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=== Monotonia a partire dalla derivata ===

Il teorema di Lagrange ci permette di stabilire la [[Funzione monotona|monotonia]] di una funzione derivabile se la derivata è non negativa o non positiva.

==== Derivata non negativa ====

Sia ''f<nowiki>'</nowiki>''(''x'') ≥ 0 per ogni ''x'' appartenente all'intervallo [''a'',''b'']. Allora per ogni ''x''₁, ''x''₂ appartenenti all'intervallo [''a'',''b''] con ''x''₁ < ''x''₂ si ha che ''f''(''x''₁) ≤ ''f''(''x''₂)

===== Dimostrazione =====

Prendiamo due generici punti α e β appartenent all'intervallo chiuso [''a'',''b''] con α < β.

Poiché la funzione per ipotesi è derivabile in tutti i punti dell'intervallo, e quindi è anche continua, possiamo pensare di applicare il teorema di Lagrange ad un intervallo avente come estremi α e β ottenendo che

:<math>\exists c\in(\alpha,\beta):\frac{f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha}=f^{\prime}(c)</math>

Dato che ''f<nowiki>'</nowiki>''(x) ≥ 0 per ogni ''x'' si ha che

:<math> \frac {f(\beta )-f(\alpha)}{\beta -\alpha} \ge 0 </math>

Ora dato che α < β per essere vera la formula appena scritta deve essere ''f''(α) ≤ ''f''(β) e visto che questo vale per ogni α e β appartenenti ad [''a'', ''b''] possiamo concludere che la funzione è monotona non decrescente

==== Derivata non positiva ====

Vale anche il teorema opposto, cioè che tutte le funzioni derivabili con derivata prima non positiva sono funzioni monotone non crescenti; la tecnica di dimostrazione è la stessa del teorema precedente.

== Simulazione problema di Monty Hall ==

{{Vedi anche|Problema di Monty Hall}}

<source lang="python">

import random

numeroVolte=input('quante volte vuoi giocare? \n') #ti chiedo quante volte vuoi ripetere il gioco

cambio=raw_input('vuoi cambiare la porta? y/n \n') #ti chiedo se vuoi giocare cambiando sempre la porta oppure tenendo sempre quella della prima scelta

numeroVittorie=0 #Questa variabile conta quante volte vinci al gioco

#inizio il ciclo che fara' fare il gioco tante volte quanto vale la variabile numeroVolte

for i in range(numeroVolte):

#creo un array di tre valori: il valore 0 vuol dire che c'e' una capra, il valore 1 vuol dire che c'e' una macchina, il valore 2 vuol dire che la porta e' stata aperta

porte=[0,0,0]

#scelgo a caso la porta in cui mettere la macchina

a=random.random()*3

if a<1:

porte[0]=1

elif a<2:

porte[1]=1

else:

porte[2]=1

#ora scelgo a caso la porta in cui penso ci sia la macchina

scelta=random.random()*3

if scelta<1:

scelta=0

elif scelta<2:

scelta=1

else:

scelta=2

#se ho scelto di fare il cambio di porta, viene eseguito il seguente codice che "apre" una porta mettendo 2 al posto di 0 e cambia la mia scelta.

if cambio == 'y':

i=0

fatto=0

#qua metto 2 nella porta diversa da quella che ho scelto e diversa da quella con la macchina

while (i<=2) & (fatto==0):

if (porte[i]==0) & (i!=scelta):

porte[i]=2

fatto=1

i=i+1

i=0

fatto=0

#qua cambio la mia scelta con quella diversa dalla mia precedente e quella diversa da 0

while (i<=2) & (fatto==0):

if (i!=scelta) & (porte[i]!=2):

scelta=i

fatto=1

i=i+1

#se la porta che ho scelto contiene 1 (cioe' la macchina) incremento la variabile numeroVittorie

if porte[scelta]==1:

numeroVittorie=numeroVittorie+1

#stampo il risultato

risultato= "il numero di vittorie e %d" % (numeroVittorie)

print risultato

</source>

{{Utente:Dega180/Sandbox/Note}}