Processo gaussiano: differenze tra le versioni

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In [[teoria delle probabilità]] un '''processo gaussiano''' è un [[processo stocastico]] ''f('''x''')'', taleossia cheuna prendendo un qualsiasi numero finitocollezione di [[variabileVariabile casuale|variabili aleatorie]], dallaindicizzate collezione(in chebase formaal iltempo processoo aleatorioallo stessospazio), essetale che ogni insieme finito di tali variabili hannoabbia una [[Misura di probabilità|distribuzione di probabilità]] congiunta [[Variabile casuale normale|gaussiana]] multivariata.

La distribuzione del processo gaussiano è la [[distribuzione congiunta]] di tutte le sue (infinite) variabili e, come tale, è una distribuzione su funzioni dal dominio continuo (ad es. il tempo o lo spazio).

Un processo gaussiano è specificato interamente dalla sua [[Valore atteso|media]] ''<math>m_f</math>('''x''')'' e dalla [[covarianza]] ''<math>k_f</math>('''x''','''x'''')'', e viene indicato nel modo seguente:

Quindi un processo gaussiano può essere considerato la generalizzazione a dimensioni infinite della distribuzione normale multivariata.

== Definizione ==

Un processo gaussiano è specificato interamente dalla sua [[Valore atteso|media]] ''<math>m_f</math>('''x''')'' e dalla [[covarianza (probabilità)|covarianza]] ''<math>k_f</math>('''x''','''x'<nowiki/>''')'', e viene indicato nel modo seguente:

::<math>\operatorname {f} (\mathbf{x}) \sim \mathcal{N} (m_f(\mathbf{x}),k_f (\mathbf{x},\mathbf{x}'))</math>

Talvolta si assume che la media sia pari a zero e spesso si sceglie come insieme indice quello temporale cosicché il processo gaussiano risulti definito sul [[tempo]] <ref>{{Cita libro|nome=David J. C.|cognome=MacKay|titolo=Information theory, inference, and learning algorithms|url=https://www.inference.org.uk/mackay/itila/|edizione=22nd printing|anno=2003|editore=Cambridge University Press|p=540|ISBN=978-0-521-64298-9}}</ref>. Accade di frequente nell'ambito delle [[telecomunicazioni]], dove vari segnali vengono interpretati come processi gaussiani (ad esempio il [[rumore gaussiano]]).

==Alcune applicazioni==

Un processo gaussiano può essere usato come [[distribuzione di probabilità a priori]] sulle funzioni nell'[[inferenza bayesiana]].

L'inferenza per valori continui che fa uso di processi gaussiani è nota come [[Analisi di regressione|regressione]] gaussiana e trova utilizzo in svariati campi, dall'[[automazione]] alla [[geostatistica]] ([[Kriging]]).

I processi gaussiani sono, inoltre, un potente strumento per l'[[interpolazione]] non lineare.

Nell'ambito dell'[[apprendimento supervisionato]], i processi gaussiani sono impiegati in metodi [[Statistica non parametrica|non parametrici]] basati su [[Kernel definito positivo|kernel]] utili a risolvere problemi di classificazione e regressione.<ref>{{Cita libro|nome=Kevin P.|cognome=Murphy|titolo=Probabilistic machine learning: an introduction|collana=Adaptive computation and machine learning|data=2022|editore=The MIT Press|p=574|ISBN=978-0-262-04682-4}}</ref>

== Note ==

<references/>

==Bibliografia==

*{{cita libro|cognome=Rasmussen |nome=C.E. |coautori=C.K.I Williams |titolo=Gaussian Processes for Machine Learning |url=http://www.gaussianprocess.org/gpml/ |datadiaccesso=2009-08-12 |anno=2006 |editore=MIT Press |lingua=inglese |idISBN=ISBN 0-262-18253-X }}

*{{cita libro|cognome=Benvenuto |nome=N. |coautori=R. Corvaja; T. Erseghe; N. Laurenti |titolo=Communication Systems: Fundamentals and Design Methods |anno=2007 |editore=Wiley |lingua=inglese |id=ISBN =0-470-01822-4 }}

==Voci correlate==

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*[[Processo di Markov]]

== Collegamenti esterni ==

* [{{cita web|http://www.GaussianProcess.org |The Gaussian Processes Web Site]}}

* [https://scikit-learn.org/stable/modules/gaussian_process.html Classificazione e regressione basate su processi gaussiani] in Scikit-Learn

{{Controllo di autorità}}

{{Apprendimento automatico}}

{{portale|materiali}}

[[Categoria:Processi stocastici]]

[[Categoria:Apprendimento automatico]]

[[de:Gauß-Prozess]]

[[en:Gaussian process]]

[[es:Proceso de Gauss]]

[[ja:ガウス過程]]

[[pl:Proces gaussowski]]

[[ru:Гауссовский процесс]]

[[su:Prosés Gauss]]

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