Quaternione: differenze tra le versioni

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[[File:Quaternion.jpg|upright=1.4|thumb|[[Frattale]] costruito come [[insieme di Julia]], definito con i quaternioni.]]
I '''quaternioni''' sono entità introdotte da [[William Rowan Hamilton]] nel [[1843]] come estensioni dei numeri complessi. Il loro insieme forma uno [[spazio vettoriale]] sui numeri reali a 4 [[dimensione|dimensioni]], mentre l'insieme dei numeri complessi costituisce uno spazio sui reali a 2 dimensioni. Le proprietà dei quaternioni fecero molto discutere i matematici del tempo perché la moltiplicazione tra quaternioni non gode della [[operazione commutativa|proprietà commutativa]]. Secondo il punto di vista attuale il loro insieme costituisce un'[[algebra non commutativa]]
 
In [[matematica]], i '''quaternioni''' sono entità introdotte da [[William Rowan Hamilton]] nel [[1843]] come estensioni dei [[numeri complessi]].
Un quaternione può quindi essere rappresentato da una quaterna di numeri reali ''Q = (a,b,c,d)'' e, in quanto elemento di uno spazio vettoriale, si può esprimere mediante la combinazione lineare ''Q = a · u + i · b + j · c + k · d'', dove ''u'', ''i'', ''j'' e ''k'' costituiscono una base dello [[spazio vettoriale]] dei quaternioni.
 
Un quaternione è un oggetto formale del tipo
Le equazioni che caratterizzano come [[algebra]] sul campo dei reali l'insieme dei quaternioni sono
:<math>a+b\mathbf i^2+c\,=\,mathbf j^2+d\,=\,mathbf k^2\,=\,ijk\,=\,-1</math>
dove <math>a,b,c,d</math> sono numeri reali e <math>\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k</math> sono dei simboli che si comportano in modo simile all'[[unità immaginaria]] dei numeri complessi.
 
I quaternioni formano un [[corpo (matematica)|corpo]]: soddisfano quindi tutte le proprietà usuali dei [[campo (matematica)|campi]], quali i [[numeri reali]] o [[numeri complessi|complessi]], tranne la [[proprietà commutativa]] del prodotto. Le estensioni dei quaternioni, quali gli [[Ottetto (matematica)|ottetti]] e i [[Sedenione|sedenioni]], non hanno neppure la [[proprietà associativa]]. I quaternioni contengono i numeri complessi <math>a+b\mathbf i</math> e formano anche uno [[spazio vettoriale reale]] di [[dimensione di Hamel|dimensione]] 4 (analogamente ai complessi, che sono uno spazio a 2 dimensioni, cioè un piano). Le due proprietà di corpo e di spazio vettoriale conferiscono ai quaternioni una struttura di [[algebra di divisione]] non [[Algebra commutativa|commutativa]].
Da queste seguono le regole per la loro "aritmetica", regole scoperte da [[William Rowan Hamilton]]. Essi hanno importanti applicazioni nello studio del [[gruppo delle rotazioni]] dello spazio tridimensionale, nella fisica (nella [[teoria della relatività]] e nella [[meccanica quantistica]]) e nella [[robotica]].
 
I quaternioni trovano un'importante applicazione nella modellizzazione delle [[Rotazioni spaziali con i quaternioni|rotazioni dello spazio]]: per questo motivo questi sono ampiamente usati nella [[fisica teorica]] (nella [[teoria della relatività]] e nella [[meccanica quantistica]]) e in settori più applicati, come la [[computer grafica 3D]] e la [[robotica]] (per individuare la posizione spaziale dei bracci meccanici a più snodi). Analogamente all'[[analisi complessa]] e allo studio delle [[Funzione olomorfa|funzioni olomorfe]] di variabile complessa, raccoglie un interesse crescente l'[[analisi ipercomplessa]] e lo studio delle [[Analisi quaternionica|funzioni "regolari" di variabile quaternionica]].<ref>https://scholar.google.it/scholar?q=quaternionic+regular+functions&hl=it&as_sdt=0&as_vis=1&oi=scholart&sa=X&ei=cRAsU_bGKcLV0QXM04C4CQ&ved=0CC0QgQMwAA</ref><ref>Graziano Gentili, Catarina Stoppato & D.C. Struppa (2013) ''Regular Functions of a Quaternionic Variable'', Birkhäuser, ISBN 978-3-642-33870-0</ref>
== Definizione costruttiva ==
I numeri complessi si possono considerare definiti come [[algebra (struttura)|algebra]] ottenuta aggiungendo ai numeri reali un elemento ''i'' linearmente indipendente da essi e chiedendo che ''i'' soddisfi l'identità:
 
== Storia ==
<math>\,\!i^2 = - 1</math>
[[File:William_Rowan_Hamilton_Plaque_-_geograph.org.uk_-_347941.jpg|upright=1.4|thumb|Sul ''[[Broom Bridge]]'' c'è ora una lapide che recita:<br /><div align="center">«Here as he walked by<br />on the 16th of October 1843<br />Sir William Rowan Hamilton<br />in a flash of genius discovered<br />the fundamental formula for<br />quaternion multiplication<br />i<sup>2</sup> = j<sup>2</sup> = k<sup>2</sup> = i j k = −1<br />& cut it on a stone of this bridge.»</div><br />(''Mentre qui passeggiava, il 16 ottobre 1843 Sir William Rowan Hamilton, in un lampo d'ispirazione scoprì la formula fondamentale per la moltiplicazione dei quaternioni, e la incise su una pietra di questo ponte.'')]]
 
I quaternioni furono formalizzati dal matematico [[Irlanda|irlandese]] [[William Rowan Hamilton]] nel [[1843]]. Hamilton era alla ricerca di un metodo per estendere i [[numeri complessi]] (che possono essere visti come punti su un [[piano (geometria)|piano]]) su un numero maggiore di dimensioni spaziali. Dopo aver ricercato invano un'estensione tridimensionale, ne formulò una con dimensione 4: i quaternioni. In seguito raccontò di aver fatto questa scoperta nel corso di una passeggiata con sua moglie, quando improvvisamente gli venne in mente la soluzione nella forma dell'equazione
I quaternioni sono stati ottenuti aggiungendo ai numeri reali tre elementi ''i'', ''j'' e ''k'' da considerare linearmente indipendenti e che soddisfano le seguenti identità.
:<math> \mathbf i^2 = \mathbf j^2 = \mathbf k^2 =\mathbf {ijk} = -1. </math>
Eccitato dalla scoperta, incise l'equazione sul lato del vicino ponte ''Brougham'' (noto ora come ''[[Broom Bridge]]'') a [[Dublino]].
 
Questa formalizzazione necessitava l'abbandono della [[proprietà commutativa|commutatività]] della moltiplicazione, una scelta radicale per quel tempo, in cui non erano ancora disponibili l'[[algebra lineare]] ed il [[prodotto fra matrici]]. Più in generale, Hamilton ha in un certo senso inventato il [[prodotto vettoriale]] e il [[prodotto scalare]] negli [[spazio vettoriale|spazi vettoriali]]. Hamilton descrisse un quaternione come una quadrupla ordinata (4-upla) di numeri reali, dove la prima coordinata è la parte 'scalare', e le rimanenti tre sono la parte 'vettoriale'. Se due quaternioni con parte scalare nulla sono moltiplicati, la parte scalare del prodotto è il prodotto scalare della parte vettoriale cambiato di segno, mentre la parte vettoriale del prodotto è il prodotto vettoriale. Hamilton continuò a rendere popolari i quaternioni con molti libri, l'ultimo dei quali, ''Elementi sui quaternioni'' aveva 800 pagine e fu pubblicato poco dopo la sua morte.
<math>
 
\left \{
L'uso dei quaternioni suscitò delle controversie. Alcuni dei sostenitori di Hamilton si opposero veementemente allo studio dei settori emergenti dell'[[algebra lineare]] e del [[calcolo vettoriale]] (sviluppato fra gli altri da [[Oliver Heaviside]] e [[Willard Gibbs]]), affermando che i quaternioni offrivano una notazione migliore. Oggi però sappiamo che i quaternioni sono una struttura molto particolare, che non offre molte altre generalizzazioni in altre dimensioni (se si escludono gli [[Ottetto (matematica)|ottetti]] in dimensione otto). Una prima versione delle [[equazioni di Maxwell]] utilizzava una notazione basata sui quaternioni.
\begin{matrix}
 
i^2 = - 1 \\
Oggi, i quaternioni vengono utilizzati principalmente nella rappresentazione di [[rotazione|rotazioni]] e direzioni nello spazio tridimensionale. Hanno quindi applicazioni nella [[computer grafica 3D]], nella [[Controllo automatico|teoria del controllo]], nell'[[elaborazione dei segnali]], nel [[controllo di assetto]], in [[fisica]] e in [[astrodinamica]]. Ad esempio, è comune per i veicoli spaziali un sistema di controllo dell'assetto comandato mediante quaternioni, che sono anche usati per misurare mediante telemetria l'assetto attuale. La ragione è che la combinazione di molte trasformazioni descritte da quaternioni è più stabile numericamente della combinazione di molte trasformazioni matriciali.
j^2 = - 1\\
 
k^2 = - 1 \\
== Definizione ==
ijk = - 1
Un quaternione è un elemento scrivibile come
\end{matrix}
\right.
</math>
 
:<math> a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k </math>
Ogni quaternione dunque è una [[combinazione lineare]] reale delle '''unità dei quaternioni''': 1, ''i'', ''j'', e ''k''. Ogni quaternione si può esprimere in modo unico con la seguente notazione: ''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk''.
con <math>a, b, c </math> e <math> d </math> [[numeri reali]] e <math>\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k </math> simboli letterali.
Un quaternione si può esprimere come combinazione lineare di una componente [[Grandezza_scalare|scalare]] (''a'') e di una componente [[Vettore_(matematica)|vettoriale]].
Quindi un vettore si può interpretare come quaternione avente la componente scalare nulla.
 
Somma e prodotto di due quaternioni sono definiti tenendo conto delle relazioni
L'addizione dei quaternioni è ottenuta sommando i relativi coefficienti, come per i numeri complessi e per ogni spazio vettoriale. Data la linearità degli elementi la moltiplicazione è deducibile dalla [[matrice moltiplicativa]] per le unità dei quaternioni mostrata nella tabella seguente:
:<math> \mathbf i^2 = \mathbf j^2 = \mathbf k^2 =\mathbf {ijk} = -1,</math>
{| border cellspacing="0" cellpadding="5" bgcolor="#DDEEFF"
che implicano in particolare le relazioni seguenti:
:<math> \mathbf i\mathbf j =\mathbf k, </math>
:<math> \mathbf j\mathbf k = \mathbf i, </math>
:<math> \mathbf k\mathbf i= \mathbf j, </math>
:<math> \ \mathbf j\mathbf i=-\mathbf k, </math>
:<math> \mathbf k\mathbf j = -\mathbf i, </math>
:<math> \mathbf i\mathbf k = -\mathbf j. </math>
I risultati delle moltiplicazioni fra due di questi elementi sono riassunti nella tabella:
:{| class="wikitable" bgcolor="#ddeeff" border="1" cellspacing="0" cellpadding="5"
|-----
| width="20" align="center" bgcolor="#FFFFFFffffff" | &middot;<math> \times </math>
| width="20" align="center" bgcolor="#EEEEEEdddddd" | <math> 1 </math>
| width="20" align="center" bgcolor="#EEEEEEdddddd" | <math> \mathbf i</math>
| width="20" align="center" bgcolor="#EEEEEEdddddd" | <math> \mathbf j</math>
| width="20" align="center" bgcolor="#EEEEEEdddddd" | <math> \mathbf k</math>
|-----
| align="center" bgcolor="#EEEEEEdddddd" | <math> 1 </math>
| align="center" | <math> 1 </math> || align="center" | <math> \mathbf i</math>
| align="center" | <math> \mathbf j </math> || align="center" | <math> \mathbf k</math>
|-----
| align="center" bgcolor="#EEEEEEdddddd" | <math> \mathbf i </math>
| align="center" | <math> \mathbf i </math> || align="center" | &minus;<math> -1 </math>
| align="center" | <math> \mathbf k </math> || align="center" | &minus;<math> -\mathbf j</math>
|-----
| align="center" bgcolor="#EEEEEEdddddd" | <math> \mathbf j </math>
| align="center" | <math>\mathbf j </math> || align="center" | &minus;<math> -\mathbf k</math>
| align="center" | &minus;<math> -1 </math> || align="center" | <math> \mathbf i</math>
|-----
| align="center" bgcolor="#EEEEEEdddddd" | <math> \mathbf k </math>
| align="center" | <math> \mathbf k</math> || align="center" | <math> \mathbf j</math>
| align="center" | &minus;<math>-\mathbf i</math> || align="center" | &minus;<math> -1 </math>
|}
 
La somma ed il prodotto di due quaternioni sono calcolate con gli usuali passaggi algebrici, usando le relazioni di moltiplicazione appena descritte. La somma di due quaternioni è quindi data da:
Usando questa definizione di moltiplicazione le unità dei quaternioni insieme ai loro opposti formano un [[gruppo di quaternioni]] di ordine 8, ''Q''<sub>8</sub>.
:<math> (a_1+b_1\mathbf i+c_1\mathbf j+d_1\mathbf k) + (a_2+b_2\mathbf i+c_2\mathbf j+d_2\mathbf k) = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)\mathbf i + (c_1+c_2)\mathbf j + (d_1+d_2)\mathbf k </math>
mentre il loro prodotto risulta essere il seguente:
:<math> (a_1+b_1\mathbf i+c_1\mathbf j+d_1\mathbf k)(a_2+b_2\mathbf i+c_2\mathbf j+d_2\mathbf k) = </math>
:<math> =(a_1a_2 - b_1b_2 - c_1c_2 - d_1d_2) + (a_1b_2 + b_1a_2 +c_1d_2 - d_1c_2)\mathbf i + (a_1c_2 + c_1a_2 +d_1b_2 - b_1d_2)\mathbf j + (a_1d_2 + d_1a_2+b_1c_2 - c_1b_2)\mathbf k. </math>
 
I quaternioni contengono in modo naturale i numeri reali (i quaternioni del tipo <math> q = a </math>, con <math> b=c=d=0 </math>) ed i [[numeri complessi]] (i quaternioni del tipo <math> q = a +b\mathbf i </math>, con <math> c=d=0 </math>, ma anche del tipo <math> q = a +b\mathbf j </math> oppure del tipo <math> q = a +b\mathbf k </math> ).
== Esempio ==
 
=== Esempio ===
Definiamo
Dati due quaternioni
:<math> x = 3+\mathbf i,\quad y = 5\mathbf i+\mathbf j-2\mathbf k </math>,
 
somma e prodotto sono dati da:
:''x'' = 3 + ''i''
:''y'' = 5''i'' + ''j'' &minus; 2''k''
 
:<math> x+y = 3+6\mathbf i+\mathbf j-2\mathbf k </math>
Ecco delle semplici operazioni
:<math> xy = (3+\mathbf i)(5\mathbf i+\mathbf j-2\mathbf k) = 15\mathbf i+3\mathbf j-6\mathbf k+5\mathbf i^2+\mathbf {ij}-2\mathbf {ik} = 15\mathbf i+3\mathbf j-6\mathbf k-5+\mathbf k+2\mathbf j = -5+15\mathbf i+5\mathbf j-5\mathbf k. </math>
 
== Proprietà basilari ==
:''x'' + ''y'' = 3 + 6''i'' + ''j'' &minus; 2''k''
I quaternioni hanno molte caratteristiche proprie dei [[numeri complessi]]: anche per i quaternioni, in analogia con i complessi, possono essere definiti concetti come ''[[norma (matematica)|norma]]'' e ''coniugato''; ogni quaternione, se diverso da zero, possiede un [[elemento inverso|inverso]] rispetto al prodotto. Si differenziano però dai numeri complessi per il fatto che il loro prodotto può non essere [[proprietà commutativa|commutativo]].
:''xy'' = (3 + ''i'')(5''i'' + ''j'' &minus; 2''k'')
::= 15''i'' + 3''j'' &minus; 6''k'' + 5''i''<sup>2</sup> + ''ij'' &minus; 2''ik''
::= 15''i'' + 3''j'' &minus; 6''k'' &minus; 5 + ''k'' + 2''j''
::= &minus; 5 + 15''i'' + 5''j'' &minus; 5''k''
 
=== Prodotto non commutativo ===
== Proprietà ==
Il prodotto di due quaternioni non è in generale [[proprietà commutativa|commutativo]]: lo è solo se entrambi appartengano allo stesso piano complesso. Ad esempio, come si è già visto, <math> \mathbf i\mathbf j = \mathbf k </math> è diverso da <math> \mathbf j\mathbf i = -\mathbf k </math>.
 
Tuttavia, per linearità, si comporta come un prodotto tra polinomi e si può riportare ai 4x4 prodotti fondamentali della tabella di cui sopra.
A differenza dei [[numeri reali]] o dei [[numeri immaginari]] le moltiplicazioni nei quaternioni non godono della proprietà [[commutativa]]: </br>
:<math>ij = k \,</math>
:<math>ji = -k \,</math>
:<math>jk = i \,</math>
:<math>kj = -i \,</math>
:<math>ki = j \,</math>
:<math>ik = -j \,</math>
<!--es. ''ij'' = ''k'', ''ji'' = &minus;''k'', ''jk'' = ''i'', ''kj'' = &minus;''i'', ''ki'' = ''j'', ''ik'' = &minus;''j''. -->
 
=== Coniugato ===
I quaternioni sono un esempio di [[anello di divisione]], una struttura algebrica simile ai [[campo (matematica)|campi]] eccetto per la commutatività della moltiplicazione. In particolare la moltiplicazione è dotata della proprietà [[associativa]], dell'elemento inverso e dell'elemento neutro. Questi formano un'[[algebra associativa]] a 4 dimensioni costruita sui numeri reali (in effetti sono un'[[algebra di divisione]]). I quaternioni contengono i numeri complessi, anche se non formano un'algebra associativa con essi.
Il ''coniugato'' di un quaternione <math> q = a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k </math> è il quaternione <math>\bar q = a-b\mathbf i-c\mathbf j-d\mathbf k,</math> (a volte indicato anche con <math>q^*</math>).
 
Il coniugato soddisfa le proprietà seguenti:
I quaternioni, i numeri complessi e i numeri reali sono le uniche algebre di divisione associative a dimensione finita costruite sui numeri reali.
:<math> \overline{\overline {q}} = q, </math>
:<math> \overline {q+q'} = \overline q + \overline q', </math>
:<math> \overline {qq'} = \overline q' \overline q. </math>
 
Il coniugato può anche essere espresso da una [[combinazione lineare]] di <math>q,</math> con coefficienti contenenti <math>\mathbf i, \mathbf j, \mathbf k,</math> nel seguente modo:
La non commutatività della moltiplicazione porta una conseguenza inaspettata: le soluzioni dei [[polinomio|polinomi]] definiti con i quaternioni possono essere più di quelle definite dal grado del polinomio. L'equazione n ''z''<sup>2</sup> + 1 = 0, per esempio ha infinite soluzioni nei quaternioni ''z'' = ''bi'' + ''cj'' + ''dk'' con ''b''<sup>2</sup> + ''c''<sup>2</sup> + ''d''<sup>2</sup> = 1.
:<math>\bar q = -\frac{q +\mathbf iq\mathbf i+\mathbf jq\mathbf j+\mathbf kq\mathbf k}{2}.</math>
 
=== Norma ===
Il ''coniugato'' di un quaternione ''z'' = ''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk'' è definito come <math>z^* = a - bi - cj - dk</math>
La ''[[norma (matematica)|norma]]'' di <math> q </math> è il numero reale non negativo
:<math display="inline">|q|= \sqrt{q \bar q} = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}.</math>
La norma di <math> q </math> è sempre positiva, e nulla soltanto se <math> q = 0 </math>. Valgono le relazioni seguenti:
:<math>|q|^2 = q\bar q,</math>
:<math>|qq'| = |q||q'|.</math>
 
=== Inverso ===
Il ''valore assoluto'' di ''z'' è il numero reale non negativo definito da <div style="vertical-align:-40%;display:inline;"><math>|z| = \sqrt{z\times{}z^*} = \sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}</math></div>
Un quaternione <math> q </math> diverso da zero ha un [[elemento inverso|inverso]] per la moltiplicazione, dato da
:<math> q^{-1} = \frac{\overline q}{|q|^2}.</math>
Infatti
:<math> qq^{-1} = q\frac{\overline q}{|q|^2} = \frac {q\overline q}{|q|^2} = \frac{|q|^2}{|q|^2} = 1 </math>
e similmente <math>q^{-1}q = 1 </math>. Valgono le proprietà seguenti:
:<math> |q^{-1}| = \frac 1{|q|}, </math>
:<math> \overline {q^{-1}} = {\overline q}^{-1},</math>
:<math> (qq')^{-1} = {q'}^{-1}q^{-1}.</math>
 
=== Struttura algebrica ===
Da notare che (''wz'')<sup>*</sup>=&nbsp;''z''<sup>*</sup>''w''<sup>*</sup>, in generale non è uguale a ''w''<sup>*</sup>''z''<sup>*</sup>.
Con le operazioni di somma e prodotto, l'insieme dei quaternioni, indicato a volte con <math>\mathbb H </math>, forma un [[anello non commutativo]], più precisamente un [[Corpo (matematica)|corpo]].
 
Con le operazioni di somma e di moltiplicazione per un numero reale <math> \lambda </math>, data da
L'inverso moltiplicativo di un quaternione non nullo ''z'' può essere calcolato come ''z''<sup>&minus;1</sup> = ''z''<sup>*</sup> / |''z''|<sup>2</sup>.
:<math>\lambda (a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k) = \lambda a + \lambda b\mathbf i + \lambda c\mathbf j + \lambda d\mathbf k, </math>
i quaternioni formano anche uno [[spazio vettoriale reale]] di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] 4: una [[base (algebra lineare)|base]] per lo spazio è data dagli elementi <math>\{1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\} </math>.
 
Le due strutture di corpo e di spazio vettoriale sono riassunte dal concetto di [[algebra di divisione]]. I quaternioni, i numeri complessi e i numeri reali sono le uniche algebre di divisione associative costruite sui numeri reali aventi dimensione finita.
Usando la funzione distanza ''d''(''z'', ''w'') = |''z'' &minus; ''w''|, i quaternioni formano uno [[spazio metrico]] (isometrico con la normale metrica euclidea su <math>\R</math><sup>4</sup>) e le operazioni aritmetiche sono continue. Si ha anche che |''zw''| = |''z''| |''w''| per ogni quaternione ''z'' e ''w''. Usando il valore assoluto come norma, i quanternioni formano un'[[algebra di Banach]] reale.
 
=== Struttura metrica ===
Come spiegato più dettagliatamente in [[quaternioni e rotazione spaziale]], la rotazione di un angolo 2''t'' attorno a un qualunque vettore unitario ''bi'' + ''cj'' + ''dk'', porta un qualsiasi altro vettore ''xi'' + ''yj'' + ''zk'' in
Usando la funzione distanza
''t<sup>-1</sup>''(''xi'' + ''yj'' + ''zk'')''t'', dove ''t'' = ''cos(t)'' + (''bi'' + ''cj'' + ''dk'') ''sin(t)''
:<math> d(q,q') = |q-q'|, </math>
i quaternioni formano uno [[spazio metrico]], [[isometria|isometrico]] allo spazio <math>\R</math><sup>4</sup> dotato della usuale [[metrica euclidea]]. Le coordinate <math>(a,b,c,d) </math> di un quaternione <math> q </math> lo identificano come elemento di <math>\R^4 </math>, e tramite questa identificazione, la norma <math>|q| </math> è semplicemente la [[norma euclidea]].
 
Con la norma, i quaternioni formano un'[[algebra di Banach]] reale.
Non è difficile vedere che la coniugazione con un quaternione unitario con la parte scalare pari a cos(''t''), corrisponde ad una rotazione di un angolo 2''t'', dove l'asse della rotazione è la direzione della parte immaginaria.
 
== Quaternioni unitari ==
I quaternioni sono talvolta usati nella [[grafica al computer]] (e nella relativa analisi geometrica) per rappresentare rotazioni o orientamenti di oggetti nello spazio tridimensionale. I vantaggi sono: rappresentazione non singolare (se confrontata con gli [[angoli di Eulero]], per esempio), più compatta e più veloce delle [[matrice (matematica)|matrici]]. Similmente, una coppia di quaternioni unitari possono rappresentare una rotazione nello spazio quadrimensionale.
=== Gruppo di Lie ===
I quaternioni unitari sono i quaternioni di norma 1. Ad esempio, <math> 1,\mathbf i,\mathbf j </math> e <math>\mathbf k </math> sono unitari. Nell'identificazione con <math>\R^4 </math>, i quaternioni unitari formano una [[ipersfera]] quadridimensionale.
:<math> S^3 = \{(a,b,c,d)\in\R^4\ |\ a^2+b^2+c^2+d^2=1 \}.</math>
 
I quaternioni unitari formano un [[gruppo moltiplicativo]] rispetto al prodotto. Tale gruppo, a differenza del suo analogo complesso, non è [[gruppo abeliano|abeliano]]. Con la struttura di [[varietà differenziabile]] data da <math> S^3 </math>, esso forma un [[gruppo di Lie]].
L'insieme di tutti i quaternioni unitari foma una [[sfera|sfera a 3 dimensioni]]
<math>S^3</math>
e un [[gruppo (matematica)|gruppo]] (un [[gruppo di Lie]] secondo la moltiplicazione). <math>S^3</math> è il [[rivestimento|rivestimento universale]] del gruppo ''SO''(3,<math>\R</math>) di [[matrice|matrici]] reali e ortogonali di [[determinante]] 1, in quanto a ciascuna rotazione corrispondono, secondo la corrispondenza sopra espressa, ''due'' quaternioni unitari. Il gruppo <math>S^3</math> è isomorfo a ''SU''(2), il gruppo delle matrici unitarie 2&times;2 complesse e di determinante 1.
 
=== Gruppo di rotazioni ===
Sia ''A'' l'insieme dei quaternioni della forma ''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk'', dove ''a'', ''b'', ''c'' e ''d'' sono o tutti [[numero intero|numeri interi]] o tutti [[numero razionale|numeri razionali]] con numeratore dispari e denominatore 2. L'insieme ''A'' è un [[anello (matematica)|anello]] e un [[Reticolo (matematica)|reticolo]]. Ci sono 24 quaternioni unitari nell'anello, e sono i vertici di un [[politopo regolare]] a 24 celle con [[simbolo di Schläfli]] {3,4,3}.
Ogni quaternione unitario <math>q</math> definisce una [[rotazione (matematica)|rotazione]] dello spazio <math>\R^3 </math> nel modo seguente. Osserviamo che si può indicare il quaternione <math> q=a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k </math> tramite una notazione scalare-vettore <math>q=(a,v)</math>, con <math>v=(b,c,d)</math>, e identifichiamo <math>\R^3 </math> con l'insieme dei quaternioni <math>x=(0,v) </math> con prima coordinata nulla. La rotazione determinata da <math>q </math> è data dall'operazione di [[coniugio]]
:<math> x\mapsto qxq^{-1}. </math>
Si verifica infatti facilmente che se <math> q </math> ha prima coordinata nulla, anche <math>qxq^{-1} </math> ha prima coordinata nulla: è quindi definita un'[[azione di un gruppo|azione]] del gruppo dei quaternioni unitari su <math>\R^3 </math>. Ogni mappa definita in questo modo è effettivamente una rotazione, poiché preserva la norma:
:<math> |qxq^{-1}| = |q||x||q^{-1}| = |q||x||q|^{-1} = |x|. </math>
I quaternioni unitari sono quindi un utile strumento per descrivere sinteticamente le rotazioni in <math>\R^3</math>. Ogni rotazione è esprimibile in questo modo, e due quaternioni <math>q,q' </math> definiscono la stessa rotazione se e solo se <math>q = - q' </math>.
 
=== Rivestimenti ===
== Rappresentazioni dei quaternioni tramite matrici ==
Associando ad ogni quaternione unitario una rotazione, si è definito una mappa
I quaternoni possono essere espressi tramite [[matrice|matrici]] 2x2 di [[numero complesso|numeri complessi]], oppure matrici 4x4 di numeri reali.
:<math> S^3 \to SO(3) </math>
Le unità ''u'', ''i'', ''j'', ''k'', nella forma 2x2 e 4x4 sono:
dal gruppo dei quaternioni unitari sul [[gruppo ortogonale speciale]] delle rotazioni dello spazio tridimensionale. Per quanto appena detto, la mappa è [[funzione suriettiva|suriettiva]], ma non [[funzione iniettiva|iniettiva]]: la [[controimmagine]] di un punto è data da due punti opposti <math>\{\pm q_0 \} </math>. In particolare, tale mappa è un [[rivestimento (topologia)|rivestimento]] di grado 2.
 
Poiché <math> S^3 </math> è [[semplicemente connesso]], questo è il [[rivestimento universale]] di <math> SO(3) </math>, che ha quindi come [[gruppo fondamentale]] il [[gruppo ciclico]] <math>\mathbb Z/_{2\mathbb Z} </math> con due elementi. Topologicamente, <math> SO(3) </math> è [[omeomorfo]] allo [[spazio proiettivo]] <math>\mathbb P^3(\R) </math>.
<math>u = \left[
 
=== Sottogruppo finito ===
{{vedi anche|Gruppo dei quaternioni}}
Il [[sottogruppo]] generato dagli elementi <math>\{1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k\} </math> è un [[gruppo finito]]: ha [[ordine di un gruppo|ordine]] 8, e viene spesso indicato con <math>Q_8 </math>. I suoi otto elementi sono
:<math>\{\pm 1, \pm \mathbf i, \pm \mathbf j, \pm \mathbf k\}. </math>
Il gruppo <math> Q_8 </math> è il più piccolo gruppo non abeliano dopo il [[gruppo di permutazioni]] <math> S_3 </math>, che ha ordine 6.
 
== Notazioni e rappresentazioni alternative ==
=== Notazione scalare/vettore ===
Il quaternione <math> q = a +b\mathbf i +c\mathbf j +d\mathbf k </math> può essere descritto anche dalla coppia <math> (a, v) </math>, dove <math> v = (b,c,d) </math> è un vettore in <math>\R^3 </math>. Con questa notazione, somma e prodotto possono essere descritti nel modo seguente:
:<math>\begin{matrix}q_1 + q_2 &=& (a_1 , v_1) + (a_2, v_2) = (a_1+a_2, v_1 + v_2) \\
q_1 \cdot q_2 &=& (a_1 a_2 - v_1 \cdot v_2, a_1 v_2 + a_2 v_1 + v_1 \wedge v_2)\end{matrix}</math>
dove si usano il [[prodotto scalare]] ed il [[prodotto vettoriale]] fra vettori di <math>\R^3 </math>.
Le nozioni di coniugato e norma diventano:
:<math>\bar q = (a ,-v)</math>
:<math>|q|^2 = a^2 + |v|^2\,\! </math>
usando l'usuale [[norma (matematica)|norma]] di un vettore in <math>\R^3 </math>.
 
=== Coppia di numeri complessi ===
Grazie alla relazione <math>\mathbf k = \mathbf i\mathbf j = -\mathbf j\mathbf i</math>, ogni quaternione può essere scritto usando soltanto i simboli <math>\mathbf i </math> e <math>\mathbf j </math> nel modo seguente:
:<math> q = a+b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k = a+b\mathbf i + c\mathbf j-d\mathbf j\mathbf i = a+b\mathbf i + \mathbf j(c-d\mathbf i).</math>
Quindi
:<math> q = z +\mathbf jw,</math>
dove <math> z = a+b\mathbf i </math> e <math> w=c-d\mathbf i </math> sono due numeri complessi. Le operazioni di somma e prodotto si svolgono in modo usuale, applicando la relazione
:<math>\mathbf i\mathbf j = -\mathbf j\mathbf i. </math>
 
Per quanto riguarda coniugato e norma, risulta rispettivamente
:<math>\bar q = (\bar z ,-w),</math>
:<math>|q|^2 = |z|^2 + |w|^2.</math>
 
=== Matrici ===
I quaternioni possono essere espressi tramite [[matrice|matrici]] <math> 2\times 2 </math> di [[numero complesso|numeri complessi]], oppure matrici <math> 4\times 4 </math> di numeri reali.
 
==== Matrici 2 x 2 complesse ====
Il quaternione <math> q=z+w\mathbf j </math>, con <math>z=a+b\mathbf i</math> e <math>w=c+d\mathbf i</math>, può essere rappresentato dalla matrice a coefficienti complessi
 
:<math>\begin{bmatrix} z & w \\ -\overline{w} & \,\, \overline{z} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a+b\mathbf i & c+d\mathbf i \\ -c+d\mathbf i & \,\, a-b\mathbf i \end{bmatrix}</math>
 
Attraverso questa identificazione, gli elementi <math> 1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k </math> sono rappresentati rispettivamente da:
 
:<math>\left[
\begin{matrix}
1, &0\\
0, &1\\
\end{matrix}\right]=, \quad
 
\left[
\begin{matrix}
\mathbf i, &0\\
0, &-\mathbf i\\
\end{matrix}\right], \quad
 
\left[
\begin{matrix}
0, &1\\
-1, &0\\
\end{matrix}\right], \quad
 
\left[
\begin{matrix}
0, &\mathbf i\\
\mathbf i, &0\\
\end{matrix}\right]
.
</math>
 
Indichiamo con <math>\phi : \mathbb H \rightarrow \text{Mat}_{n,n}(\mathbb C )</math>. Questa rappresentazione ha diverse interessanti proprietà:
 
* <math>\phi</math> è un omomorfismo iniettivo di [[Monoide|monoidi]].
* Il quadrato della norma di un quaternione è uguale al [[Determinante (algebra)|determinante]] della matrice corrispondente.
* Il coniugato di un quaternione corrisponde alla [[matrice trasposta coniugata|coniugata trasposta]] della matrice corrispondente.
* Restringendosi ai quaternioni unitari, questa applicazione induce un [[isomorfismo]] di gruppi tra la [[sfera]] <math>S^3\subset \mathbb H</math> e il [[gruppo unitario speciale]] <math>\text{SU}(2)</math>. Questo gruppo, strettamente collegato alle [[matrici di Pauli]], è usato in [[meccanica quantistica]] per rappresentare lo [[spin]].
 
==== Matrici 4 x 4 reali antisimmetriche ====
Gli elementi <math> 1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k </math> sono rappresentati rispettivamente da:
 
:<math>
\left[
\begin{matrix}
Riga 128 ⟶ 237:
0,&0,&1,&0\\
0,&0,&0,&1\\
\end{matrix} \right], \quad
\left[
</math>
 
<math>i = \left[
\begin{matrix}
i, &0\\
0, &-i\\
\end{matrix}\right] = \left[
\begin{matrix}
0,&1,&0,&0\\
Riga 141 ⟶ 244:
0,&0,&0,&1\\
0,&0,&-1,&0\\
\end{matrix} \right], \quad
\left[
</math><br>
 
<math>j = \left[
\begin{matrix}
0, &1\\
-1, &0\\
\end{matrix}\right] = \left[
\begin{matrix}
0,&0,&0,&-1\\
Riga 154 ⟶ 251:
0,&1,&0,&0\\
1,&0,&0,&0\\
\end{matrix} \right], \quad
\left[
</math><br>
 
<math>k = \left[
\begin{matrix}
0, &i\\
i, &0\\
\end{matrix}\right] = \left[
\begin{matrix}
0,&0,&-1,&0\\
Riga 167 ⟶ 258:
1,&0,&0,&0\\
0,&-1,&0,&0\\
\end{matrix} \right].
</math>
 
NellaIl primaquaternione forma,<math> il quaternione ''a''+b\mathbf i+c\mathbf ''bi'' j+d\mathbf ''cj''k + ''dk''</math> è quindi rappresentato da
 
:<math>\begin{bmatrix}
<math>\begin{pmatrix} a-di & -b+ci \\ b+ci & \;\; a+di \end{pmatrix}</math>
a & b & -d & -c \\
-b & a & -c & d \\
d & c & a & b \\
c & -d & -b & a
\end{bmatrix}</math>
 
In questa rappresentazione, il coniugato di un quaternione corrisponde alla [[matrice trasposta|trasposta]] della matrice.
Questa rappresentazione ha diverse interessanti proprietà:
 
== Equazioni sui quaternioni ==
* Tutti i numeri complessi (''c'' = ''d'' = 0) corrispondono a matrici a valori solo reali.
La non commutatività della moltiplicazione porta una conseguenza inaspettata: le soluzioni dei [[polinomio|polinomi]] definiti con i quaternioni possono essere più di quelle definite dal grado del polinomio. L'equazione <math> q^2+1 = 0 </math> per esempio ha infinite soluzioni nei quaternioni, date da tutti i
* Il quadrato del valore assoluto di un quaternione è uguale al determinante della matrice corrispondente.
:<math>q = b\mathbf i+c\mathbf j+d\mathbf k,</math>
* Il coniugato di un quaternione corrisponde alla coniugata trasposta della matrici.
con <math>b^2+c^2+d^2=1 </math>.
* Limitandola ai quaternioni unitari, questa rappresentazione fornisce un [[isomorfismo]] di gruppo tra le [[sfera|sfera]] <math>S^3</math> e SU(2). Questo gruppo è importante nella [[meccanica quantistica]] per gestire lo [[spin]], vedere anche [[matrice di Pauli]].
 
== Generalizzazioni ==
Nella seconda forma, il quaternione ''a'' + ''bi'' + ''cj'' + ''dk'' è rappresentato da
Se <math>F</math> è un generico [[campo (matematica)|campo]] e <math>a</math> e <math>b</math> sono elementi di <math>F,</math> è possibile definire un'[[algebra associativa]] unitaria a quattro dimensioni su <math>F</math> usando due generatori <math>\mathbf i</math> e <math>\mathbf j</math> e le relazioni <math>\mathbf i^2=a, \mathbf j^2=b</math> e <math>\mathbf i\mathbf j=-\mathbf j\mathbf i.</math> Queste algebre sono isomorfe all'algebra delle [[matrice|matrici]] <math>2\times 2</math> su <math>F,</math> e inoltre sono delle [[algebra di divisione|algebre di divisione]] su <math>F.</math> Sono chiamate [[algebra di quaternioni|algebre di quaternioni]].
 
==Note==
: <math>\begin{pmatrix}
<references />
\;\; a & -b & \;\; d & -c \\
\;\; b & \;\; a & -c & -d \\
-d & \;\; c & \;\; a & -b \\
\;\; c & \;\; d & \;\; b & \;\; a
\end{pmatrix}</math>
 
In quest rappresentazione, il coniugato di un quaternione corrisponde alla trasposta della matrice.
 
== Storia ==
[[Image:Quaternion.jpg|thumb|right|Immagine di un insieme frattale di Julia-Menge definito con i quaternioni]]
I quaternioni sono stati scoperti dall'[[Irlanda|irlandese]] [[William Rowan Hamilton]] nel [[1843]]. Hamilton era alla ricerca di un metodo per estendere i numeri complessi (che possono essere visti come punti su un piano) su un numero maggiore di dimensioni spaziali. Non è stato capace di fare questo per 3 dimensioni, ma 4 dimensioni portano ai quaternioni. Secondo la storia che ha poi raccontato, lui stava passeggiando fuori con sua moglie quando improvvisamente gli venne in mente la soluzione nella forma dell'equazione ''i''<sup>2</sup> = ''j''<sup>2</sup> = ''k''<sup>2</sup> = ''ijk'' = &minus;1; allora incise subito questa equazione sul lato del vicino ponte Brougham (noto ora come Broom Bridge) a [[Dublino]].
 
Questo comporta l'abbandono della legge commutativa, una scelta radicale per il tempo. L'algebra vettoriale e le matrici dovevano essere ancora scoperte. Non solo questo, Hamilton ha in un certo senso inventato il prodotto vettoriale e il prodotto scalare dell'algebra vettoriale. Hamilton inoltre ha descritto un quaternione come una quadrupla ordinata (4-tupla) di numeri reali, e ha descritto la prima coordinata come la parte 'scalare', e le rimanenti tre come la parte 'vettoriale'. Se due quaternioni con parte scalare nulla sono moltiplicati, la parte scalare del prodotto è il prodotto scalare della parte vettoriale cambiato di segno, mentre la parte vettoriale del prodotto è il prodotto vettoriale. Ma il loro significato doveva essere ancora scoperto.
 
Hamilton continuò a rendere popolari i quaternioni con molti libri, l'ultimo dei quali, ''Elementi sui quaternioni'' aveva 800 pagine e fu pubblicato poco dopo la sua morte.
 
Perfino in questa occasione ci furono delle controversie sull'uso dei quaternioni. Alcuni dei sostenitori di Hamilton si opposero clamorosamente agli emergenti campi dell'algebra vettoriale e dell'analisi vettoriale (sviluppata da [[Oliver Heaviside]] e [[Willard Gibbs]] fra gli altri), affermando che i quaternioni offrivano una notazione migliore. Mentre su questo si può discutere in tre dimensioni, i quaternioni non possono essere usati in altre dimensioni (benché estensioni come gli [[ottonioni]] e l'[[algebra di Clifford]] possono essere ancora applicabili). In ogni caso, la notazione vettoriale aveva praticamente sostituito i quaternioni nella scienza e nell'ingegneria nella metà del ventesimo secolo.
 
Oggi, i quaternioni hanno uso nella [[grafica computerizzata]], [[teoria del controllo]], [[elaborazione dei segnali]], [[controllo dell'assetto]] e [[astrodinamica]], principalmente nella rappresentazione di rotazioni/direzioni in tre dimensioni. Ad esempio, è comune per i veicoli spaziali un sistema di controllo dell'assetto comandato mediante quaternioni, che sono anche usati per misurare mediante telemetria l'assetto attuale. La ragione è che la combinazione di molte trasformazioni descritte da quaternioni è più stabile numericamente della combinazione di molte trasformazioni matriciali.
 
== Generalizzazioni ==
 
== Bibliografia ==
Se ''F'' è un generico [[campo (matematica)|campo]] e ''a'' e ''b'' sono elementi di ''F'', è possibile definire un'[[algebra associativa]] unitaria a quattro dimensioni su ''F'' usando due generatori ''i'' e ''j'' e le relazioni ''i''<sup>2</sup> = ''a'', ''j''<sup>2</sup> = ''b'' e ''ij'' = &minus;''ji''. Queste algebre sono isomorfe all'algebra delle [[matrice|matrici]] 2&times;2 su ''F'', e inoltre sono delle [[algebra di divisione|algebre di divisione]] su ''F''. Sono chiamate [[algebra di quaternioni|algebre di quaternioni]].
* {{Cita libro|autore=Henry William Lovett Hime|anno=1894|url=https://www.archive.org/details/outlinesofquater00himeuoft|titolo=The outlines of quaternions|editore=Longman Greens|lingua=en}}
* {{Cita libro|autore=William Rowan Hamilton|anno=1899|url=https://www.archive.org/details/117770258_001|titolo=Elements of quaternions (t.1)|editore=Longman Greens|lingua=en}}
* {{Cita libro|autore=William Rowan Hamilton|anno=1901|url=https://www.archive.org/details/117770258_002|titolo=Elements of quaternions (t.2)|editore=Longman Greens|lingua=en}}
* {{Cita libro|autore=Philip Kelland e Peter Guthrie Tait|anno=1882|url=https://www.archive.org/details/introductiontoqu00kelliala|titolo=Introduction to quaternions, with numerous examples|editore=McMillan & co. Ltd|lingua=en}}
* {{Cita libro|autore=A. S. Hardy|anno=1891|url=https://www.archive.org/details/elementsofquater028860mbp|titolo=Elements of quaternions|editore=Ginn|lingua=en}}
* {{Cita libro|autore=[[Alexander McAulay]]|anno=1893|url=https://archive.org/details/utilityofquatern26262gut|titolo=Utility of Quaternions in Physics|lingua=en}}
* {{Cita libro|autore=Arthur S. Hathaway|anno=1896|url=https://www.archive.org/details/aprimerofquatern09934gut|titolo=A Primer of Quaternions|città=Londra|editore=Macmillan & co., ltd|lingua=en}}
* {{Cita libro|autore=Charles Japser Joly|anno=1905|url=https://www.archive.org/details/manualofquaterni028692mbp|titolo=A Manual Of Quaternions|editore=McMillan & co. Ltd|lingua=en}}
* {{Cita libro|autore=[[Alexander Macfarlane]]|anno=1906|url=https://www.archive.org/details/vectoranalysisan13609gut|titolo=Vector Analysis and Quaternions|città=New York|editore=J. Wiley & Sons|lingua=en}}
* {{Cita libro|autore=Jack Kuipers|anno=2002|titolo=Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality|editore=Princeton University Press|lingua=en|isbn=0-691-10298-8}}
 
== Voci correlate ==
* [[Numeri complessi]]
* [[Gruppo dei quaternioni]]
* [[Ottonione]]
* [[Sedenione]]
* [[Numero ipercomplesso]]
* [[Algebra di divisione]]
* [[Algebra associativa]]
* [[Teoria dei gruppi]]
* [[Rotazioni spaziali con i quaternioni]]
 
== Altri progetti ==
==Collegamenti esterni==
{{interprogetto|preposizione=sul}}
 
== Collegamenti esterni ==
*[http://mathworld.wolfram.com/Quaternion.html Sito per spunti]
* {{Collegamenti esterni}}
* [http://world.std.com/~sweetser/quaternions/qindex/qindex.html Doing Physics with Quaternions]
* {{cita web|http://world.std.com/~sweetser/quaternions/qindex/qindex.html|Doing Physics with Quaternions}}
* [http://theworld.com/~sweetser/java/qcalc/qcalc.html Quaternion Calculator] [Java]
* [httphttps://arxiv.org/pdf/math-ph/0201058 The Physical Heritage of Sir W. R. Hamilton] (PDF)
* Kuipers, Jack (2002). ''Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality'' (Reprint edition). Princeton University Press. ISBN 0691102988
 
{{Controllo di autorità}}
[[Categoria:Algebra associativa]]
{{Portale|fisica|matematica}}
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[[Categoria:Gruppo delle rotazioni]]
[[Categoria:Numeri ipercomplessi]]
 
[[Categoria:Quaternioni| ]]
[[ca:Quaternió]]
[[cs:Kvaternion]]
[[da:Kvaternioner]]
[[de:Quaternion]]
[[en:Quaternion]]
[[es:Cuaternión]]
[[fa:چهارگان‌ها]]
[[fi:Kvaternio]]
[[fr:Quaternion]]
[[hu:Kvaternió]]
[[ia:Quaternion]]
[[is:Fertölur]]
[[ja:四元数]]
[[ko:사원수]]
[[lmo:Quaterniú]]
[[lt:Kvarternionas]]
[[nl:Quaternion]]
[[pl:Kwaterniony]]
[[ro:Cuaternion]]
[[ru:Кватернион]]
[[sl:Kvaternion]]
[[sr:Кватернион]]
[[sv:Kvaternion]]
[[uk:Кватерніони]]
[[zh:四元數]]