:<math> F_{1}=G\dfrac{Mm}{R^{2}(t)} + R^{''}(t)m =0</math> ▼==Trattazione semplificata dell'origine dell'universo==
{{C|
#definire meglio la costante di Hubble
#calcolare l'effetto Doppler per la luce
#il redshift cosmologico non può essere interpretato come effetto Doppler, per ragioni profonde legate alla RG
|fisica|agosto 2012}}
Secondo la legge di Hubble la velocità di allontanamento delle galassie dell'universo è direttamente proporzionale alla loro distanza dove la costante di proporzionalità è detta costante di Hubble.
Questa legge si deduce osservando le righe di assorbimento della luce delle galassie. Si nota in particolare che la riga <math>H_{\alpha}</math>,la prima riga della serie Balmer dell'idrogeno, delle galassie più lontane è spostata verso il rosso rispetto alla riga <math>H_{\alpha}</math> dell'idrogeno in laboratorio sebbene l'idrogeno sia lo stesso in laboratorio e nella galassia. E siccome la luce rossa ha una frequenza minore e la lunghezza d'onda è inversamente proporzionale alla frequenza allora indicando con <math>\lambda_r</math> e <math>\lambda_e</math> rispettivamente la lunghezza d'onda della luce ricevuta e la lunghezza d'onda della luce emessa dalla galassia si ha :
che si può scrivere nella forma :
:<math>\lambda_r>\lambda_e</math>
:<math>R''(t)=-\dfrac{GM}{R^2 (t)}</math> ▼Tale fenomeno fisico si spiega mediante l'effetto Doppler secondo cui se la sorgente di un'onda elettromagnetica e un osservatore si allontanano la frequenza dell'onda elettromagnetica diminuisce e conseguentemente aumenta la sua lunghezza d'onda per cui indicando con v la velocità di allontanamento della sorgente si ha :
Posto <math>R' (t)=z </math> allora <math>R'' (t)=z'z</math> infatti : ▼:<math>\lambda_r=\lambda_e+vT</math>
:<math>R''=\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{dz}{dR}\dfrac{dR}{dt}=z'z</math> ▼essendo vT lo spazio percorso dalla sorgente nel periodo T dell'onda .
Quindi essendo
:<math>v=\dfrac{\lambda_r-\lambda_e}{T}</math>
la velocità di allontanamento v è proporzionale a <math>\lambda_r-\lambda_e</math>
ma dalle osservazioni si nota che più la galassia è lontana maggiore risulterà
:<math>\lambda_r-\lambda_e</math>
quindi la distanza d è proporzionale a
:<math>\lambda_r-\lambda_e</math> per cui si ottiene la legge di Hubble :
:<math>v=Hd</math>
dove H è la costante di Hubble.
L'idea che sta alla base della cosmologia costruita sulla teoria della gravitazione di Einstein è che la distribuzione di materia fa incurvare lo spazio-tempo . Ad esempio si può verificare che lo spazio-tempo intorno al sole è curvo e la curvatura dipende dalla massa del sole.
Se si suppone l'universo omogeneo ed isotropo, in base al principio cosmologico, e quindi la densità di materia dell'universo, data dal rapporto tra la sua massa ed il suo volume è costante, fissato un determinato istante di tempo, allora lo spazio tridimensionale si incurva e la curvatura per il principio cosmologico è costante, ma in un istante di tempo successivo sia la densità che la curvatura saranno diverse, infatti la densità dipende dal volume e il volume dipende dal raggio di curvatura, per cui visto che per la legge di Hubble l'universo si espande anche il raggio di curvatura varierà nel tempo e quindi anche la densità e la curvatura.
Ad esempio una 2-sfera che si può immaginare facilmente si può ottenere facendo incurvare uno spazio bidimensionale e introducendo una terza dimensione, analogamente una 3-sfera si può ottenere facendo incurvare uno spazio tridimensionale solo che risulta più difficile immaginarla, tra l'altro in tal caso introdurre una quarta dimensione spaziale non è assolutamente necessario.
Einstein ha dimostrato che esistono 3 tipi di spazi tridimensionali a curvatura costante contraddistinti dal parametro k:
*lo spazio euclideo a curvatura nulla (k=0) a cui siamo abituati
*lo spazio sferico a curvatura positiva (k=1)
*lo spazio iperbolico a curvatura negativa (k=-1)
Nell'ipotesi che lo spazio tridimensionale sia sferico a curvatura positiva, per cui noi viviamo su questa sfera, se ci troviamo in un punto P della sfera, mentre la galassia che staimo osservando si trova in Q nella sfera, la distanza l tra P e Q sarà data dalla lunghezza della geodetica, cioè dell'arco di cerchio massimo, che collega P a Q.La geodetica forma un angolo
:<math>\theta</math> tra i 2 raggi di curvatura R per cui usando la relazione
:<math>\ 2\pi:\theta=2\pi R:l</math>
si ottiene:
:<math>\ l=R \theta </math>
Durante l'espansione varia R ma non <math>\theta</math> .
Ma per la velocità di allontanamento di P da Q e per la legge di Hubble si ha :
:<math>\ v=\frac{dl}{dt}=R' \theta=\frac{R'}{R} l=H l</math>
e quindi :
:<math>H=\dfrac{R'}{R}</math>
Pertanto la costante di Hubble è il rapporto tra la velocità di espansione dell'universo e il raggio di curvatura dell'universo. Supponendo che la velocità di espansione sia costante si ottiene un moto uniforme e quindi in un tempo pari all'inverso della costante di Hubble (circa 15 miliardi di anni) il raggio dell'universo doveva essere nullo. In realtà l'espansione dell'universo è in accellerazione per cui l'ipotesi di velocità costante è errata e quindi il risultato non è corretto ma da stime più precise risulta che l'universo esiste da 13,7 miliardi di anni.
Facendo un'opportuna semplificazione si può ipotizzare che lo spazio sia una 2-sfera, cioè una sfera ottenuta incurvando lo spazio bidimensionale, di cui abbiamo una netta percezione e non una 3-sfera, cioè una sfera ottenuta incurvando lo spazio tridimensionale, che rappresenta una delle due possibili alternative di spazi a curvatura costante assieme alla spazio iperbolico.
Considerata una galassia al bordo della 2-sfera, per il teorema di Gauss il flusso del campo gravitazionale attraverso la 2-sfera dipende soltanto dalla massa al suo interno pertanto la galassia è sottoposta alla forza gravitazionale di Newton:
▲:<math> F_{1}=G\dfrac{Mm}{R^{2}(t)} </math>
con m massa della galassia, M massa complessiva dell'universo, G costante gravitazionale, R raggio di curvatura dell'universo (considerato che la galassia è al bordo della 2-sfera).
[[File:2-sfera.png|thumb|right|400px]]
Poichè l'universo è in espansione accellerata, allora nell'ipotesi di un sistema di riferimento inerziale la risultante delle forze agenti sulla galassia è diversa da 0 . La direzione della risultante è la stessa della forza gravitazionale ma con verso opposto pertanto si ha:
:<math> F_{2}=-ma=-mR^{''}(t) </math>
quindi si ottiene l'equazione differenziale :
▲:<math>R''(t)=-\dfrac{GM}{R^2(t)}</math>
▲Posto R'(t)=z allora <math>R''(t)=z'z</math> infatti :
▲:<math>R''=\dfrac{dz}{dt}=\dfrac{dz}{dR}\dfrac{dR}{dt}=z'z</math>
Pertanto :
:<math>\int zdz=-\int \dfrac{GM}{R^2}dR </math>
:<math>\dfrac{z^2}{2}=\dfrac{GM}{R} +c</math>
con c costante arbitraria e quindi:
:<math>\dfrac{dR}{dt}=z=+-\sqrt{\dfrac{2(GM+cR)}{R}} </math>
da cui :
:<math>\int\left[2\left(\dfrac{GM+cR}{R}\right)\right]^{-\frac{1}{2}}dR=\int dt</math>
Utilizzando il programma wxMaxima per risolvere l'integrale si ottiene:
:<math>{{G\,M\,\log \left({{\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}-\sqrt{c}}\over{
\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}+\sqrt{c}}}\right)+2\,\sqrt{c}\,R\,
\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}}\over{2^{{{3}\over{2}}}\,c^{{{3}\over{2
}}}}}=t-b</math>
con b costante arbitraria, oppure in altra forma :
: <math>{{-\sqrt{2}\,G\,M\,\log \left(\sqrt{c\,R+G\,M}+\sqrt{c}\,\sqrt{R}
\right)+\sqrt{2}\,G\,M\,\log \left(\sqrt{c\,R+G\,M}-\sqrt{c}\,\sqrt{
R}\right)+2^{{{3}\over{2}}}\,\sqrt{c}\,\sqrt{R}\,\sqrt{c\,R+G\,M}
}\over{4\,c^{{{3}\over{2}}}}}=t-b </math>
Definita la funzione :
: <math>t = \varphi(R) = {{G\,M\,\log \left({{\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}-\sqrt{c}}\over{
\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}+\sqrt{c}}}\right)+2\,\sqrt{c}\,R\,
\sqrt{{{c\,R+G\,M}\over{R}}}}\over{2^{{{3}\over{2}}}\,c^{{{3}\over{2
}}}}}+b </math>
Essendo :
: <math>\varphi'(R)=\left[2\left(\dfrac{GM+cR}{R}\right)\right]^{-\frac{1}{2}}>0</math>
allora la funzione <math>\varphi(R)</math> è sempre crescente per cui esiste la sua funzione inversa R(t) che rappresenta il raggio di curvatura dell'universo in funzione del tempo e risulta simmetrica a <math>\varphi(R)</math> rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante degli assi cartesiani per cui studiando la funzione <math>\varphi(R)</math>, si ottiene:
: <math>R(t)=\varphi^{-1}(t) </math>
Quindi poiché risulta :
:<math>\lim_{R \to 0} \varphi(R)=b</math>
:<math>\lim_{R \to +\infty } \varphi(R)=+\infty </math>
:<math>\varphi''(R)={{G\,M}\over{2^{{{3}\over{2}}}\,R^2\,\left({{c\,R+G\,M}\over{R}}
\right)^{{{3}\over{2}}}}}>0</math>
La funzione <math>\varphi(R)</math> risulta sempre crescente, convessa e divergente a <math>+\infty </math> e conseguentemente la funzione R(t) risulta per la simmetria crescente,concava e divergente a <math>+\infty </math> .
[[File:Raggio_curvatura.png|thumb|right|400px|Possibile andamento del raggio di curvatura dell'universo in funzione del tempo e relativa funzione inversa.]]
Inoltre la funzione <math>\varphi(R)</math> incontra l'asse delle ascisse in un tempo <math> t_{*}=b </math> in cui il raggio è nullo . In particolare :
:<math>\varphi^{-1}(0)=0 \quad \Longrightarrow \quad t_{*}=b=0 </math>
Ma per la simmetria delle 2 funzioni, anche R(t) si annulla in un tempo <math> t_{*}=b </math> per cui :
:<math>R(0)=0 \quad \Longrightarrow \quad t_{*}=b=0 </math>
Ma il fatto che è esistito un tempo in cui il raggio era nullo, essendo la densità dell'universo data dal rapporto tra massa e volume dell'universo,nell'ipotesi di una 2-sfera si ha:
:<math> d=\dfrac{M}{V}=\dfrac{M}{\frac{4}{3} \pi R^{3} } </math>
Pertanto :
:<math> \lim_{R \to 0} d= +\infty </math>
Ma una densità infinita non può esistere . Ciò comporta l'esistenza di una singolarità cosmologica in cui il raggio dell'universo era nullo. Sotto ipotesi molto più generali , utilizzando la relatività generale i fisici Hawking e Penrose hanno dimostrato che la singolarità R=0 esiste . Per lunghezze inferiori alla lunghezza di Planck bisogna tenere conto della meccanica quantistica, ma tuttora non esiste una teoria della gravità quantistica.
==Bibliografia==
[ftp://osiris.df.unipi.it/pub/sagredo/aq.relat/ Lezioni di relatività (capitoli 15,16,17) ]
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