Meccanica razionale: differenze tra le versioni

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[[File:Carl Jacobi.jpg|thumb|[[Carl Jacobi|Carl Gustav Jacobi]]]]

La '''meccanica razionale''' (o ''meccanica analitica'') è la parte della fisica matematica che studia il moto fisica moto dei sistemi meccanici con un numero finito di [[Grado di libertà|gradi di libertà]]. L'attenzione della disciplina è diretta non tanto al confronto dei [[modello matematico|modelli]] studiati con i dati sperimentali, quanto verso lo studio, la sistematizzazione e la generalizzazione delle strutture matematiche utilizzate in questi modelli.

La '''meccanica razionale''' (o '''meccanica analitica''') è la branca della [[fisica matematica]] che studia il [[moto (fisica)|moto]] e l'[[Equilibrio meccanico|equilibrio]] dei sistemi meccanici con un numero finito di [[grado di libertà (meccanica classica)|gradi di libertà]]. Essa rappresenta una formulazione della [[meccanica classica]] alternativa a [[Meccanica newtoniana|quella newtoniana]]. Il principio fondamentale che, assieme al [[principio di relatività galileiana]], sta alla base della meccanica analitica è il [[principio di minima azione]]. La meccanica razionale si è sviluppata tra la seconda metà del [[XVIII secolo]] e la fine del [[XIX secolo]], grazie al contributo di scienziati come [[William Rowan Hamilton|William Hamilton]], [[Carl Jacobi]], [[Joseph-Louis Lagrange]], [[Jacques Charles François Sturm]], [[Joseph Liouville]], [[Pierre Louis Moreau de Maupertuis|Pierre-Louis de Maupertuis]], [[Emmy Noether]] e [[Siméon-Denis Poisson]].

== Descrizione ==

[[File:Simeon Poisson.jpg|thumb|upright=1.0|[[Simeon Poisson]]]]

=== Meccanica lagrangiana e hamiltoniana ===

{{vedi anche|Meccanica lagrangiana|Meccanica hamiltoniana}}

All'interno della meccanica razionale è possibile distinguere due differenti formulazioni: la [[meccanica lagrangiana]] e la [[meccanica hamiltoniana]]. La principale distinzione tra di esse è rappresentata da una diversa scelta operata nel selezionare le [[Coordinate lagrangiane|coordinate]] usate per generare lo [[spazio delle fasi]]. In particolare, tramite la formulazione hamiltoniana si arriva allo studio delle [[varietà simplettica|varietà simplettiche]] e di [[varietà di Poisson|Poisson]].

La ''meccanica lagrangiana'' è una formulazione della [[meccanica newtoniana]] introdotta nel [[XVIII secolo]] da [[Joseph-Louis Lagrange]]. Si tratta di un formalismo in cui le [[equazione del moto|equazioni del moto]] sono descritte tramite le cosiddette [[equazioni di Eulero-Lagrange]], in cui la [[funzione scalare]] argomento è la [[lagrangiana]], la differenza tra energia cinetica e potenziale.<ref>{{Cita libro|cognome=Goldstein|nome= H. |titolo=Classical Mechanics|edizione=3rd|p=35 |editore=Addison-Wesley|anno= 2001}}</ref> In questo modo, non è necessario utilizzare [[campi vettoriali]] come nel caso invece delle [[equazioni di Newton]] o delle [[equazioni di Navier-Stokes]].

La meccanica razionale ha importanti legami con la teoria generale dei [[sistema dinamico (fisica matematica)|sistemi dinamici]], con la [[teoria della relatività]] e con la [[meccanica quantistica]]; nonostante ciò i sistemi studiati da questa disciplina appartengono prevalentemente alla [[meccanica classica]].

La ''meccanica hamiltoniana'' è un'altra riformulazione della meccanica classica introdotta nel 1833 da [[William Rowan Hamilton]]. In questa trattazione la grandezza di riferimento è la hamiltoniana, ovvero la somma di energia cinetica e energia potenziale. Le equazioni che essa deve soddisfare sono le [[equazioni di Hamilton-Jacobi]].

Sistemi meccanici centrali nella teoria sono quelli composti da un numero finito di [[punto materiale|punti materiali]] soggetti a [[forza (fisica)|forze]], sia che essi siano liberi di muoversi in uno [[spazio vettoriale]] (come la [[retta]], il [[piano]] o lo [[spazio tridimensionale]] ordinario), sia che siano [[vincolo|vincolati]] a muoversi su sottoinsiemi di uno spazio vettoriale rappresentati da [[Varietà differenziabile|varietà differenziabili]]. Siccome gli spazi vettoriali sono esempi particolari di varietà differenziabili, è evidente che queste ultime costituiscono l'ambiente di definizione naturale della meccanica razionale, a prescindere dall'esistenza di uno "spazio fisico" in cui queste varietà siano immerse. La meccanica razionale si occupa anche di alcuni sistemi che pur essendo costituiti da un numero infinito di [[punto materiale|punti materiali]] sono soggetti a particolari [[vincolo|vincoli]] (come nel caso dei [[corpo rigido|corpi rigidi]]) che ne rendono finito il numero di gradi di libertà.

=== Caratteristiche ===

Le tecniche matematiche utilizzate permettono di distinguere all'interno della meccanica razionale la [[meccanica newtoniana]], la [[meccanica lagrangiana]], la [[meccanica hamiltoniana]] che arriva allo studio delle [[varietà simplettica|varietà simplettiche]] e di [[varietà di Poisson|Poisson]].

[[File:Joseph liouville.jpeg|thumb|[[Joseph Liouville]]]]

Sistemi meccanici centrali nella teoria sono quelli composti da un numero finito di [[punto materiale|punti materiali]] soggetti a [[forza (fisica)|forze]], sia che essi siano liberi di muoversi in uno [[spazio vettoriale]], (come la [[retta]], il [[piano]] o lo [[spazio tridimensionale]] ordinario), sia che siano [[vincolo|vincolati]] a muoversi su sottoinsiemi di uno spazio vettoriale rappresentati da [[Varietà differenziabile|varietà differenziabili]] ([[Curva (matematica)|curve]] o [[Superficie|superfici]]). SiccomeDal momento che gli spazi vettoriali sono esempi particolari di varietà differenziabili, è evidente che queste ultime costituiscono l'ambiente di definizione naturale della meccanica razionale, a prescindere dall'esistenza di uno "spazio fisico" in cui queste varietà siano immerse. La meccanica razionale si occupa anche di alcuni sistemi che pur essendo costituiti da un numero infinito di [[punto materiale|punti materiali]] sono soggetti a particolari [[vincolo|vincoli]] (come nel caso dei [[corpo rigido|corpi rigidi]]) che ne rendono finito il numero di gradi di libertà.

La meccanica razionale si occupa anche di alcuni sistemi che, pur essendo costituiti da un numero infinito di [[punto materiale|punti materiali]], sono soggetti a particolari [[vincolo|vincoli]], come nel caso dei [[corpo rigido|corpi rigidi]], che ne rendono finito il numero di gradi di libertà. Un altro importante campo di applicazione della meccanica razionale è rappresentato dalla teoria generale dei [[sistema dinamico|sistemi dinamici]]. Tuttavia, va sottolineato che l'attenzione della disciplina è diretta non tanto al confronto dei [[modello matematico|modelli]] con i dati sperimentali, quanto allo studio, la sistematizzazione e la generalizzazione delle strutture matematiche utilizzate da questi modelli, come ad esempio il [[calcolo delle variazioni]].

==Storia==

La meccanica razionale nasce nel 1788 grazie a Joseph-Louis Lagrange che scoprì la dinamica particolare, rigida, elastica e fluida di essa. Poi grazie all'Università di Cambridge nel 1920 si ricostruì e misero insieme più informazioni per attraccare ad una conclusione più plausibile di quella che si creò dalla nascita. Paul Appell nel 1921 iniziò con le "lezioni di meccanica razionale" mettendo insieme 2 edizioni in 2 volumi di Zanichelli 1950 dove nel primo volume si può trovare la Cinematica e Statica della Meccanica Razionale e nel secondo volume si può trovare la Dinamica dell'Università di Michigan. A cura di di Herbert Goldestein, Charles Poole, Jhon L. Safko nel 2002 scrissero la terza edizione la Meccanica Classica con 680 pagine e la quarta edizione la Dinamica Analitica con particolarità rigide a Cambridge molto prima, precisamente 43 anni fa, nel 1959. L. Landau e E. Lifsits scrissero la Meccanica in Editori Riuniti nel 1976. A cura di R. Abraham e J. E. Marsden, la seconda edizione della rivista e ampliata Benjamin Cumming Publishing Co. nel 1978. Poi si fecero calcoli esterni a cura di Leonardo Latella.

Nonostante i sistemi studiati da questa disciplina appartengano al campo [[meccanica classica]], la meccanica razionale ha importanti legami con teorie non classiche, quali la [[teoria della relatività]] e la [[meccanica quantistica]], ad esempio la formulazione lagrangiana costituisce un formalismo naturale per la cosiddetta [[Meccanica quantistica|''prima quantizzazione'']], includendo [[Commutatore (matematica)|commutatori]] tra determinati termini delle equazioni di Lagrange relative al moto di un sistema fisico.

== Note ==

<references />

==Bibliografia==

*[[Joseph-Louis Lagrange|J.-L. Lagrange]], ''[http://books.google.com/books?id=TmMSAAAAIAAJ Mécanique analytique]'', Parigi 1788;

* A. G. Webster ''[http://www.archive.org/details/dynamicsofpartic00websrich The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies]'' Teubner, 1904;

* H. Lamb ''[http://www.archive.org/details/highermechanics00lambuoft Higher mechanics]'' Cambridge University Press, 1920;

* A. Ziwet e P. Field ''[http://www.archive.org/details/introductiontoan00ziweuoft Introduction to analytical mechanics]'' MacMillan, 1921;

* P. Appell ''[http://gallica.bnf.fr/notice?N=FRBNF35484834 Traité de Mécanique Rationnelle]'' Gauthier-Villars, 1921.

*[[Tullio Levi-Civita|T. Levi-Civita]], [[Ugo Amaldi|U. Amaldi]], ''Lezioni di meccanica razionale'', 2ª ed., due vol., Zanichelli 1950; ([http://name.umdl.umich.edu/ACM3906.0001.001 v. 1 Cinematica e Statica] e [http://name.umdl.umich.edu/ABR1381.0001.001 v. 2 Dinamica], PDF da l'Università di Michigan);

*Herbert Goldstein, Charles Poole, John L. Safko (2002): ''Classical Mechanics'', 3rd ed., Addison-Wesley, ISBN 0-201-65702-3, pp.680

*E. Whittaker, ''[http://www.archive.org/details/treatisanalytdyn00whitrich A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies]'', 4ª ed., Cambridge Univ. Press 1959;

*L. Landau e E. Lifsits ''Meccanica'', Editori Riuniti, 1976;

*R. Abraham, J. E. Marsden, ''[http://caltechbook.library.caltech.edu/103/ Foundations of mechanics]'', 2ª ed. rivista e ampliata, Benjamin/Cummings Publishing Co. 1978;

*[[Vladimir Arnold|V.I. Arnold]], Mathematical Methods of Classical Mechanics, seconda edizione, Graduate Texts in Mathematics '''60''', Springer-Verlag 1989;

*Giuseppe Arcidiacono ''Problemi di meccanica razionale'', Di Renzo Editore - Roma, 1994.

*J. E. Marsden, T. S. Ratiu, ''Introduction to mechanics and symmetry. A basic exposition of classical mechanical systems'', 2ª ed., Texts in Applied Mathematics '''17''', Springer-Verlag 1999.

*V. Moretti ''Elementi di Meccanica Razionale, Meccanica Analitica e Teoria della Stabilità'' http://www.science.unitn.it/~moretti/dispense.html

*{{cita libro|autore=[[Joseph-Louis Lagrange|J.-L. Lagrange]], ''[|url=http://books.google.com/books?id=TmMSAAAAIAAJ |titolo=Mécanique analytique]'', |città=Parigi |anno=1788;|lingua=fr}}

==Collegamenti esterni==

* A.Arthur G.Gordon Webster ''[httphttps://www.archive.org/details/dynamicsofpartic00websrich The dynamics of particles and of rigid, elastic, and fluid bodies]'' Teubner, 1904;

* [http://www.matematicamente.it/appunti/meccanica_razionale_(universita)/ Appunti di Meccanica Razionale a cura di Leonardo Latella]

* H.[[Horace Lamb]] ''[httphttps://www.archive.org/details/highermechanics00lambuoft Higher mechanics]'' Cambridge University Press, 1920;

* A.Alexander Ziwet e P. Field ''[httphttps://www.archive.org/details/introductiontoan00ziweuoft Introduction to analytical mechanics]'' MacMillan, 1921;

* {{cita libro|autore=Paul Appell|url=https://books.google.it/books/about/Trait%C3%A9_de_m%C3%A9canique_rationnelle.html?id=lEWf0AEACAAJ&redir_esc=y|titolo= Traité de Mécanique Rationnelle|urlmorto=no|editore=Gauthier-Villars|anno=1921|lingua=fr}}

* {{Cita libro|autore=[[Tullio Levi Civita]]|autore2=[[Ugo Amaldi]]|titolo=Cinematica: principi e statica|url=http://mathematica.sns.it/opere/306/|anno=1938|volume=1}}

* {{Cita libro|autore=[[Tullio Levi Civita]]|autore2=[[Ugo Amaldi]]|titolo=Dinamica: cenni di meccanica dei sistemi continui|url=http://mathematica.sns.it/opere/307/|anno=1938|volume=2}}

*Herbert Goldstein, Charles Poole, John L. Safko (2002): ''Classical Mechanics'', 3rd ed., Addison-Wesley, ISBN 0-201-65702-3, pp.&nbsp;680

*E.Edmund Whittaker, ''[httphttps://www.archive.org/details/treatisanalytdyn00whitrich A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies]'', 4ª ed., Cambridge Univ.University Press 1959;

*[[Lev Davidovič Landau|Lev Landau]] e [[Evgenij Michajlovič Lifšic|Evgenij Lifšic]] ''[[Corso di Fisica Teorica|Meccanica]]'', Editori Riuniti, 1976;

*R. Abraham, J.Jerrold E. Marsden, ''[https://web.archive.org/web/20080111150348/http://caltechbook.library.caltech.edu/103/ Foundations of mechanics]'', 2ª ed. rivista e ampliata, Benjamin/Cummings Publishing Co. 1978;

*[[Vladimir Arnold|V.I.Igorevič ArnoldArnol'd]], Mathematical Methods of Classical Mechanics, seconda edizione, Graduate Texts in Mathematics '''60''', Springer-Verlag 1989;

*[[Giuseppe Arcidiacono]] ''Problemi di meccanica razionale'', Di Renzo Editore - Roma, 1994.

*J.Jerrold E. Marsden, T. S.Tudor Ratiu, ''Introduction to mechanics and symmetry. A basic exposition of classical mechanical systems'', 2ª ed., Texts in Applied Mathematics '''17''', Springer-Verlag 1999.

*{{cita libro|autore=Valter Moretti|titolo=Meccanica Analitica, Meccanica Classica, Meccanica Lagrangiana e Hamiltoniana e Teoria della Stabilità (2020) Springer - Milano|url=https://www.springer.com/it/book/9788847039971}}

==Voci correlate==

* [[Coordinate generalizzate]]

* [[Azione (fisica)]]

*[[Calcolo delle variazioni]]

* [[Lagrangiana]]

* [[Meccanica hamiltoniana]]

* [[Meccanica lagrangiana]]

* [[ParentesiTeorema di PoissonSturm]]

* [[PrincipioTeoria di minima azioneSturm-Liouville]]

* [[TeoriaParentesi di Hamilton-JacobiPoisson]]

* [[TrasformazionePrincipio di Legendreminima azione]]

* [[Principio di minima azione|Teorema di Liouville]]

*[[Trasformazioni canoniche]]

* [[Teoria delle piccole oscillazioni]]

* [[Teoria di Hamilton-Jacobi]]

*[[Teorema di Liouville (meccanica Hamiltoniana)]]

* [[Trasformata di Legendre]]

== Altri progetti ==

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==Collegamenti esterni==

* {{Collegamenti esterni}}

* {{cita web |autore=Raffaele Esposito| 1 = http://people.disim.univaq.it/~serva/teaching/Esposito.pdf | 2 = Appunti di Meccanica Razionale a cura di Raffaele Esposito|editore=Universit`a degli Studi de L’Aquila| accesso = 22 febbraio 2023 }}

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