Modulo (algebra): differenze tra le versioni
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In [[matematica
Nonostante la definizione molto simile, i moduli possono avere proprietà radicalmente diverse da quelle degli spazi vettoriali: ad esempio, non tutti i moduli possiedono una [[base (algebra lineare)|base]], e quindi non è possibile definire una [[dimensione#Dimensione di Hamel|dimensione]] che li caratterizzi. Capire quali proprietà degli spazi vettoriali siano valide anche per i moduli - e sotto quali ipotesi sull'anello ''A'' - è parte integrante della teoria dei moduli.
La nozione di modulo è centrale nell'[[algebra commutativa]] e nell'[[algebra omologica]], e forma la base della [[Rappresentazione dei gruppi|teoria delle rappresentazioni]] dei [[gruppo (matematica)|gruppi]]; è inoltre usata nella [[geometria algebrica]] e nella [[topologia algebrica]].
== Definizione ==
Sia ''A'' un [[anello (algebra)|anello]]. Un ''A''-'''modulo sinistro''' ''M'' è un [[gruppo abeliano]] <math>(M,+)</math> su cui è definita un'operazione <math>A\times M \mapsto M</math> tale che
# <math>a(v+w)=av+aw</math> per ogni <math>a\in A,~v,w\in M</math>;
# <math>(a+b)v=av+bv</math> per ogni <math>a,b\in A,~v\in M</math>;
# <math>(ab)v=a(bv)</math> per ogni <math>a,b\in A,~v\in M</math>.
Analogamente, ''A''-'''modulo destro''' è un ''M'' su cui è definita un'operazione <math>M\times A \mapsto M</math> su cui valgono analoghi assiomi, ma in cui ''a'' e ''b'' sono scritti a destra degli elementi di ''M''; mentre stando soltanto alle prime due proprietà le due strutture differiscono solo per una diversa convenzione di scrittura (l'ordine dei fattori nell'operazione), nella terza si mostra una differenza reale fra loro, in quanto <math>ab</math> non è, in generale, uguale a <math>ba</math>. Se l'anello ''A'' è [[anello commutativo|commutativo]], allora i concetti di modulo destro e sinistro coincidono, nel senso che sono una variante di scrittura l'uno dell'altro (e perciò sono [[Isomorfismo|isomorfi]]).
Se ''M'' è contemporaneamente un ''A''-modulo destro e sinistro, e se le due moltiplicazioni sono compatibili (ovvero se vale
:<math>(av)b=a(vb)</math>
per ogni <math>a,b\in A,~v\in M</math>) allora ''M'' è detto [[bimodulo]] (o ''modulo bilatero''); tale struttura può essere generalizzata nel caso in cui la moltiplicazione destra e sinistra avviene in due anelli diversi, ovvero se ''M'' è un ''A''-modulo sinistro e un ''B''-modulo destro e le due moltiplicazioni sono compatibili: in tal caso si parla di <math>(A,B)</math>-bimodulo.
Se l'anello è [[anello unitario|unitario]], si richiede generalmente che anche l'unità sia compatibile con la struttura di modulo, nel senso che
:<math>
Qualora si voglia sottolineare questo assioma, si parla di ''modulo unitario''; in generale, tuttavia, quando l'anello è unitario si assume automaticamente che anche il modulo lo sia.
Un modo alternativo di vedere la definizione è attraverso la nozione di [[azione di gruppo|azione]]: per un fissato elemento <math>a\in A</math>, l'applicazione <math>\mu_a:M\longrightarrow M</math> tale che <math>\mu_a(v)=av</math> è un [[omomorfismo di gruppi|omomorfismo]] di ''M'' in sé stesso, e di conseguenza (usando il secondo e il terzo assioma di modulo) l'applicazione che associa ad ogni <math>a\in A</math> la moltiplicazione <math>\mu_a</math> è un [[omomorfismo di anelli]] tra ''A'' e l'insieme <math>End(M)</math> degli endomorfismi di ''M''. Questa osservazione costituisce il ponte tra la teoria dei moduli e la [[Rappresentazione dei gruppi|teoria delle rappresentazioni]], che studia le azioni dei gruppi sugli spazi vettoriali, o equivalentemente le azioni di anello delle corrispondenti [[algebra di gruppo|algebre di gruppo]].
== Esempi ==
* Quando l'anello ''A'' è un [[campo (matematica)|campo]], il modulo (bilatero grazie alla commutatività dei campi) risulta essere uno [[spazio vettoriale]].
* Un [[gruppo abeliano]] può essere considerato come modulo sull'anello degli interi, cioè come <math>\mathbb{Z}</math>-modulo, in un modo unico: per ogni generico ''x'' del gruppo e per ogni ''n'' intero positivo basta definire <math>nx</math> come la somma di ''n'' repliche dell'elemento ''x'', definendo naturalmente <math>0x=0</math> e <math>(-n)x=-(nx)</math>. La teoria dei gruppi abeliani si può estendere in maniera naturale ai moduli sopra [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]].
* Un [[ideale (matematica)|ideale]] sinistro di un anello ''A'' è naturalmente un ''A''-modulo sinistro, e analogamente un ideale destro è un ''A''-modulo destro.
* Se ''A'' è un generico anello e ''n'' è un [[numero naturale]], allora il [[prodotto cartesiano]] <math>A^n</math>, dotato della moltiplicazione componente per componente, è un modulo (sia destro che sinistro) su ''A''. In particolare quando ''n'' = 1, ''A'' stesso è un ''A''-modulo, in cui la moltiplicazione per scalare è la moltiplicazione dell'anello.
* Se ''S'' è un [[insieme]] non vuoto, ''M'' è un ''A''-modulo sinistro, e <math>M^S</math> è la famiglia di tutte le [[funzione (matematica)|funzioni]] <math>f:S\longrightarrow M</math>, allora <math>M^S</math> può essere reso un ''A''-modulo sinistro definendo l'addizione termine a termine (<math>(f+g)(s)=f(s)+g(s)</math>) e la moltiplicazione attraverso la distributività (<math>(rf)(s)=r(f(s))</math>).
== Sottomoduli, omomorfismi e quozienti ==
Per i moduli, così come per le altre struttura algebriche come i gruppi e gli anelli, è possibile dare le definizioni di sottostruttura e di omomorfismo. Le definizioni sono date nel caso di ''A''-moduli sinistri; definizioni simmetriche valgono anche nel caso di moduli destri.
Un sottogruppo ''N'' di ''M'' (come gruppo abeliano) che è stabile per moltiplicazione scalare (ovvero tale che <math>av\in N</math> per ogni <math>v\in N</math>) è detto ''sottomodulo'' di ''M''; in altri termini, un sottomodulo di ''M'' è un sottoinsieme ''N'' che è esso stesso un ''A''-modulo (con le stesse operazioni di ''M''). L'intersezione <math>N_1\cap N_2</math> e la somma <math>N_1+N_2=\{v+w|v\in N_1,~w\in N_2\}</math> di sottomoduli di ''M'' sono ancora sottomoduli; tali operazioni possono essere estese a qualunque insieme (anche infinito) di sottomoduli.
Dato un modulo ''M'' e un suo sottomodulo ''N'', il loro quoziente come moduli <math>M/N</math> coincide con il loro quoziente come gruppi abeliani; l'insieme <math>M/N</math> eredita, inoltre, una struttura di ''A''-modulo. In particolare, poiché gli ideali (bilateri) ''I'' di ''A'' sono ''A''-moduli, anche i quozienti (come anello) <math>A/I</math> sono ''A''-moduli.
Un ''omomorfismo di moduli'' è un omomorfismo di gruppi abeliani <math>f:M_1\longrightarrow M_2</math> che rispetta anche la struttura di modulo, nel senso che <math>a\cdot f(v)=f(av)</math> per ogni <math>a\in A</math>, <math>v\in M</math>. L'insieme degli elementi di <math>M_1</math> la cui immagine è 0 forma un sottomodulo, detto ''nucleo'' dell'omomorfismo; i [[teoremi di isomorfismo]] validi per i gruppi si trasferiscono immediatamente al caso dei moduli.
L'insieme degli omomorfismi tra due ''A''-moduli ''M'' ed ''N'' è esso stesso un ''A''-modulo, indicato con <math>Hom(M,N)</math> (oppure <math>Hom_A(M,N)</math> se è necessario chiarire quale sia l'anello base), definendo le operazioni come
* <math>(f+g)(v)=f(v)+g(v)</math> e
* <math>(af)(v)=a(f(v))</math>.
Per ogni ''A''-modulo ''M'' si ha un isomorfismo canonico <math>M\simeq Hom(A,M)</math>.
Un omomorfismo di ''A''-moduli <math>\phi:M_1\longrightarrow M_2</math> induce, per ogni ''A''-modulo, gli omomorfismi
:<math>\phi^*:Hom(M_2,N)\longrightarrow Hom(M_1,N)</math>, in cui <math>\phi^*(f)=f\circ \phi</math> e
:<math>\phi_*:Hom(N,M_1)\longrightarrow Hom(N,M_2)</math>, in cui <math>\phi_*(g)=\phi\circ g</math>.
Nei termini della [[teoria delle categorie]], questo esprime il fatto che, ad ''N'' fissato, l'applicazione <math>M\mapsto Hom(M,N)</math> è un [[funtore (matematica)|funtore]] controvariante dalla categoria degli ''A''-moduli a quella dei gruppi abeliani, mentre l'applicazione <math>M\mapsto Hom(N,M)</math> è un funtore covariante.
== Generatori, indipendenza lineare e basi ==
{{vedi anche|Modulo libero}}
Una delle maggiori differenze tra la teoria degli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]] e quella dei moduli consiste nel fatto che non tutti i moduli hanno una [[base (algebra lineare)|base]].
È sempre possibile trovare, dato un modulo ''M'', un insieme di elementi che lo genera: un esempio è l'intero ''M''. Se ''M'' può essere generato da un numero finito di elementi, è detto ''finitamente generato''; ad esempio, l'anello ''A'' è un ''A''-modulo finitamente generato, perché l'elemento 1 lo genera. Da questo segue anche che, in generale, un sottomodulo di un modulo finitamente generato non è necessariamente finitamente generato: un esempio sono gli [[ideale (matematica)|ideali]] non finitamente generati di un anello ''A'' non [[anello noetheriano|noetheriano]]. Un concetto più forte è quello di modulo ''finitamente presentato'', ovvero un modulo che può essere scritto come quoziente <math>A^n/N</math>, dove ''N'' è un sottomodulo finitamente generato di <math>A^n</math>.
Tuttavia, non sempre è possibile trovare un insieme di generatori [[indipendenza lineare|linearmente indipendente]], ed anzi esistono moduli non nulli in cui nessun elemento è linearmente indipendente: ad esempio, se ''A'' è un anello e ''I'' un suo ideale, allora nessun elemento di <math>A/I</math> è linearmente indipendente, in quanto <math>iv=0</math> per ogni <math>i\in I\subseteq A</math> e per ogni <math>v\in A/I</math>.
Nel caso in cui una base (ovvero un [[insieme di generatori]] linearmente indipendente) esista, il modulo è detto [[modulo libero|libero]]; quando questo avviene, il modulo è isomorfo alla [[somma diretta]] di un numero di copie uguale alla [[cardinalità]] della sua base e, se questo è finito e uguale ad ''n'', al modulo <math>A^n</math>. In generale, questo numero ''n'' non è unico: possono cioè esserci casi in cui i moduli <math>A^n</math> ed <math>A^m</math> sono isomorfi, sebbene ''n'' ed ''m'' siano diversi. Questo non può avvenire se ''A'' è commutativo oppure se è [[anello noetheriano|noetheriano]]; in tal caso, ''n'' viene detto ''rango'' del modulo libero.<ref>{{SpringerEOM|title=Rank of a module|author=V.E. Govorov}}</ref><ref>{{cita libro|autore=Paul Moritz Cohn|titolo=Introduction to ring theory|lingua=en|editore=Springer|anno=2000|isbn=1-85233-206-9|pp=169-171}}</ref>
Nel caso degli spazi vettoriali (ovvero quando ''A'' è un campo), tutti i moduli hanno una base, ovvero tutti i moduli sono liberi; in virtù dell'esempio precedente, segue anche che se tutti gli ''A''-moduli sono liberi, allora ''A'' è un [[corpo (matematica)|corpo]]. In questo caso, il rango coincide con la [[dimensione di Hamel|dimensione]] dello spazio vettoriale.
==
Un modulo che è privo di sottomoduli non banali (cioè <math>\{0\}</math> e il modulo stesso) è detto ''semplice'' mentre, nel caso in cui possa essere scritto come somma diretta di moduli semplici, è detto ''semisemplice''. Mentre tutti gli spazi vettoriali sono semisemplici (possono sempre essere scritti come [[somma diretta]] di sottospazi di dimensione 1), così come tutti i moduli liberi, in generale esistono moduli che posseggono sottomoduli non banali, ma non possono essere scritti come somma diretta di due suoi sottomoduli: essi sono detti ''indecomponibili''. Tutti i moduli semplici sono indecomponibili, ma non viceversa: ad esempio, se <math>p</math> è un [[numero primo]], lo <math>\Z</math>-modulo <math>\Z/p^2\Z</math> non è semplice, in quanto contiene il sottomodulo <math>p\Z/p^2\Z=\{0,p,2p,\ldots,(p-1)p\}</math>, che è il suo unico sottomodulo non banale; di conseguenza, <math>\Z/p^2\Z</math> è indecomponibile ma non semplice.
Se tutti gli <math>A</math>-moduli sono semisemplici, <math>A</math> stesso è detto (anello) semisemplice; una condizione sufficiente perché questo avvenga è che <math>A</math> sia semisemplice come <math>A</math>-modulo. Un caso di grande importanza per la [[Rappresentazione dei gruppi|teoria delle rappresentazioni]] è il [[teorema di Maschke]]: se <math>G</math> è un [[gruppo finito]] e <math>k</math> è un [[campo (matematica)|campo]] [[chiusura algebrica|algebricamente chiuso]], allora l'[[algebra di gruppo]] <math>k[G]</math> è semisemplice se e solo se la [[Caratteristica (algebra)|caratteristica]] di <math>k</math> non divide l'ordine di <math>G</math>.
È possibile anche affrontare il problema di stabilire una decomposizione "canonica" dei moduli su un anello non semisemplice, anche se in tal caso non tutti gli addendi possono essere semplici; un caso generale è dato dalla decomposizione in sottomoduli indecomponibili, che è possibile se la [[lunghezza di un modulo|lunghezza]] del modulo è finita ([[teorema di Krull-Schmidt]]). Nel caso dei [[dominio ad ideali principali|domini ad ideali principali]] (PID), si ottiene per i moduli finitamente generati una classificazione analoga a quella dei gruppi abeliani finitamente generati: se <math>A</math> è un PID e <math>M</math> un <math>A</math>-modulo finitamente generato, allora
:<math>M\simeq A^k\oplus A/(q_1)\oplus A/(q_2)\oplus\cdots\oplus A/(q_n),</math>
dove i <math>q_i</math> sono potenze di [[elemento primo|elementi primi]] di <math>A</math>. Una conseguenza di questa classificazione è l'esistenza della [[forma canonica di Jordan]] per [[applicazione lineare|applicazioni lineari]] su uno spazio vettoriale su un [[campo algebricamente chiuso]].
== Note ==
<references/>
== Bibliografia ==
* {{cita libro|autore=[[Michael Atiyah]] e [[Ian G. Macdonald]]|titolo=Introduction to Commutative Algebra|editore=Westview Press|anno=1969|isbn=0-201-40751-5|lingua=en|cid=Atiyah}}
==
* {{Collegamenti esterni}}
{{Algebra}}
{{algebra commutativa}}
{{Controllo di autorità}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Teoria dei moduli]]
[[Categoria:Strutture algebriche]]
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