|
In [[matematica]] esistono varie nozioni di limitatezza di un [[insieme]], dipendenti in gran parte dallo spazio in cui è immerso. Euristicamente possiamosi può dire che un insieme è '''limitato''' se ha "estensione finita" (ma non necessariamente nel senso di [[cardinalità]] finita). Un insieme che non è limitato è detto '''illimitato'''.
== Insiemi limitati in spaziSpazi metrici ==
Sia <math>(X,d)</math> uno [[spazio metrico]].
Sia <math>(X,d)</math> uno [[spazio metrico]]. Diremo che un insieme <math>E\subset X</math> è '''limitato''' se esiste una [[Palla (matematica)|palla]] (aperta o chiusa) di raggio finito che lo contiene. Ci sono altre definizioni equivalenti. In particolare <math>E</math> è limitato se e solo se:
* ha [[diametro]] finito;
Un sottoinsieme <math>E\subset X</math> si dice limitato se esiste un numero reale positivo <math>M</math> tale che <math>d(a,b)\le M \; \text{per ogni} \;a,b\in E</math>.<ref>{{Cita libro|titolo=Topologia - M. Manetti|editore=|p=51}}</ref>
== Insiemi limitati in spazi normati ==
Uno [[spazio normato]] è in particolare uno spazio metrico, quindi la nozione di limitatezza in spazi normati sarà la stessa di quella negli spazi metrici. Sfruttando la norma possiamo trovare un'altra caratterizzazione: un insieme <math>E</math> è limitato in uno spazio normato <math>(X,\|\cdot\|)</math> se e solo se ▼:<math>\exist C\geq 0 : \| x \|\leq C,\quad\forall x\in E</math> (ovvero se ogni elemento di <math>X</math> ha norma minore o uguale ad una stessa costante).
== Spazi normati ==
Talvolta un insieme limitato secondo questa definizione si dirà '''limitato in norma''', per distinguerlo dagli insiemi limitati in altre [[topologia|topologie]] che non inducono quella norma come le [[topologia debole|topologie deboli]]. Per la definizione di insieme limitato in topologia si veda il paragrafo successivo. ▼▲Uno [[spazio normato]] è in particolare uno spazio metrico, quindi la nozione di limitatezza in spazi normati sarà la stessa di quella negli spazi metrici. Sfruttando la norma possiamosi può trovare un'altra caratterizzazione: un insieme <math>E</math> è limitato in uno spazio normato <math>(X,\|\cdot\|)</math> [[se e solo se ]] esiste <math>C\ge 0 : \| x \|\leq C \,\, \forall x\in E</math>, ossia se ogni elemento di <math>X</math> ha norma minore o uguale a una stessa costante.
▲Talvolta un insieme limitato secondo questa definizione si dirà '''limitato in norma ''', per distinguerlo dagli insiemi limitati in altre [[topologia|topologie]] che non inducono quella norma come le [[topologia debole|topologie deboli]]. Per la definizione di insieme limitato in topologia si veda il paragrafo successivo.
== Insiemi limitati in spazi vettoriali topologici == ▼In uno [[spazio vettoriale topologico]] la nozione di limitatezza è un po' più complessa, in quanto non è possibile parlare di distanza o norma. In questo caso si deve ricorrere ai semplici [[intorno|intorni]] dell'origine:
▲== Insiemi limitati in spaziSpazi vettoriali topologici ==
In uno [[spazio vettoriale topologico]] la nozione di limitatezza è un po' più complessa, in quanto non è possibile parlare di distanza o norma. In questo caso si deve ricorrere ai semplici [[intorno|intorni]] dell'origine. Sia <math>(X, \tau)</math> uno spazio vettoriale topologico ed <math>E\subset X</math> un insieme. DiremoSi dice che <math>E</math> è limitato nella topologia <math>\tau</math> se e solo se per ogni intorno <math>V</math> dell'origine esiste un [[numero reale]] positivo <math>\alpha</math> (dipendente da <math>V</math>) tale che <math>E\subset \alpha V</math>. In altre parole <math>E</math> deve essere contenuto in un opportuno multiplo di ogni intorno dell'origine.
Nel caso in cui la topologia <math>\tau</math> sia [[Spazio metrizzabile|indotta]] da una metrica ''<math>d''</math>, le due nozioni di limitatezza coincidono. Per verificarlo basta osservare che se <math>\tau </math> è indotta dalla metrica ''<math>d''</math> allora la palla unitaria aperta <math>B=B(0,1)=\{x\in E :\, d(x,0)<1\}</math> è un elemento di <math>\tau</math> (cioè è un aperto dello spazio vettoriale topologico <math>X</math>). MostriamoSi mostrano ora le due implicazioni:
*Se <math>E</math> è limitato nella topologia <math>\tau</math> allora esiste un numero reale positivo <math>\alpha</math> tale che <math>E\subset \alpha B</math> (<math>B</math> è chiaramente un intorno dell'origine perché contiene 0), ma <math>\alpha B</math> non è altro che la palla <math>B(0,\alpha)</math>. Esiste quindi una palla di raggio finito (<math>\alpha</math>) che contiene <math>E</math>, che risulta quindi limitato anche in metrica.
*Se viceversa <math>E</math> è limitato nella metrica ''<math>d''</math>, esisterà <math>R>0</math> tale che <math>E\subset B(0,R)</math>. Sia ora <math>V</math> un intorno dell'origine. Essendo aperto, <math>V</math> conterrà una palla aperta <math>B(0,r)</math>, dove <math>r>0</math>. Sia ora <math>\alpha=R/r</math>. Poiché <math>V \mbox{</math> contiene } <math>B(0,r) </math>, l'insieme <math>\alpha V</math> contiene <math>\alpha B(0,r)=B(0,R)</math> che a sua volta contiene <math>E</math>. Per l'arbitrarietà di <math>V</math>, <math>E</math> risulta quindi limitato anche nella topologia <math>\tau</math>.
== Insiemi limitati in campiCampi ordinati (insiemi superiormente ed inferiormente limitati)==
In un [[campo ordinato]] <math>A</math> un insieme <math>E</math> si dice '''insieme limitato superiormente''' se esiste almeno un [[maggiorante]] <math>a \in A</math> tale che per tutti gli <math>x \in E</math> si ha <math>x \le a</math>. Analogamente l'insieme <math>E</math> si dice '''insieme limitato inferiormente''' se esiste almeno un [[minorante]] <math>a \in A</math> tale che per tutti gli <math>x \in E</math> si ha <math>x \ge a</math>.
Il fatto che esista un maggiorante dell'insieme <math>E</math> implica che ne possano esistere infiniti; tutti gli elementi <math>b \in A</math> tali che <math>b \ge a</math> sono chiaramente essi stessi maggioranti dell'insieme <math>E</math>. Il più piccolo dei maggioranti si chiama [[estremo superiore]] dell'insieme, se non appartiene all'insieme <math>E</math>, oppure [[Relazione_dRelazione d'ordine#Elementi_massimali_e_minimaliElementi massimali e minimali.3B_massimi_e_minimi3B massimi e minimi|massimo]] dell'insieme se invece appartiene ad <math>E</math>. In maniera analoga per gli insiemi limitati inferiormente, il più grande dei minoranti di <math>E</math> è detto [[estremo inferiore]] se non appartiene all'insieme <math>E</math>, oppure minimo se invece appartiene all'insieme stesso.
== Proprietà ==
* Un [[sottoinsieme]] di un insieme limitato è limitato;.
* laLa chiusura di un insieme limitato è un insieme limitato;.
* iI [[sottospazio vettoriale|sottospazi]] propri di uno spazio vettoriale topologico non sono limitati in [[topologia]] (e quindi neanche in metrica o in norma);.
* leLe [[semiretta#Spazi vettoriali|semirette]] non sono limitate in topologia.
==Note==
<references/>
== Bibliografia ==
* {{en}} R. G. Bartle y D. R. Sherbert: ''Introduction to Real Analysis'', translated., ed. Limusa S.A. 2009.
* {{en}} Robert D. Richmyer, ''Principles of advanced mathematical physics'', Springer-Verlag, New York, 1978.
==Voci correlate==
*[[Campo ordinato]]
*[[Funzione limitata]]
*[[Operatore limitato]]
*[[Palla (matematica)]]
*[[Spazio metrico]]
*[[Spazio normato]]
*[[Spazio vettoriale topologico]]
== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
{{Portale|matematica}}
[[Categoria:Geometria metrica]] ▼
▲[[Categoria:Geometria metrica]]
[[ar:مجموعة محاطة]]
[[Categoria:Spazi topologici]]
[[ca:Conjunt fitat]]
[[cs:Omezená množina]]
[[de:Beschränktheit]]
[[en:Bounded set]]
[[eo:Barita aro]]
[[es:Acotado]]
[[fa:مجموعه کراندار]]
[[fr:Partie bornée]]
[[he:קבוצה חסומה]]
[[hu:Korlátos halmaz]]
[[is:Takmarkað mengi]]
[[ja:有界]]
[[kk:Шенелген жиын]]
[[ko:유계]]
[[nl:Begrensdheid]]
[[pl:Zbiór ograniczony]]
[[pt:Conjunto limitado]]
[[ru:Ограниченное множество]]
[[sv:Begränsad mängd]]
[[uk:Обмежена множина]]
[[zh:有界集合]]
[[zh-classical:有界]]
| 