Geodetica: differenze tra le versioni

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In [[matematica]], e più precisamente in [[geometria differenziale]], una '''geodetica''' è una particolarela [[curva (matematica)|curva]] chepiù descrivebreve localmenteche la traiettoria più brevecongiunge fradue punti di un particolareuno spazio. Lo spazio in questione può essere una [[superficie (matematica)|superficie]], una più generale [[varietà riemanniana]], o un ancor più generale [[spazio metrico]]. Ad esempio, nel piano le geodetiche sono le linee rette, su una sfera sono gli [[cerchio massimo|archi di cerchio massimo]]. Il concetto di geodetica è intimamente correlato a quello di [[metrica riemanniana]], che è connesso con il concetto di [[distanza]] e di [[accelerazione(matematica)|distanza]]. Infatti, essa può essere intesa come il percorso che compirebbe una particella non accelerata.

In [[matematica]], le geodetiche hanno un ruolo fondamentale nello studio delle [[superficie (matematica)|superfici]] (ad esempio, quella terrestre), e delle [[varietà (geometria)|varietà]] astratte aventi [[dimensione]] 3 o maggiore. Sono importanti per descrivere alcune [[geometria non euclidea|geometrie non euclidee]], come la [[geometria iperbolica]]. In [[fisica]], le geodetiche ricoprono un ruolo importante nello studio dei moti dei corpi in presenza di campi gravitazionali, dal momento che la [[relatività generale]] interpreta la [[forza gravitazionale]] come una deformazione dello [[spazio-tempo]] [[Quadrimensionalità|quadridimensionale]].

In [[fisica]], le geodetiche ricoprono un ruolo importante nello studio dei moti dei corpi in presenza di campi gravitazionali, dal momento che la [[relatività generale]] interpreta la [[forza gravitazionale]] come una deformazione dello [[spazio-tempo]] quadridimensionale, .

== Introduzione ==

=== Superfici e varietà ===

[[File:Small and great circles 3d.png|thumb|left|250px|Un [[cerchio massimo]] (in rosso) è una geodetica. Il cerchio blu non è una geodetica.]]

Il termine "geodetica" deriva da [[geodesia]], la scienza della misurazione delle dimensioni e della forma del [[terra|globo terrestre]]; nel suo significato originale, una geodetica era il cammino più breve tra due punti sulla superficie della Terra, ossia un arco di [[cerchio massimo]]. Gli archi di [[meridiano (geografia)|meridiani]] e di [[equatore]] sono geodetiche, mentre gli altri [[parallelo (geografia)|paralleli]] no.

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=== Relatività generale ===

[[File:Geodesiques.png|thumb|right|350pxupright=1.6|Tre tipi di geodetica in un [[campo gravitazionale]] generato da un [[pianeta]], situato al centro di questo modello di spazio a due dimensioni. Una geodetica descrive un corpo che cade verticalmente verso il pianeta; un'altra descrive l'orbita circolare di un [[satellite naturale|satellite]]; un'altra ancora descrive un corpo la cui orbita è solamente curvata dal pianeta.]]

Le geodetiche hanno assunto un significato [[fisica|fisico]] importante all'inizio del [[XX secolo]], per il loro ruolo nella [[relatività generale]]. Secondo la relatività, lo [[spaziotempo]] è infatti uno spazio "curvo" di dimensione 4, in cui le geodetiche descrivono la traiettoria di un [[punto materiale]] in presenza di un [[campo gravitazionale]]. Sono quindi geodetiche le traiettorie di un sasso che cade, di un [[Satellite artificiale|satellite]] in orbita e persino di un raggio di luce.

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Una geodetica è ''completa'' se si estende indefinitamente in entrambe le direzioni. Le geodetiche del piano euclideo sono quindi le rette, di lunghezza infinita in ambo le direzioni.

Le geodetiche su un più generale spazio soddisfano spesso tutti i [[postulati di Euclide]] richiesti per le rette nel piano, eccetto il [[V postulato di Euclide|V postulato]], riguardante le rette [[parallelismo (geometria)|parallele]]. In questo modo è quindi possibile costruire numerose [[geometrie non euclidee]], con comportamenti qualitativamente molto differenti fra loro.

Il V postulato dice che per ogni retta e ogni punto non contenuto in questa, esiste ''esattamente una'' retta passante per il punto parallela alla prima. Lo stesso enunciato espresso per le geodetiche (dove "parallele" vuol dire "che non si intersecano") è infatti falso in molti casi. Ad esempio, non esistono geodetiche parallele nella [[sfera]] (due cerchi massimi si incontrano sempre), mentre se ne trovano infinite nello [[spazio iperbolico]].

[[File:Sphere closed path.png|thumb|right|La somma degli angoli interni di un triangolo su una sfera, che ha [[curvatura gaussiana]] positiva, è maggiore di <math>\pi</math>.]]

In uno spazio non euclideo, molti dei teoremi della [[geometria piana]] non sono più validi. Ad esempio, la somma degli angoli interni di un [[triangolo]], i cui lati sono 3 geodetiche, può essere diversa da <math>\pi</math>. Ad esempio, sulla [[sfera]] questa somma è sempre superiore a <math>\pi</math>.

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== Varietà (pseudo)-riemanniana ==

Una [[varietà riemanniana]] o [[varietà pseudoriemanniana|pseudoriemanniana]] è in particolare uno [[spazio metrico]], e quindi la nozione di geodetica è definita<ref>Viene qui usata la definizione in cui aal secondo membro può apparire una costante moltiplicativa: questa definizione è più utile in una varietà.</ref>.

=== Minimizzare lunghezza o energia ===

La traiettoria più breve tra due punti su di uno spazio curvo può essere trovata scrivendo l'equazione della lunghezza di una curva, e minimizzando poi tale lunghezza tramite tecniche standard del [[calcolo delle variazioni]].

La lunghezza di una curva

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=== Esistenza e unicità di geodetiche ===

Per ogni punto <math>p</math> di una varietà riemanniana <math>M</math>, e per ogni vettore non nullo <math>v</math> dello [[spazio tangente]] <math>T_p</math> in <math>p</math>, esiste esattamente una geodetica completa passante per <math>p </math> e tangente a <math>v</math>.

Esistono cioè <math>a,b>0</math> e una geodetica

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L'esistenza e unicità derivano dal fatto che una geodetica è soluzione di un particolare [[problema di Cauchy]] del secondo ordine.

Se il vettore <math>v</math> è moltiplicato per uno scalare, la geodetica corrispondente è anch'essa riscalata (e invertita, se lo scalare è negativo). Si può quindi dire che, come nella [[geometria piana]], per ogni punto e per ogni direzione esiste un'unica geodetica completa passante per il punto e orientata lungo laquella data direzione. Secondo questa linea, viene definita la [[mappa esponenziale]].

=== Completezza ===

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== La geodetica e la relatività generale ==

{{C|argomento = fisica|mese = febbraio 2009}}

''N.b.: di seguito vengono utilizzate le [[sistema di riferimento|coordinate]] <math>\{x^\mu\}=(x^1, x^2, x^3, x^4)=(x,y,z,ct)</math>. La [[segnatura (algebra lineare)|segnatura]] della metrica piatta è <math>(+,+,+,-)</math>.''

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Secondo la [[relatività ristretta]], un corpo non soggetto a forze esterne si muove di moto traslatorio rettilineo uniforme. Ciò è anche il principio di relatività [[Galileo Galilei|galileiana]], cui Einstein aggiunse un'informazione: è valido soltanto in assenza di campo gravitazionale (ciò che caratterizza le regioni dello spazio-tempo in cui vale la relatività ristretta).

In un sistema di riferimento collocato in una regione dello spazio-tempo in cui vale la relatività ristretta (in assenza di campo gravitazionale), l'equazione che descrive un [[Moto rettilineo|moto rettilineo uniforme]] è una geodetica.

Poiché la geodetica è definita indipendentemente dal [[sistema di coordinate]], e quindi anche l'equazione della geodetica, tale legge vale per un sistema di riferimento arbitrario. Per generalizzare, abbiamo dovuto anticipare che relatività ristretta significa assenza di campo gravitazionale. L'equazione del moto del punto materiale diventa:

Per generalizzare, abbiamo dovuto anticipare che relatività ristretta significa assenza di campo gravitazionale. L'equazione del moto del punto materiale diventa:

:<math>\frac{d^2x^{\tau}}{ds^2} + \Gamma^{\tau}{}_{\mu \nu} \frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}}{ds} = 0</math>.<ref>Nell'originale il simbolo di Christoffel è così indicato: <math>\Gamma^{\tau}{}_{\mu \nu}=\{\begin{smallmatrix} \tau\\ \mu\nu \end{smallmatrix}\}</math></ref>

Imporre che il generico [[simbolo di Christoffel]], un ente matematico, sia collegato all'intensità del campo gravitazionale, è un'interpretazione fisica, che Einstein basa su un [[esperimento mentale]] e un ragionamento discorsivo ma che si dimostra rigorosamente.

Bisogna ricordare che l'elemento lineare <math>ds</math> (v.relatività generale) misura qualsiasi variazione nello spazio e nel tempo. Se <math>dx</math> è una generica coordinata, il fatto che la derivata seconda rispetto all'elemento lineare è nulla significa che il corpo si muove nello spazio e nel tempo secondo incrementi costanti, che né crescono né diminuiscono.

L'annullamento della derivata seconda significa che il moto non subisce variazioni nello spazio (è rettilineo) e nel tempo (uniforme). Questo avviene nelle regioni di spazio tempo in cui le componenti gravitazionali sono nulle, ovvero

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Einstein commenta a proposito: «le componenti del campo gravitazionale sono le quantità che caratterizzano lo scostamento del moto rettilineo uniforme». Non bisogna confondere la presenza di una forza gravitazionale (possibile anche in un moto rettilineo) dall'azione di un campo gravitazionale, che richiede una variazione di questa forza. L'equazione contiene le derivate prime delle componenti della gravità.

Mediante una semplice «sostituzione comunque scelta», lo stesso moto del punto materiale libero, osservato da un altro sistema di riferimento, diviene curvilineo non uniforme, con una legge non più dipendente dalla natura fisica del punto materiale che si muove. La legge del moto (rettilineo uniforme quando le componenti sono costanti) cambia radicalmente nelle nuove coordinate. Il moto rettilineo uniforme dipendente dalle proprietà della massa, diviene un moto curvilineo non uniforme indipendente dalle proprietà fisiche dell'oggetto in movimento. Nel caso più generale, quindi, il punto in movimento può essere trattato come una generica [[Massa (fisica)|massa]], in quanto il moto non dipende dal materiale di cui il corpo è fatto, o da altre proprietà chimiche.

L'effetto di un nuovo campo gravitazionale e di un semplice cambio di coordinate, matematicamente sono gli stessi: la distorsione del moto uniforme è visibile all'osservatore e misurabile in entrambi i casi, sebbene nel secondo non ci sia alcuna variazione né del corpo né delle forze a cui è soggetto. Il cambio di coordinate, sebbene muti radicalmente le leggi del moto, porta egualmente a delle conclusioni coerenti e non contraddittorie, ed è perciò una trasformazione tranquillamente praticata se opportuna; dato che la reale presenza di una forza fisica genera le stesse conseguenze teoriche del cambio di coordinate, l'introduzione di una forza apparente è una trasformazione altrettanto lecita. Il risultato, per nulla ovvio, è che il cambio di coordinate, che è una trasformazione che muta una costruzione geometrica e mentale senza toccare la realtà fisica degli oggetti e delle forze in gioco, sortisce gli stessi effetti di una variazione della realtà fisica che si deve descrivere. La nozione di forza apparente estende al [[norma (matematica)|modulo]] del moto ([[velocità]] e [[accelerazione]]) il principio di relatività, che in precedenza faceva dipendere dal sistema di riferimento solamente [[Vettore (matematica)|verso]] e [[direzione (geometria)|direzione]].

Nel caso più generale, quindi, il punto in movimento può essere trattato come una generica [[Massa (fisica)|massa]], in quanto il moto non dipende dal materiale di cui il corpo è fatto, o da altre proprietà chimiche.

In contemporanea, le componenti della matrice diventano funzioni dello spazio-tempo; essendo delle variabili, descrivono un campo gravitazionale.

L'effetto di un nuovo campo gravitazionale e di un semplice cambio di coordinate, matematicamente sono gli stessi: la distorsione del moto uniforme è visibile all'osservatore e misurabile in entrambi i casi, sebbene nel secondo non ci sia alcuna variazione né del corpo né delle forze a cui è soggetto. Il cambio di coordinate, sebbene muti radicalmente le leggi del moto, porta egualmente a delle conclusioni coerenti e non contraddittorie, ed è perciò una trasformazione tranquillamente praticata se opportuna; dato che la reale presenza di una forza fisica genera le stesse conseguenze teoriche del cambio di coordinate, l'introduzione di una forza apparente è una trasformazione altrettanto lecita. Il risultato, per nulla ovvio, è che il cambio di coordinate, che è una trasformazione che muta una costruzione geometrica e mentale senza toccare la realtà fisica degli oggetti e delle forze in gioco, sortisce gli stessi effetti di una variazione della realtà fisica che si deve descrivere. La nozione di forza apparente estende al [[norma (matematica)|modulo]] del moto ([[velocità]] e [[accelerazione]]) il principio di relatività, che in precedenza faceva dipendere dal sistema di riferimento solamente [[verso]] e [[direzione (geometria)|direzione]].

In contemporanea, le componenti della matrice diventano funzioni dello spazio-tempo; essendo delle variabili, descrivono un campo gravitazionale.

La deformazione del moto uniforme viene, quindi, interpretato come un effetto della gravitazione, «che occupa una posizione eccezionale nei confronti delle rimanenti forze, e soprattutto delle forze elettromagnetiche, in quanto le 10 funzioni <math>g_{\mu\nu}</math> che rappresentano il campo gravitazionale determinano contemporaneamente le proprietà dello spazio quadridimensionale».

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Quindi, tali componenti sembrano più importanti di ogni altra forza della fisica, mentre la componente temporale appare la più rilevante di queste.

Quando le componenti sono costanti, gli effetti della gravitazione vengono trascurati (ciò non significa affatto che il moto avvenga in assenza di una forza di gravità misurabile). Per dedurre la [[formula di [[Isaac Newton|Newton]], che considera tali effetti, è necessario rilasciare le ipotesi e considerare un sistema di riferimento in cui le componenti variano; per un rilascio graduale, si considerano sistemi in cui variano di piccole quantità, e che all'infinito spaziale tendono ancora ai valori della matrice. «In altre parole stiamo esaminando campi gravitazionali, generati esclusivamente da materia che si trova al finito», come quelli della teoria newtoniana.

Con riferimento all'equazione precedente, tre delle componenti <math>dx^{ \mu} / ds </math> possono assumere qualsiasi valore, raggiungendo qualunque velocità adimensionale <math>\gamma</math>p purché inferiore alla [[velocità della luce]] (ossia <math>\gamma < 1 </math>). Nel sistema di riferimento adottato in tutta la relatività, la velocità è misurata da un numero puro, che vale 1 alla velocità della luce, che è la massima raggiungibile (quindi varia tra 0 e 1). Oltreché per una comodità di calcolo, la velocità è espressa come percentuale della velocità della luce, perché questa l'unica costante il cui valore di velocità resta invariato in qualunque sistema di riferimento.

:<math>\gamma = \sqrt{[dx^{ 1} /dx^{ 4}]^2 + [dx^{ 2} /dx^{ 4}]^2 + [dx^{ 3} /dx^{ 4}]^2]}</math>.

«Qualora ci si limiti al caso che quasi esclusivamente si presenta all'esperienza, in cui <math>\gamma</math> è piccolo rispetto alla velocità della luce», queste tre componenti sono [[Infinitesimo|infinitesimi]] del secondo ordine (hanno esponente pari a 2), trascurabili in prima approssimazione (vengono eliminati dal calcolo).

Nello studio del differenziale si è soliti iniziare dallo studio del differenziale primo. Limitandosi ai termini di ordine più basso, si ottiene inizialmente un'analisi più semplice, che considera meno termini. Adottare il punto di vista della prima approssimazione, significa troncare lo sviluppo al primo ordine (trascurando gli infinitesimi di ordine superiore al primo).

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== Bibliografia ==

* {{en}} {{cita libro|titolo = Riemannian Geometry|nome=Manfredo Perdigao | cognome = do Carmo | anno = 1994|lingua = en}}

* {{en}} {{cita libro | autore = Shoshichi Kobayashi | coautori = Katsumi Nomizu | titolo = Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 | editore=Wiley-Interscience | anno=1996 (Nuova edizione) |id isbn= ISBN 0-471-15733-3 | lingua=en }}

== Voci correlate ==

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* [[Mappa esponenziale]]

== Altri progetti ==

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== Collegamenti esterni ==

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