Passaggio al limite sotto segno di integrale: differenze tra le versioni

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In [[analisi matematica]], per '''passaggio al limite sotto segno di integrale''' si intende la possibilità di ottenerecalcolare il [[limite (matematica)|limite]] deglidi una successione di [[integrale definito|integrali]] dicome unal'integrale del limite della [[successione (matematica)|successione]] didelle [[funzione (matematica)|funzioni]] come integrale del limite delle funzioni stesse. Si tratta dello studio delle condizioni per cui sia possibile scrivereintegrande:

:<math>\lim_{n\to\infty}\int_E f_n(x)\mathrm{d}x=\int_E\lim_{n\to\infty} f_n(x)\mathrm{d}x</math>

QuestaTale problematicatipo di operazione si manifestapresenta in un gran numero di applicazioni, e l'assenza di teoremi con ipotesi sufficientemente generali che permettano lo scambio del passaggio al limite con l'operazione di integrazione è uno dei motivi che hanno portato alla definizione dell'[[integrale di Lebesgue]] in sostituzione dell'[[integrale di Riemann]].<ref>{{cita|Giusti|p. 259|Giusti2}}.</ref>

Nel contesto dell'[[analisi funzionale]], i teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale sono lo strumento principale per stabilire se, per una data successione di funzioni, la [[convergenza puntuale]] ([[quasi ovunque]]) implica la convergenza in [[spazio Lp|norma L¹]].

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:<math>0\leq \left|\int_E [f_k(x)-f(x)] \mathrm{d}x \right|\leq \int_E |f_k (x)-f(x)| \mathrm{d}x \leq |E| \sup{\{f_k (x)-f(x)\}}</math>

che tende a 0 per la convergenza uniforme. Né un'ipotesi né l'altra sono sufficienti a garantire lo scambio: per un insieme non limitato si può prendere ad esempio la successione

:<math>f_n(x)=\frac{1}{n}\Chi_chi_{[n,2n]}(x)</math>

(dove &Chi;<math>\chi</math> indica la [[funzione indicatrice]]), mentre in un insieme non limitato un semplice esempio è

:<math>f_n(x)=n\Chi_chi_{\left[0,\frac{1}{n}\right]}(x)</math>

In entrambi i casi, le funzioni tendono [[convergenza puntuale|puntualmente]] alla funzione identicamente nulla (la prima in <math>(0,+\infty)</math>, la seconda in [0,1]), che ha ovviamente integrale 0, ma ogni membro della successione ha integrale 1.

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per ogni ''x'' e per ogni ''n'', allora lo scambio è possibile.

Un ulteriore problema è la possibilità che, pur esistendo il limite puntuale di una successione di funzioni integrabili secondo Riemann, questo non sia a sua volta integrabile: ad esempio, fissando una [[insieme numerabile|numerazione]] <math>\{q_0,q_1,\ldots,q_n,\ldots\}\,</math> dell'insieme dei [[numero razionale|numeri razionali]], e ponendo

:<math>f_n(x)=\Chi_chi_{\{q_0,q_1,\ldots,q_n\}}</math>

si ha una successione di funzioni integrabili (con integrale nullo) che converge puntualmente alla [[funzione di Dirichlet]], che non è integrabile secondo Riemann. Anche in questo caso l'eventuale presenza della convergenza uniforme permette di affermare l'integrabilità della funzione limite.

== Integrale di Lebesgue ==

Nell'[[integrale di Lebesgue]] i teoremi di passaggio al limite sotto integrali hanno ipotesi considerevolmente più deboli rispetto a quelli relativi all'integrale di Riemann. I due teoremi principe sono il [[teorema della convergenza monotona]] (o di [[Beppo Levi]]) e il [[teorema della convergenza dominata]]. Il primo afferma che lo scambio tra le operazioni di limite e di integrazione è possibile se le funzioni sono non negative e se la successione è monotona crescente, ovvero se:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 21|rudin}}.</ref>

:<math>f_n(x)\leq f_{n+1}(x) \ </math>

per ogni ''x'' e per ogni ''n'', mentre il secondo si applica nel caso di funzioni dominate da una funzione integrabile, ovvero in cui esiste una funzione ''g'', ad integrale finito, tale che:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 26|rudin}}.</ref>

:<math>|f_n(x)|\leq g(x) \ </math>

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:<math>\lim_{n\to\infty}\int_{E_n}f(x)\mathrm{d}x=\int_{\lim_{n\to\infty} E_n}f(x)\mathrm{d}x</math>

In tal caso, ci si può ricondurre al caso moltiplicando per la [[funzione indicatrice]] di ''E_n'', ovvero ponendo

:<math>f_n(x)=f(x)\Chi_chi_{E_n}(x)</math>

Si ottiene così una successione di funzioni ai quali possono essere applicati i teoremi precedenti.

=== Scambio di integrali ===

{{vedi anche|teorema di Fubini}}

Il calcolo effettivo della quasi totalità degli [[integrale multiplo|integrali multipli]] dipende in maniera cruciale dalla possibilità di ridurre l'integrale in più dimensioni a più integrali in una dimensione, ovvero di poter avere:<ref>{{Cita|W. Rudin|Pag. 140|rudin}}.</ref>

:<math>\int_{\mathbb{R}^2} f(x,y)\mathrm{d}x\mathbb{d}y=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}x\int_\mathbb{R} f(x,y)\mathrm{d}y=\int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}y\int_\mathbb{R} f(x,y)\mathrm{d}x</math>

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:<math>E(X_\tau)\leq E(X_0)</math>

e in particolare, per martingale,

:<math>E(X_\tau)=E(X_0)\,</math>

risultato che è spesso utile nel calcolo di <math>E(\tau)</math>.

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== Bibliografia ==

*{{cita libro|autore=[[Enrico Giusti]]|titolo=Analisi matematica 2|edizione=terza edizione|editore=Bollati Boringhieri|anno=2003|città=Torino|id=ISBN =88-339-5706-3|cid=Giusti2}}

* {{cita libro | cognome= Rudin| nome= Walter | titolo= Real and Complex Analysis | editore= McGraw-Hill | città= Mladinska Knjiga| anno= 1970|id= ISBN= 00705423410-07-054234-1|cid =rudin}}

*{{cita libro|autore=[[David Williams (matematico)|David Williams]]|titolo=Probability with Martingales|editore=Cambridge Mathematical Textbooks|anno=1991|id=ISBN =978-0-521-40605-5}}

==Voci correlate==