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{{F|matematica|agosto 2009}}

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In [[matematica]], la '''regola di Ruffini''' permette di dividere velocemente un qualunque [[polinomio]] per un [[binomio]] di primo grado della forma ''x'' − ''a''. È stata descritta da [[Paolo Ruffini (matematico)|Paolo Ruffini]] nel [[1809]]. La regola di Ruffini è un caso speciale della [[divisione dei polinomi|divisione polinomiale]] quando il divisore è un fattore lineare. La regola di Ruffini è anche nota come '''divisione sintetica'''.

==L'algoritmo==

La regola di Ruffini stabilisce un metodo per dividere il polinomio

:<math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0</math>

per il binomio

:<math>A(x)=x-r\,\!</math>

per ottenere il polinomio quoziente

:<math>Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots+b_1x+b_0</math>

e un resto ''R'' che è zero o un termine costante, visto che deve essere di [[Polinomio#Nomenclatura|grado]] minore rispetto al polinomio divisore.

L'algoritmo non è altro che la [[divisione dei polinomi|divisione polinomiale]] di ''P''(''x'') per ''A''(''x'') scritto in un'altra forma più economica.

Per dividere ''P''(''x'') per ''A''(''x''), infatti:

# Si prendano i coefficienti di ''P''(''x'') e li si scrivano in ordine. Si scriva quindi ''r'' in basso a sinistra, proprio sopra la riga:<br /><math>

\begin{array}{c|c c c c|c}

& a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\

r & & & & & \\

\hline

& & & & & \\

\end{array}

</math>

# Si copi il coefficiente di sinistra (''a''_''n'') in basso, subito sotto la riga:<br/><math>

\begin{array}{c|c c c c|c}

& a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\

r & & & & & \\

\hline

& a_n & & & & \\

\end{array}

</math>

# Si moltiplichi il numero più a destra di quelli sotto la riga per ''r'', e lo si scriva sopra la riga, spostato di un posto a destra:<br />:<math>

\begin{array}{c|c c c c|c}

& a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\

r & & b_{n-1}\cdot r & & & \\

\hline

& & & & & \\

\end{array}

</math>

# Si sommi questo valore con quello sopra di lui nella stessa colonna:<br /><math>

\begin{array}{c|c c c c|c}

& a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\

r & & b_{n-1}\cdot r & & & \\

\hline

& & a_{n-1}+b_{n-1} \cdot r & & & \\

\end{array}

</math>

# Si ripetano i passi 3 e 4 fino al termine dei coefficienti<br /><math>

\begin{array}{c|c c c c|c}

& a_n & a_{n-1} & \dots & a_1 & a_0\\

r & & b_{n-1}\cdot r & \dots & & \\

\hline

& & a_{n-1}+b_{n-1}\cdot r & \dots & a_1+b_1 \cdot r & a_0+b_0 \cdot r \\

\end{array}

</math>

I valori ''b'' sono i coefficienti del polinomio risultante (''Q''(''x'')), il cui grado sarà inferiore di uno a quello di ''P''(''x''). ''R'' è il resto.

Un esempio numerico viene fornito più sotto.

==Usi della regola==

La regola di Ruffini ha molte applicazioni pratiche; molte di esse si basano sulla divisione semplice (come mostrato sotto) o sulle estensioni usuali che seguono.

===Divisione polinomiale per ''x'' &minus; ''r''===

Ecco un esempio di divisione polinomiale, con tutti i passaggi evidenziati.

Siano

:<math>P(x)=2x^3-5x^2-x+6</math>

:<math>A(x)=x+1</math>

Vogliamo dividere ''P''(''x'') per ''A''(''x'') usando la regola di Ruffini. Il primo problema è che ''A''(''x'') non è della forma ''x'' &minus; ''r'', ma piuttosto ''x'' + ''r''. Questo è facile da risolvere: basta riscrivere ''A''(''x'') come

:<math>A(x)=x+1=x-(-1)\,\!</math>

Applichiamo ora l'algoritmo.

# Scriviamo i coefficienti di ''P''(''x'') e ''r'':</br><math>

\begin{array}{c| c c c |c}

& +2 & -5 & -1 & +6 \\

-1 & & & & \\

\hline

& & & & \\

\end{array}

</math>

# Copiamo il primo coefficiente sotto:<br /><math>

\begin{array}{c| c c c |c}

& +2 & -5 & -1 & +6 \\

-1 & & & & \\

\hline

& +2 & & & \\

\end{array}

</math>

# Moltiplichiamo il numero più a destra sotto la riga per ''r'':<br /><math>

\begin{array}{c| c c c |c}

& +2 & -5 & -1 & +6 \\

-1 & & -2 & & \\

\hline

& +2 & & & \\

\end{array}

</math>

# Sommiamo i valori della seconda colonna dopo la riga verticale:<br /><math>

\begin{array}{c| c c c |c}

& +2 & -5 & -1 & +6 \\

-1 & & -2 & & \\

\hline

& +2 & -7 & & \\

\end{array}

</math>

# Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine:<br /><math>

\begin{array}{c| c c c |c}

& +2 & -5 & -1 & +6 \\

-1 & & -2 & 7 & -6 \\

\hline

& +2 & -7 & +6 & 0 \\

\end{array}

</math>

Insomma, abbiamo che

:<math>P(x)=A(x)*Q(x)+R</math>, dove

:<math>Q(x) = 2x^2-7x+6</math> e <math>R=0</math>.

===Divisione polinomiale per ''ax'' &minus; ''k''===

Applicando una facile trasformazione, la regola di Ruffini si può generalizzare anche per le divisioni di un polinomio per un binomio qualsiasi di primo grado {{tutto attaccato|<math>A(x)=ax-k</math>}}. Infatti, considerando la relazione fondamentale

:<math>P(x)=(ax -k) \cdot Q(x) + R(x)</math>

dividendo tutto per ''a'' (sicuramente diverso da 0) otteniamo

:<math>\frac{P(x)}{a}=\frac{(ax -k) \cdot Q(x)}{a} + \frac{R(x)}{a}</math>

Detti <math>P(x)/a = P'(x)</math> e <math>R(x)/a = R'(x)</math> otteniamo

:<math>P'(x)=(x -\frac{k}{a}) \cdot Q(x) + R'(x)</math>

Dunque il quoziente richiesto <math>Q(x)</math> è anche il quoziente della divisione di <math>P'(x)</math> per <math>(x-k/a)</math>, che si può fare con la regola appena esposta. Per trovare il resto richiesto <math>R(x)</math> basterà moltiplicare il resto ottenuto <math>R'(x)</math> per <math>a</math>.

===Trovare le radici di un polinomio===

Il [[teorema delle radici razionali]] afferma che se un polinomio ''f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+...+a₁x+a₀'' ha coefficienti [[numero intero|interi]], le sue radici razionali sono sempre della forma ''p/q'', dove ''p'' e ''q'' sono [[interi coprimi]], ''p'' è un [[divisore]] (non necessariamente positivo) di ''a₀'' e ''q'' un divisore di ''a_n''. Se il nostro polinomio è quindi

:<math>P(x)=x^3-4x^2+5x-2\,\!</math>,

le radici razionali possibili appartengono all'insieme dei divisori interi di ''a''₀ (&minus;2):

:<math>\mbox{radici possibili:}\left\{+1, -1, +2, -2\right\}</math>

Questo è un esempio semplice, perché il polinomio è '''[[polinomio monico|monico]]''' (cioè, ''a_n''=1); per i polinomi non monici, l'insieme delle possibili radici comprenderà alcune frazioni, ma solo in numero finito, dato che ''a_n'' e ''a₀'' hanno ciascuno un numero finito di divisori interi. In ogni caso per i polinomi monici ogni radice razionale è un intero, e quindi ogni radice intera dev'essere un divisore del termine costante. Si può dimostrare che questo resta vero anche per i polinomi non monici: insomma, ''per trovare le radici intere di un polinomio a coefficienti interi, basta verificare i divisori del termine costante''. Infatti, ogni polinomio non monico può essere ricondotto al caso monico, semplicemente dividendo i coefficienti per ''a_n''.

Provando pertanto a porre ''r'' pari a ciascuna delle radici possibili, si può provare a dividere il polinomio per ''(x-r)''. Se il polinomio quoziente risultante non ha resto, abbiamo trovato una radice.

Si può scegliere uno dei due metodi seguenti: essi danno gli stessi risultati, con l'eccezione che solo il secondo permette di trovare se una radice è ripetuta. (Ricordate che nessuno dei due metodi permette di scoprire radici [[numero irrazionale|irrazionali]] o [[numero complesso|complesse]]).

====Primo metodo====

Cerchiamo di dividere ''P''(''x'') per il binomio (''x'' &minus; ciascuna possibile radice). Se il resto è 0, il numero utilizzato è una radice (e viceversa):

<math>

\begin{array}{c|ccc|c}

& +1 & -4 & +5 & -2 \\

+1 & & +1 & -3 & +2 \\

\hline

& +1 & -3 & +2 & 0 \\

\end{array}\qquad

\begin{array}{c|ccc|c}

& +1 & -4 & +5 & -2 \\

+1 & & -1 & +5 & -10 \\

\hline

& +1 & -5 & +10 & -12 \\

\end{array}

</math>

<math>

\begin{array}{c|ccc|c}

& +1 & -4 & +5 & -2 \\

+2 & & +2 & -4 & +2 \\

\hline

& +1 & -2 & +1 & 0 \\

\end{array}\qquad

\begin{array}{c|ccc|c}

& +1 & -4 & +5 & -2 \\

+2 & & -2 & +12 & -34 \\

\hline

& +1 & -6 & +17 & -36 \\

\end{array}

</math>

<math>x_1=+1</math>, <math>x_3=+2</math> sono radici, mentre <math>x_2=-1</math> e <math>x_4=-2</math> non lo sono.

====Secondo metodo====

Iniziamo come nel primo metodo fino a che troviamo una radice. A questo punto, invece che ripartire con le altre radici possibili, si continua a provare, partendo dal polinomio quoziente ottenuto, riusando la radice appena trovata, per vedere se ci sono radici multiple:

| +1 -4 +5 -2 | +1 -4 +5 -2

| |

+1 | +1 -3 +2 +2 | +2 -4 +2

----|--------------------------- ----|---------------------------

| +1 -3 +2 | 0 | +1 -2 +1 | 0

| | | |

+1 | +1 -2 | +2 | +2 +0 |

----|---------------------| --------------------------|

| +1 -2 0 | +1 0 +1

<math>x_1=+1</math> è una radice multipla, mentre <math>x_3=+2</math> è una radice semplice.

===Fattorizzazione polinomiale===

Dopo avere usato il metodo "''p''/''q''" mostrato sopra (o un qualunque altro modo) per trovare tutte le radici razionali reali di un certo polinomio, è semplice sfruttarle per [[fattorizzazione|fattorizzare]] parzialmente il polinomio stesso: a ogni fattore lineare (''x'' - ''r'') che divide un polinomio dato corrisponde una radice ''r'', e viceversa.

Quindi, se abbiamo il polinomio:

:<math>P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0\,\!</math>&nbsp;;

e abbiamo trovato come sue radici:

:<math>R=\left\{\mbox{radici di }P(x)\in\mathbb{Q}\right\}\,\!</math>&nbsp;;

consideriamo il prodotto:

:<math>Q(x)=a_n{\prod_{r\in R} (x-r)}\,\!</math>.

Per il [[Teorema fondamentale dell'algebra]], ''Q''(x) sarebbe uguale a ''P''(x) se tutte le radici di P(x) fossero razionali. Ma è assai probabile che ''Q''(x) non sia uguale a ''P''(x), dato che ''P''(x) potrebbe avere anche radici irrazionali o complesse. Consideriamo allora il polinomio quoziente

:<math>S(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}\,\!</math>.

Se ''S''(x) = 1, allora ''Q''(x) = ''P''(x). Altrimenti, ''S''(x) sarà un polinomio, per la precisione un altro fattore di P(x) che non ha radici razionali in <math>\mathbb{R}</math>. Dunque

:<math>P(x)=Q(x) * S(x)\,\!</math>

è una fattorizzazione completa di ''P''(x) su <math>\mathbb{Q}</math> se ''S''(x) = 1, altrimenti sarà una fattorizzazione completa su <math>\mathbb{Q}</math>, ma ci saranno altri fattori su <math>\mathbb{R}</math> o su <math>\mathbb{C}</math>.

====Primo esempio: nessun resto====

Sia

:<math>P(x)=x^3+2x^2-x-2\,\!</math>

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di ''P''(''x'') sono:

:<math>R=\left\{+1, -1, -2\right\}\,\!</math>

Pertanto, il prodotto di (''x'' &minus; ciascuna radice) è

:<math>Q(x)=1(x-1)(x+1)(x+2)\,\!</math>

''P''(''x'')/''Q''(''x'') dà

:<math>S(x)=1\,\!</math>

E così il polinomio fattorizzato è ''P''(''x'') = ''Q''(''x'') * 1 = ''Q''(''x''):

:<math>P(x)=(x-1)(x+1)(x+2)\,\!</math>

====Secondo esempio: con resto====

Sia

:<math>P(x)=2x^4-3x^3+x^2-2x-8\,\!</math>

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di ''P''(''x'') sono:

:<math>R=\left\{-1, +2\right\}\,\!</math>

Pertanto, il prodotto di (''x'' &minus; ciascuna radice) è

:<math>Q(x)=(x+1)(x-2)\,\!</math>

''P''(''x'')/''Q''(''x'') dà

:<math>S(x)=2x^2-x+4\,\!</math>

Dato che <math>S(x){\ne}1</math>, il polinomio fattorizzato sui razionali è ''P''(''x'') = ''Q''(''x'') * ''S''(''x''):

:<math>P(x)=(x+1)(x-2)(2x^2-x+4)\,\!</math>

==Voci correlate==

*[[Algebra elementare]]

*[[Polinomio]]

*[[Divisione dei polinomi]]

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Polinomi]]

[[Categoria:Algebra elementare]]

[[Categoria:Algoritmi numerici]]

[[ar:قاعدة رفيني]]

[[ca:Regla de Ruffini]]

[[en:Ruffini's rule]]

[[es:Regla de Ruffini]]

[[pt:Algoritmo de Briot-Ruffini]]

[[zh:綜合除法]]