Quadrivettore: differenze tra le versioni

Versione delle 23:08, 26 giu 2012

Versione attuale delle 19:48, 20 set 2024

(33 versioni intermedie di 28 utenti non mostrate)

Riga 1:

In [[relatività ristretta]], unil '''quadrivettore''', o '''tetravettore''', è un vettore dello [[spaziotempo di Minkowski]], rappresentato da una quadrupla di valori, cheè nelleun trasformazionivettore di coordinate tra duedello [[sistemaspaziotempo di riferimento inerziale|riferimenti inerzialiMinkowski]]. rispetta le [[trasformazioni di Lorentz]].<br>

LeNelle componentitrasformazioni deldi coordinate tra due [[sistemi di riferimento inerziali]] il quadrivettore rispetta le [[trasformazioni di Lorentz]] e le sue componenti si trasformano rispetto alla base standard dello spaziotempo di Minkowski come la differenza tra le rispettive coordinate spaziali e temporali, e. lL'insieme delle rotazioni, traslazioni e cambi di coordinate tra due sistemi di riferimento inerziali<ref>Supposti in moto relativo rettilineo e uniforme.</ref> alle quali sono soggetti i quadrivettori è il [[Gruppogruppo di Poincaré]].

==Definizione==

In [[relatività generale]], il termine quadrivettore identifica un [[Vettore (fisica)|vettore]] dello [[spazio tangente]] allo [[spazio-tempo]] o anche, per estensione, un vettore dello [[spazio cotangente]]. Qui saranno descritti i quadrivettori in relatività ristretta: la relatività generale generalizza il concetto di quadrivettore, ma richiede delle modifiche ai risultati descritti in questo articolo.

Un quadrivettore è una quadrupla di valori:

Riga 10:

che nella base standard dello spazio-tempo Minkowski rappresenta un ''evento''. I quattro valori sono le coordinate nello spazio e nel tempo dell'evento, in particolare <math>\mu </math>&nbsp;=&nbsp;0,&nbsp;1,&nbsp;2,&nbsp;3, sono le componenti spaziali, e ''c'' è la [[velocità della luce]].

Il fatto che <math> X^0 = ct</math> garantisce inoltre che le componenti abbiano la stessa [[unità di misura]].<ref>Jean-Bernard Zuber & Claude Itzykson, ''Quantum Field Theory'', pg 5 , ISBN 0-07-032071-3</ref><ref>[[Charles W. Misner]], [[Kip Thorne|Kip S. Thorne]] & [[John Archibald Wheeler|John A. Wheeler]],''Gravitation'', pg 51, ISBN 0-7167-0344-0</ref><ref>[[George Sterman]], ''An Introduction to Quantum Field Theory'', pg 4 , ISBN 0-521-31132-2</ref><br>

Il quadrivettore spostamento:

:<math> \Delta \mathbf{X}:= \left(c\Delta t, \Delta x, \Delta y, \Delta z \right) </math>

è la distanza tra due punti dello spaziotempo.<br>

Il raggio vettore che congiunge l'origine di un [[sistema di riferimento]] ad un evento qualsiasi dello spazio-tempo è l'esempio più elementare di quadrivettore; le sue componenti sono le coordinate nello [[spazio-tempo]] dell'evento in questione, cioè <math>(''ct'',''x'',''y'',''z'')</math>.

In genere i quadrivettori sono indicati in modo più economico e conveniente utilizzando la loro generica coordinata <math>{A}^{i}</math> <ref>Possono essere usati indici latini o greci; esistono due convenzioni opposte secondo cui l'indice greco assume i valori 0,1,2,3 e quello latino solo i valori "spaziali" 1,2,3, oppure viceversa.</ref>.

Riga 22 ⟶ 24:

==Covarianza e controvarianza di un quadrivettore==

{{vedi anche|Covarianza e controvarianza}}

Gli indici in alto indicano che il quadrivettore è espresso nella sua forma controvariante: un quadrivettore controvariante è definito come una quaterna di valori che trasformano, nel passaggio da un sistema di riferimento inerziale ad un altro, come le coordinate di un evento, cioè secondo le [[trasformazioni di Lorentz]]. Contraendo l'indice con uno degli indici del [[tensore metrico]] <math>g_{\mathbfmu g\nu}</math> si ottiene l'espressione covariante del quadrivettore:

:<math>{A}_{\mu}=\sum_{\nu=0}^{3}{g}_{\mu \nu}{A}^{\nu}={g}_{\mu \nu}{A}^{\nu}</math>

dove nell'ultimo termine si è usata la [[notazione di Einstein|convenzione di Einstein]] che prevede la somma implicita sugli indici ripetuti; in questa somma <math>\nu</math> assume i valori da 0 a 3. L'operazione appena eseguita si chiama ''[[Innalzamento e abbassamento degli indici|innalzamento o abbassamento degli indici'']] ed è in realtà dovuta alle relazioni tra lo [[spazio tangente]] e il suo [[spazio duale]], lo [[spazio cotangente]].

Volendo esprimere l'ugualianzauguaglianza in termini matriciali, possiamo considerare ''A''<submath>&A_\mu;</submath> e ''A''<supmath>&A^\mu;</supmath> le componenti di due vettori colonna e ''g''<submath>&g_{\mu;& \nu;}</submath> le componenti di una matrice 4 <math>\times</math> 4 che rappresenta un'applicazione lineare:

:<math>\left( \begin{matrixpmatrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{matrixpmatrix} \right) =

\left( \begin{matrixpmatrix}

g_{00} & g_{01} & g_{02} & g_{03} \\

g_{10} & g_{11} & g_{12} & g_{13} \\

g_{20} & g_{21} & g_{22} & g_{23} \\

g_{30} & g_{31} & g_{32} & g_{33} \\

\end{matrixpmatrix} \right) \left( \begin{matrixpmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{matrixpmatrix} \right)</math>

La particolare forma (diagonale) del tensore metrico in [[relatività ristretta]] fornisce una facile regola per esprimere le componenti controvarianti di un quadrivettore in funzione di quelle covarianti, ovvero:

:<math>A_{\mu}=g_{\mu \nu} A^{\nu}= g_{\mu \mu} A^{\mu}= </math> con <math> g_{\leftmu \{mu} = \begin{matrixcases} -
1 & \mboxtext{se} \,\,\,} \mu=0 \\

-1 &\text{se } \mu=1,2,3

1 & \mbox{se} \, \mu=1,2,3 \end{matrix} \right.</math>

\end{cases}</math>

oppure, in forma matriciale:

:<math>\left( \begin{matrixpmatrix} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \end{matrixpmatrix} \right) =

\left( \begin{matrixpmatrix}

-1 & 0 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 0 & 0 \\

0 & 0 & -1 & 0 \\

0 & 0 & 0 & -1 \\

\end{matrixpmatrix} \right) \left( \begin{matrixpmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{matrixpmatrix} \right)=

\left( \begin{matrixpmatrix} -A^0 \\ -A^1 \\ -A^2 \\ -A^3 \end{matrixpmatrix} \right)

</math>

Nel passare dalla forma controvariante di un vettore alla sua forma covariante basta quindi cambiare di segno lale componentecomponenti temporalespaziali. Un quadrivettore covariante non trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz, bensì come la derivataderivate di unouna funzione scalare: se <math>f(x^\mathbf smu)</math> è ununa invariantefunzione per trasformazioni di Lorentzscalare, <math>{A}_{\mu}</math> ha le stesse leggi di trasformazione di <math> \frac{ds\partial f}{d\partial{x}^{i\mu}}</math>.

==Prodotto scalare==

{{vedi anche|Prodotto scalare}}

Il [[prodotto scalare]] fra quadrivettori può essere scritto tramite il tensore metrico in forma semplificata come prodotto scalare euclideo fra un vettore covariante e uno controvariante:

:<math> \langle \mathbf U , \mathbf V \rangle =\sum_{\mu=0}^3 \sum_{\nu=0}^{3}{g}_{\mu \nu} {U}^{\mu} {V}^{\nu}={U}^{\mu}{g}_{\mu \nu}{V}^{\nu}={U}^{\mu}{V}_{\mu}=\sum_{\mu=0}^{3}{U}^{\mu}{V}_{\mu}</math>.

Riga 68 ⟶ 72:

\mathbf{U \cdot V}

= g_{\mu \nu} U^{\mu} V^{\nu}

= \left( \begin{matrixpmatrix}U^0 & U^1 & U^2 & U^3 \end{matrixpmatrix} \right)

\left( \begin{matrixpmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{matrixpmatrix} \right)

\left( \begin{matrixpmatrix}V^0 \\ V^1 \\ V^2 \\ V^3 \end{matrixpmatrix} \right)

= U^0 V^0 - U^1 V^1 - U^2 V^2 - U^3 V^3

</math>

Riga 89 ⟶ 93:

Dato un quadrivettore <math>x^{\mu} = (ct, x^1, x^2, x^3)\;</math>, il suo modulo lorentziano è definito da:

:<math>|x|^2=g_{\mu \nu}x^{\mu}x^{\nu}\!</math>

con la [[convenzione di Einstein]] sulla somma degli indici ripetuti, e dove la matrice <math>g_{\mu\nu}</math> è definita da:

Riga 111 ⟶ 115:

==Bibliografia==

* {{en}} {{Citacita libro |titoloautore=Classical Electrodynamics[[Richard Feynman]]|autoretitolo=John[[La Dfisica Jacksondi Feynman]]|edizionecittà=3rd Edition Bologna|editore=Wiley Zanichelli|anno=1999 2001|id=ISBN 047130932X|cid= Jackson 978-88-08-16782-8}}:

** Vol I, par. 15-7: Quadrivettori

** Vol I, par. 17-4: Ancora sui quadrivettori

** Vol I, par. 17-5: Algebra dei quadrivettori

** Vol I, par. 17-5: Algebra dei quadrivettori

** Vol I, par. 34-7: Il quadrivettore ω, k

** Vol II, cap. 25: L'elettrodinamica nella notazione relativistica

** Vol II, cap. 26: Trasformazione di Lorentz dei campi

* {{Cita libro |titolo=Classical Electrodynamics |url=https://archive.org/details/classicalelectro0000jack_e8g9 |autore=John D Jackson |edizione=3rd Edition |editore=Wiley |anno=1999 |isbn=0-471-30932-X |cid= Jackson |lingua=en }}

== Voci correlate ==

Riga 124 ⟶ 137:

* [[Trasformazione di Lorentz]]

== Altri progetti ==

{{Portale|relativit&agrave;}}

{{Interprogetto|wikt=quadrivettore}}

== Collegamenti esterni ==

[[Categoria:Quadrivettori| ]]

* {{Collegamenti esterni}}

{{Controllo di autorità}}

[[ca:Quadrivector]]

{{Portale|relativit&agrave;relatività}}

[[cs:Čtyřvektor]]

[[de:Vierervektor]]

[[Categoria:Quadrivettori| ]]

[[en:Four-vector]]

[[es:Cuadrivector]]

[[fa:چاربردار]]

[[fi:Nelivektori]]

[[fr:Quadrivecteur]]

[[he:4-וקטור]]

[[ja:4元ベクトル]]

[[nl:Viervector]]

[[pl:Czterowektor]]

[[pt:Quadrivetor]]

[[ru:4-вектор]]

[[sl:Vektor četverec]]

[[th:เวกเตอร์สี่มิติ]]

[[uk:4-вектор]]

[[vi:Véctơ-4]]

[[zh:四維矢量]]