Teorema di Pascal: differenze tra le versioni

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[[ImageFile:TeoremaPascal's di Pascaltheorem.png|thumb|right|300pxupright=1.4|Teorema di Pascal]]

IlIn [[geometria]], il '''Teoremateorema di Pascal''', di [[Blaise Pascal]], è uno dei teoremi- base della [[Sezione conica|teoria delle coniche]]. Premesso che sei punti ordinati A1<math>A_1</math>, A2<math>A_2</math>, A3<math>A_3</math>, A4<math>A_4</math>, A5<math>A_5</math>, A6<math>A_6</math> di una conica individuano un [[esagono]] inscritto in essa, il teorema di Pascal fornisce una condizione grafica caratteristica affinché un dato esagono sia inscrittibileinscrivibile in una conica.

== Il teorema ==

Il '''Teorema di Pascal''', di [[Blaise Pascal]], è uno dei teoremi-base della [[Sezione conica|teoria delle coniche]]. Premesso che sei punti ordinati A1, A2, A3, A4, A5, A6 di una conica individuano un [[esagono]] inscritto in essa, il teorema di Pascal fornisce una condizione grafica caratteristica affinché un dato esagono sia inscrittibile in una conica.

=== Per cinque punti generici passa una sola conica ===

Un risultato classico della teoria delle coniche afferma che per 5 punti generici passa una sola conica. Per "generici" si intende in questo caso che i 5 punti devono essere distinti, e che fra di loro non ve ne sono 4 allineati, cioè giacenti sulla stessa [[retta]]: l'aggettivo "generico" suggerisce che 5 punti "presi a caso" soddisfano certamente questa proprietà.

=== Condizione sul sesto punto ===

Poiché una conica è individuata da 5 suoi punti, tale teorema fornisce una condizione affinché un sesto vertice dell'esagono appartenga alla conica individuata dagli altri 5 vertici di tale poligono. La condizione è la seguente: siano A1, A2, A3, A4, A5, A6 sei punti dati ordinatamente nel piano e siano B1, B2, B3 i punti comuni, rispettivamente, alle rette A1-A2 e A4-A5, alle rette A2-A3 e A5-A6, alle rette A3-A4 e A6-A1; i sei punti appartengono ad una conica se, e soltanto se, i tre punti B1, B2, B3 appartengono ad una retta, che è chiamata ''[[retta di Pascal]]''. Il caso particolare in cui i sei punti sono contenuti in una ''conica degenere'', cioè l'unione di due rette, si traduce nel [[teorema di Pappo-Pascal]].

Cinque punti generici determinano quindi una conica. Il teorema di Pascal fornisce una condizione affinché un sesto punto appartenga alla conica:

<div style="float:center; width:85%; padding:15px; background: #f5f8ff; border: 1px solid blue; margin-left:8px; margin-right:8px;margin-bottom:15px; text-align:left">

Nel [[1847]] il teorema fu generalizzato da [[August Ferdinand Möbius]]: posto che un [[poligono]] con 4n + 2 lati sia iscritto in una sezione conica, si prolunghino i lati opposti fino a che si secano in 2n + 1 punti. Se 2n di questi punti si trovano sulla stessa retta, allora anche l'ultimo punto si trova su di essa.

Siano <math>A_1</math>, <math>A_2</math>, <math>A_3</math>, <math>A_4</math>, <math>A_5</math>, <math>A_6</math> sei punti nel piano e siano <math>B_1</math>, <math>B_2</math>, <math>B_3</math> i punti comuni, rispettivamente, alle rette <math>A_1A_2</math> e <math>A_4A_5</math>, alle rette <math>A_3A_4</math> e <math>A_6A_1</math>, alle rette <math>A_2A_3</math> e <math>A_5A_6</math>.

I sei punti iniziali appartengono ad una conica se, e soltanto se, i tre punti <math>B_1</math>, <math>B_2</math>, <math>B_3</math> appartengono ad una retta, chiamata retta di Pascal.

[[Categoria:Geometria piana]]

</div>

[[Categoria:Geometria proiettiva]]

[[Categoria:Teoremi]]

Il caso particolare in cui i sei punti sono contenuti in una ''conica degenere'', cioè l'unione di due rette, si traduce nel [[teorema di Pappo|teorema di Pappo-Pascal]].

== Generalizzazioni ==

[[de:Satz von Pascal]]

Nel [[1847]] il teorema fu generalizzato da [[August Ferdinand Möbius]]: posto che un [[poligono]] con <math> 4n + 2 </math> lati sia iscritto in una sezione conica, si prolunghino i lati opposti fino a che si secano in <math> 2n + 1 </math> punti. Se <math> 2n </math> di questi punti si trovano sulla stessa retta, allora anche l'ultimo punto si trova su di essa.

[[en:Pascal's theorem]]

[[fr:Théorème de Pascal]]

== Voci correlate ==

[[nl:Stelling van Pascal]]

* [[Teorema di Pappo]]

[[ja:パスカルの定理]]

* [[pt:Teorema deBlaise Pascal]]

[[ru:Теорема Паскаля]]

== Altri progetti ==

[[fi:Pascalin lause]]

{{interprogetto}}

[[zh:帕斯卡定理]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Controllo di autorità}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Geometria pianaproiettiva]]

[[Categoria:Teoremi della geometria piana|Pascal]]

[[Categoria:GeometriaBlaise proiettivaPascal]]