。例えば、[[スピン角運動量|スピン]]と[[軌道角運動量]]の合成などがある。
このことを少し言い方を変えると、それぞれの系を記述する[[量子状態]]の[[テンソル積]]から成る[[基底 (線型代数学)|基底]]で、構成系（2つの水素原子や2つの電子のようなサブユニットからなるものなど）の量子状態を拡張したことになる。系の状態は、角運動量演算子（とその任意の''z'' 軸成分）の固有状態として選ばれていると仮定する。よって系は量子数''l'' , ''m'' の組によって正確に記述される（[[角運動量]]を参照）。系の間に相互作用がある場合、全ハミルトニアンは系のみに作用する角運動量演算子とは交換しない項を含んでいる。しかし、それらの項は全角運動量演算子とは交換する。ハミルトニアン内の交換しない相互作用の項は、角運動量の合成を必要とするため、''角運動量カップリング項''と呼ぶことがある。
== スピンと軌道の合成 ==
{{Main|スピン軌道相互作用}}
[[File:Vector model of orbital angular momentum.svg|thumb|250px|軌道角運動量('''l''' または '''L''').]]
原子やさらに小さい[[亜原子粒子|粒子]]は量子力学で記述される。それぞれの粒子は[[スピン]]と呼ばれる角運動量を持ち、（たとえば電子や原子などの）特定の構造は[[量子数]]の組で記述される。粒子の集まりも角運動量と対応する量子数を持ち、異なる環境では、それぞれの粒子の角運動量は異なった方法で合成され、全体の角運動量を作る。角運動量の合成は、亜原子粒子が互いに相互作用する幾つかの方法を含んだカテゴリーである。▼
[[File:LS coupling.svg|thumb|250px|L-S結合。全角運動量'''J'''（紫）、軌道角運動量'''L'''（青）、スピン角運動量'''S'''（緑）。]]
▲原子やさらに小さい[[亜原子粒子|粒子]]は量子力学で記述される。それぞれの粒子は[[スピン角運動量|スピン]]と呼ばれる角運動量を持ち、（たとえば電子や原子などの）特定の構造は[[量子数]]の組で記述される。粒子の集まりも角運動量と対応する量子数を持ち、異なる環境では、それぞれの粒子の角運動量は異なった方法で合成され、全体の角運動量を作る。角運動量の合成は、亜原子粒子が互いに相互作用する幾つかの方法を含んだカテゴリーである。
[[原子物理学]]では、スピンと軌道の合成は「スピン対形成」として知られており、粒子の[[スピン角運動量|スピン]]と[[軌道運動]]の弱い磁気的な相互作用や合成を表す（電子におけるスピンと[[原子核]]の周りの運動など）。この効果の1つに、原子の初期状態のエネルギーを分裂させることがある。平行スピンと反平行スピンはこの効果がなければ同じエネルギーを持つ。この相互作用は原子構造の多くの部分に関与している。
=== LS結合 ===
軽い原子（一般的に''Z'' < 30）では、電子スピン'''s'''<sub>''i''</sub> は互いに相互作用しているので、結合して全スピン角運動量'''S'''を作る。同じことが軌道角運動量'''ℓ'''<sub>''i''</sub> でも起こり、全軌道角運動量'''L'''を作る。量子数'''L'''と'''S'''の間の相互作用は「'''[[ヘンリー・ノリス・ラッセル|ラッセル]]–サンダーズ結合'''」または「'''LS結合'''」と呼ばれる。この場合、'''S'''と'''L'''は結合して全角運動量'''J'''を作る。
:<math>\hat{\mathbf J} = \hat{\mathbf L
ここで
: <math>\hat{\mathbf L} = \sum_i \hat{\boldsymbol{\ell}_i
: <math>\hat{\mathbf S} = \sum_i \hat{\mathbf{s}_i
これは外磁場が弱い場合、良い近似を与える。強い磁場では、2つの角運動量はデカップルすることでエネルギー準位における異なる分裂パターンを引き起こし（'''[[パッシェン-バック効果]]'''）、LS結合項を小さくする。▼
LS結合では、<math>\hat{\mathbf J}^2</math>、<math>\hat{J}_z</math>を指定する以下の量子数''J, M''も[[よい量子数]]となる。
:<math>J=|L-S|,|L-S|+1, \cdots, L+S</math>、
:<math>M=-J, -J+1, \cdots, J</math>
このような''L, S, J'' で指定される状態を'''ラッセル–サンダーズ状態'''という。スピン軌道相互作用まで考えれば、''L'' と''S'' は良い量子数ではなく、''J'' と''M'' だけが良い量子数となる。この場合１つのエネルギー準位は、同じ''J''、''M''を持つラッセル–サンダーズ状態の[[線形結合]]で表される。そこで原子のエネルギー準位はしばしば最も寄与の大きいラッセル–サンダーズ状態を使って''<sup>2S+1</sup>L<sub>J</sub>'' のように表記して区別される。
▲
他のLS結合の適応例については[[項記号]]を参照。
=== jj結合 ===
重い原子の場合、上記とは状況が異なる。原子核の電荷がより大きい原子では、スピン軌道相互作用がスピン-スピン相互作用や軌道-軌道相互作用と同程度かそれ以上に大きくなることがある。この場合、それぞれの軌道角運動量'''ℓ'''<sub>''i''</sub> は、対応する個々のスピン角運動量'''s'''<sub>''i''</sub> と結合し、個々の全角運動量'''j'''<sub>''i''</sub> を作る傾向がある。'''j'''<sub>''i''</sub> は足し合わされて全角運動量'''J'''を作る。
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この方法は相互作用の計算を容易にし、「jjカップリング」と呼ばれる。
== スピン-スピン結合 ==
''[[核磁気共鳴|NMR]]の[[J-カップリング]]と[[磁気双極子相互作用]]も参照''
'''スピン-スピン結合'''は、異なる粒子のスピン角運動量の合成である。核スピン対間の結合は[[核磁気共鳴]]（NMR）分光法において分子の構造についての詳細な情報を与えるので重要である。核スピンと電子スピンの間のスピン-スピン結合 は[[原子スペクトル]]における[[超微細構造]]に関与する。
== 項記号 ==
[[項記号]]は原子の状態とスペクトル遷移を表現するために使われ、上記の角運動量の合成から作られる。原子の状態が項記号で記述された場合の、許容遷移はどの遷移が角運動量を保存するかを考えることによって、[[選択律]]から判別できる。[[光子|フォトン]]はスピン1を持ち、フォトンの放出や吸収を伴う遷移がある場合、原子は角運動量を保存するように状態を変える必要がある。項記号の選択律は、
Δ''S'' = 0, Δ''L'' = 0, ±1, Δ''l'' = ± 1, Δ''J'' = 0, ±1
項記号による表現は、原子の[[リュードベリ状態]]とその[[エネルギー準位#軌道状態のエネルギー準位|エネルギー準位]]に関連する「項系列」に由来する。
== 相対論の効果 ==
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== 原子核カップリング ==
原子核ではスピン軌道相互作用は、電子の場合よりもはるかに大きく、シェルモデルに組み込まれなければならない。さらに原子-電子項記号の場合とは異なり、最低エネルギー状態は''L'' − ''S''ではなく''l'' + ''s''である。軌道角運動量''l''が0より大きいすべての原子核の準位は、シェルモデルにおいて分裂し''l'' + ''s'' と ''l'' − ''s''によって指定される状態を作る。中心力クーロンポテンシャルではなく平均ポテンシャルを仮定している[[シェルモデル]]の性質から、''l'' + ''s''と''l'' − ''s''の状態をとる原子核は縮退している。例えば、2''p''3/2は4つの同じエネルギーを持った原子核を含む。より高いエネルギーは、2つの等エネルギー原子核を含む2''p''1/2である。
== 出典 ==
{{脚注ヘルプ}}
<references/>▼
== 関連項目 ==
* [[クレブシュ-ゴルダン係数]]
▲<references/>
== 外部リンク ==
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[[Category:原子物理学]]
[[Category:量子力学]]
[[Category:回転対称性]]
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