Teorema di Borsuk-Ulam: differenze tra le versioni

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Il '''teorema di Borsuk-Ulam''' è un [[teorema]] di [[topologia]]. Asserisce che ogni [[funzione continua]] da una [[sfera]] in uno [[spazio euclideo]] della stessa dimensione manda almeno una coppia di [[punti antipodali (matematica)|punti antipodali]] sullo stesso punto.

{{W|matematica|settembre 2006}}

{{Matematica voce|Teorema|Teorema di Borsuk-Ulam|

Il '''teorema di Borsuk-Ulam''' dice che per tutte le funzioni <math>f</math> continue di una n-sfera in uno spazio euclideo a <math>n</math> dimensioni, esistono due punti <math>a</math> e <math>b</math> diametralmente opposti tali che:

Il teorema è valido in tutte le dimensioni. In particolare, il caso <math> n=2 </math> è spesso descritto nel modo seguente: in qualsiasi momento, sulla [[superficie della Terra]], esistono sempre due punti antipodali aventi la stessa [[temperatura]] e la stessa [[pressione atmosferica]] (quantità che si suppongono variare con continuità sulla superficie terrestre).

:<math>f(a) = f(b) \, </math>}}

Il caso <math>n=1</math> può essere illustrato in modo analogo dicendo che sull'[[equatore]] terrestre esiste sempre una coppia di punti antipodali che hanno la stessa temperatura (anche in questo caso, si assume che la temperatura vari in modo continuo da punto a punto).

== Dimostrazione ==

QuestoIl teorema di Borsuk–Ulam fu ipotizzatocongetturato per primo da [[Stanislaw Ulam|Stanislaw MarcinStanisław Ulam]] e provatopoi dimostrato da [[Karol Borsuk]] nel [[1933]].

Si presenta la dimostrazione nel caso delle seguente ipotesi:

== Il teorema ==

<math>\,f\;</math> : S^m → R^m continua con <math>m</math> = 1, 2 (vale ∀m ≥ 1)

⇒Il '''teorema di Borsuk-Ulam''' dice che per ogni funzione ∃<math>xf</math> ∈continua di una n-sfera in uno spazio euclideo a S<supmath>mn</supmath> taledimensioni, che:esistono due punti :<math>\,f(x)\;a</math> =e <math>\,f(-x)\;b</math>. diametralmente opposti tali che:

:<math>f(a) = f(b) \, </math>}}

Dim.

<br><br>

<math>\,f(x)\;</math> ≠ <math>\,f(-x)\;</math> ∀<math>x</math> ∈ S^m

== Corollari ==

g : S^m → S^m−1

La tesi del teorema di Borsuk-Ulam comporta, come conseguenza, alcuni corollari:

costruita la <math>g(x) = {f(x) -f(-x) \over ||f(x) -f(-x)||}</math>.

* la sfera ''S''^m non è immergibile in ''R''^m. Cioè, nessun sottoinsieme di ''R''^m è [[omeomorfismo|omeomorfo]] a ''S''^m.

* Il [[teorema del punto fisso di Brouwer]] può essere dimostrato come corollario.

* Il [[teorema del panino al prosciutto]] è anch'esso un corollario del teorema: in '''R'''^''n'', dati ''n'' sotto[[insieme compatto|insiemi compatti]] ''C''₁, ..., ''C''_n, è sempre possibile trovare un [[iperpiano]] che divide ciascuno di essi in due parti di uguale [[teoria della misura|misura]].

== Bibliografia ==

g| : S₊^m circa uguale B^m → S^m−1 continua e tale che:

* {{cita pubblicazione | nome = Karol | cognome = Borsuk | wkautore = Karol Borsuk | titolo = Drei Sätze über die ''n''-dimensionale euklidische Sphäre | rivista = ''Fund. Math.'' | numero = '''20''' | anno = 1933 | pp = 177-190 | lingua = de }}

<math>\,g(−x)\;</math> = <math>\,−g(x)\;</math> ∀<math>x</math> ∈ S^m−1

== OsservazioneVoci correlate ==

* [[Karol Borsuk]]

* [[Stanisław Ulam]]

{{Topologia}}

Per il caso di uno spazio a due dimensioni, questo teorema è soventemente illustrato dicendo che, in ogni instante sulla superficie terrestre, ci sono due punti diametralmente opposti tali che la loro pressione e temperatura è uguale. Supposto che la temperatura e la pressione variano in maniera continua.

{{WPortale|matematica|settembre 2006}}

[[Categoria:Teoremi|Teorema di topologia|Borsuk-Ulam]]

Questo teorema fu ipotizzato da [[Stanislaw Ulam|Stanislaw Marcin Ulam]] e provato da [[Karol Borsuk]] nel [[1933]].

[[Categoria:Teoremi|Teorema di Borsuk-Ulam]]

[[Categoria:Topologia algebrica]]

[[fr:Théorème de Borsuk-Ulam]]

[[en:Borsuk–Ulam theorem]]

[[nl:Stelling van Borsuk-Ulam]]

[[ru:Теорема Борсука — Улама]]