Assiomi di Peano: differenze tra le versioni

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{{F|numeri|arg2=teorie dell'informatica|luglio 2012}}

Gli '''Assiomiassiomi di Peano''' sono un gruppo di [[Assioma (matematica)|assiomi]] ideati dal matematico [[Giuseppe Peano]] al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei [[numeri naturali]]. Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:

<div style="float:center; width:95%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

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#Ogni numero naturale ha un numero naturale successore

#Numeri diversi hanno successori diversi

#0 non è il successore di alcun numero naturale

#Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)

</div>

Si prende 0 o 1 a seconda del modello dei numeri naturali voluto. Oltre a questi assiomi, Peano sottindendesottintende anche gli [[assiomi logici]] che gli permettono di operare con la [[logica]] simbolica.

== Significato matematico degli assiomi ==

In termini più precisi possiamo dire che la struttura data dalla terna <math>(\mathbb N, 0, S)</math> composta dall'[[insieme]] dei [[numeri naturali]] <math>\mathbb N\!</math>, lo [[zero]] e la [[funzione (matematica)|funzione]] "successore" <math>S: \N \to \N</math> può essere caratterizzata ''a meno di isomorfismi'' (in seguito sarà più chiaro in che senso) dai seguenti ''assiomi di Peano'':

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted red;">

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Analizziamo la funzione di ciascun assioma:

* (P1) ci dice che l'insieme <math>\mathbb N\!</math> non è [[insieme vuoto|vuoto]] specificandone un elemento (<math>0</math>);

* (P2) afferma l'esistenza di una funzione <math>S</math> (la ''funzione successore'') di cui l'insieme <math>\mathbb N</math> è [[dominio (matematica)|dominio]] e [[codominio]].

* (P3) dice che <math>S</math> è una [[funzione iniettiva]]; questo ci permette di escludere modelli in cui partendo da <math>0</math> e andando avanti ripetutamente da un elemento al successore si possa ritornare su un elemento già visitato e rimanere confinati in un ciclo;

* (P4) dice che <math>0</math> non è nell'[[immagine (matematica)|immagine]] di <math>S</math>, questo ci permette di escludere modelli in cui iterando la funzione successore si possa compiere un loop che ritorni al punto di partenza; questo assioma con il precedente esclude qualsiasi modello dotato di un numero finito di elementi.

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== Unicità del modello a meno di isomorfismi ==

Ciascun assioma consente di ridurre progressivamente il campo dei [[modello (logica)|modelli]] possibili tagliando fuori, via via, modelli che sono strutturalmente diversi dall'insieme dei numeri naturali (come l'insieme vuoto o insiemi con numero finito di elementi o strutture cicliche). I cinque assiomi sono sufficienti ad escludere tutti i modelli "non buoni" e, quindi, caratterizzare univocamente la struttura dei numeri naturali o, magari, occorrono altri assiomi?

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::allora <math>U=X</math>

Un sistema di Peano è dunque un [[modello (logica)|modello]] valido degli assiomi di Peano. Il modello più naturale per gli assiomi è la struttura <math>(\mathbb N, 0, S)</math>, tuttavia questa '''non''' è l'unica a verificare gli assiomi. Un esempio di sistema di Peano diverso da <math>(\mathbb N , 0, S)</math> si ha prendendo come <math>X</math> l'insieme dei numeri pari positivi <math>\{2,4,6,...\}</math>, <math>x_0:=2</math> e <math>s(x):=x+2</math>.

Un ''[[isomorfismo]]'' tra due ''sistemi di Peano'' <math>(A,a_0,s)</math> e <math>(B,b_0,t)</math> è una [[biiezione]] <math>f:A \to B</math> tale che:

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Con queste definizioni è possibile determinare che gli assiomi sono sufficienti a dare una caratterizzazione univoca, cioè non esistono modelli non isomorfi alla struttura dei numeri naturali. È ciò che afferma il

'''Teorema di Categoricità:''': Tutti i sistemi di Peano sono isomorfi al sistema <math>(\mathbb N, 0, S)</math>.

''Dimostrazione'': un isomorfismo tra un qualunque sistema di Peano <math>(A,a_0,s)</math> e il sistema <math>(\mathbb N,0,S)</math> si ha considerando la biiezione <math>f:\mathbb N \to A</math> definita da:<br/>

:<math>0 \mapsto a_0</math><br/>

:<math>1 \mapstobegin{align} s(a_0)</math><br/>

:<math>20 &\mapsto s(s(a_0))</math><br/>\\

1 &\mapsto s(a_0)\\

:...<br/>

:<math>2 &\mapsto s(s(a_0))\\
\vdots\\
n &\mapsto s(s(...s(s(a_0))...))
\end{align}</math>
con <math>n</math> composizioni di <math>s</math>.<math>\square</math><br/>

== Indipendenza degli assiomi ==

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* Eliminando (P4), un modello è fornito dalle [[aritmetica modulare|classi di resto modulo ''n'']] con la funzione successore data da <math>n \mapsto n+1</math> (mod <math>m</math>).

* Eliminando (P5), possiamo ad esempio prendere i [[numero razionale|razionali]] positivi <math>\mathbb Q\!^+</math>, mantenendo <math>0</math> e lasciando come funzione successore l'usuale <math>n \mapsto n+1</math>.

== Le definizioni delle operazioni in N ==

Le operazioni aritmetiche in N sono l'addizione e la moltiplicazione. Infatti queste sono le uniche due operazioni aritmetiche rispetto alle quali l'insieme N è ''chiuso'', il che significa che applicando questi due algoritmi a elementi del sistema si ottengono sempre altri elementi appartenenti al sistema. Addizione e moltiplicazione non vengono considerate da Peano concetti primitivi, in quanto possono essere definite a partire da questi.

=== Definizione di addizione ===

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted red;">

:(A1) <math>\ x + 0 = x</math>

:(A2) <math>\ x + S(y) = S(x + y)</math>

</blockquote>

=== Definizione di moltiplicazione ===

<blockquote style="padding: 1em; border: 2px dotted red;">

:(M1) <math>x \cdot 0 = 0</math>

:(M2) <math>x \cdot S(y) = (x \cdot y) + x</math>

</blockquote>

=== Carattere ricorsivo delle definizioni ===

Le definizioni di addizione e moltiplicazione potrebbero apparire circolari, in quanto il ''definiendum'' compare nel ''definiens''. In altri termini, le operazioni di addizione e moltiplicazione, che sono ciò che si vuole definire, ricorrono nella definizione. La circolarità della definizione viene però in ambedue i casi evitata in quanto si tratta di definizioni ricorsive: in altri termini, la definizione è tale da rimandare sempre a casi più semplici, i quali o sono immediatamente definiti o rimandano a loro volta ad un caso ancora più semplice. Per essere corrette le definizioni ricorsive devono però evitare anche un regresso all’infinito, ossia devono poter rimandare, in un numero finito di passaggi, ad una situazione immediatamente definita.

Supponiamo di voler calcolare la somma di 3 + 2. In virtù di A2 possiamo sapere che:

<math>\ 3 + 2 = 3 + S(1) = S(3 + 1)</math>

Reiteriamo il medesimo procedimento all’interno della parentesi:

<math>\ S(3 + 1) = S(3 + S(0)) = S(S(3 + 0))</math>

La situazione dentro la parentesi è ora immediatamente definita da A1:

<math>\ S(S(3 + 0)) = S(S(3))</math>

Si ha così una composizione di funzioni in cui dobbiamo applicare la funzione ''S'' al risultato di ''S''(3):

<math>\ S(S(3)) = S(4) = 5</math>

Supponiamo ora di voler calcolare il prodotto di 3 · 2. Dato M2 possiamo sapere che:

<math>3 \cdot 2 = 3 \cdot S(1) = (3 \cdot 1) + 3</math>

Reiteriamo lo stesso procedimento all’interno della parentesi:

<math>(3\cdot 1) + 3 = (3\cdot S(0)) + 3 = ((3\cdot0) + 3) + 3</math>

Il prodotto dentro la parentesi è immediatamente definito da M1:

<math>((3\cdot0) + 3) + 3 = ((0) + 3) + 3</math>

Ora possiamo svolgere i restanti calcoli applicando l’addizione nel modo tradizionale, in quanto è già definita:

<math>\ ((0) + 3) + 3 = (3) + 3 = 6</math>

Addizione e moltiplicazione sono dunque state definite facendo ricorso esclusivamente ad elementi già precedentemente definiti nel sistema. Per risolvere 3 + 2 non abbiamo fatto altro che applicare le definizioni A1 e A2, oltre che la funzione ''S'', a sua volta già definita da P2. Per risolvere 3 · 2 non abbiamo fatto altro che applicare le definizioni M1 e M2 e l’addizione, che era già stata definita da A1, A2 e ''S''.

== Ruolo nella logica matematica ==

Gli assiomi di Peano appartengono alla [[logica dei predicati del secondo ordine]] poiché il quinto assioma (il principio di induzione) richiede un uso di [[quantificatore|quantificatori]] sui [[sottoinsieme|sottoinsiemi]] dei numeri naturali.

La versione degli assiomi di Peano nella [[teoria del primo ordine|logica del primo ordine]] è chiamata [[aritmetica di Peano]] ed ha un ruolo molto importante nella [[teoria della calcolabilità]] e nella [[logica matematica]] poiché soddisfa le condizioni di validità dei [[teoremi di incompletezza di Gödel]].

== Voci correlateBibliografia==

*{{Cita libro|autore=Giuseppe Peano|wkautore=Giuseppe Peano|titolo=Arithmetices principia, nova methodo exposita|città=Torino|anno=1889|url=https://www.archive.org/details/arithmeticespri00peangoog}}

== Voci correlate ==

* [[Principio di induzione]]

* [[Aritmetica di Peano]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Teoria degli insiemi}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoria degli insiemi]]

[[Categoria:Teoria dei numeri]]

[[categoriaCategoria:Assiomi]]

[[Categoria:Logica nell'informatica]]

[[be:Аксіомы Пеана]]

[[be-x-old:Аксіёмы Пэана]]

[[ca:Axiomes de Peano]]

[[cs:Peanovy axiomy]]

[[da:Peanos aksiomer]]

[[de:Peano-Axiome]]

[[en:Peano axioms]]

[[es:Axiomas de Peano]]

[[fi:Peanon aksioomat]]

[[fr:Axiomes de Peano]]

[[he:מערכת פאנו]]

[[hu:Giuseppe Peano#A természetes számok Peano-axiómái]]

[[ja:ペアノの公理]]

[[ko:페아노 공리계]]

[[nl:Axioma's van Peano]]

[[pms:Assiòma ëd Peano]]

[[pt:Axiomas de Peano]]

[[ru:Аксиомы Пеано]]

[[sv:Peanos axiom]]

[[tr:Peano aksiyomları]]

[[zh:皮亚诺公理]]