Numero palindromo: differenze tra le versioni

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== Definizione formale ==
Stando alla sua definizione, il concetto di ''palindromicità'' di un numero viene applicato solo nell'insieme dei [[numeri interi]], ed inoltre il numero preso in considerazione può essere scritto in qualsiasi [[SistemaBase numerico(aritmetica)|base]].
 
Sia ''n'' un [[numero intero]] e sia ''a<sub>0</sub>a<sub>1</sub>a<sub>2</sub>...a<sub>k</sub>'' la sua rappresentazione in cifre in una certa [[Base (aritmetica)|base]] ''b'' ≥ 2 (con a<sub>0</sub> ≠ 0).
Allora ''n'' è palindromo se e solo se per ogni intero ''0≤i≤k'' si ha ''' ''a<sub>i</sub>=a<sub>k-i</sub>'' '''
 
== Esempi ==
Un esempio di numero palindromo può essere:
:<math>12345654321 \,</math>
si può notare infatti che esso è simmetrico rispetto al suo centro:
:<math>12345\ 6\ 54321\,</math>
 
quindi vale la definizione.
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Se si studia il numero dei numeri palindromi scritti in base 10 ed inferiori ad una certa potenza di 10 ci si può accorgere che esiste una certa regolarità
 
* Tutti i numeri con una sola [[cifra]] sono palindromi, quindi vi sono 10 numeri palindromi minori di 10<sup>1</sup>¹.
* I palindromi con due cifre sono nove (in effetti i multipli di 11 minori di 100), quindi esistono 19 numeri palindromi minori di 10<sup>2</sup>².
* Esistono 90 palindromi con 3 cifre quindi 109 palindromi minori di 10<sup>3</sup>³.
* I palindromi minori di 10<sup>4</sup>10⁴ sono 199.
Se si prosegue con questo ragionamento incrementando le potenze di dieci si può ottenere la successione<ref>{{OEIS|A070199}}</ref>:
:<math>10,\,19,\,109,\,199,\,1099,\,1999,\,10999,\,19999,\,109999,\,199999,\,1099999,\, ...</math>
 
La tabella seguente indica il numero di numeri palindromi minori di una certa potenza di dieci che possiedono una certa caratteristica
 
<table border="1" cellspacing="0" cellpadding="2">
{| class="wikitable"
<tr>
|-
<td bgcolor="#CCCC00">&nbsp;</td>
| bgcolor="#CCCC00" | &nbsp; <td|| bgcolor="#CCCC00">10<sup>1</sup></td> | 10⁰
<td| bgcolor="#CCCC00"> | 10<sup>2</sup></td>¹
<td| bgcolor="#CCCC00"> | 10<sup>3</sup></td>²
| bgcolor="#CCCC00" | 10³ <td|| bgcolor="#CCCC00">10<sup>4</sup></td> | 10⁴
<td| bgcolor="#CCCC00">10<sup>5</sup></td> | 10⁵
| bgcolor="#CCCC00" | 10⁶ <td|| bgcolor="#CCCC00">10<sup>6</sup></td> | 10⁷
<td| bgcolor="#CCCC00">10<sup>7</sup></td> | 10⁸
| bgcolor="#CCCC00" | 10⁹ <td|| bgcolor="#CCCC00"> | 10<sup>8</sup></td>¹⁰
|-
<td bgcolor="#CCCC00">10<sup>9</sup></td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Numero naturale|naturale]]
<td bgcolor="#CCCC00">10<sup>10</sup></td>
| 2 || 10 || 19 || 109 || 199 || 1099 || 1999 || 10999 || 19999
</tr>
| 109999 || 199999
<tr>
|-
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' [[Numero naturale|naturale]]</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Numero pari|pari]]
<td>10</td>
| 1 || 5 || 9 || 49 || 89 || 489 || 889 || 4889 || 8889
<td>19</td>
| 48889 || 88889
<td>109</td>
|-
<td>199</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Numero dispari|dispari]]
<td>1099</td>
| 1 || 5 || 10 || 60 || 110 || 610 || 1110 || 6110 || 11110
<td>1999</td>
| 61110 || 111110
<td>10999</td>
|-
<td>19999</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[quadrato perfetto]]
<td>109999</td>
| 2 || colspan="2" | 4 || colspan="2" | 7 || 14
<td>199999</td>
| 15 || colspan="2" | 20 || colspan="2" | 31
</tr>
|-
<tr>
<td| bgcolor="#FFCC99"> | ''n'' [[NumeroCubo pari(algebra)|paricubico]]</td>
| 2 || colspan="2" | 3 || 4 || colspan="3" | 5
<td>5</td>
| colspan="3" | 7 || 8
<td>9</td>
|-
<td>49</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Numero primo|primo]] (vedi anche: [[Primo palindromo]])
<td>89</td>
| 0 || 4 || 5 || colspan="2" | 20
<td>489</td>
| colspan="2" | 113 || colspan="2" | 781
<td>889</td>
| colspan="2" | 5953
<td>4889</td>
|-
<td>8889</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[Intero privo di quadrati|privo di quadrati]]
<td>48889</td>
| 0 || 6 || 12 || 67 || 120 || 675 || 1200 || 6821 || 12160
<td>88889</td>
| + </tr>|| +
|-
<tr>
<td| bgcolor="#FFCC99"> | ''n'' non privo di quadrati ([[NumeroFunzione disparidi Möbius|dispariμ(''n'')]]</td>=0)
| 2 || 4 || 7 || 42 || 79 || 424 || 799 || 4178 || 7839
<td>5</td>
| + || +
<td>10</td>
|-
<td>60</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' quadrato perfetto con radice [[Numero primo|prima]]
<td>110</td>
| 0 || colspan="2" | 2 || colspan="2" | 3 || colspan="6" | 5
<td>610</td>
|-
<td>1110</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' con un numero pari di [[Fattorizzazione|fattori primi]] distinti (μ(''n'')=1)
<td>6110</td>
| 0 || 2 || 6 || 35 || 56 || 324 || 583 || 3383 || 6093
<td>11110</td>
| + || +
<td>61110</td>
|-
<td>111110</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' con un numero dispari di fattori primi distinti (μ(''n'')=-1)
</tr>
| 0 || 4 || 6 || 32 || 64 || 351 || 617 || 3438 || 6067
<tr>
| + || +
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' [[quadrato perfetto]]</td>
|-
<td colspan="2">4</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari con un numero dispari di fattori primi
<td colspan="2">7</td>
| 0 || 1 || 2 || 9 || 21 || 100 || 180 || 1010 || 6067
<td>14</td>
| + || +
<td>15</td>
|-
<td colspan="2">20</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari con un numero dispari di fattori primi distinti
<td colspan="2">31</td>
| 0 || 3 || 4 || 21 || 49 || 268 || 482 || 2486 || 4452
</tr>
| + <tr>|| +
|-
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' [[Cubo (algebra)|cubico]]</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' dispari con un numero dispari di fattori primi
<td colspan="2">3</td>
| 0 || 3 || 4 || 23 || 43 || 251 || 437 || 2428 || 4315
<td>4</td>
| + || +
<td colspan="3">5</td>
|-
<td colspan="3">7</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' dispari con un numero dispari di fattori primi distinti
<td>8</td>
| 0 || 4 || 5 || 28 || 56 || 317 || 566 || 3070 || 5607
</tr>
| + <tr>|| +
|-
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' [[Numero primo|primo]] (vedi anche: [[Primo palindromo]])</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari, non quadrato perfetto, con un numero pari di fattori primi distinti
<td>4</td>
| 0 || 1 || 2 || 11 || 15 || 98 || 171 || 991 || 1782
<td>5</td>
| + || +
<td colspan="2">20</td>
|-
<td colspan="2">113</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' dispari, non quadrato perfetto, con un numero pari di fattori primi distinti
<td colspan="2">781</td>
| 0 || 1 || 4 || 24 || 41 || 226 || 412 || 2392 || 4221
<td colspan="2">5953</td>
| + </tr>|| +
|-
<tr>
<td| bgcolor="#FFCC99"> | ''n'' [[Interodispari privocon diesattamente quadrati|privodue difattori quadrati]]</td>primi
| 0 || 1 || 4 || 25 || 39 || 205 || 303 || 1768 || 2403
<td>6</td>
| + || +
<td>12</td>
|-
<td>67</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari con esattamente 2 fattori primi
<td>120</td>
| 0 || 2 || 3 || colspan="2" | 11
<td>675</td>
| colspan="2" | 64 || colspan="2" | 413
<td>1200</td>
| + || +
<td>6821</td>
|-
<td>12160</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' pari con esattamente 3 fattori primi
<td>+</td>
| 0 || 1 || 3 || 14 || 24 || 122 || 179 || 1056 || 1400
<td>+</td>
| + </tr>|| +
|-
<tr>
<td| bgcolor="#FFCC99"> | ''n'' nonpari privocon diesattamente quadrati3 ([[Funzionefattori diprimi Möbius|μ(''n'')]]=0)</td>distinti
| 0 || 0 || 1 || 18 || 44 || 250 || 390 || 2001 || 2814
<td>4</td>
| + || +
<td>7</td>
|-
<td>42</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' dispari con esattamente 3 fattori primi
<td>79</td>
| 0 || 0 || 1 || 12 || 34 || 173 || 348 || 1762 || 3292
<td>424</td>
| + || +
<td>799</td>
|-
<td>4178</td>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' [[numero di Carmichael]]
<td>7839</td>
| 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 0 || 1 || 1 || 1
<td>+</td>
| 1 || 1
<td>+</td>
|-
</tr>
| bgcolor="#FFCC99" | ''n'' per il quale [[Funzione sigma|σ(''n'')]] è palindromo
<tr>
| 1 || 6 || 10 || 47 || 114 || 688 || 1417 || 5683 || +
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' quadrato perfetto con radice [[Numero primo|prima]] root</td>
| + || +
<td colspan="2">2</td>
|}
<td colspan="2">3</td>
<td colspan="6">5</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' con un numero pari di [[Fattorizzazione|fattori primi]] distinti (μ(''n'')=1)</td>
<td>2</td>
<td>6</td>
<td>35</td>
<td>56</td>
<td>324</td>
<td>583</td>
<td>3383</td>
<td>6093</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' con un numero dispari di fattori primi distinti (μ(''n'')=-1)</td>
<td>4</td>
<td>6</td>
<td>32</td>
<td>64</td>
<td>351</td>
<td>617</td>
<td>3438</td>
<td>6067</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' pari con un numero dispari di fattori primi</td>
<td>1</td>
<td>2</td>
<td>9</td>
<td>21</td>
<td>100</td>
<td>180</td>
<td>1010</td>
<td>6067</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' pari con un numero dispari di fattori primi distinti</td>
<td>3</td>
<td>4</td>
<td>21</td>
<td>49</td>
<td>268</td>
<td>482</td>
<td>2486</td>
<td>4452</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' dispari con un numero dispari di fattori primi</td>
<td>3</td>
<td>4</td>
<td>23</td>
<td>43</td>
<td>251</td>
<td>437</td>
<td>2428</td>
<td>4315</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' dispari con un numero dispari di fattori primi distinti</td>
<td>4</td>
<td>5</td>
<td>28</td>
<td>56</td>
<td>317</td>
<td>566</td>
<td>3070</td>
<td>5607</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' pari, non quadrato perfetto, con un numero pari di fattori primi distinti</td>
<td>1</td>
<td>2</td>
<td>11</td>
<td>15</td>
<td>98</td>
<td>171</td>
<td>991</td>
<td>1782</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' dispari, non quadrato perfetto, con un numero pari di fattori primi distinti</td>
<td>1</td>
<td>4</td>
<td>24</td>
<td>41</td>
<td>226</td>
<td>412</td>
<td>2392</td>
<td>4221</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' dispari con esattamente due fattori primi</td>
<td>1</td>
<td>4</td>
<td>25</td>
<td>39</td>
<td>205</td>
<td>303</td>
<td>1768</td>
<td>2403</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' pari con esattamente 2 fattori primi</td>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td colspan="2">11</td>
<td colspan="2">64</td>
<td colspan="2">413</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' pari con esattamente 3 fattori primi</td>
<td>1</td>
<td>3</td>
<td>14</td>
<td>24</td>
<td>122</td>
<td>179</td>
<td>1056</td>
<td>1400</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' pari con esattamente 3 fattori primi distinti</td>
<td>0</td>
<td>1</td>
<td>18</td>
<td>44</td>
<td>250</td>
<td>390</td>
<td>2001</td>
<td>2814</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' dispari con esattamente 3 fattori primi</td>
<td>0</td>
<td>1</td>
<td>12</td>
<td>34</td>
<td>173</td>
<td>348</td>
<td>1762</td>
<td>3292</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' [[numero di Carmichael]]</td>
<td>0</td>
<td>0</td>
<td>0</td>
<td>0</td>
<td>0</td>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>1</td>
</tr>
<tr>
<td bgcolor="#FFCC99">''n'' per il quale [[Funzione sigma|σ(''n'')]] è palindromo</td>
<td>6</td>
<td>10</td>
<td>47</td>
<td>114</td>
<td>688</td>
<td>1417</td>
<td>5683</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
<td>+</td>
</tr>
</table>
 
== Potenze perfette ==
Esistono vari numeri palindromi che sono anche potenze di altri numeri. Attualmente sono conosciuti solo numeri palindromi che possono essere espressi con una potenza di esponente 2, 3 o 4:
* I primi [[Quadrato perfetto|quadrati perfetti]] palindromi sono: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, ...<ref>{{OEIS|A002779}}</ref>
* I primi numeri palindromi che possiedono una radice cubica intera sono: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, ... <ref>{{OEIS|A002781}}</ref>
* I primi numeri palindromi esprimibili con una potenza di esponente 4 sono: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001, ... <ref>{{OEIS|A186080}}</ref>
 
G. J. Simmons e D. Rawlinson congetturano che non esistano palindromi diversi da 0 e 1 esprimibili con potenze di esponente maggiore di 4<ref>{{Cita libro|titolo=Problems in applied mathematics: selections from SIAM review|curatore=Murray S. Klamkin|url=http://books.google.com/books?id=WI9ZGl3M8bYC&pg=PA520#v=onepage&q&f=false|editore=[[Society for Industrial and Applied Mathematics|SIAM]]|anno=1990|città=[[Filadelfia (Pennsylvania)|Philadelphia]]|paginep= pag. 577|lingua=inglese|idisbn= ISBN 08987125990-89871-259-9}}</ref>.
 
L'unico numero non palindromo conosciuto il cui cubo è un palindromo è 2201.
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== Formula generatrice di numeri palindromi in base 10 ==
In base 10 una formula generatrice di parecchi numeri palindromi è la successione
:<math>a(n)=(10^n+1)^k \mbox{ con } n,k \in \mathbb{N} \,</math>
 
Per esempio con ''k''=3 e ''n''=4 si ottiene:
:<math>(10^4+1)^3=1000300030001 \,</math>
 
Questa formula però non genera sempre numeri palindromi a partire da ''k''>4. Infatti, se proviamo con ''k''=5 ed ''n''=2, otteniamo:
:<math>(10^2+1)^5=10510100501 \,</math>
che è evidentemente un numero non palindromo. Inoltre non tutti i numeri palindromi vengono generati da questa formula, in effetti i numeri di una sola cifra sono palindromi ma non vengono generati.
 
Riga 366 ⟶ 171:
== Voci correlate ==
* [[Primo palindromo]]
* [[Numero strettamente non palindromo]]
* [[Palindromo]]
* [[Repunit]]
* [[Numero primo di Mersenne]]
* [[Numero di Belfagor]]
* [[Primo permutabile]]
 
== Altri progetti ==
{{interprogetto|commons=Category:Palindromic numbers}}
 
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
* [[OEIS:A002113|Sequenza dei numeri palindromi]] della [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences|OEIS-''On-Line Encyclopedia of Integer Sequences'']]
* [http://mathforum.org/library/drmath/view/57170.html Numeri palindromi fino a 100,000] da Ask Dr. Math
* {{en}}[http://www.jasondoucette.com/worldrecords.html World record e curiosità] da Jason Doucette Math
* {{PlanetMath|palindromicnumber|palindromic number}}
 
* [http://mathworld.wolfram.com/PalindromicNumber.html Palindromic Number ] da Wolfram
 
* [http://mathworld.wolfram.com/PalindromicNumberConjecture.html Palindromic Number Conjecture] da Wolfram
 
* [http://mathworld.wolfram.com/PalindromicPrime.html Palindromic Prime Number] da Wolfram
 
{{Portale|matematica}}
 
[[Categoria:Teoria dei numeri]]
 
[[bn:প্যালিন্‌ড্রোমীয় সংখ্যা]]
[[ca:Capicua]]
[[cs:Palindromické číslo]]
[[de:Zahlenpalindrom]]
[[en:Palindromic number]]
[[es:Capicúa]]
[[fr:Nombre palindrome]]
[[hu:Palindromszám]]
[[ja:回文数]]
[[ko:대칭수]]
[[lmo:Nümar palindrum]]
[[ml:പാലിൻഡ്രോം സംഖ്യ]]
[[no:Palindromtall]]
[[pl:Palindrom#Palindromy liczbowe]]
[[pt:Capicua]]
[[sl:Palindromno število]]
[[sv:Palindromtal]]
[[tr:Palindromik sayı]]
[[zh:回文数]]