Teorema spettrale: differenze tra le versioni

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In [[algebra lineare]] e [[analisi funzionale]] il '''teorema spettrale''' si riferisce a una serie di risultati relativi agli [[operatore lineare|operatori lineari]] oppure alle [[matrice (matematica)|matrici]]. In termini generali il teorema spettrale fornisce condizioni sotto le quali un operatore o una matrice possono essere [[diagonalizzazione|diagonalizzati]], cioè rappresentati da una [[matrice diagonale]] in una certa [[base (algebra lineare)|base]].

In [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] finita, il teorema spettrale asserisce che per ogni [[endomorfismo simmetrico]] di uno [[spazio vettoriale reale]] dotato di un [[prodotto scalare]] hasi può trovare una [[base ortonormale]] formata da [[autovettore|autovettori]]. Equivalentemente, ogni [[matrice simmetrica]] reale è [[matrici simili|simile]] ad una [[matrice diagonale]] tramite una [[matrice ortogonale]].

In dimensione infinita esistono diverse formulazioni. Quella che utilizza gli operatori di moltiplicazione stabilisce che ogni operatore di moltiplicazione è un [[operatore autoaggiunto]] (densamente definito), ed ogni operatore autoaggiunto è [[Operatore lineare continuo|unitariamente equivalente]] ad un operatore di moltiplicazione.<ref>{{springerEOM|titolo=Unitarily-equivalent operators|autore= V.I. Sobolev }}</ref>

In dimensione infinita, il teorema spettrale assume forme diverse a seconda del tipo di [[operatore lineare|operatori]] cui si applica. Ad esempio, esiste una versione per [[operatore autoaggiunto|operatori autoaggiunti]] in uno [[spazio di Hilbert]].

Il teorema spettrale fornisce anche una decomposizione canonica dello spazio vettoriale, chiamata '''decomposizione spettrale''', delloo spazio'''decomposizione vettorialeagli autovalori'''.

== Caso finito-dimensionale ==

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Il teorema spettrale può essere enunciato per spazi vettoriali reali o complessi muniti di prodotto scalare. L'enunciato è essenzialmente lo stesso nei due casi.

Il teorema nel caso reale può anche essere interpretato come il caso particolare della versione complessa. Come molti altri risultati in [[algebra lineare]], il teorema può essere enunciato in due forme diverse: usando il linguaggio delle [[applicazione lineare|applicazioni lineari]] o delle [[matrice|matrici]]. Nel caso complesso l'enunciato per [[spazio vettoriale complesso|spazi vettoriali complessi]] muniti di un [[prodotto hermitiano]] è analogo a quello reale, ma sotto ipotesi più deboli: anziché ''autoaggiunto'', è sufficiente richiedere che l'operatore sia [[operatore normale|normale]], cioè che commuti con il proprio [[aggiunto]].

==== Caso reale ====

Sia ''<math>T''</math> un [[endomorfismo]] su uno [[spazio vettoriale reale]] ''<math>V''</math> di [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] ''n'', dotato di un [[prodotto scalare]] [[definito positivo]]. Allora ''<math>T''</math> è [[Operatore autoaggiunto|autoaggiunto]] [[se e solo se]] esiste una [[base ortonormale]] di ''<math>V''</math> fatta di [[autovettore|autovettori]] per ''<math>T''</math>.<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 245|lang}}.</ref> L'endomorfismo(In ''tal caso, <math>T''</math> si dice "ortogonalmente diagonalizzabile" ed è quindiin particolare [[diagonalizzabilità|diagonalizzabile]]).

Una versione equivalente del teorema, enunciata con le matrici, afferma che ogni [[matrice simmetrica]] reale è [[matrice simile|simile]] ad una [[matrice diagonale]] tramite una [[matrice ortogonale]].<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 248|lang}}.</ref>

Come conseguenza del teorema, per ogni matrice simmetrica ''<math>S''</math> esistono una matrice ortogonale ''<math>M''</math> (cioè tale che ''M''<supmath>T</sup>''M''^TM = ''I''</math>) ed una matrice diagonale ''<math>D''</math> per cui:<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 246|lang}}.</ref>

:<math> D = M^{-1} S M = M^T S M \ </math>

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==== Caso complesso ====

Sia ''<math>T''</math> un operatore lineare su uno [[spazio vettoriale complesso]] ''<math>V''</math> di dimensione ''n'', dotato di un [[Forma_sesquilineare#Prodotto_hermitiano|prodotto hermitiano]], cioè di una [[Forma_sesquilineare#Forma_hermitiana|forma hermitiana]] definita positiva. Allora ''<math>T''</math> è un [[operatore normale]] se e solo se esiste una [[base ortonormale]] di ''<math>V''</math> fatta di [[autovettore|autovettori]] per ''<math>T''</math>.<ref>{{Cita|S. Lang|Pag. 251|lang}}.</ref>

Nel linguaggio matriciale, il teorema afferma che ogni [[matrice normale]] è [[matrice simile|simile]] ad una [[matrice diagonale]] tramite una [[matrice unitaria]]. In altre parole, per ogni matrice normale ''<math>H''</math> esistono una matrice unitaria ''<math>U''</math> ed una diagonale ''<math>D''</math> per cui:

:<math> D = U^{-1}HU =\, ^t\!\bar UHU </math>

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Un operatore è quindi normale se e solo se è unitariamente diagonalizzabile.

Come corollario segue che se e solo se l'operatore ''<math>T''</math> è [[operatore hermitiano|autoaggiunto]] se e solo se la base ortonormale conta solo autovalori [[numero reale|reali]], mentre se ''<math>T''</math> è [[operatore unitario|unitario]] il [[Valore assoluto#Numeri complessi|modulo]] degli autovalori è 1.

In particolare, gli autovalori di una [[matrice hermitiana]] sono tutti reali, mentre quelli di una [[matrice unitaria]] sono di modulo 1.

=== Dimostrazione ===

Nel dimostrare il teorema spettrale è sufficiente considerare il caso complesso, e per provare l'esistenza di una base di autovettori si utilizza il [[principio d'induzione]] sulla dimensione di ''<math>V''</math>.

Se la dimensione di ''<math>V''</math> è pari a 1 non c'è nulla da dimostrare. Si ponga che l'enunciato valga per gli spazi vettoriali di dimensione ''n'' - 1: si vuole mostrare che questo implica la validità del teorema per gli spazi di dimensione ''n''. Poiché '''C'''<math>\Complex</math> è un [[campo algebricamente chiuso]], il [[polinomio caratteristico]] di ''<math>T''</math> ha almeno una radice: quindi ''<math>T''</math> ha almeno un autovalore <math>\lambda</math> ed un autovettore <math>v</math> relativo a tale autovalore. Si consideri lo spazio:

:<math> W = \mathcal{L}(v)^{\perp} </math>

formato dai vettori di ''<math>V''</math> ortogonali a <math>v</math>. ''<math>W''</math> ha dimensione <math>n-1</math>, poiché i due sottospazi sono in [[somma diretta]].

L'endomorfismo ''<math>T''</math> manda ''<math>W''</math> in sé, ossia <math> T(W) \subseteq W </math>. Infatti, l'immagine di ''<math>T''</math> è ortogonale a <math>v</math>:

:<math> \langle v, T(w) \rangle = \langle T^{*}(v), w \rangle = \langle \overline{\lambda} v, w \rangle = \overline{\lambda} \langle v, w \rangle = 0 \qquad \forall w \in W </math>

essendo ''<math>v''</math> e ''<math>w''</math> ortogonali per ipotesi.

La restrizione <math>T_{|W}</math> di ''<math>T''</math> a ''<math>W''</math> è ancora un endomorfismo normale di ''<math>W'' normale</math>:

:<math> \langle T^{*}(w), v \rangle = \langle w, T(v) \rangle = \lambda \langle w, v \rangle = 0 \qquad \forall w \in W </math>

Poiché ''<math>W''</math> ha dimensione <math>n-1</math> si può applicare l'ipotesi induttiva per <math>T_{|W} </math>, e supporre che esista una base ortonormale di suoi autovettori. Dal momento che ''<math>v''</math> può essere supposto di norma unitaria, ''<math>v''</math> e la base ortonormale di ''<math>W''</math> costituiscono una base ortonormale di ''<math>V''</math>, come richiesto.

Nel caso in cui ''<math>T''</math> sia autoaggiunto si dimostra che tutti i suoi autovalori sono reali. Infatti, sia ''<math>x''</math> un autovettore per ''<math>T''</math> con autovalore λ<math>\lambda</math>. Essendo ''<math>T'' =''T''<sup>^*</supmath> si ha:

:<math> \overline{\lambda} \langle x , x \rangle= \langle T x , x \rangle = \langle x , T x \rangle = \lambda \langle x , x \rangle.</math>

Segue che λ<math>\lambda</math> è uguale al suo coniugato, e quindi è reale. Questo permette di considerare il teorema spettrale enunciato nel caso reale come corollario di quello complesso.

Viceversa, si supponga che esista una base ortonormale di ''<math>V''</math> composta da autovettori di ''<math>T''</math>. Allora la matrice che rappresenta l'operatore rispetto a tale base è diagonale, da cui segue che ''<math>T''</math> è normale.

==Caso infinito-dimensionale==

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:<math> S(\varphi)(t) = t\cdot\varphi(t) </math>

è continuo e non ha autovettori.

è continuo e non ha autovettori. Più in generale, l'operatore che moltiplica ogni funzione per una funzione misurabile fissata <math>f</math> è limitato e autoaggiunto, ma ha autovettori solo per scelte molto particolari di <math>f</math>.

Si può estendere ulteriormente il discorso considerando che l'operatore che moltiplica ogni funzione per una [[funzione misurabile]] fissata <math>f</math> è limitato e autoaggiunto, ma ha autovettori solo per scelte molto particolari di <math>f</math>. Dato dunque uno [[spazio di misura]] <math> (X, \Sigma, \mu) </math> numerabilmente additivo e di una funzione misurabile <math>f</math> a valori reali su <math>X</math>, un ''operatore di moltiplicazione'' è un operatore <math>T</math> della forma:

Il teorema spettrale per operatori limitati asserisce che ognuno di essi può essere ricondotto alla forma di una moltiplicazione per una funzione del tipo appena descritto, con un più generale [[spazio di misura]] al posto del segmento <math>[0, 1]</math>.

:<math> [T \psi] (x) = f(x) \psi(x) \quad </math>

il cui dominio è lo spazio delle funzioni <math>\psi</math> per le quali il membro di destra della precedente relazione è in <math>L^2</math>. Il teorema stabilisce allora che ogni operatore autoaggiunto è [[Operatore lineare continuo|unitariamente equivalente]] ad un operatore di moltiplicazione. In particolare, un [[operatore unitario]] <math>U</math> è unitariamente equivalente alla moltiplicazione per una funzione <math>f \in L^2(\mu)</math> [[funzione misurabile|misurabile]] rispetto alla [[sigma-algebra]] di uno [[spazio di misura]] finito <math>(X,\mu)</math> con [[misura di Borel]] <math>\mu</math>.

Nel caso generale, che comprende anche operatori non limitati, per ogni operatore autoaggiunto <math>T</math> agente sullo spazio di Hilbert <math>H</math> esiste un operatore unitario che costruisce una mappa [[isometria|isometricamente]] [[isomorfismo|isomorfa]] di <math>H</math> nello spazio <math>L^2(M,\mu)</math>, dove <math>T</math> è rappresentato come un operatore di moltiplicazione.

===Operatori limitati===

Riga 87 ⟶ 93:

:<math>U:H \to \bigoplus_{n=1}^N L^2(\R,d\mu_n)</math>

tali che:<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 227|reed}}.</ref>

:<math>(UAU^{-1} \psi)_n (\lambda) = \lambda \psi_n(\lambda) \ </math>

Riga 97 ⟶ 103:

Una tale scrittura di <math>A</math> è detta ''rappresentazione spettrale'' dell'operatore.

Come corollario, segue che esiste una misura <math>\mu</math> su uno [[spazio di misura]] <math>M</math> ed esiste un [[operatore unitario]]:

:<math>U:H \to L^2(M,d\mu)</math>

tali che:<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 221|reed}}.</ref>

:<math>(UAU^{-1} f)(x) = F(x)f(x) \ </math>

Riga 112 ⟶ 118:

:<math>U:H \to L^2(M,d\mu)</math>

ed esiste una funzione <math>f:M \to \R</math> misurabile [[quasi ovunque]] tali che:<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 261|reed}}.</ref>

* <math>\psi \in D(A)</math> se e solo se:

Riga 122 ⟶ 128:

== Decomposizione spettrale ==

{{vedi anche|Teoria spettrale|Diagonalizzabilità}}

Il teorema spettrale fornisce le condizioni per cui sia possibile diagonalizzare un operatore rispetto ad una base ortonormale. Quando questo risulta possibile nel caso finito-dimensionale, ad autovalori distinti corrispondono autovettori mutuamente ortogonali, e pertanto gli [[autospazio|autospazi]] sono in [[somma diretta]]. Un [[operatore normale]] può, di conseguenza, essere scritto come una combinazione lineare di proiettori ortogonali sugli autospazi, i cui coefficienti sono gli autovalori relativi ad ogni autospazio.

Riga 133 ⟶ 139:

:<math> V = V_{\lambda_1}\oplus\ldots\oplus V_{\lambda_k} </math>

Equivalentemente, si ha:

Equivalentemente, <math>P_\lambda</math> è un proiettore, ossia la proiezione ortogonale su <math>V_\lambda</math>, e si ha:

:<math> AT =\lambda_1 P_{\lambda_1} +\cdots+\lambda_k P_{\lambda_k} \qquad P_\lambda P_\mu=\delta_{\lambda\mu} P_\mu \quad </math>

:con <math> P_\lambda P_\mu=\delta_{\lambda\mu} P_\mu \quad </math> ,il [[Delta di Kronecker]] e <math>P_\lambda</math> conla proiezione ortogonale su <math> \delta_{V_\lambda\mu} </math>. [[Delta di Kronecker]].Inoltre, se:

:<math>\sum_{j\in A} P_j = I\textrm{id}_V </math> con A insieme numerabile.

Inoltre se:

:<math>\sum_{j\in A} P_j = I </math> con A insieme numerabile.

Lcon <math> A </math> [[insieme numerabile]], l'insieme dei proiettori <math> \{P_j\}_{j \in A} </math> è ortogonale e completo. La decomposizione spettrale è un caso particolare della [[decomposizione di Schur]]. È anche un caso particolare della [[decomposizione ai valori singolari]].

La decomposizione spettrale è un caso particolare della [[decomposizione di Schur]]. È anche un caso particolare della [[decomposizione ai valori singolari]].

===Caso infinito-dimensionale===

Riga 153:

Sia <math>A</math> un [[operatore normale]] limitato definito su uno spazio di Hilbert <math>H</math>. Il teorema di decomposizione spettrale per operatori normali afferma che esiste un'unica misura a valori di proiettore <math>P^A</math> tale per cui:

:<math>A = \int_{\sigma(A)} z dP^A(x,y) \qquad z := (x,y) \to x+iy \in \CComplex \quad (x,y) \in \R^2</math>

dove <math>\sigma(A) = \mbox{supp}(P^A)</math> è lo [[Spettro (matematica)|spettro]] di <math>A</math>. Si dice che <math>P^A</math> è la misura a valori di proiettore associata ad <math>A</math>.

Riga 165:

:<math>A = \int_{\sigma(A)} \lambda d P^A \qquad f(A) = \int_{\sigma(A)} f(\lambda) d P^A</math>

La formula a sinistra è detta ''diagonalizzazione'' di <math>A</math>.<ref>{{Cita|Reed, Simon|Pag. 234|reed}}.</ref>

Se da un lato è possibile definire univocamente un operatore autoaggiunto (o, più in generale, un operatore normale) <math>A</math> a partire da una misura a valori di proiettore, dall'altro se è possibile diagonalizzare <math>A</math> tramite una misura a valori di proiettore limitata <math>P^A</math> allora <math>P^A</math> è la misura a valori di proiettore associata univocamente ad <math>A</math>.

Riga 173:

Si consideri un operatore autoaggiunto <math>A</math> non limitato. Attraverso la trasformata di Cayley <math>U(A)</math> associata ad <math>A</math>:

:<math> U(A) = (A - \boldmathbf{i}I) (A + \boldmathbf{i}I)^{-1} \qquad A = \boldmathbf{i}(I + U(A)) (I - U(A))^{-1} </math>

è possibile definire, a partire da <math>A</math>, una misura a valori di proiettore <math>P^{U(A)}</math> nel modo seguente:

Riga 179:

:<math>P^A(\Omega) := P^{U(A)}(U(\Omega)) \qquad \Omega \subset \sigma(A)</math>

L'insieme <math>\Omega</math> è un borellianoboreliano contenuto nello spettro (reale) <math>\sigma(A)</math> di <math>A</math>, e <math>U(\Omega)</math> è il risultato ottenuto applicando la trasformata di Cayley su <math>\CComplex</math>.

Si dimostra che se la [[funzione identità]], definita su <math>\sigma(A)</math>, è di classe <math>L^2</math> rispetto alla misura <math>(x,P^A(\Omega)x)</math>, allora <math>P^{U(A)}</math> definisce una misura a valori di proiettore su <math>\sigma(A)</math>.

Riga 193:

== Bibliografia ==

* {{cita libro | cognome= Lang| nome= Serge | titolo= Algebra lineare| editore= Bollati Boringhieri| città= Torino| anno= 1992|id isbn=ISBN 88-339-5035-2|cid =lang}}

* {{en}} {{cita libro | cognome= Reed | nome= Michael |coautori= Barry Simon | titolo= Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. 1: Functional Analysis| editore= Academic press inc.<!--|ed = riveduta-->| città= San Diego, California| anno= 1980|ed=2|idisbn= ISBN 01258505060-12-585050-6|cid =reed |lingua= en}}

* {{cita libro | cognome= Moretti | nome= Valter | titolo= Spectral Theory and Quantum Mechanics; With an Introduction to the Algebraic Formulation

| editore= Springer<!--|ed = riveduta-->| città= Berlin| anno= 2013|ed=2|isbn= 978-88-470-2834-0|cid =moretti |lingua= en}}

==Voci correlate==

* [[Autovettore e autovalore]]

* [[Decomposizione di Jordan]]

* [[Decomposizione di una matrice]]

* [[Operatore autoaggiunto]]

* [[Operatore lineare limitato]]

Riga 205 ⟶ 208:

* [[Teoria spettrale]]

* [[Trasformazione lineare]]

== Collegamenti esterni ==

* {{Collegamenti esterni}}

{{Algebra lineare}}

{{Portale|matematica}}

[[Categoria:Teoremi dell'algebra lineare|Spettrale]]

[[Categoria:Teoria spettrale]]

[[Categoria:Decomposizione matriciale]]

[[ca:Teorema espectral]]

[[de:Spektralsatz]]

[[en:Spectral theorem]]

[[es:Teorema de descomposición espectral]]

[[fr:Théorème spectral]]

[[he:משפט הפירוק הספקטרלי]]

[[nl:Spectraalstelling]]

[[pl:Twierdzenie spektralne]]

[[pt:Teoremas espectrais]]

[[ru:Спектральная теорема]]

[[sv:Spektralsatsen]]

[[uk:Спектральна теорема]]

[[zh:谱定理]]