Numero palindromo: differenze tra le versioni
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== Definizione formale ==
Stando alla sua definizione, il concetto di ''palindromicità'' di un numero viene applicato solo nell'insieme dei [[numeri interi]], ed inoltre il numero preso in considerazione può essere scritto in qualsiasi [[
Sia ''n'' un [[numero intero]] e sia ''a<sub>0</sub>a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>k</sub>'' la sua rappresentazione in cifre in una certa [[Base (aritmetica)|base]] ''b'' ≥ 2 (con a<sub>0</sub> ≠ 0).
Allora ''n'' è palindromo se e solo se per ogni intero ''0≤i≤k'' si ha ''a<sub>i</sub>=a<sub>k-i</sub>''
== Esempi ==
Un esempio di numero palindromo può essere:
:<math>12345654321
si può notare infatti che esso è simmetrico rispetto al suo centro:
:<math>12345\ 6\ 54321
quindi vale la definizione.
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Se si studia il numero dei numeri palindromi scritti in base 10 ed inferiori ad una certa potenza di 10 ci si può accorgere che esiste una certa regolarità
* Tutti i numeri con una sola [[cifra]] sono palindromi, quindi vi sono 10 numeri palindromi minori di 10
* I palindromi con due cifre sono nove (in effetti i multipli di 11 minori di 100), quindi esistono 19 numeri palindromi minori di 10
* Esistono 90 palindromi con 3 cifre quindi 109 palindromi minori di 10
* I palindromi minori di
Se si prosegue con questo ragionamento incrementando le potenze di dieci si può ottenere la successione<ref>{{OEIS|A070199}}</ref>:
:<math>10,\,19,\,109,\,199,\,1099,\,1999,\,10999,\,19999,\,109999,\,199999,\,1099999,\, ...</math>
La tabella seguente indica il numero di numeri palindromi minori di una certa potenza di dieci che possiedono una certa caratteristica
{| class="wikitable"
|-
| bgcolor="#CCCC00" |
| bgcolor="#CCCC00" | 10³
| bgcolor="#CCCC00" | 10⁶
| bgcolor="#CCCC00" | 10⁹
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Numero naturale|naturale]]
| 2 || 10 || 19 || 109 || 199 || 1099 || 1999 || 10999 || 19999
| 109999 || 199999
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Numero pari|pari]]
| 1 || 5 || 9 || 49 || 89 || 489 || 889 || 4889 || 8889
| 48889 || 88889
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Numero dispari|dispari]]
| 1 || 5 || 10 || 60 || 110 || 610 || 1110 || 6110 || 11110
| 61110 || 111110
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[quadrato perfetto]]
| 2 || colspan="2" | 4 || colspan="2" | 7 || 14
| 15 || colspan="2" | 20 || colspan="2" | 31
|-
| 2 || colspan="2" | 3 || 4 || colspan="3" | 5
| colspan="3" | 7 || 8
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Numero primo|primo]] (vedi anche: [[Primo palindromo]])
| 0 || 4 || 5 || colspan="2" | 20
| colspan="2" | 113 || colspan="2" | 781
| colspan="2" | 5953
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Intero privo di quadrati|privo di quadrati]]
| 0 || 6 || 12 || 67 || 120 || 675 || 1200 || 6821 || 12160
| +
|-
| 2 || 4 || 7 || 42 || 79 || 424 || 799 || 4178 || 7839
| + || +
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' quadrato perfetto con radice [[Numero primo|prima]]
| 0 || colspan="2" | 2 || colspan="2" | 3 || colspan="6" | 5
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' con un numero pari di [[Fattorizzazione|fattori primi]] distinti (μ(''n'')=1)
| 0 || 2 || 6 || 35 || 56 || 324 || 583 || 3383 || 6093
| + || +
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' con un numero dispari di fattori primi distinti (μ(''n'')=-1)
| 0 || 4 || 6 || 32 || 64 || 351 || 617 || 3438 || 6067
| + || +
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari con un numero dispari di fattori primi
| 0 || 1 || 2 || 9 || 21 || 100 || 180 || 1010 || 6067
| + || +
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari con un numero dispari di fattori primi distinti
| 0 || 3 || 4 || 21 || 49 || 268 || 482 || 2486 || 4452
| +
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' dispari con un numero dispari di fattori primi
| 0 || 3 || 4 || 23 || 43 || 251 || 437 || 2428 || 4315
| + || +
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' dispari con un numero dispari di fattori primi distinti
| 0 || 4 || 5 || 28 || 56 || 317 || 566 || 3070 || 5607
| +
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari, non quadrato perfetto, con un numero pari di fattori primi distinti
| 0 || 1 || 2 || 11 || 15 || 98 || 171 || 991 || 1782
| + || +
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' dispari, non quadrato perfetto, con un numero pari di fattori primi distinti
| 0 || 1 || 4 || 24 || 41 || 226 || 412 || 2392 || 4221
| +
|-
| 0 || 1 || 4 || 25 || 39 || 205 || 303 || 1768 || 2403
| + || +
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari con esattamente 2 fattori primi
| 0 || 2 || 3 || colspan="2" | 11
| colspan="2" | 64 || colspan="2" | 413
| + || +
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari con esattamente 3 fattori primi
| 0 || 1 || 3 || 14 || 24 || 122 || 179 || 1056 || 1400
| +
|-
| 0 || 0 || 1 || 18 || 44 || 250 || 390 || 2001 || 2814
| + || +
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' dispari con esattamente 3 fattori primi
| 0 || 0 || 1 || 12 || 34 || 173 || 348 || 1762 || 3292
| + || +
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[numero di Carmichael]]
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1
| 1 || 1
|-
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' per il quale [[Funzione sigma|σ(''n'')]] è palindromo
| 1 || 6 || 10 || 47 || 114 || 688 || 1417 || 5683 || +
| + || +
|}
== Potenze perfette ==
Esistono vari numeri palindromi che sono anche potenze di altri numeri. Attualmente sono conosciuti solo numeri palindromi che possono essere espressi con una potenza di esponente 2, 3 o 4:
* I primi [[Quadrato perfetto|quadrati perfetti]] palindromi sono: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ...<ref>{{OEIS|A002779}}</ref>
* I primi numeri palindromi che possiedono una radice cubica intera sono: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ...
* I primi numeri palindromi esprimibili con una potenza di esponente 4 sono: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ...
G. J. Simmons e D. Rawlinson congetturano che non esistano palindromi diversi da 0 e 1 esprimibili con potenze di esponente maggiore di 4<ref>{{Cita libro|titolo=Problems in applied mathematics: selections from SIAM review|curatore=Murray S. Klamkin|url=http://books.google.com/books?id=WI9ZGl3M8bYC&pg=PA520#v=onepage&q&f=false|editore=
L'unico numero non palindromo conosciuto il cui cubo è un palindromo è 2201.
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== Formula generatrice di numeri palindromi in base 10 ==
In base 10 una formula generatrice di parecchi numeri palindromi è la successione
:<math>a(n)=(10^n+1)^k \mbox{ con } n,k \in \mathbb{N}
Per esempio con ''k''=3 e ''n''=4 si ottiene:
:<math>(10^4+1)^3=1000300030001
Questa formula però non genera sempre numeri palindromi a partire da ''k''>4. Infatti, se proviamo con ''k''=5 ed ''n''=2, otteniamo:
:<math>(10^2+1)^5=10510100501
che è evidentemente un numero non palindromo. Inoltre non tutti i numeri palindromi vengono generati da questa formula, in effetti i numeri di una sola cifra sono palindromi ma non vengono generati.
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Un [[repunit]] è un numero scritto utilizzando esclusivamente la cifra 1. In base 10 è possibile generare un numero palindromo tramite moltiplicazione di due numeri repunit.
Se prendiamo due repunit tali che il prodotto del numero delle cifre del primo per il numero delle cifre del secondo è minore o uguale di 100 e li moltiplichiamo tra di loro otteniamo un numero palindromo.
Per esempio il numero 111 111 111 111 possiede 12 cifre, il numero 1 111 111 possiede 7 cifre, 7×12=84≤100 quindi:
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== Voci correlate ==
* [[Primo palindromo]]
* [[Numero strettamente non palindromo]]
* [[Palindromo]]
* [[Repunit]]
* [[Numero primo di Mersenne]]
* [[Numero di Belfagor]]
* [[Primo permutabile]]
== Altri progetti ==
{{interprogetto
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* [[OEIS:A002113|Sequenza dei numeri palindromi]] della [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS-''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences'']]
* [http://mathforum.org/library/drmath/view/57170.html Numeri palindromi fino a 100,000] da Ask Dr. Math
* {{en}}[http://www.jasondoucette.com/worldrecords.html World record e curiosità] da Jason Doucette Math
* {{PlanetMath|palindromicnumber|palindromic number}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Teoria dei numeri]]
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