Base ortonormale: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], e più precisamente in [[algebra lineare]], una '''base ortonormale''' di uno [[spazio vettoriale]] munito di [[prodotto scalare]] definito positivo è una [[base (algebra lineare)|base]] composta da vettori di [[norma (matematica)|norma]] unitaria e ortogonali tra loro, ossia una base ortogonale di vettori di norma uno.

Una '''base ortogonale''' è una base di vettori ortogonali (ossia il cui prodotto scalare è nullo) rispetto al prodotto scalare definito sullo spazio vettoriale, non necessariamente definito positivo. Si tratta di una condizione meno restrittiva rispetto a quella di ortonormalizzazione, e solitamente si costruiscono basi ortonormali a partire da basi ortogonali.

I concetti di base ortonormale e ortogonale generalizzano la nozione di [[sistema di riferimento]] nel [[piano cartesiano]], e rendono possibile definire degli assi perpendicolari, e quindi un sistema di riferimento che assegna ad ogni punto delle coordinate su uno spazio vettoriale con dimensione arbitraria.

== Definizione ==

Sia <math> V </math> uno [[spazio vettoriale]] di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] finita sul campo '''<math>K'''</math>, nel quale sia definito un [[prodotto scalare]]. Una base ortogonale per <math> V </math> è una [[base (algebra lineare)|base]] composta da vettori <math>\mathbf v_1 \cdots \mathbf v_n</math> a due a due ortogonali, cioè tali che:<ref>{{Cita|S. Lang|Pagpag. 151|lang}}.</ref>

:<math> \langle \mathbf v_i , \mathbf v_j \rangle = 0, \quad i \ne j.</math>

Si ponga il prodotto scalare definito positivo. Una base ortonormale è una base ortogonale in cui ogni vettore ha [[norma (matematica)|norma]] uno, cioè tale che:<ref>{{Cita|S. Lang|Pagpag. 155|lang}}.</ref>

:<math> \langle \mathbf v_i , \mathbf v_j \rangle = \delta_{ij},</math>

dove <math>\delta_{ij}</math> indica il [[delta di Kronecker]].

Questa nozione si generalizza ad uno [[spazio di Hilbert]] <math> V </math> (che può essere [[spazio vettoriale reale|reale]] o [[spazio vettoriale complesso|complesso]], e con dimensione finita o infinita) nel modo seguente: una base ortonormale è un insieme di vettori [[indipendenza lineare|indipendenti]], ortogonali e di norma 1, che [[span lineare|generano]] un sottospazio [[insieme denso|denso]] in <math> V </math>. Una tale base è spesso detta [[base hilbertiana]].

Questa nozione si generalizza ad uno [[spazio di Hilbert]] <math> V </math> (che può essere [[spazio vettoriale reale|reale]] o [[spazio vettoriale complesso|complesso]], e con dimensione finita o infinita) nel modo seguente: una base ortonormale è un insieme di vettori [[indipendenza lineare|indipendenti]], ortogonali e di norma 1, che [[span lineare|generano]] un sottospazio [[insieme denso|denso]] in <math> V </math>. Una tale base è spesso detta [[''base hilbertiana'', ed è [[insieme numerabile|numerabile]] se e solo se lo spazio è [[spazio separabile|separabile]].

Se ''B'' è una base ortogonale di <math> V </math>, ogni elemento '''x''' di <math> V </math> può essere scritto in maniera unica come:

Se ''<math>B''</math> è una base ortogonale di <math> V </math>, ogni elemento '''<math>\mathbf x'''</math> di <math> V </math> può essere scritto in maniera unica come:

:<math>\mathbf x=\sum_{\mathbf v_i \in B}{\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle\over\lVert \mathbf v_i \rVert^2} \mathbf v_i</math>

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:<math>c = {\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle\over\lVert \mathbf v_i \rVert^2 }</math>

è detto ''coefficiente di fourierFourier'' di '''<math>\mathbf x'''</math> rispetto al vettore di base '''v'''<submath>i\mathbf v_i</submath>.<ref>{{Cita|S. Lang|Pagpag. 152|lang}}.</ref>

Se ''<math>B''</math> è una base ortonormale si ha:

:<math>\mathbf x=\sum_{\mathbf v_i \in B}\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle \mathbf v_i.</math>

La [[norma (matematica)|norma]] di '''<math>\mathbf x'''</math> è quindi data da:<ref>{{Cita|S. Lang|Pagpag. 154|lang}}.</ref>

:<math>\|\mathbf x\|^2=\sum_{\mathbf v_i \in B}|\langle \mathbf x, \mathbf v_i \rangle |^2.</math>

Se ''<math>B''</math> è una base ortonormale di <math> V </math>, allora <math> V </math> è isomorfo a ''ℓ''<supmath>&nbsp;\ell^2</sup>(''B'')</math> nel senso che esiste una mappa lineare e biunivoca Φ : ''H'' <tt>-></ttmath>\Phi\colon ''ℓ''^{&nbsp;V \to \ell^2}(''B'')</math> tale che:

:<math>\langle\Phi(\mathbf x),\Phi(\mathbf y)\rangle=\langle \mathbf x,\mathbf y\rangle,</math>

per ogni coppia di vettori '''<math>\mathbf x'''</math> e '''<math>\mathbf y'''</math> di <math> V </math>.

Se la base di vettori ortonormali <math>\mathbf v_1 \cdots \mathbf v_n</math> considerata non è contenuta in alcun altro sistema ortonormale, allora si ha un sistema ortonormale completo.

==Proprietà==

* Ogni spazio vettoriale di dimensione finita, dotato di un prodotto scalare, possiede basi ortogonali grazie al [[teorema di Sylvester]]. In particolare, ogni [[spazio euclideo]] possiede basi ortonormali che si possono ottenere grazie all'algoritmo di [[ortogonalizzazione di Gram-Schmidt]]. Da ogni base ortogonale si può infatti ottenere una base ortonormale normalizzando (dividendo) i componenti della base per la loro [[norma (geometria)|norma]]. Ad esempio, se la base <math> \{ \mathbf v_1, \mathbf v_2 \} </math> è ortogonale la base <math>\{ \mathbf v_1 / | \mathbf v_1 | , \mathbf v_2 / | \mathbf v_2 | \}</math> è ortonormale.

* Da ogni base ortogonale si può ottenere una base ortonormale normalizzando (dividendo) i componenti della base per la loro [[norma (geometria)|norma]]. Ad esempio, da <math> \{ v_1, v_2 \} </math> che già sappiamo ortogonale, abbiamo

*Una [[matrice di cambiamento di base]] fra basi ortonormali è una [[matrice ortogonale]].

:<math>\{\frac{v_1}{\|v_1\|}, \frac{v_2}{\|v_2\|}\}</math>.

* Ogni [[spazio euclideo]] possiede basi ortonormali, grazie all'algoritmo di [[ortogonalizzazione di Gram-Schmidt]].

* Se ''<math>B''</math> è una base ortonormale di uno spazio di Hilbert ''<math>V''</math>, ogni elemento ''<math>\mathbf v''</math> di ''<math>V''</math> si scrive in modo unico come:

*Una [[matrice di cambiamento di base]] fra basi ortonormali è una [[matrice ortogonale]].

* Se ''B'' è una base ortonormale di uno spazio di Hilbert ''V'', ogni elemento ''v'' di ''V'' si scrive in modo unico come

:<math>\mathbf v=\sum_{\mathbf b\in B}\langle \mathbf v, \mathbf b \rangle \mathbf b</math>

e la [[norma (geometria)|norma]] di ''<math>v''</math> è data dall'[[identità di Parseval]]:

:<math>\|v\|^2=\sum_{b\in B}|\langle v,b\rangle |^2.</math>

Inoltre il prodotto scalare fra due vettori è dato da

:<math>\langle| x,y\mathbf v\rangle |^2= \sum_{\mathbf b\in B} |\langle x,b \ranglemathbf \langle bv,y \mathbf b\rangle |^2.</math>

Queste espressioni hanno senso anche se ''B'' è [[insieme non numerabile|non numerabile]]: in questo caso solo un insieme numerabile di addendi è non-nullo. Le [[serie di Fourier]] sono un esempio.

Inoltre il prodotto scalare fra due vettori è dato da:

* Una base hilbertiana è [[insieme numerabile|numerabile]] se e solo se lo spazio è [[spazio separabile|separabile]]

:<math>\langle \mathbf x,\mathbf y \rangle = \sum_{\mathbf b\in B} \langle \mathbf x,\mathbf b \rangle \langle \mathbf b,\mathbf y \rangle.</math>

Queste espressioni hanno senso anche se ''<math>B''</math> è [[insieme non numerabile|non numerabile]]: in questo caso solo un insieme numerabile di addendi è non-nullo. Le [[serie di Fourier]] sono un esempio.

==Esempi==

* L'insieme <math>\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}</math> costituisce una base ortonormale (dunque anche ortogonale) di <math>\mathbb R^3</math> rispetto al [[prodotto scalare standard]]; in generale, le [[Base canonica|basi canoniche]] di <math>\mathbb R^n</math> sono basi ortonormali.

* L'insieme <math>\{f_n : n \in \Z \}</math> con <math>f_n(x) = e^{2\pi inx}</math> costituisce una base ortonormale dello spazio complesso <math>L^2([0,1])</math>. Ciò è di fondamentale importanza nello studio delle [[Serie di Fourier]].

* L'insieme <math>\{e_b : b \in B \}</math> con <math>e_b(c) = 1</math> se <math>b=c</math> e <math>e_b(c) = 0</math> altrimenti costituisce una base ortonormale di [[Spazio l2|<math>l^2(B)</math>]].

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==Bibliografia==

* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992|idisbn=ISBN 88-339-5035-2|cid =langLang}}

* {{Cita libro|autore=David C. Lay|titolo=Linear Algebra and Its Applications|url=https://archive.org/details/studyguidetoline0000layd|editore=Addison–Wesley|anno=2006|edizione=3|isbn=0-321-28713-4|lingua=en}}

* {{Cita libro|autore=Gilbert Strang|titolo=Linear Algebra and Its Applications|editore=Brooks Cole|anno=2006|edizione=4|isbn=0-03-010567-6|lingua=en}}

* {{Cita libro|autore=Sheldon Axler|titolo=Linear Algebra Done Right|editore=Springer|anno=2002|edizione=2|isbn=0-387-98258-2|lingua=en}}

== Voci correlate ==

* [[Base (algebra lineare)]]

* [[Identità di Parseval]]

* [[Forma hermitianasesquilineare]]

* [[Norma (matematica)]]

* [[Ortogonalizzazione di Gram-Schmidt]]

* [[Prodotto scalare]]

* [[Forma hermitiana]]

* [[Spazio di Hilbert]]

* [[IdentitàSpazio di Parsevalvettoriale]]

* [[Teorema di Sylvester]]

{{algebra lineare}}

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[[Categoria:Algebra lineare]]

[[de:Orthonormalbasis]]

[[en:Orthonormal basis]]

[[es:Base ortonormal]]

[[fr:Base de Hilbert]]

[[he:מערכת אורתונורמלית שלמה]]

[[nl:Orthonormale basis]]

[[pl:Baza ortonormalna]]

[[pt:Base ortonormal]]

[[ru:Ортогональный базис]]

[[sr:Ортонормирана база]]

[[sv:Ortonormerad bas]]

[[uk:Ортонормований базис]]